猜你喜欢
5.2万次浏览
1.0万人收藏
2025高中数学八大核心知识立体几何四类立体几何题型-新高考数学大题秒杀技巧（解析版）
2025高中数学八大核心知识立体几何四类立体几何题型-新高考数学大题秒杀技巧（解析版）
四类立体几何题型-高考数学大题秒杀技巧立体几何问题一般分为四类：类型1：线面平行问题类型2：线面垂直问题类型3：点面距离问题类型4：线面及面面夹角问题下面给大家对每一个类型进行秒杀处理.技巧：法向量的求算待定系数法：步骤如下：．设出平面的法向量为n=x,y,z．找出(求出)平面内的两个不共线的向量a=a1,b1,c1，b=a2,b2,c2根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组na=0nb=0解方程组，取其中的一个解，即得法向量．注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组na=0nb=0有无数多个解，只需给x,y,z中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量．秒杀：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃(求外用外减，求内用内减)是平面α内的两个不共线向量，则向量n=，b=x2,y2,z2向量a=x1,y1,z1是平面α的一个法向量.y1z2y2z1,x2z1x1z2,x1y2x2y1特别注意：空间点不容易表示出来时直接设空间点的坐标，然后利用距离列三个方程求解.类型1：线面平行问题方法
立体几何大题专题(基础)
练习1:如图:四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E为侧棱PD的中点,证明:PB//平面EACP 练习2：如图：三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}1，M为AB的中点，证明：BC_{1} \ |平面A_{1}CMA 14B 练习3:如图:三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}M为BC的中点,证明:A_{1}C//平面AB_{1}MA 练习4:如图:四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E、F分别为PA、BC的中点,证明:EF//平面PCDD 练习5:如图:三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}、N分别为AC、B_{1}C_{1}的中点,证明:MN//平面ABB_{1}A_{1}B G1练习6:如图:四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,M、N分别为PC、AD的中点,证明:MN//平面PAB10C 练习7:如图:三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中,M为CC_{1}的中点,N为AB的中点,证明:CN//平面AB_{1}MA B.练习8：如图：四棱锥P-ABCD中，PA \perp平面ABCD，底面ABCD是梯形，AD \ |BC,\angle BAD=90^{\circ},AD=2AB=2BC,PA= \sqrt {2}AB,E为PC的中点,证明:AE \perp DEP 练习9:如图:直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\angle ACB=90^{\circ},AA_{1}=2A_{1}C_{1},F分别为CC_{1}、BB_{1}的中点，Q为AE的中点，证明：C_{1}Q \bot FQC 10.B 练习10:如图:四棱锥P-ABCD中，PA \perp平面ABCD，AB \perp AD,PA=AB=BC,\angle ABC
高考专题：立体几何大题
高考专题：立体几何大题
基本平行、垂直1、如图，在四棱台ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}D_{1}D \bot平面ABCD,底面ABCD是平行四边形，AB=2AD,AD=A_{1}B_{1}, \angle BAD=60^{\circ}.D_{1}C_{1}A_{1}B_{1}PB()证明：AA_{1} \bot BD;()证明：CC_{1} \ |/平面A_{1}BD.2、如图，在直四棱柱ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中,底面ABCD为等腰梯形,AB \ |CD,AB=4,BC=CD=2,AA_{1}=2,E,E_{1}分别是棱AD、AA_{1}的中点.D1A_{1}B_{1}E1D.EAFB(1)设F是棱AB的中点,证明:直线EE_{1} \ |一面FCC_{1};(2)证明:平面D_{1}AC \bot平面BB_{1}C_{1}C.3、如图所示，在棱锥P-ABCD中，PA \perp平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,且AB \ |CD, \angle BAD=90^{\circ},PA=AD=DC=2,AB=4.P()求证:BC \perp PC;()若F为PB的中点,求证:CF//平面PAD.PF^{*}A.BDC4、如图:在正方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中,M、N、P分别为所在边的中点,O为面对角线A_{1}C_{1}的中点.(1)求证：面MNP \ |面A_{1}C_{1}B;A_{1}D_{1}^{^{\circ}}B_{1}C_{1}\mid MP.AD1BC(2)求证：MO \perp面A_{1}C_{1}.B体积：1、在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA \perp平面ABCD,PD \ |MA,E、GF分别为MB、1.0PB、PC的中点,且AD=PD=2MA.(I)求证:平面EFG \perp平面PDC;1.0FGMDCE74()求三棱锥
2024年高考数学最后冲刺训练《五大类立体几何题型》含答案解析
专题03五大类立体几何题型-2024年高考数学大题秒杀技巧及专项训练（解析版）c高考大题题型归纳【题型1线面平行问题（刻度尺平移大法 题型2线面垂直问题（勾股定理妙解 题型3点面距离（体积求算）问题】【题型4线面夹角问题（两大法 题型5面面夹角问题（两大法）】基础工具：法向量的求算待定系数法：步骤如下：设出平面的法向量为）=（x,y,z）.找出（求出）平面内的两个不共线的向量a =（ai，A，q）, b =（a2,Z>2,c2）.根据法向量的定义建立关于n - a = Qx,y,z的方程组1 一1n - b = Q解方程组，取其中的一个解，即得法向量.注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组1 r 有无数多个解，只需给元b = 0x,y,z中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量.秒杀大法：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃（求外用外减，求内用内减）向量。=（占,%，4）, B=（X2，y2，Z2）是平面a内的两个不共线向量，则向量n = - J2ZI，X2ZI -X1Z2,X1J2 -》2%）是平面a
高中立体几何测试题及答案(理科)
立体几何测试题1.如图,直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点，且BF \perp平面ACE.DC2AE()求证AE \perp平面BCE;()求二面角B-AC-E的大小的余弦值;2.已知直四棱柱ABCD一A; 的底面是菱形,且\angle DAB=60^{\circ},AD=AA_{1},F为棱BB的中点,M为线段AC的中点.DDC_{1}BA_{1}MFC4(1)求证:直线MF \ |平面ABCD;(2)求证:平面AFC_{1} \bot平面ACC_{1}A_{1};(3)求平面AFC,与平面ABCD所成二面角的大小.3.(2006年四川高考理科19题)如图，在长方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}分别是BC,A_{1}D_{1}的中点，M，N分别是AE,CD_{1}的中点，AD=AA_{1}=a,AB=2a()求证：MN//面ADD_{1}A_{1};D_{1}C_{1}PA_{1}NB_{1}DCM_{2}EAB()求二面角P-AE-D的大小。4.如图，PCBM是直角梯形，PCB=90^{\circ},PM \ |BC,PM=1,BC=2,又AC=1, \angle ACB=120^{\circ},AB \bot PC,直线AM与直线PC所成的角为60^{\circ}.()求证:平面PACL平面ABC;PMCC.A()求二面角M-AC-B的大小；5、在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA \perp平面ABCD,点E在线段PC上,PC工平面BDE.(1)证明:BD \perp平面PAC；(2)若PH=1,AD=2,求二面角B-PC-A的正切值; A.DBC6、如图，直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}AC=BC=
专题03 五大类立体几何题型-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（新高考新题型专用）含答案
专题03五大类立体几何题型-2024年高考数学大题秒杀技巧及专项训练(解析版)高考大题题型归纳【题型1线面平行问题（刻度尺平移大法 题型2线面垂直问题(勾股定理妙解 题型3点面距离(体积求算)问题】【题型4线面夹角问题(两大法 题型5面面夹角问题（两大法）】秒杀秘籍基础工具：法向量的求算待定系数法:步骤如下:设出平面的法向量为\overrightarrow {n}=(x,y,z).找出(求出)平面内的两个不共线的向量\overrightarrow {a}=(a_{1},b_{1},c_{1}), \overrightarrow {b}=(a_{2},b_{2},c_{2}).根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组\cases { \overrightarrow {n} \cdot \overrightarrow {a}=0 \cr \overrightarrow {n} \cdot \overrightarrow {b}=0}解方程组,取其中的一个解,即得法向量.注意:在利用上述步骤求解平面的法向量时,方程组\cases { \overrightarrow {n} \cdot \overrightarrow {a}=0 \cr \overrightarrow {n} \cdot \overrightarrow {b}=0}有无数多个解,只需给。z中的一个变量赋于一个值,即可确定平面的一个法向量;赋的值不同,所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量.秒杀大法:口诀:求谁不
立体几何题型归类总结
立体几何题型归类总结
立体几何专题复习一、【知识总结】基本图形1．棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。四棱柱底面为平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面直平行六面体底面为矩形长方体底面为正方形正四棱柱侧棱与底面边长相等正方体2.棱锥棱锥有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。正棱锥-如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。球球的性质：球心与截面圆心的连线垂直于截面；（其中，球心到截面的距离为d、球的半径为R、截面的半径为r)球与多面体的组合体：球与正四面体,球与长方体，球与正方体等的内接与外切。注：球的有关问题转化为圆的问题解决.球面积、体积公式：（其中R为球的半径）平行垂直基础知识网络平行与垂直关系可互相转化平行关系垂直关系平面几何知识平面几何知识1.2.3.4.5.线线平行线
高中立体几何基础知识点全集(图文并茂)
高中立体几何基础知识点全集(图文并茂)
直线和平面的三种位置关系：mml//1.线面平行αll方法二：用面面平行实现。α符号表示：l//βl//l2.线面相交α方法三：用平面法向量实现。lAαnl若n为平面的一个法向符号表示：量，nl且l,则3.线在面内αl//。lα3.面面平行：符号表示：二．平行关系：方法一：用线线平行实现。1.线线平行：l//l'lβmm//m'方法一：用线面平行实现。l,m且相交//l'll//αm'l',m'且相交ll//m方法二：用线面平行实现。mml//lβmm////方法二：用面面平行实现。l,m且相交l//αβll//mγ三．垂直关系：αmm1.线面垂直：方法三：用线面垂直实现。方法一：用线线垂直实现。若l,m，则l//m。lAC方法四：用向量方法：llABACABAl若向量l和向量m共线且l、m不重合，则l//m。αACBAC,AB1方法二：用面面垂直实现。步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)余弦定理：aβlml222cθcosabcmlm,lb2abα(计算结果可能是其补角)2.面面垂直：方法二：向量法。转化为向量的夹角方法一：用线面垂直实现。C(计算结果可能是其补角)：θcosABACβlllABABACα(二)线面角方法二：计算所成二面角为
高考数学立体几何大题15种题型全归纳
【答案】（1）证明见解析（2 1）在正方体中取中点G 连接FG 如图而F是CD的中点则又E是的中点则因此四边形是平行四边形有而平面平面平面.【经验总结】基本规律1.利用平移法做出平行四边形2.利用中位线做出平行四边形【变式演练】1.如图所示在四棱锥P-ABCD中PC底面ABCD E是PB的中点.（1）求证：平面PAD（2）若求三棱锥P-ACE的体积.【答案】（1）证明见解析（2）第1 页共57 页【分析】（1）取PA的中点F 连接EF DF 利用平行四边形证明再由线面平行的判定定理即可得证（2）根据等体积法知即可由棱锥体积公式求解.（1）取PA的中点F 连接EF DF 点E F分别为PB PA的中点又四边形EFDC是平行四边形又平面PAD 平面PAD平面PAD 2.如图在四棱锥中面且为的中点．（1）求证：平面（2）求平面与平面所成二面角的余弦值（3）在线段上是否存在一点使得直线与平面所成角的正弦值是若存在求出的值若不存在说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在（1）证明：取CP中点F 连接NF BF因为F N分为PC PD的中点则且又且所以四边形N
专题立体几何高考数学(理)热点题型
空间点、线、面的位置关系及空间角的计算空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明，一般出现在解答题的第(1)问，解答题的第(2)问常考查求空间角，一般都可以建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求解.【例1】(满分12分)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90°，E是PD的中点.(1)证明：直线CE平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角MABD的余弦值.教材探源本题源于教材选修21P109例4，在例4的基础上进行了改造，删去了例4的第(2)问，引入线面角的求解.四边形BCEF是平行四边形，CEBF，3分(得分点2)又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE平面PAB.4分(得分点3)(2)解由已知得BAAD，以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，|AB|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，1 PC(1，0 AB(1，0，0 即(x1)2y2z20.又M在棱PC上，设PMλPC，则xλ，y1，zλ.由，解得(舍去)，所以M，从而AM.8分(得分点5)设m(x0，y0，z0)是平面
专题03 五大类立体几何题型-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（新高考新题型专用）含解析
专题03 五大类立体几何题型-2024年高考数学大题秒杀技巧及专项训练（解析版）【题型1 线面平行问题（刻度尺平移大法 题型2 线面垂直问题（勾股定理妙解 题型3 点面距离（体积求算）问题】【题型4 线面夹角问题（两大法 题型5 面面夹角问题（两大法）】基础工具：法向量的求算待定系数法：步骤如下：设出平面的法向量为zxyn 找出(求出)平面内的两个不共线的向量111,,aabc，222,,babc．根据法向量的定义建立关于xyz,,的方程组anbn00解方程组，取其中的一个解，即得法向量．注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组有无数多个解，只需给anbn00xyz,,中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量．秒杀大法：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃（求外用外减，求内用内减）是平面a内的两个不共线向量，则向量向量111a=x,y,z，222b=x,y,z122121212112,,xyxyxzyzxzyzn是平面a的一个法向量.特别注意：空间点不容易表示出来时直接设空间点的坐标，
高中数学重难点突破：立体几何题型汇编2
空间几何体的结构及其三视图与直观图1.空间几何体的结构(1)多面体几何体结构特征备注按侧棱与底面是否垂直分类，可分为斜底面互相平行.棱柱和直棱柱.侧棱与底面不垂直的棱侧面都是平行四边形棱柱柱叫做斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱每相邻两个平行四边形的公共边互叫做直棱柱.特别地，底面是正多边形的相平行.直棱柱叫做正棱柱.底面是多边形.三棱锥的所有面都是三角形，所以四个侧面都是三角形.棱锥面都可以看作底.三棱锥又称为四面体.侧面有一个公共顶点.上、下底面互相平行，且是相似图形.可用一个平行于棱锥底面的平面去截棱各侧棱的延长线交于一点.棱台锥各侧面为梯形.（2）旋转体几何体结构特征备注圆柱有两个大小相同的底面，这两个面互相平行，且底面是圆面而不是圆. 空间点、直线、平面之间的位置关系1.平面的基本性质名称图形文字语言符号语言如果一条直线上的两点在同一个平Ac /, Bw 1,且Awa, Be内，那么这条直线在这个平面内a=/ua公理1/*/面A, B,。三点不共线=有且只过不在同一条直线上的三点，有且有一个平面a，使Awa, Be只有一个平面a, Ce a公理2/二/推经过一条直线和直线外的一点，有若点4e直线m贝1A和a确论且只有一个平面定一个平面a公1/二/理推经过两条相交直线，有且只有一个a Z?厨0 ,则ZA 03= NA'O 域ZAOB+ZA'03' = 18()°.3.空间两直线位置关系的分类空间中两条直线的位置关系有以下两种分 直线、平面平行的判定及其性质1.直线与平面平行的判定定理文字语言平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行n线面平行a/b /图形语言林O、工-5付万语吕ata, bua, iL a//b^a//a作用证明直线与平面平行2.直线与平面平行的性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该文字语言直线平行.简记为：线面平行=线线平行图形语言rzyAZZV符号语言a”a,auB，a J3 = b=> a// b作用作为证明线线平行的依据.作为画一条直线与已知直线平行的依据.3.平面与平面平行的判定定理文字语言一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 直线、平面垂直的判定及其性质1.直线与平面垂直的定义如果直线/与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线/与平面a互相垂直.记作：/_La.图形表示如下：易错梳理定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语.2.直线与平面垂直的判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.简记为：线线垂直=线面垂直图形语言上符号语言/_L。，l±b, aua, bua, a b = P =>l-La作用判断直线与平面垂直易错梳理在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交直线垂直，而不是任意的两条直线. 叵72MH = AH = \ Ja,BH = Ja,2 2由余弦定理求得NH = a。所以MN = ylMH2+NH22J(1+0^a)2 = Ja，-垃a+1 = J(a--^)2+^(0 <a< V2)V2 五当a =时，MN =，即M、N分别移到AC、BF的中点时,2 2MN的值最小，最小值为变2变式12：如图，A8是圆。的直径，点C是圆0上异于A8的点，PO垂直于圆0所在的平面，且PO = OB = 1.若8C =正，点E在线段依上，求CE+OE的最小值.【解法一】在APOB中，PO = OB = 1, ZPOB = 90 ,所以PB = JF+F =痣同理PC = J^,所以PB = PC = BC. Jl+3+(>/5 一@xl J(_@2+40 < 2 <上 当2 = 0时，cos。有最小值也^,7点M与点尸重合时，平面朋A6与平面尸C5所成二面角最大，此时二面角余弦值为五变式22：如图，在棱长为2的正方体ABC。一ABCQI中，E, F, M, N分别是棱AB, AD, A4 , 4。的中点，点P,。分别在棱。 、上移动，且DP=BQ^A(0<A<2).(I)当；1 = 1时，证明：直线BCJ/平面EFPQ：(2)是否存在X,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出4的值；若不存在，说明理由.【解析】以。为原点，射线QA, DC ,分别为x, y, z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系。 所以，线段4,的长为一或 5 2 5 2角度5：利用空间向量解决探索性问题例题23：如图，在棱长为2的正方体ABC。中，旦N分别是棱A3,AQ,4综AQ 的中点，点PQ 分别在棱84上移动，且0P = BQ = 4(0 < 九< 2).(1)当4 = 1时，证明：直线8G 平面EFPQ；(2)是否存在4 ,使平面EbPQ与面尸QMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出4的值；若不存在，说明理由.【解析】以。为原点，射线。A,DC,£>3分别为x,y,z轴的正半轴建立如图3的空间直角坐标系。一孙z ,由已知得B(2,2,0)，G(0,2,2),/(l,0,0),P(0,0,/l),所以斯=(2,0,2),丽=(一1,0,
高中数学考前归纳总结立体几何常见题型与解法试题
立体几何常见题型与解法一、求空间角问题1．异面直线所成的角设异面直线满足对应的锐角或直12,mm。则1,2ll的方向向量分别为1l与2l所成的角。角即为直线a(AB)与b(CD)所成的角。cos12cos,mm2．线面所成的角设直线l的方向向量与平面的法向量分别为,mn，则直线l的nPn。A方向向量与平面所成角满足sincos,mnO3．二面角的求法,二面角，平面的法向量，平面的法向量。二面角的大小为若将法向量的起点放在两个半平面上(不要选择起点在棱上)，当两个法向量的方向都向二面角内或外时，则为二面角的平面角的补角；即：coscos,mn当两个法向量的方向一个向二面角内，另一个向外时，则为二面角的平面角。即：coscos,mnmm图（1）nn图（2）例1：在棱长为的正方体中，分别是的中点，（1）求直线所成角的余弦值；（2）求直线与平面所成角的余弦值；（3）求平面与平面所成角的余弦值；解：（1）如图建立坐标系，则zF'A，'D'B'CyGADEBCx故所成角的余弦值为。（2）所以在平面内的射影在的平分线上，又为菱形，为的平分线，故
下载夸克，免费领特权
下载
2025高中数学八大核心知识立体几何四类立体几何题型-新高考数学大题秒杀技巧（解析版）
PDF10.8M 69页
复制