内切圆外接圆与三角形各边都相切的圆概念经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆叫三角形的内切圆三角形名称内接三角形外切三角形圆心名称外心内心AO尺规作图BC三角形各内角角平分线的交点实质三角形各边垂直平分线的交点到三角形各边的距离相等性质到三角形各顶点的距离相等直角三角形外接圆、内切圆半径的求法r=a+bc2R=c2(c为斜边长)内、外心的位置锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角形斜边中点上。A钝角三角形外心在三角形外。三角形一定有内切圆，圆心定在三角形内部。I·I是ΔABC的外心：I是ΔABC的内心：BCBIC=2AAABIC=90°+A/2注意等边三角形的内心、外心重合。外接圆与内切圆

1 中考数学总复习专题圆的切线1、如图，PA、PB 是o 的切线，A、B 为切点，AC 是o 的直径，若P=46 °，则BAC=_.2、如图，PA、PB 是O 的切线，切点分别为A、B 两点，点C 在O 上，如果ACB70°，那么P 的度数是．3、如图，APB=300，圆心在边PB 上的O 半径为1cm，OP=3cm，若O 沿BP 方向移动，当O 与直线PA 相切时，圆心O 移动的距离为cm.4、如图（4）所示，直线CD 与线段AB 为直径的圆相切于点D ，并交BA 的延长线于点C ，且2AB，1AD，P 点在切线CD 上移动.当APB 的度数最大时，则ABP 的度数为（）A.15°B.30 °C.60 °D.90 °5、如图，AB 是O 的直径，C．D 是O 上一点，CDB=20 °，过点C 作O 的切线交AB 的延长线于点E，则E 等于（）A．40°B． 50°C．60°D． 70°6、如图，AB 是0 的弦，BC 与0 相切于点B，连接OA、OB ．若ABC=70 °，则A等于（）A．15°B．20°C．30°D．70°7、如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，AD 垂直于过点C 的切线，垂足为D．(1)求证：AC 平分BAD；(2)若AC2，CD2，求O 的直径．第6 题第4 题第5 题第1 题第2 题第3 题2 8、如图，已知直角梯形ABCD ，

空间几何体的外接球与内切球九大模型模型一墙角模型【方法总结】墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：a2b2c2 秒杀公式：R2a2b2c24【例题选讲】[例](1)已知三棱锥ABCD的四个顶点A，B，C，D都在球O的表面上，AC平面BCD，BCCD，且AC3，BC2，CD5，则球O的表面积为()A．12πB． 8π(2)若三棱锥SABC的三条侧棱两两垂直，且SA2，SBSC4，则该三棱锥的外接球半径为()． 36D．9(3)已知S，A，B，C，是球O表面上的点，SA平面ABC，ABBC，SAAB1，BC2，则球O的表面积等于()． π(4)在正三棱锥SABC中，M，N分别是棱SC，BC的中点，且AMMN，若侧棱SA23，则正三棱锥SABC外接球的表面积是_．第1页学科网（北京）股份有限公司(5)(2019全国)已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中

中考数学总复习圆内接四边形专项练习题例题1：如图，已知四边形ABCD 内接于O，OCAD，DAB=60°，ADC=106°.求OCB 及弧DC 的度数.练：如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，ABDC，BAD 的平分线交O 于点P，交DC 的延长线于点E，若BAD=86°，则PCE=°，ADC的度数为例题2，如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，弧AB=弧AD，BCD=120°，连接AC，DEAC 于点E，连接BE，若BED=150°，AC=3 7 ,求DE 的长.练：如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB=BD,BMAC 于点M，已知AC=11,CD=7,求CM 的长.例3.如图，在ABC 中，AB=AC,在ABC 的外侧作直线AP，点B 与点D 关于AP 轴对称，连接BD，CD，CD 与AP 交于点E.求证：1=2.练：如图，在ABC 内有一点D，使得DA=DB=DC,若DAB=20°，则ACB=°.例题2，如图，E 是正方形ABCD 的边AB 上的一点，过点E 作DE 的垂线交ABC 的外角平分线于点F.求证：EF=DE.练：如图，锐角ABC 中，BD，CE 是高线，DGCE 于点G，EFBD 于点F.求证：FGBC6.如图，已知ABC，C=90°，将ABC 绕点A 顺时针旋转x 度（α为锐角），得到ADE，连接BE，CD，延长CD 交BE 于点F.（1）用含有x 的代数式

中考数学备考知识点：圆中考数学备考知识点：圆圆概念:集合形式概念：1、圆可以看作是到定点距离等于定长点集合; 2、圆外部：可以看作是到定点距离不小于定长点集合; 3、圆内部：可以看作是到定点距离不不小于定长点集合轨迹形式概念：1、圆：到定点距离等于定长点轨迹就是以定点为圆心，定长为半径圆; (补充)2、垂直平分线：到线段两端距离相等点轨迹是这条线段垂直平分线(也叫中垂线); 3、角平分线：到角两边距离相等点轨迹是这个角平分线; 4、到直线距离相等点轨迹是：平行于这条直线且到这条直线距离等于定长两条直线; 5、到两条平行线距离相等点轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等一条直线。

圆的两个定义:1、圆的描述性定义：如图所示，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.其中固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.2、集合性定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的的图形（形成的轨迹）叫做圆. 利用圆的概念“找定点寻定长现圆形”题目：（2018西工大附中七模14）例1.如图1-3所示，在¨ABCD中，AB=6,BC=8,P为BC边上一动点.以直线AP为对称轴将ΔABP翻折得到ΔABP,当DB最小时，线段CP长为.1方法：找定点寻定长现圆形.在翻转中A点始终固定不变为定点，而翻转后AB的长也固定不变，所以AB为定长.则B的运动轨迹是以A为圆心AB为半径的圆，如图1-3-1所示，当点A、B、D在一条直线上时DB最小，最小值为DB.可计算得：DB的最小值为2 共点的三条线段为定长问题1、如图3-1所示，已知AB=AC=AD，CBD=2BDC,BAC=44o,则CAD的度数为.42、如图3-2所示，在四边形ABCD中，DC//AB,BC=1,AB=AC=AD=2,BD=.提示：如图3-2-1所示. 见直角找斜边（定长）想直径定外心显圆形知识联想：直径所对的圆周角等于90o；反过来90o的圆周角所对的弦是直径.故取斜边中点O为圆心，以OC长为半径作圆.直角顶点的运动轨迹是圆.例1：（2018西工大附中六模14）如图4-2，在边长为3的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，且AFEF,则AE的最小值.5对应练习：1.如图4-3，在等腰RtΔABC中，ACB=90o,AC=BC=4,点D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CHBD于点H，连接AH，则AH的最小值为. 定角定边模型构造圆问题：如图5-1所示，已知定线段AB，在平面上找到所有的点C，使ACB=60o.（请用尺规作图，保留痕迹）6作图方法：1、作AB的垂直平分线2、再作ABD=30o,连接AO.（其实质是作圆心角AOB=120o）3、以点O为圆心，以OA为半径画圆,除过A、B两点外圆上任意一点即为C点.即ACB=60o.例：（2018交大附中七模14）如图5-2,已知四边形ABCD中，AD=2,B=D=60o，对角线ACAD，则BD的最大值为.对应练习：1.如图,在四边形ABCD中，AB=BC,ABC=60o,ADC=75o,对角线BD=2,则四边形ABCD的面积的最小值为.（此题为旋转+定边定

中考数学复习指导例说辅助圆的作用　　　有些问题乍看与圆没有什么联系,解答时添加辅助圆却能使问题方便获解.　　一、辅助圆的切线与过切点的半径构成直角例1 （2０14年河南)已知在正方形ABCD中,CD2,若点P满足1PD,且BPD90,求点A到BP的距离。解　　QPD=１,BPD90，BP是以点D为圆心以１为半径的⊙D的切线,点P为切点，BPPD，2BD，RtBPDV中，2222213BPBDPD。　　作AMBP于M，则AM即为点A到BP的距离。　　　第一种情况:如图1，当BP与正方形的边AD的交点为N时。　　　　设ANx，BNy，则DN2x，PN3y.RtANBRtPNDQV:V，ANBNABPNDNPD。xy2132即yx，x226y232,解得在RtABNV中，ggABANxAMBNy2312,第二种情况:如图２，当BP与正方形的边CD的交点为N时.设BNx,CNy,则PN3x，DN2y,RtBCNRtDPNQV:V，BNCNBCDNPNPD．xy2123ﻬ即yx，x232y226解得，容易得到RtABMRtBNCV:VAM2AMABx2BCBN,即。312AM。二、已知角看作辅助圆直径所对的圆内

1.(2010 黑龙江省大庆市)如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上，那么的外接圆半径是．ACB答案：20100820083236562854 4.7 三角形、四边形的内切圆和外接圆填空题双基简单应用2010-08-202.(2010 甘肃省兰州市)小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．（1）（本小题满分4分）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹 2）（本小题满分2分）若ABC中米，米，，试求小明家圆形花坛的面积．ACB答案：（1）用尺规作出两边的垂直平分线2分作出圆3分即为所求做的花园的位置.（图略）4分（2）解：，米，米，米外接圆的半径为5米5分小明家圆形花坛的面积为平方米6分20100820082232062327 4.7 三角形、四边形的内切圆和外接圆复合题解决问题2010-08-203.(2010 四川省泸州市)如图，已知是边长为2的等边的内切圆，则的面积为_.答案：20100819170900484200 4.7 三角形、四边形的内切圆和外接圆填空题

三角形的内切圆和外接圆【基础知识】切线的判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。三角形的内切圆：和三角形三条边都相切的圆，叫三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫三角形的内心。三角形的外接圆：过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点的交点，叫做三角形的外心。【例题】1.如图，已知O中，AB是直径，过B点作O的切线BC，连结CO．若ADOC交O于D．求证：CD是O的切线．2.如图，在RtABC中，C=90°，AC=5，BC=12，O的半径为3．（1）当圆心O与C重合时，O与AB的位置关系怎样？ （2）若点O沿CA移动时，当OC为多少时，C与AB相切？3.已知：如图，ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若FDE=70°，求A的度数．1 4.如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（）A． 23 5.ABC中，ABAC5，BC6，求ABC的内切圆的半径长。6.任意ABC中内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F.求证：DEF是锐角

教学目标通过学习，学生进一步巩固“三角形内切圆与外接圆”相关知识，并学会应用这些知识解决数学问题。在解决问题过程中，让学生感受形成图形运动变化的思想，能用运动变化的观点看问题。 教学重点与难点重点：复习三角形内切圆与外接圆，并学会应用相关知识解决问题。难点：知识的综合运用。 教学过程设计（一）知识回顾：内切圆:_叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的_；三角形内切圆的圆心是三角形_的交点。外接圆:_叫三角形的外接圆, 外接圆的圆心叫做三角形的_；三角形外接圆的圆心是三角形_的交点。（二）牛刀小试1.如图，ABC 中，A=50°，点I 是ABC 的内心，点O 是ABC 的外心，请分别求出BIC、BOC 的度数.2.如图，Rt ABC 中， O 为ABC 的内切圆，切点分别为D、E、F，BC=4，CA=3 ，求ABC 的内切圆半径r 及外接圆半径R.

了解相切两圆的性质.2.会判别两圆外切或内切,会用两圆相切的断定、性质进展计算或证明.3.会用相切两圆的知识解相关的综合性问题.复习指点：回想以下知识点,会的直接写,不会的可翻书查找,边填边记,5分钟后,比谁能正确填写,并能运用它们解题.知识要点：1.当两个圆有独一公共点时，叫做两圆.这个独一的公共点叫做.当圆相切可分为.2.设两个圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么：dR-r；.两圆外切.3.相切两圆的必经过.检测练习：1.两圆相切,半径分别为4和9,那么两圆的圆心距为.2.O1与O2,连结O1、O2.假设O1O2=6, O2的半径为11,那么O1的半径为.3.假设O1、O2、O3两两外切,且半径分别为2cm、3cm和10cm，那么O1O2O3的外形是.4.两个半径为1的圆相外切，半径为2且和这两个圆都相切的圆共有个.CDO2O15.如图,知正方形ABCD的边长为4cm,两个等圆O1、O2外切, O1与AB、AD相切,O2与BC、DC相切,那么这两个的半径为.ABD6.如图,O1与O2外切于A,AB是O1的直径,BD切O2于D,交O1于C,连结AC、AD.求证:ABACCDBD=CO1O2BA7.如图,O1与O2外切于P,过P的直线分别交两圆于

.2011中考数学复习专题三角函数和圆考点1 三角形的边角关系主要考查：三种锐角三角函数的概念，特殊值计算，锐角函数之间的关系，解直角三角形及应用。1.如图所示，RtABCRtDEF，则cosE的值等于（）A． 2.如图，已知直角三角形ABC中，斜边AB的长为m，B=，则直角边BC的长是（）A． 3.王师傅在楼顶上的点A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为，又知水平距离BD=10m，楼高AB=24m，则树高CD为（）A． 9m4.如图是掌上电脑设计用电来测量某古城墙高度的示意图。点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知ABBD，CDBD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（）A．6米B．8米C．18米D．24米5.如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BCAD，迎水坡AB长13米，且BAE=，则河堤的高BE为米。如果，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，在A处东500米的B处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，则灯塔P到环海路的距离PC=米（用根号表示）。某大草