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三角函数与导数综合问题的解题策略探究
三角函数与导数综合问题的解题策略探究
方法与技巧三角函数与导数综合问题的解题策略探究李 波(四川省绵阳市教育科学研究所) ２０２３年全国甲卷文科(或理科)第２１题是一道与已知函数y＝f(x)在x＝m处有定义,如果三角函数有关的导数综合问题,突出考查核心素养和对x＝m左、右两侧附近所有的x都有综合能力．从考生的作答情况来看,答题质量较差,得f(m)＞f(x)(或f(m)＜f(x)),则称y＝f(x)在分较低,解答过程中主要存在以下问题:一是运算量x＝m处取得极大值(或极小值);极大值和极小值统大,涉及复合函数求导,求导较为困难;二是解题方法称为极值．由极值的定义知,可导函数y＝f(x)在x＝反套路,常规解法(分离参数法)给人以“亲而不近”之０取得极小值,一方面要说明f′(０)＝０,另一方面也感;三是考生对三角函数与导数综合问题产生畏惧要说明函数y＝f(x)在x＝０处左、右两侧导函数异号．感,因为平常备考与测试多以研究指数与对数函数的综合问题为主．为突破这一难点,笔者进行了专题研２ 区间分段,各个击破究,现整理成文供大家参考．２,例
导数在三角函数问题中的运用
2010 年第 4 期 中学 数学 月刊 · 37 · 导 数 在 三 角 函 数 问 题中 的 运 J TI 周建志 ( 浙江省宁波市鄞州高级 中学 315194) 导 数应 用十分 广泛 ，利 用 它可 以解 决 求 函数 的单 调 区间 、极值 、最值 、切 线 的方程 等 问题 ．而运 用导 数解 三角 函数题 目，不 仅方 法新 颖 ，而 且简单 易懂 ，便于 掌握 ，本文结 合 近几年 的高 考和 竞赛题 例谈 导数在 三 角 函数 中 的运用 ，供大 家参 考． 1 求三 角 函数的 单调 区间 例1 函数y —sin吾+ COS吾在(一2丌，2 7c) 内的递 增 区间是 ． ( 2008 年 上海 高考题 ) 解 1 c。s号一专sin号，令 > o，即 专c。s号一专sin号> o，即c。s号> sin号， 所以 ·一要7【+ 4k 7c< -z< 詈+ 4忌丌(是E z)． 厶 厶 ． 因 z E (一2 7c，27【) ，故妻 E (一7c，7【) ， 所以 函数y —sin吾~ cos吾在(一27c，2丌) 内的递增区间是f一号 ，号)． 2 证 明三 角公式 与恒 等式 例 2 求 证 ： ( 1) sin d +COS a一1； (2)sin(号一a)一c。s a；(3)1+ 2COS20一c。s20— 2 ． 证 明 ( 1) 构造 函数 厂( ) = sin 口+ COS 一 1，贝0 f (z ) 一 2si
导数法在解三角函数问题中的应用
2012 年 第 11 期 中学数 学月 刊 · 57 · 导数 法在解 三角 函数 问题 中的应用 邵琼(福建省晋江市第二 中学 362212) 三 角 函数是 一类 特殊 的初 等 函数 ，导 数 是研 究 函数 的强大 工具 ，利用 导数 法求 解 三角题 ，思 维 清楚 ，过程 简 洁． 1 用 导数 判断 三角 函数 的单调 性 例 1( 2008 年 浙 江 卷) 若 COS a + 2sin 口一 一√5 ，则 tan a ===( ) ． ( A) 寺 ( B) 2 (c ) 一寺 (D) 一2 分 析 设 Y = COS a+ 2sin 口，因为 Y i 一 _ √5 的必要 条件 是 Y 一- sin a+ 2cos 口一0 ，所 以 tan 口 一2 ． 点评 导数法是求极值的常用方法 ，但此题 的最值较隐蔽．上述解法是对导数、极值等知识的 融 会贯 通． 例 2(2007 年 全 国卷 I ) 函数 厂(z ) = COS z 一2cos 的一 个 单调递 增 区 间是 ( )． cA (号，擎) cB (詈，号) (c)(o，号) (D)(一詈，詈) 分 析 统一角 后 ，L厂(z ) 一cos z —COS 一 1， 这 是 由二次 函数 Y 一 一 一 1 及 U ===COS z 复合 而成 的 函数 ，此 时 需 找 出 使两 函数 同增 或 同减 的 区 间 ，可用 导数 法求 解． ( z ) 一 s in z ( 1 — 2c os
以三角函数为载体的导数问题求解策略
策略中图分类号G633.6文献标识码A文章编号1674-6058（2021）08-0013-03基金项目本文系2019 年度福建省基础教育课程教学研究课题“核心素养导向下高中数学阅读教学模式的研究”（课题编号：MJYKT2019-106）的研究成果.2019 年高考全国卷理科第20 题和文科第20题均考查以三角函数为载体的导数问题，让人眼前一亮.这类函数表达式中含有三角函数，无论怎么求导，仍含有三角函数，构成解题中的难点.破解这类函数与导数问题，除了使用求解导数问题的常规方法外，还可充分结合三角函数的性质.笔者通过研究近年高考及模拟考试中与三角函数有关的导数题，探究这种“三角味”的解题策略，以期抛砖引玉.一、逐个区间分析解决零点问题例1（2019 年高考全国卷·理20）已知函数f(x)= sin x - ln(1+x)，f(x)为f(x)的导数.证明：（1）f(x)在区间()-1, π2 存在唯一极大值点；（2）f(x)有且仅有2个零点.解析：（1）略.（2）f()x = cos x -11+x，由（1）知f()x 在()-1, π2有唯一极大值点α 当x (-1,0 ] 时，f(x)在(-1,0)单调递增，而f(0)= 0，所以当
三角函数中的解题思路和方法
第 l 8 卷 第 3 期 泰 山 乡镇 企 业职 工 大 学 学 报 VOL．18 NO．3 201】年 9 月 J OURNAL OF TAISHAN TOWNSHIP ENTERPRISE WORK ERS ’UNIVERSITY Sep．201 1 三角 函数 中的解题 思路 和 方法 刘 继 勇 ( 泰 安 第一 中学 ，山 东 泰安27i 000) 三 角部 分 主要 涉 及 到 高 中数 学 新 课 程 必修 4 的第 一 章 、第三章和必修 5 的第 一章，在这一部分 主要 的方 法是 三看 分析法 即 ：“看角”、“看 函数 名称”、“看次数”，注意 了 这 三看就 能找 到解题 的突 破 口。现 就 这一 部 分归 纳如 下 ： 一、 从 角 度 入 手 例 l 已 知 5sinB= sin( 2 + p) ，求 证 ： 一 旦 2 。 分 析 ：从 角 度 人 手 观 察 出 条 件 与 结 论 中 的差 别 。结 论 中 有 a+ B 和 a ．为此 ，需 要 把 条 件 中 的 角 用 + p 与 a 来 表 达 。 证明 ：由 5sinl3= sin(2 + p) 得 5sin[ ( d+ p) ～a] = sin~(a+ G) + a] 展 开即可得 到证 明 ，本题也 体现 了 a+ p 与 a 分 离 。 本例题体现 出：用结 论中 的角去表 达条件 中的 角达 到角度的统一这一角变换的思想 。当然也用到 了弦切互 化
一道三角函数与导数结合的试题解法初探
关键词:导函数ꎻ三角函数ꎻ切线放缩ꎻ必要性探路中图分类号: 文献标识码: 文章编号:() 题目(泉州市届高中毕业班质量监测表达式ꎬ使用常规方法处理后续问题变得困难.本题主要考查学生对函数的隐零点的掌握以及根据切线五第题)已知函数()(>).放缩、端点效应等方式来解决问题的能力ꎻ对学生的()证明:()在区间ꎬπæèçöø÷内有唯一零点ꎬ抽象概括、推理论证、运算求解等核心素养能力要求且()ꎻ较高ꎻ考查函数与方程、化归与转化、分类与整合、数形结合等数学思想ꎻ体现综合性、应用性与创新性.()当π时ꎬ()πæèçöø÷ꎬ求实数的取值范围.试题解析解法()()(>).试题分析当<<π本题是一道导数与三角函数、指数函数结合的时ꎬ>ꎬ>ꎬ综合性问题ꎬ第()问是利用导数方法证明不等式所以()>ꎬ此时()单调递增.恒成立ꎬ考查在三角函数背景下运用导数判断函数又()<<ꎬ的单调性、求函数的最值、零点存在定理等知识ꎻ第πæèçöø÷π>ꎬ()问是以三角函数和指数函数交汇作为研究的主体ꎬ打破了常规ꎬ考虑直接
略谈三角函数问题的解题方法
河北焦景会三角函数问题的题型主要有三角函数的化简、求值、证明.解法诸多, 如切化弦、升降幂、常数与三角函数互化、公式的正用、逆用、变用等.解题要点有变角、变名、变式.一、三角函数的化简例1化简2 \sin ^{2} \theta \sin ^{2} \varphi+2 \cos ^{2} \theta \cos ^{2} \varphi - \cos 2 \theta \cos 2 \varphi.分析:本题中出现的角的形式多,应从变角入手.\overrightarrow {z} \sin ^{2} \theta+2 \cos ^{2} \theta \cos ^{2} \varphi -(2 \cos ^{2} \theta -1)(2 \cos ^{2} \theta -1)2 \sin ^{2} \theta \sin ^{2} \varphi+2 \cos ^{2} \theta \cos ^{2} \varphi -4 \cos ^{2} \theta \cos ^{2} \varphi+2 \cos ^{2} \theta+2 \cos ^{2} \varphi -1 =2 \sin ^{2} \theta \sin ^{2} \varphi -2 \cos ^{2} \theta \cos ^{2} \varphi+2 \cos ^{2} \theta+2 \cos ^{2} \theta -1 =2 \sin ^{2} \theta \sin ^{2} \varphi -2(1- \sin ^{2} \theta)(1- \sin ^{2} \theta)+2 \cos ^{2} \theta+2 \cos ^{2} \varphi -1=1.点评:三角函数的化简首先要统一角及统一函数名,再通过观察,利用切化弦、降幂、逆用公式等手段将其化简.二、三角函数的求值1.给角求值例2求\sin ^{2}10^{\circ}+\cos ^{2}70+\sqrt {3} \sin 10
【高考数学】含有三角函数的导数大题
含有三角函数的导数题目二．解答题（共10小题）1．（2020•开封一模）已知函数f（x）＝a•ex+sinx，a∈R，e为自然对数的底数．﹣（1）当a＝1时，证明：∀x∈（﹣∞，0]，f（x）≥1；（2）若函数f（x）在（0，）上存在两个极值点，求实数a的取值范围．2．（2019秋•汕头校级期末）已知函数f（x）＝xcosx﹣2sinx+1，g（x）＝x2eax（a∈R）．（1）证明：f（x）的导函数f'（x）在区间（0，π）上存在唯一零点；（2）若对任意x1∈[0，2]，均存在x2∈[0，π]，使得g（x1）≤f（x2），求实数a的取值范围．注：复合函数y＝eax的导函数y'＝aeax．3．（2020•开封一模）已知函数，a∈R，e为自然对数的底数．（1）当a＝1时，证明：∀x∈（﹣∞，0]，f（x）≥1；（2）若函数f（x）在上存在两个极值点，求实数a的取值范围．4．（2020•遂宁模拟）已知函数（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若函数g（x）＝a（lnx﹣x）+f（x）﹣exsinx﹣1有两个极值点x1，x2（x1≠x2）．且不等式g（x1）+g（x2）＜λ（x1+x2）恒成立
三角函数问题解题方法浅谈
一、三角函数式的化简例1、化简2 \sin ^{2} \theta \sin ^{2} \varphi+2 \cos ^{2} \theta \cos ^{2} \varphi - \cos 2 \theta \cos 2 \varphi分析本题中出现的角的形式多,故应先变角。解：原则=2 \sin ^{2} \theta \sin ^{2} \varphi+2 \cos ^{2} \theta \cos ^{2} \varphi -(2 \cos ^{2} \theta -1)(2 \cos ^{2} \varphi -1)=2 \sin ^{2} \theta \sin ^{2} \theta二、三角函数的求值。1、给角求值。利用和、差公式变形,使其出现特殊角,若非特殊角,则可能出现正负抵消或约分的情况,从而求出其值。例2、求\sin ^{2}10^{\circ}+\cos ^{2}70^{\circ}+\sqrt {3} \sin 10^{\circ} \cos /v^{\circ}的值[分析]式中两个角存在关系70^{\circ}-10^{\circ}- \omega ^{\circ}可从“角度”入手。解：原式= \sin ^{2}10^{\circ}+\cos(w^{^{\circ}}+10^{\circ})+\sqrt {3} \sin 10^{\circ} \cos(w^{^三、三角恒等式的证明三角恒等式的证明可分为条件恒等式和绝对恒等式,它的证明方法灵活多变。常用思路有:(1)根据式子特征,化繁为简、左右归一,使等式两边化异为同。(2)条件恒等式,注意观察已知条件与求证的等式间的关系,选择适当途径。常用方法有:代入法、消元法、分析法、综合法等。例6、已知\alpha , \beta \in(0, \frac { \pi }{2}),3 \sin ^{2} \alpha+2 \sin ^{2} \beta =1,3 \sin 2 \alpha -2 \sin 2 \beta =0,求证：\alpha+2 \beta = \frac { \pi }{2}[分析]证明:“角+角=角”,一般转化为证明相应的三角函数值。
巧用导数处理三角函数问题
导数的应用十分广泛，可以说它是处理函数问题的一件“利器”.而在三角函数知识章节有些问题，如能适时运用导数这一工具，将会收到非常好的效果.不仅三角函数的处理角度让人耳目一新，而且处理方法简单便捷，特别是选填小题，学生容易掌握例1(单调区间）函数/(*)= 2 Sin(| - 2*)的单调增区间是_ 处理星球运动应注意的三个问题1注意把星球的运动看成匀速圆周运动把星球的运动看成匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则有= ^，=例1人造地球卫星由于受到大气的阻错解：由2A；7T- y $ y - 2 ^ 2 A；7r+y(AeZ)，解得所求函数的增区间为[-h- -如+普]加z.通过验证可以发现答案是错误的，而且正好是所求函数的减区间巧解：/ *)=-2.2 cos(号-2*)=- 4 C0S(2*-|).由/ »0 ,得所求增区间为[kir+^ - M+^lk^ Z.例2(参数范围）若/(%)= cos 2*+a CS(f+*)在区间(晋，f)上是增函数，则实数a 的取值范围是 A.[-2,+)B.(-2,+)C.(~°°, -4)D.(-00, -4]M:S /(x)=cos 2 x - a s i n x =-2 sin2x- a sinac+1 ，换兀令* = sin;«，t e(^, 1)，利用二次函数y = -2f2- at+1 的单调性可以正确作
三角函数中求解ω常见问题及解题策略
彭科(广东省东莞市东莞中学松山湖学校)作为高考中的必考问题,每年试卷中都会出现一因为f(x)在(π,π)上单调,所以些与三角函数相关的题目．在三角函数yìAsin(ωxφ)(A,ω)中,ω的变化会引起函数ïïïωkπππ,í图像、单调性、周期等一系列性质的变化,因此求ω的(kZ),ïï取值成为考试中常见的问题．为帮助学生全面认识相îω(k)πππ关问题,本文总结常见的题型及解题策略．因为ω为奇数, 单调性问题所以ω 则ω最大值为,故选B．三角函数yAsin(ωxφ)(A,ω)可以视零点问题为由函数yAsinu与uωxφ复合而成．因为函零点问题往往需要学生结合函数的图像进行解数uωxφ(ω)单调递增,所以欲求yAsin(ωxφ)(A,ω)的单调递增区间,只需求答．在实际解题中,学生应将零点问题与函数同x轴yAsinu(A)的单调递增区间．由的交点坐标进行联系,然后进行计算求解．需要注意的是,学生应注意图像平衡位置的变化,当函数图像的kππωxφkππ(kZ),对称点不在x轴上时,相邻两零点的距离便不为T可得kπ．设函数f(x)sin(ωxφ)(ω),yAsin(ωxφ)(A,ω)的单调递增区间为
解题也应“与时俱进”——例谈导数法解三角问题
翩 题 也 应 “ 与 时俱 进” ——例谈 导数 法解 三角 问题 ( 江 苏省 江 阴市第一 中学 214431) 唐 永 徐 秀 三 角 函数是 历 年高 考 的热 点 问题 ，对 三 角 函 数 的考 查 往往 都是 围绕其 对 称性 、单 调 性 、最值 等 来展 开 的 ，然 而许 多 学 生 由于受 定 势思 维 的影 响 ，常 常用老 套 、繁琐 的办 法去 解决 ．由 于高 中数学 新 课程 增加 了导 数 内容 ，对 于 三 角 问题 的处 理 也 应 “ 与 时俱进 ” ，及 时运 用 导数 知 识解 决 ，就 显得 非 常 简 洁流畅 ．下 面采撷 几 例 ，权 作 抛砖 引玉 ．1 求 单调 区 间 例 l 函数 Y — xcosx — sinx 在下 面哪 个 区 间 内是增 函数 ( ) ．(A) (号，擎) ( c )( ， ) ( B )( 7r ，27r) ( D )( 27r ，37r) 解 ：因 为 Y =x cos x — s lnx ’ 所 ： cosx — z sinx — COSX = 一 x si nx ，当 z ∈ (7r，27r) ，Y >0，故 选 (B )． 例2 函数厂(z) ：cos z 一2cos 詈的一个 单 调增 区 间是 ( ) ．(A) (詈，) (B) (詈，詈) ( )、(o，号) (D) (一詈，詈) 错解：因为 厂(z) ：cos z 一2cos 吾= COS z— COSX — l ( c osx —
三角函数求值问题的解题思维策略
2009 年第 4 期 河北理科教 学研 究 问题讨论 三角函数求值 问题 的解题 思维 策略 广 东省佛 山市顺德 区容桂职业技术学校陈华安528303 三角函数求值问题是三角函数中的基本 问题 ，也是各种考试中的常见问题 ．一般来 说 ，解决这些问题可以从角的关 系、函数特 征 、差异分析 、退到特殊化等方面思考解题 策略 ，找出解题的切入点． 1寻 找角 的关 系 许多三角函数求值问题的条件与结论之 间、角与角之间隐含着某种关系或特征．比 如结论式中的角与条件式 中的角存在着和 、 差、倍角关系 ，或者题 目中的角存在着和 、 差关系，或者题 目中的各角的和或差是特殊 角 ，或者已知条件中角轮换后地位平等不影 响结果等等．解题时要善于观察 、把握和捕 获这些关系，则在解题开始时就能迅速找准 思维的出发点 ，并由此开始科学地思维 ，运 用适 当的推理运算 ，优化解题思路 ，使问题 迎 刃而解 ． 1．1找 结论 式 与 条件 式 中角 的 和 、差 、倍 角 关 系 例 1若 ， 均为锐角 ， in ： ， cos(a+
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