因式分解开心一笑制胜必备两课时（90 分钟）学情分析陈**，男，初二上。对数学比较热爱，对于因式分解的各种方法掌握比较好，但是经常忽略因式分解的易错点；对于因式分解的综合应用掌握也不够扎实。应对措施本次课针对因式分解的各种方法来展开，教师除了要指导学生把握基础知识，还要有意识地引导学生观察、归纳，并能灵活地运用因式分解进行实际应用，最终培养学生掌握良好的学习方法，从而达到稳步提高成绩的目标。教学方法练习---归纳巩固拓展一提（公因式）二套（公式）三分组，细看几项不离谱，两项只用平方差，三项十字相乘法，阵法熟练不马虎，四项仔细看清楚，若有三个平方数（项），就用一三来分组，否则二二去分组，五项、六项更多项，二三、三三试分组，以上若都行不通，拆项、添项看清楚。1、理解因式分解的概念2、掌握因式分解的基本方法：提取公因式法、公式法等3、能对简单多项式进行因式分解，并结合实际来应用一鼓作气战况分析扫除障碍希尔伯特说

整式乘法中我们学习了乘法公式：两数和乘以这两数差：即：（1）(a+b)(ab)=ab22左边是整式的乘积，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是_(平方差公式)，左边是_，右边是_请你判断一下，第二个式子从左到右是不是因式分解？像这样将乘法公式反过来用，对多项式进行因式分解，这种因式分解方法称为_.（体验用平方差公式分解因式的过程）222（1）x4x2(x2)(x2)222（2）x16()()()()222（3）9y()()()()222（4）1a()()()()总结平方差公式的特点：1.左边特征是：.2.右边特征是 讲解释疑】例1.把下列多项式分解因式：422222（1）3625x（2）16a9b（3）m0.01n922例2.观察公式ab=(a+b)(ab)，你能抓住它的特征吗？公式中的字母a、b不仅可以表示数，而且都可以表示代数式.尝试把下列各式分解因式（1）(xp)(xq)（2）16(mn)9(mn)（3）9x(x2y)222222例3.把下列各式分解因式（1）4a16（2）aa253（3）xy44（4）32a50ab32【反馈训练】1．下列分解因式是否正确：（1）x2y2=(xy)(xy)（2）925a2=(9+25a)(925a)（3）4a2+9b2=(2a3b)(2a3b)2.把下列各式分解因式：（1）4a2(bc)2（2）

初中数学基础知识讲义因式分解知识梳理：1、概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。（和差化积）易错点注意：（1）被分解的代数式（等式的左边）是多项式；（2）分解后的因式（等式的右边）是整式；（3）结果是积的形式； （4）结果的因式必须分解彻底。2、（1）提取公因式：系数取最大公约数；相同字母取最低次幂。（2）提取公因式的方法：每项都从左到右寻找，先考虑系数（取最大公约数，第一项若是负数则需提取负号，提取负号后各项要变号）、再到字母（把每项都有的相同字母提取出来，以最低次幂为准）。3、公式法：（1）、平方差公式：特点：左边：有二项；符号相反；两项均为完全平方项。右边：左边平方项底数的和与差的积。（2）、完全平方公式：特点：左边：有三项；有两项分别是两个数的完全平方，且符号相同；有一项是平方项底数的积的2倍。右边：是左边平方项底数的和或差的平方。4.十字相乘法：． 因式分解的一般

提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (2)(a±b)2 = a2±2ab+b2 a2±2ab+b2=(a±b)2； 下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca 7）(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3（完全立方和公式）（8）(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 十字相乘例.已知是的三边，且，则的形状是（）A.直角三角形B 等腰三角形C 等边三角形D 等腰直角三角形 分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：例2、分解因式：练习：分解因式1、2、3.（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：例4、分解因式：练习：分解因式3、4、5.x5+x4+x3+x2+x+1综合练习：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）(13）xyxzy2+2yzz2(14）a2b2c22bc2a+1 换元法。例13、分解因式（1）（2）解：（1）设2005=，则原式===（2）型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式=设，则原式====练习13、分解因式（1）（2）（3）例14、分解因式（1）观察：此多项式的特点是关于的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式==设，则原式=======（2）解：原式==设，则原式====练习14、（1）（2） 添项、拆项、配方法。例15、分解因式（1）解法1拆项。 解法2添项。原式=原式=========（2）解：原式====配方法：因式分解a2b2+4a+2b+3原式=(a2+4a+4) (b22b+1)=(a+2)2 (b1)2=(a+b+1)(ab+3)练习15、分解因式（1）（2）（3）（4）x^4+x^2+2ax+1-a^2 = x^4+2x^2+1-x^2+2ax-a^2 =(x^2+1)^2-(x-a)^2 =(x^2+1+x-a)(x^2+1-x+a)（5）（6）-(a^2-b^2)^2-2c^2(a^2-b^2)+c^4=(a^2-b^2-c^2)^2（7）x4+4 原式= x4+ 待定系数法。首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。例16、分解因式分析：原式的前3 项可以分为，则原多项式必定可分为解：设===对比左右两边相同项的系数可得，解得原式=分解因式x4 x3 -5x2 -6x-4 如果已知道这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。解：设x4 x3 -5x2 -6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)= x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd 从而a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4所以解得则x4 x3 -5x2 -6x-4 =(x 2+x+1)(x2 -2x-4)例17、（1）当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式。 用双十字相乘法分解多项式我们先看一下两个多项式相乘的计算过程：计算。从计算过程可以发现，乘积中的二次项只和乘式中的一次项有关，而与常数项无关；乘积中的一次项，只和乘式中的一次项及常数项有关系；乘积中的常数项，只和乘式中的常数项有关系。根据因式分解与整式乘法是相反变形的关系，我们来寻求多项式的分解因式的方法是：1、先用十字相乘法分解。2、再将常数项5 的两个因数写在第二个十字的右边。3、由于第2 列与第3 列交叉相乘之积的和等于8y。再看第1列与第3 列交叉相乘之积的和等于13x，那么原式就可以分解成。综上可知，双十字相乘法的理论根据是多项式的乘法，在使用双十字相乘法时，应注意它带有试验性质，很可能需要经过多次试验才能得到正确答案。 填空：（30 分）1、若是完全平方式，则的值等于_。2、则=_=_3、与的公因式是4、若=，则m=_，n=_。5、在多项式中，可以用平方差公式分解因式的有_ ，其结果是_。6、若是完全平方式，则m=_。7、8、已知则9、若是完全平方式M=_。10、，11、若是完全平方式，则k=_。12、若的值为0，则的值是_。13、若则=_。14、若则_。15、方程，的解是_。 选择题：（10 分）1、多项式的公因式是（）A、a、B、C、D、2、若，则m，k 的值分别是（）A、m=2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=4，k=12、D m=4，k=12、3、下列名式：中能用平方差公式分解因式的有（）A、1 个，B、2 个，C、3 个，D、4 个4、计算的值是（）A、B、 分解因式：（30 分）1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、

因式分解开心一笑制胜必备一鼓作气两课时（90 分钟）学情分析陈**，男，初二上。对数学比较热爱，对于因式分解的各种方法掌握比较好，但是经常忽略因式分解的易错点；对于因式分解的综合应用掌握也不够扎实。应对措施本次课针对因式分解的各种方法来展开，教师除了要指导学生把握基础知识，还要有意识地引导学生观察、归纳，并能灵活地运用因式分解进行实际应用，最终培养学生掌握良好的学习方法，从而达到稳步提高成绩的目标。教学方法练习---归纳巩固拓展一提（公因式）二套（公式）三分组，细看几项不离谱，两项只用平方差，三项十字相乘法，阵法熟练不马虎，四项仔细看清楚，若有三个平方数（项），就用一三来分组，否则二二去分组，五项、六项更多项，二三、三三试分组，以上若都行不通，拆项、添项看清楚。1、理解因式分解的概念2、掌握因式分解的基本方法：提取公因式法、公式法等3、能对简单多项式进行因式分解，并结合实际来应用希尔伯特说：“当我听别人讲

知识点 因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式。它是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。 因式分解的方法，除了提取公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）之外，还有十字相乘法、分组分解法和求根公式法。 下面我们将对这些方法进行详细的介绍。 基本方法1.提取公因式法：如果一个多项式的各项都含有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 2.公式法： - 平方差公式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。用字母表示为$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。 - 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的2 倍。用字母表示为(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，(a-b)^2=a^2-2ab+b^2。 3.十字相乘法：对于形如$ax^2+bx+c$的二次三项式，如果二次项系数$a$可以分解成两个因数之积，即$a=a_1\ti 注意事项1.分解因式时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。 2.分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 课堂练习1.把下列各式分解因式： - $3x^2-6x+3$ - $2x^2-4xy+2y^2$ - $x^3-2x^2+x$ - $x^4-2x^3-35x^2$ 2.利用因式分解计算： - $2.136\times14.5+0.864\times14.5$ - $101\times99-99^2$ 课后作业1.教材课后练习题。 2.已知$a+b=5$，$ab=3$，求$a^3b+2a^2b^2+ab^3$的值。 总结 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零。在因式分解时，多项式的各项都必须有公因式，如果没有公因式，应通过适当的变形找出公因式，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式。有时，需要通过拆项或添项将多项式变形，然后再用提取公因式或运用公式法将多项式因式分解。 以上是一份因式分解的讲义，你可以根据实际情况进行调整和完善。

因式分解开心一笑制胜必备两课时（90 分钟）学情分析陈**，男，初二上。对数学比较热爱，对于因式分解的各种方法掌握比较好，但是经常忽略因式分解的易错点；对于因式分解的综合应用掌握也不够扎实。应对措施本次课针对因式分解的各种方法来展开，教师除了要指导学生把握基础知识，还要有意识地引导学生观察、归纳，并能灵活地运用因式分解进行实际应用，最终培养学生掌握良好的学习方法，从而达到稳步提高成绩的目标。教学方法练习---归纳巩固拓展一提（公因式）二套（公式）三分组，细看几项不离谱，两项只用平方差，三项十字相乘法，阵法熟练不马虎，四项仔细看清楚，若有三个平方数（项），就用一三来分组，否则二二去分组，五项、六项更多项，二三、三三试分组，以上若都行不通，拆项、添项看清楚。1、理解因式分解的概念2、掌握因式分解的基本方法：提取公因式法、公式法等3、能对简单多项式进行因式分解，并结合实际来应用一鼓作气战况分析扫除障碍希尔伯特说

定义把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解。 根据因式分解的定义可知：它与整式乘法是相反方向的变形，即互逆的运算。 提公因式法如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 公因式的构成：系数：各项系数的最大公约数；字母：各项含有的相同字母；指数：相同字母的最低次幂。 公式法1.平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)2.完全平方公式：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2，a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 十字相乘法十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 分组分解法分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习用分组分解法把多项式分解因式。能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。 拆添项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形。 求根公式法如果有f(a)=0，则多项式f(x)必定含有因式x-a。如果f(a)=0，m 为常数，则多项式f(x)可分解为(x-a)^m。反之，也成立。 根据上述定理来最低次多项式可以分解为系数和常数为因数的乘积。 图像法令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图像，函数图像与X 轴交点的横坐标即为该方程的实数根。 以上就是因式分解的一些基本方法，在实际运用中，需要根据具体的多项式形式选择合适的方法进行分解。

概述 定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。 意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。 分解因式与整式乘法互为逆变形。 因式分解的方法 因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。 注意三原则 1 分解要彻底 2 最后结果只有小括号 3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3+x=-x(3x-1)）基本方法1】提取公因式这种方法比较常规、简单，必须掌握。有时提公因式后再用公式法。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等例1：2-3x解：=x(2x-3)针对性练习：提公因式法1.用提取公因式法分解因式正确的是（）A.12abc9a2b2=3abc(43ab)B. 平方差公式：1.填空2.将下列各式因式分解(1)(2)(3)(4)(5)(6)二．完全平方公式：1、下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是()A、x2+xy+y2B、x22x1C、-x2-2x-1D、x2+4y22、多项式4a2+ma+25是完全平方式，那么m的值是()A.10B.20 C.20D.±203、x2+2xyy2的一个因式是xy，则另一个因式是_.4、若x2+2(a+4)x+25是完全平方式，则a的值是_.5．将下列更是进行因式分解(1)x2+6ax+9a2(2)(3)(4)2x3y216x2y+32x；(5)3ax2+6axy+3ay2;(6)(7)(8)6. 多项式乘以多项式的乘法公式:(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(1)x2-7x+12(2)x2+8x+12(3)x2+5xy-24y2(4)x4-5x2-36(5)(2x+y)2+6(2x+y)-27(6)(a2+a)2-8(a2+a)+12二．扩展1．不能用十字相乘法分解的是( (2).2y2+y-6(3)6x2-11xy+3y2(3)7（x-1）2+4（x-1）（y+2）-20（y+2）2(4)；4】分组分解法也是比较常规的方法。一般是把式子里的各个部分分开分解，再合起来，需要可持续性！对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解分组分解法。一、四项1.将x3-x2y-xy2+y3分组分解，下列的分组方法不恰当的是A．（x3-x2y）+（-xy2+y3）B．（x3-xy2）+（-x2y+y3）C．（x3+y3）+（-x2y-xy2）D．（x3-x2y-xy2）+y32.将下列各式因式分解(1)7x2-3y+xy-21x(2)(3)(4)1-x2+4xy-4y2

第二章分解因式【知识要点】1．分解因式（1）概念：把一个_化成几个_的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。（2）注意：分解因式的实质是一种恒等变形，但并非所有的整式都能因式分解。分解因式的结果中，每个因式必须是整式。分解因式要分解到不能再分解为止。 分解因式与整式乘法的关系整式乘法是_；所以，分解因式和整式乘法为_关系。 提公因式法分解因式（1）公因式：几个多项式_的因式。（2）步骤：先确定_，后_。（3）注意：当多项式的某项和公因式相同时，提公因式后该项变为1。当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提出“”号。 运用公式法分解因式（1）平方差公式：_（2）完全平方公式：_注：分解因式还有诸如十字相乘法、分组分解法等基本方法，做为补充讲解内容。【考点分析】考点一：利用提公因式法分解因式及其应用【例1】分解因式：32（1）4m16m26m（2）2x(yz)3(yz)（3）x(xy)(xy)x(xy)（4）(3a4b)(7a8b)(11a12b)(7a8b)2解析：（1）题先提一个“”号，再提公因式2m；（2）

环球雅思学科教师辅导教案授课主题因式分解教学目标1、使学生理解并掌握因式分解的概念2、能够熟练的运用提公因式法公式法、分组分解法、十字相乘法来解决常见的因式分解题授课日期及时段教学内容知识点一：因式分解的概念及注意事项因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它与整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要地位与作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。1.因式分解的对象是多项式；2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5.结果如有相同因式，应写成幂的形式；6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；第1 页因式分解知识点二：因式分解基本方法方法一·提公因式法1、提公因式法分解因式的一般形式，如:ma+mb+mc=m（a+b+c）.这里的字母a、b、c、m 可以是一个系数不为1 的、多字母的、幂指数大于1 的整式