填空题（将正确答案填在横线上，每小题5分，共25分），n阶行列式的值为：在R³，向量关于基的坐标是，其中已知都是的子空间，那么的维数是若在R³中规定任意两个向量的内积为，则的夹角是若实二次型是正定的，则t的取值范围是简答题1.1.设A是对称矩阵，B是反对称矩阵，那么AB-BA和B²是否都是对称矩阵？2.设A，B都是实对称矩阵，且A与B的特征多项式相同，那么A与B是否一定相似？3.设w和w都是数域F上向量空间v的子空间,如果v的任意向量都至少属于w与W中的一个，是否有v=w或V=w？4.若含有n个未知数n+1个方程的线性方程组有解，是否必有增广矩阵的行列式的值为0？反过来是否也成立？计算题求t的值，使由重根. 证明：若，则 在Q[x]内分解因式，并证明你的分解式中，所有f（x）的因式都是不可约的. 计算行列式 设a，a 为矩阵A的行向量组，为矩阵B的行向量组，证明：如果齐次线性方程组AX=O的每个解都是BX=O的解。则可经线性表示.

6、曲线y=2x^{2}+3x-26在点(3，1)处的切线的斜率k= \ _.7、若f(\frac {1}{x})=(\frac {1+x}{x})^{2}则f(x)= \ _;8、设f(x)=x(x+1)(x+2)，则f'(-1)= \ _;9、设y=f(\cos x),f(u)可导，dy= \ _;10、若\int f(x)dx=e^{x}+c则f(x)= \ _.11、I(x)= \int _{2}^{x} \sin tdt,则I(x)= \ _;12、在[0,2 \pi ]上曲线y= \sin x与x轴所围成的图形的面积为_.13、设y=e^{ \sin x},求\frac {d^{2}y}{dx^{2}}= \ _.14、设f(x)= \cases {e^{2x}+b,x \le 0;\cr \sin ax,x>0}x=0处可导，则a= \ _;15、已知e^{-x}是f(x)的一个原函数,则\int xf'(x)dx= \ _.16、\int _{1}(x \mid+\arcsin x)dx= \ _;17、函数y=x+\sqrt {1-x}的极大值为_;2、确定函数f(x)=2x^{3}-9x^{2}+12x-3的单调区间与极值。3、求\int x \sin 3xdx。4、求\int _{0}^{ \sqrt {2}} \sqrt {2-x^{2}}dx5、求曲线\cases {x= \cos t \cr y= \sin t}上对应t= \frac { \pi }{4}点处的切线方程和法线方程.6、求函数y=x^{2}e^{-x}的极值.7、求求定积分\int _{0}^{4} \frac {x+2}{ \sqrt {2x+1}}dx.8、求\int _{0}^{ \pi } \sqrt { \sin ^{3}x- \sin ^{5}x}dx.9、求\int \frac {2x+1}{x^{3}-2x^{2}+x}dx.10、设y=x^{x}(x>0),求dy11、设方程\cases {x=e^{t} \sin t, \cr y=e^{t} \cos t}确定函数y=y(x),求

湖南师范大学2020年硕士研究生入学考试初试自命题科目试题册业务课代码：604 业务课名称：高等数学满分：150分考试时间：3小时考生须知:1、答案必须写在答题纸上,写在其它纸上无效。2、答题时必须使用蓝、黑色墨水笔作答,用其他笔答题不给分。不得使用涂改液。 高等数学部分(共100分)一、简答题(1-5小题，每小题6分，共30分)1、设函数f(x)= \frac {1}{e^{ \frac {x}{x+1}}-1}, 求f(x)的间断点，并指出其类型.2、设曲线y=f(x)由方程\sin(xy)= \ln \frac {x+e}{y}+1 确定,求曲线在点(0,e^{2})处的切线方程.3、设y=x^{3} \sin x, 求y^{(6)}(0).4、求点P_{0}(1,2,-3)在平面π:6x-y+3z-41=0 上的射影点的坐标.5、求级数\sum _{n=1}^{ \infty }(-1)^{n-1} \frac {x^{n}}{ \sqrt {n}} 的收敛域.二、计算题(6-12小题,每小题10分,共70分)6、求极限\lim _{x \rightarrow 0} \frac { \tan x- \sin x}{x \ln(1+x)-x^{2}}.7、求积分\int \frac {xe^{x}}{ \sqrt {e^{x}-1}}dx.8、设直线y=ax 与抛物线y=x^{2} 所围成的面积为S_{1}, 它们与直线x=1 所围成的面积为S_{2}, 并且0<a<1.试确定a的值,使S_{1}+S_{2} 达到最小，并求出最

1、(12分)证明:设P为任一数域,f(x)\in P[x]为次数大于零的首一多项式，则f(x)是一个不可约多项式方幂的充要条件为:对任意多项式g(x),要么(f(x),g(x))=1,要么对某一正整数m有f(x)\mid g^{m}(x).2、(15分)已知行列式| \matrix {1&2&3 \cr 3&2&1 \cr x&y&z}|=1,试求下列行列式：(1)| \matrix {1&2&3 \cr 1&0&-1 \cr 1&2&-y&3-z}|= \mid 2 \rangle \mid _{y}^{x} \frac {3}{2}& \frac {1}{3} \mid 3 \rangle \mid 33、(20分)考虑矩阵A=(\matrix {2&2&3 \cr -1&-1&0 \cr -1&2&y}).1)当x和y满足什么条件时A可逆?2)取x=y=1,试用两种方法求出A的逆A^{-1}。4、(15\{ x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n} \}为复数域C上的向量空间V中的一组线性无关向量。1)试证明：当n=3199\{ x_{1}+x_{2},x_{2}+x_{3},x_{3}+x_{1} \}也是一个线性无关向量组。2)若n>3，相应的结论是否仍然成立?亦即对于n>3,\{ x_{1}+x_{2},x_{2}+x_{3}, \cdots ,x_{n-1}+x_{n},x_{n}+x_{1} \}是否依然为线性无关向量组？证明你的结论或举出反例。5、(13分)求h的取值，使得y=(h,5,3)在v_{1}=(1,1,-2)^{T}v_{2}=(-3,-1,4)^{T}所张成的平面内。6、(18分)设有矩阵A=(\matrix {0&1&0 \cr -4&4&0 \cr -2&1&2})。1)求A的最低

2、答题时必须使用蓝、黑色墨水笔作答,用其他笔答题不给分。不得使用涂改液。一、计算题(每题15分，共90分)1、计算\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\frac {1}{ \sqrt {x}})^{ \tan x}.2、设f(x)= \cases {x,x>0 \cr 1+x,x \le 0},g(x)= \cases {-x^{2},x>0 \cr x,x \le 0}求f(g(x)].3、设f(x)= \lim _{n \rightarrow \infty } \frac {(n-1)x}{nx^{2}+1}试求f(x)的间断点.4、设f(\sin ^{2}x)= \frac {x}{ \sin x}\int \frac { \sqrt {x}}{ \sqrt {1-x}}f(x)dx.z= \frac {1}{x}f(xy)+yf(x+y)\frac { \partial ^{2}z}{ \partial x \partial y}.6、六\frac {1}{(2-x)^{2}}展开成x的幂级数.二、应用题(每题20分，共40分)1、在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为N,在t=0时刻已掌握新技术的人数为x,在任意时刻r已掌握新技术的人数为x(f)(将x(1)视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数k>0,求x(t).2、在平面\frac {x}{a}+\frac {y}{b}+\frac {z}{c}=1三坐标面所围成的四面体内(右图),作一个以该平面为顶面,在xoy坐标面上的投影为长方形(与AB相接)的六面体,求体积

一.填空题(将正确答案填在横线上,每小填5分,共25分).1.n \ge 2,n阶行列式| \matrix {x&-1&0& \cdots &0 \cr 0&x&-1& \cdots &0 \cr 0& \cdots & \cdots & \cdots &0 \cr 0&0&0& \cdots & \cdots &-1 \cr 0&a_{n}&0& \cdots & \vdots &a_的值为_;2.在R^{3}中，向量\beta =(1,1,1)关于基\{ a_{1},a_{2},a_{3} \}的坐标是_,其中\alpha _{1}=(1,1,0), \alpha _{2}=(1,0,1), \alpha _{3}=(0,1,1)3.已知则W_{1}= \{ x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\mid x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4}W_{2}= \{ x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\mid x_{1}+x_{2}-x_{3}-x_{4}都是R^{4}的子空间，那么W_{1} \cap的维数是_.4.若在R^{3}中规定任意两个向量\xi =(x_{1},x_{2},x_{3}), \eta =(y_{1},y_{2},y_{3})的内积为< \xi , \eta >=x_{1}y_{1}+2x_{2}y_{2}+3x_{3}y_{3},\alpha =(1,0,1), \beta =(1,2,0)的夹角是_.5.若实二次型f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+5x_{3}^{2}-2tx_{1}x_{2}是正定的,则t的取值范围是_二.简答题.(20分)(每小题5分，先回答对或错，对的做简单说明，错的做出反例)1.设A是对称矩阵,B是反对称矩阵,那么AB-BA和B^{2}是否都是对称矩阵?2.设A,B都是实对称矩阵,且A与B的特征多项式相同,那么A与B是否一定相似?3.设W_{1}

2、答题时必须使用蓝、黑色墨水笔作答，用其他笔答题不给分。不得使用涂改液。 一、计算题(每题15分，共90分)1、计算\lim _{n \rightarrow \infty }[ \frac {1}{n^{2}+n+1}+\frac {2}{n^{2}+n+2}+\cdots+\frac {n}{n^{2}+n+n}] 2、把函数\frac {1}{(2-x)^{2}} 展成x的幂级数3、计算\int _{D} \ln(1+x^{2}+y^{2})d \sigma , 其中D是由圆周x^{2}+y^{2}=1 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域4、设z=f(x^{2}+y^{2}), 其中f具有二阶导数, 求\frac { \partial ^{2}z}{ \partial x^{2}}, \frac { \partial ^{2}z}{ \partial y^{2}} 5、设f(x)= \cases {1&$|x<1$ \cr 0&$x|=1$ \cr -1&$ \mid x>1$},g(x)=e^{x}, 求f[ g[f(x)],并做出两个函数的图形6、求微分方程y= \frac {1}{1+x^{2}} 的通解二、应用题(每题20分，共40分)1、求y^{2}-2y-x+2=0 与y=x 所围成的封闭图形绕Oy轴旋转一周所得旋转体体积。2、在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的。设该人群的总人数为N,在t=0 时刻已掌握新技术的人数为xo,在任意时刻t已掌握新技术的人数为x(t),(将x(t)视为连续可微变量),其变化率与已掌握推广新技术人数和未掌握新

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湖南师范大学基础高等数学期末复习题一、填空题1、若的定义域为,则的定义域为； 4、若=；5、函数在上满足拉格朗日中值定理的=;6、曲线在点(3,1)处的切线的斜率.7、若则=;8、设,则; 9、设可导,则;10、若=；11、; 12、在上曲线与轴所围成的图形的面积为.13、设，求.14、设在处可导, 则;15、已知是的一个原函数,则.16、； 17、函数的极大值为；.18、若.1二、单选题（在每小题的备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确答案的题号填入题干的括号内,多选不给分 1 1 不存在02、设函数，则在点处（）可导不连续连续，但不可导可微3、当时，下列函数为无穷小量的是（） 4、设函数在处具有二阶导数，且，，则为最小值极小值最大值极大值5、设是的一个原函数，则（） 6、=() 7、设则（） 8、点是函数的（）连续点可去间断点第二类间断点第一类间断点，但不是可去间断点9 1 2 3 10、=() 11、设是的一个原函数，则2（） 12、() 13、曲线在点(3,1)处的切线的斜率()1 15 014、设，则f(x)在x=1处()既可导又连续可导但

湖南师范大学2017年研究生入学考试高等代数试题考试科目:841高等代数一.填空题(本大题共5小题，每空6分，共30分)1.有理数域上以\sqrt {3}- \sqrt {2}为根的首项系数为1的不可约多项式是_.2.矩阵方程(\matrix {1&-1 \cr 0&1})X=(\matrix {1&-2 \cr 0&3})的解是_.3.用r(A)表示矩阵A的秩,已知r(A^{2})>r(A^{3}),r(A^{3})=r(A^{5}),则r(A^{2016})\ _r(A^{2017}).4.设V_{1},V_{2}分别是n元齐次线性方程组AX=0,BX=0的解空间,且r(A)+r(B)<n,那么V_{1} \cap V_{2}= \{ 0 \}.该命题对吗？_.5.设x是n维线性空间V的可逆线性变换,则\mathcal A的核的维数dim \mathcal A^{-1}(0)= \ _.二.计算题(本大题共4小题，每空15分，共60分)1.设多项式f(x)=x^{4}-8x^{3}+24x^{2}-32x+7,(1)写出f(x)+9的因式分解,并求出f(x)+9的全体实根;(2)求出f(x)的全体实根；(3)在实数域上将f(x)分解为不可约多项式的乘积.2.计算下面n阶行列式(空白处都是0).a_{n}a_{1}c_{1}c_{2} \cdots c_{n-1}3.在线性空间R_{4}_中，(1)求基\alpha _{1}=(1,1,1,1), \alpha _{2}=(1,1,-1,-1), \alpha _{3}=(1,-1,1,-1), \alpha _{4}=(1,-1,)到基β1=(1,0,0,0), \beta _{2}=(1,1,0,0), \beta _{3}=(1,1,1,0), \beta

湖南师范大学2022年硕士研究生入学考试初试自命题科目试题册业务课代码：841业务课名称：高等代数满分：150分考试时间：3小时