一元三次方程韦达定理是17th世纪法国数学家阿莫兹韦达提出的一种关于一元三次方程求解的定理，是解析几何领域中解多项式方程最重要的定理之一。它可以帮助我们把一个给定的一元三次多项式方程拆解成三个一元二次多项式方程，从而实现对一元三次方程解的求解。一元三次多项式定义一元三次多项式（即三次多项式）是指一个函数满足下列形式的函数：$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$其中a、b、c、d为常数，若a0，则此方程称为一元三次方程，若a=0，则此方程称为一元二次方程。一元三次方程的求解一元三次方程的求解问题包括：1.解一元三次方程的根；2.解一元三次方程的最小正根；3.解一元三次方程的最大正根；4.解一元三次方程的最小负根；5.解一元三次方程的最大负根；6.解一元三次方程的最小正实根；7.解一元三次方程的最大正实根；8.解一元三次方程的最小负实根；9.解一元三次方程的最大负实根。一元三次方程求解的方法有多种，其中最重要的就是韦达定理。韦达定理指出，一元三次方程有三个根

高考重点数学公式：韦达定理韦达定理公式:一元二次方程ax^{2}2+bx+c(a不为0)中设两个根为x和y则x+y=-b/axy=c/a韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个n次方程口AiXi=0它的根记作X1,X2, Xn我们有\sum Xi=(-1)^{ \sim }1*A(n-1)/A(n)\sum XiXj=(-1)^{2}2^{*}A(n-2)/A(n)TXi=(-1)^{ \wedge }n*A(0)/A(n)其中是求和，是求积。如果一元二次方程在复数集中的根是，那么法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的,韦达的16世纪就得出这个定理,证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。由代数基本定理可推得：任何一元n次方程在复数集中必有根。因此,该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。韦达定理在方程论中有着广泛的应用。定理的证明设x_1,x_2是一元二次方程ax^{2}2+bx+c=0的两个解,高中历史，且不妨令x_{-1}gex_{-2}2.根据求根公式，有x

高中数学韦达定理公式韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。 韦达定理公式：一元二次方程ax^2+bx+c(a不为0)中设两个根为x和y 则x+y=-b/a xy=c/a 韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个n次方程AiX^i=0 它的根记作X1，X2，Xn 我们有 Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n) Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)其中是求和，是求积。 如果一元二次方程在复数集中的根是，那么法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。 由代数基本定理可推得：任何一元n次方程在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。 韦达定理在方程论中有着广泛的应用。 定理的证明 设x_1，x_2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解，且不妨令x_1

韦达定理一元二次方程的根与系数的关系:(韦达定理)如果一元二次方程ax^{2}+bx+c=0(a \neq 0)两个根为x1,x_{1},x2，那么x_{1}+x_{2}=- \frac {b}{a},x_{2},x_{1}x_{2}= \frac {c}{a}.注：能用韦达定理的条件为\triangle \ge 0即b^{2}-4ac \ge 0韦达定理的证明：一元二次方程ax^{2}+bx+c=0(a \neq 0)的求根公式：x= \frac {-b \pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}x_{1}= \frac {-b+\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}x_{2}= \frac {-b- \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}x_{1}+x_{2}= \frac {-b+\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}+\frac {-b- \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}= \frac {-2b}{2a}=- \frac {b}{a}x_{1}x_{2}= \frac {-b+\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}\frac {-b- \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}= \frac {(-b)^{2}-(b^{2}-4ac)}{4a^{2}}= \frac {b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}= \frac {4ac}{4a^{2}}= \frac {c}{a}推论如果一元二次方程x^{2}+bx+c=0两个根为x1,x2,x_{1},x_{2},那么x_{1}+x_{2}=-bx_{1}x_{2}=c韦达定理常见题型总结：1.不解方程，进行变形求值例1：已知x^{2}-2x-1=0的两根是x1,x2,求x_{1},x_{2},(1)\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}}(2)x_{1}^{2}+x_{2}^{2}(3)\frac {x_{2}}{x_{1}}+\frac {x_{1}}{x_{2}}(4)\mid x_{1}-x_{2} \mid本题不能求根公式直接计算，应该应用两根之和与两根之

张在明我们知道, 在初中阶段, 韦达定理、即一元二次方程的根与系数的关系是这样的如果一元二次方程% &(&)一%护的两个根是& ,, &, 那么(+,州卜,./一 一%一%此定理的证明, 教科书都是利用求根公式推算出来的。笔者还在《范氏大代数》0 1)2)3 2)(4%(567879:;)见到另一种证明方法, 节录如下字母符号略有改动“设& < 与&表%&(&+一。之二根, 从圣=, 得% & 十(&)三%& 一&& 一&。二边除以%, 而将右边乘出, 即得,7(+>,,一十一,州卜一三二,?一欠,:州卜,.少, 十 %%因此为恒等式, 故二边中& 之同次幕之系数为相等, 从< Α#, 即得7(、+,州尸,, 一一二刁,,竺一%?一%这种证法好处在于只依赖于方程的根的存在定理, 可以推广到; 次方程也适用。不仅如此, 据国外资料介绍, 英国数学家Β7哈里奥特Χ一Α就是用此因式分解的方法先导出根与系数的关系后再推出求根公式的。笔者注根据根与系数的关系, 已有丸(, 比二>一一//7,二了乎二不妥一、一。 /、二一誉, 循此又可推算出,&一&Δ一士立气广竺, 显然立即用方程组便求得& 与&的表达式。除此而外,

韦达定理一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)两个根为x1 , x2，那么21xx,ab21xx.ac注：能用韦达定理的条件为0即042acb韦达定理的证明：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式：acbb42x=a242422acbbx21aaacbbx2acbbacbb4242+21xx2a2a=ab22=ab-422acbb21acbbxx24*2aa22)4()(acbb24a224acbb24a=acaac244推论如果一元二次方程x2+bx+c=0两个根为x1 , x2，-b那么21xxc21xx韦达定理常见题型总结：1.不解方程，进行变形求值例1：已知x2-2x-1=0的两根是x1 , x2 ，求11(1)(2)x12+x22xx2121(3)(4)| x1-x2 |12本题不能求根公式直接计算，应该应用两根之和与两根之积进行变形转换。2.利用两根关系，确定方程中未知系数的值例2：已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值。例3：已知关于x方程x2-(k+1)x+k2_1 =0,是否存在k，使方程中的两个实数根的倒数等于1/2,若存在，求出满足条件的k，若不存在，请说明理由。3.已知与原方程的两根关系，构造一个新方程例4：求一元二次方程x2+3x - 2=0的两根之和与两根之积为根的一元二次方程。例

一元二次方程的根与系数关系, 即韦达定理, 是初中数学中一个充满活力的定理.它与许多知识点有机结合, 可以编拟许多丰富多彩的习题和试题, 成为历年中考中的命题热点.在解答与韦达定理相关的数学问题时,需要应用到多方面的数学思想和数学方法.因此, 教学一元二次方程的根与系数的关系时, 应注意让学生系统了解韦达定理的应用.韦达理的应用, 在课本中的例题、习题和复习题中均有介绍, 但都比较基本, 不够系统;本文以各地中考试题、竞赛试题为例, 介绍这方面的知识, 供教学或复习时参考.1求一元二次方程根的对称式的值若x 1, x 2 是方程ax2+bx+c= 0(a 0)的两个实数根, 应用韦达定理, 可不解方程直接求得x21+x22, x31+x32, 1x 1+1x 2, x 2x 1+x 1x 2,(x 1-x 2)2, x 1 -x 2等代数式的值.这类代数式, 有一个特点:互换两个字母x 1, x 2 后, 原式不变.我们称它为一元二次方程的根的对称式.解这类问题的关键在于熟练地将已知的根的对称式变形, 使它含有x 1+x 2 和x 1x 2(基本对称式)的式子.这就涉及到整式、分式、根式的恒等变形

韦达定理一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)两个根为x1 , x2，那么21xx,ab21xx.ac注：能用韦达定理的条件为0即042acb韦达定理的证明：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式：acbb42x=a242422acbbx21aaacbbx2acbbacbb4242+21xx2a2a=ab22=ab-422acbb21acbbxx24*2aa22)4()(acbb24a224acbb24a=acaac244推论如果一元二次方程x2+bx+c=0两个根为x1 , x2，-b那么21xxc21xx韦达定理常见题型总结：1.不解方程，进行变形求值例1：已知x2-2x-1=0的两根是x1 , x2 ，求11(1)(2)x12+x22xx2121(3)(4)| x1-x2 |12本题不能求根公式直接计算，应该应用两根之和与两根之积进行变形转换。2.利用两根关系，确定方程中未知系数的值例2：已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值。例3：已知关于x方程x2-(k+1)x+k2_1 =0,是否存在k，使方程中的两个实数根的倒数等于1/2,若存在，求出满足条件的k，若不存在，请说明理由。3.已知与原方程的两根关系，构造一个新方程例4：求一元二次方程x2+3x - 2=0的两根之和与两根之积为根的一元二次方程。例

教案：韦达定理（一）张其生一、教学目标1．通过根与系数的关系的发现与推导，进一步培养学生分析、观察、归纳、猜想的能力和推理论证的能力；通过本节课的学习，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。培养逻辑思维及创新思维能力。二、教学重点、难点1．教学重点：根与系数的关系的发现及其推导． 教学难点：韦达定理的灵活应用．三、教学过程（一）定理的发现及论证你能否写出一个一元二次方程，使它的两个根分别为1）2和3 2）4和7问题1：从求这些方程的过程中你发现根与各项系数之间有什么关系？学生：如果方程x2+px+q=0有两个根是x1,x2 那么有x1+x2=-p, x1 x2=q.观察、思考、探索：2x2-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积与各项系数之间有什么关系？请猜想？学生：x1+x2=, x1 x2=教师：如何验证？问题2；对于一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0（a0）是否也具备这个特征？学生：x1+x2=-，x1·x2=，教师：如何推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系？学生：设x1、x2是

(最新整理)韦达定理课件2021/7/2622.4 一元二次方程根与系数的关系2021/7/263一元二次方程x1, x2x1+x2x1x21211x1= 1, x2=11x2-12x+11=02x2-3x=001230,2xx324x2+4x+1=0-1121412xx学习主题：求根，观察、归纳、猜想观察，一元二次方程的两根之和与那些项的系数有关？两根之积与那些项的系数有关？猜想：x1+x2=bax1·x2=ac2021/7/264一元二次方程根与系数的关系2，那么xxaxbxc0如果、是一元二次方程的两个根12+= -;22212bbacbbacxxaa44=22222bbac4acc224aaa442021/7/265学习主题：根与系数关系的应用（一）例题1 判断一元二次方程x2+3x+2=0是否有根，若有试写出方程的两根和与两根积.练习:判断下列一元二次方程是否有根，若有试写出下列各方程的两根和与两根积.1、2x2 = 6x2x2 -6x =02、3x2 - 4x+2=0x1+x2=x1x2= 3432b2-4ac=16-24=-8<0 方程无实数根2021/7/266例题2 设x1，x2是方程2x2+6x-1=0的两个根,利用根与系数关系，求下列各式的值：11(1)x12 x2+x1x22(2)xx21(3)x12+x2207822xx练习：已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是_.2021/7/267根与系

韦达定理一元二次方程的根与系数的关系：(韦达定理)如果一元二次方程ax^{2}+bx+c=0(a \neq 0)两个根为x1,x_{1},x_{2},2，那么x_{1}+x_{2}=- \frac {b}{a},x_{1}x_{2}= \frac {c}{a}.注：能用韦达定理的条件为\triangle \ge 0即b^{2}-4ac \ge 0x_{1}x_{2}= \frac {-b+\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}\frac {-b- \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}= \frac {(-b)^{2}-(b^{2}-4ac)}{4a^{2}}= \frac {b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}= \frac {4ac}{4a^{2}}= \frac {c}{a}推论如果一元二次方程x^{2}+bx+c=0两个根为x1,x2,x_{1},x_{2},那么x_{1}+x_{2}=-bx_{1}x_{2}=c韦达定理常见题型总结：1.不解方程，进行变形求值例1：已知x^{2}-2x-1=0的两根是x1,x2,求x_{1},x_{2},(1)\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}}(2)x_{1}^{2}+x_{2}^{2}(3)\frac {x_{2}}{x_{1}}+\frac {x_{1}}{x_{2}}(4)\mid x_{1}-x_{2} \mid本题不能求根公式直接计算，应该应用两根之和与两根之积进行变形转换。2.利用两根关系,确定方程中未知系数的值例2：已知方程x^{2}-(k+1)x+3k=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值。例3：已知关于x方程x^{2}-(k+1)x+k^{2}-1=0,是否存在k，使方程中的两个实数根的倒数等于1/2，若存在，求出满足条

韦达定理：两根之和等于-b/a，两根之差等于c/a.x1*x2=c/a，x1+x2=-b/a。韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。韦达定理公式运用一元二次方程ax^2+bx+c=0（a0且=b^2-4ac>0）中，设两个根为x1，x2则X1+X2=-b/a、X1·X2=c/a、1/X1+1/X2=（X1+X2）/X1·X2用韦达定理判断方程的根一元二次方程ax²+bx+c=0（a0）中，若b²-4ac<0则方程没有实数根，若b²-4ac=0则方程有两个相等的实数根，若b²-4ac>0则方程有两个不相等的实数根。