湖南师范大学数学分析选讲答案第一章：极限与连续1. 设f(x)在[a, b]上连续，且f(a)=f(b)，则f(x)在[a, b]上取到最大值和最小值。证明：由于f(x)在[a, b]上连续，所以f(x)在[a, b]上是闭的。又因为f(a)=f(b)，所以由介值定理可知，存在c∈[a, b]，使得f(c)=M。因此，f(x)在[a, b]上取到最大值M。同理可证，f(x)在[a, b]上取到最小值m。2. 设{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若Sn=na1+n(n-1)/2d，则称{an}为等差数列的加法公式。证明：由等差数列的性质可知，Sn=na1+n(n-1)/2d。当n=1时，a1=S1=a1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(na1+n(n-1)/2d)-[(n-1)a1+(n-1)(n-2)/2d]=na1+n(n-1)/2d-[(n-1)a1+(n-1)(n-2)/2d]=nd。因此，对于任意正整数n，都有an=nd成立，即{an}为等差数列的加法公式。3. 设{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若Sn=na1+n(n-1)/2d，则称{an}为等差数列的乘法公式。证明：由等差数列的性质可知，Sn=na1+n(n-1)/2d。当n=1时，a1=S1=a1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(na1+n(n-1)/2d)-[(n-1)a1+(n-1)(n-2)/2d]=na1+n(n-1)/2d-[(n-1)a1+(n-1)(n-2)/2d]=nd。因此，对于任意正整数n，都有an=nd成立，即{an}为等差数列的

师资队伍学科评估中，师资队伍是非常重要的一环。这包括教师的学术水平、教学能力、科研经验以及学术影响力等。评估时应考虑教师队伍的职称结构、学历结构、学缘结构、年龄结构等，以及他们在教学和科研方面的成果和贡献。 科学研究科学研究是学科发展的重要推动力。评估时应考虑学科的研究方向、研究水平、科研项目、科研成果、学术论文等方面的表现。同时，还要关注学科的研究环境和实验设备等硬件条件。 人才培养人才培养是高等教育的核心任务之一，也是学科评估的重要指标。评估时应考虑学科的人才培养模式、课程设置、教学质量、学生满意度等方面的表现，以及毕业生就业率和社会评价等。 社会服务社会服务是高校学科发展的重要方向之一。评估时应考虑学科在社会服务方面的贡献，如科技成果转化、产学研合作、为社会提供的服务等，以及学科对社会的影响力和声誉。 学科声誉学科声誉是学科发展的重要标志之一，也是学科评估的重要指标。评估时应考虑学科在国内外的知名度和影响力，以及学科在学术界和社会上的声誉和评价。 国际交流国际交流是促进学科发展的重要途径之一。评估时应考虑学科在国际交流方面的表现，如国际合作项目、国际学术会议、国际合作研究等，以及学科在国际上的影响力和竞争力。 学科资源学科资源是学科发展的重要保障之一，包括教学和科研所需的硬件设施、图书资料、实验设备等。评估时应考虑学科资源的数量和质量，以及学科资源的管理和利用情况。 学科创新学科创新是推动学科发展的重要动力之一。评估时应考虑学科在创新方面的表现，如新理论、新技术、新方法的提出和研发等，以及学科在创新方面的成果和贡献。 学科实践学科实践是检验学科理论的重要手段之一。评估时应考虑学科在实践方面的表现，如实验、实习、社会实践等活动的开展情况，以及学生在实践中的表现和实践能力。十、学科平台学科平台是支撑学科发展的重要基础之一，包括实验室、研究中心、研究所等。评估时应考虑学科平台的规模和水平，以及学科平台在科研和教学等方面的贡献和作用。在学科评估中，学科的国际化程度是一项重要的评价指标。以下是一些关键因素，用于衡量学科的国际化程度：十 国际学生比例国际学生比例是评估学科国际化程度的重要指标之一。它反映了学科在国际上的吸引力和声誉，以及学科对于多元文化环境的接纳和融合能力。评估时应考虑国际学生在学科学生总数中的比例，以及他们在学术和社交方面的参与度和表现。十

中山大学2023年数学分析考研真题代码:664 一.(15分)计算积分1.(7分)\int \frac {1+x^{4}}{1+x^{6}}dx 2.(8分)\int _{0}^{ \frac { \pi }{2}} \frac { \cos x}{ \sin x+\cos x}dx.二.(15分)判别敛散性.(1)(7分)\sum _{n=1}^{ \infty }2022^{n} \sin \frac { \pi }{2023^{n}}(2)(8分)\sum _{n=1}^{ \infty }(-1)^{n} \frac {1}{2^{n}}(1+\frac {1}{n})^{n} 三.(15分)求f(x)= \frac {x^{2}}{(1+x^{2})^{2}} 的幂级数展开式四.(15分)设f(x)为(- \infty ,+\infty)上的连续函数,且当x \neq 0 时，有f(x)\mid < \mid x \mid , 定义f_{1}(x)=f(x),f_{2}(x)=f(f_{1}(x \cdots ,f_{n+1}(x)=f(f_{n}(x \cdots.求证：x)}在任意有限区间[-a,a] 上一致收敛于0.五.(15分)设f(x)是以2π为周期的函数,其傅里叶级数展开式系数为a_{0},a_{n},b_{n}(n=1,2, \cdots).若存在L \in(0,1].使得对任意的xy.有\mid f(x)-f(y)\mid \le L \mid x-y \mid ^{a}.即存在常数D>0.六.(15分)求重积分\iint _{ \mid x \mid+\mid y \mid \le 1} \cos(x+y)dxdy.七.(15分)\frac {x^{2}}{a^{2}}+\frac {y^{2}}{b^{2}}+\frac {z^{2}}{c^{2}}=1(a,b,c>0)一点处的切平面,使得该平面与坐标平面围成立体的体积最小.八.(15分)求曲线积分\int _{L}e^{y} \cos xdx+(e^{y} \sin x

一、(12分)按数列极限定义证明：\lim _{n \rightarrow \infty } \frac {2n}{n^{3}+1}=0.证明：\mid \frac {2n}{n^{3}+1} \mid < \frac {2}{n^{2}} 4分任给\xi >0 ，要\mid \frac {2n}{n^{3}+1} \mid <e 只要\frac {2}{n^{2}}< \xi 即只要n> \sqrt { \frac {2}{ \varepsilon }}.10分取N=[ \sqrt { \frac {2}{ \varepsilon }}] 则当n>N 时，\mid \frac {2n}{n^{3}+1} \mid <e, 所以，\lim _{n \rightarrow \infty } \frac {2n}{n^{3}+1}=0.12分二、(14分)若f(x)在点x_{0} 连续，证明f^{2}(x)也在点x_{0} 连续.证明:设f(x)在点x,连续,则\forall 0< \varepsilon <1, \exists \delta >0, \forall \mid x-x_{0} \mid < \delta , x_{0} \mid f(x)-f(x_{0})\mid < \xi , 同时\mid f(x)+f(x_{0})\mid \le \mid f(x)-f(x_{0})\mid+2 \mid f(x_{0})\mid <1+2 \mid f(x_{0})\mid , 8分于是\mid f^{2}(x)-f^{2}(x_{0})\mid <(1+2 \mid f(x_{0})\mid)\varepsilon.12分所以f^{2}(x)在点x,连续.x_{0} 14分三、(14分)证明f(x)=ax+b(a \neq 0)在(- \infty ,+\infty)上一致连续.14分四、(16分)设f(x)在[0,1]上可导且导函数连续.证明：\lim _{n \rightarrow \infty }n \int _{0}^{1}x^{n}f(x)dx=f(1).证明：由于f'(x)在[0,1]上连续，因此存在M= \max _{0 \le x \le 1} \mid f'(x)\mid 2分

湖南师范大学数值分析mooc本课程主要讲述现代科学计算中基本的数值计算方法及其原理。本课程内容分成线上与线下两部分，主要包括：科学计算的背景和意义、插值法、函数逼近与计算、数值积分与数值微分、线性方程组的直接解法与迭代解法、非线性方程的迭代解法、常微分方程的数值解法、矩阵特征值问题计算等。—— 课程团队课程概述二十多年前，著名数学家石钟慈院士曾指出当今科学活动包括三大类方法：实验、理论推导和科学计算。实验方法出现最早，代表性的科学家包括伽利略等。实验结果积累再抽象之后就形成了理论，理论推导逐渐发展起来，代表性的科学家主要有牛顿等。上世纪，冯·诺依曼发明电子计算机，从此，科学计算越发成为解决问题的重要方法。实际上，早在中国古代，计算由于其实用性就是数学的主要研究领域，取得了许重要成果，如：《周髀算经》，《九章算术》等，也出现了一批了不起的算术大家，如：祖冲之、刘辉、秦九韶等。早期科学计算应用于科学发�

湖南师范大学学科教学数学一、通用面试问题1. 为什么选择湖南师范大学并报考这个学科教学（数学）专业？2. 你对湖南师范大学有哪些了解？3. 在你本科阶段，你非常大的收获是什么？4. 你在未来三年的研究生生涯中有什么规划？5. 你在学习、科研方面遇到的困难是如何解决的？6. 你在团队合作中扮演的角色是什么？7. 你认为一个研究生应该具备哪些素质和能力？8. 你在未来的职业规划是什么？9. 你有什么兴趣爱好或者特长？10. 你如何处理学习和生活之间的平衡？二、专业类面试问题1. 请简述数学教育的目标和意义。2. 你如何理解数学教育中的“数形结合”思想？3. 谈谈你对当前中小学数学教育的看法，有哪些你认为需要改进的地方？4. 你在教学过程中如何培养学生的数学思维能力？5. 你如何看待数学在现实生活中的应用？6. 请举例说明一个你在数学教学中的创新实践。7. 如何帮助学生理解和掌握复杂的数学概念？8. 在数学教育改革中，你认为教师起到什么样的角色？9. 你对高中数学和大学数

试卷结构1)试卷成绩及考试时间本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。2)答题方式：闭卷、笔试3)试卷内容结构数学分析4)题型结构a:填空题，10小题，每小题7分，共70分b:讨论题，3小题，每小题10分，共30分c:解答题(包括证明题)，5小题，每小题10 分，共50分 考试内容与考试要求1、极限论考试内容各种极限的计算； 单调有界收敛原理、致密性定理、确界原理、Cauchy收敛原理等实数基本理论的灵活应用； 连续函数特别是闭区间上连续函数性质的运用； 极限定义的熟练掌握等.考试要求（1）能熟练计算各种极限，包括单变量和多变量情形.（2）能熟练利用六个实数基本定理尤其是单调有界收敛原理、致密性定理、确界原理、Cauchy收敛原理进行各种理论证明．（3）能熟练掌握单变量连续函数特别是闭区间上连续函数的各种性质，并能利用这些性质进行计算和证明；掌握多变量连续函数的性质尤其是有界闭域上连续函数的性质，能利用这些性质进行计算和证明．（4）熟练掌握各种极限的定义，并能用逻辑术语进行理论证明. 参考书目[1]复旦大学数学系编.数学分析.高等教育出版社, 1979[2]华东师范大学数学系编.数学分析高等教育出版社, 2001[3] 张学军、王仙桃等编.数学分析选讲.湖南师范大学出版社，2012

中南大学712数学分析2023年考研真题1.计算题(1)设m,n为正整数,求极限\lim _{x \rightarrow 0} \frac { \sqrt [3]{ \cos x}- \sqrt [8]{ \cos x}}{ \sin ^{2}x}.(2)求将曲线(x-b)^{2}+y^{2}=a^{2}(0<a<b)y轴旋转一周所得旋转曲面的面积.(3)计算积分\oint _{L}(e^{x}-y^{2})dx+(x^{y})dy, 其中L为\frac {(x-1)^{2}}{2}+\frac {(y-2)^{2}}{8}=1, 方向为逆时针.(4)设z=xf(\frac {x}{y})+yg(\frac {y}{x})其中f,g二阶连续可导,求x^{4}y^{2} \frac { \partial ^{2}z}{ \partial x^{2}}+x^{3}y^{3} \frac { \partial ^{2}z}{ \partial x \partial y} 2.解答如下问题.(1)设f(x),g(x)在[a,b]上可积,证明柯西不等式(\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx)^{2} \le \int _{a}^{b}f^{2}(x)dx \int _{a}^{b}g^{2}(x)dx 2)设f(x),f'(x)都在[a,b]上连续.f(0)=0. 证明：(i)\max _{x \in [a,b]} \mid f(x)\mid \le \sqrt {b-a}(\int _{a}^{b} \mid f'(x)\mid ^{2},dx)^{2}(11)\int _{a}^{b}f^{2}(x),dx \le \frac {(b-a)^{2}}{2} \int _{a}^{b}|f^{'}(x)|^{2}, 3.设f(x)是(0,1)上的函数,且e^{x}f(x)与e^{-f(x)} 在(0,1)上单增,证明:(1)f(x)在(0,1)上单减.(2)f(x)在(0,1)上连续.4.设f(x)在[0,a]上二阶可导, \mid f''(x)\mid \le M, 且f(x)在(0,a)内取到最大值.证明:\mid f'(0)\mid+\

(2)函数列{f,(x)}在[0,1]上一致有界.(华东理工大学2004年)2.设{f,(x)}是定义在(- \infty ,+\infty)上的可导函数列,且存在常数M>0,对所有的n和x \in(- \infty ,+\infty)有\mid f_{n}^{'}(x)\mid \le M,假设对任意x \in(- \infty ,+\infty)有\lim _{n \rightarrow \infty }f_{n}(x)=g(x),则g(x)在(- \infty ,+\infty)上连续.证明:对任意x_{0} \in(- \infty ,+\infty)有\mid g(x)-g(x_{0})\mid \le f_{n}(x)-g(x)\mid+\mid f_{n}(x)-f_{n}(x_{0})\mid+\mid f_{n}(x_对任意ε>0,由于对任意x \in(- \infty ,+\infty),有\lim _{n \rightarrow \infty }f_{n}(x)=g(x),所以存在正整数N,当n>N时,有\mid f_{n}(x)-g(x)\mid < \frac { \xi }{3}, \mid f_{n}(x_{0})-g(x_{0})\mid < \frac { \xi }{3},由微分中值定理,\mid f_{n}(x)-f_{n}(x_{0})\mid = \mid f_{n}'(\xi)\mid \mid x-x_{0} \mid \le M \mid x-x_{0} \mid其中ε在x与xo之间,故取\delta = \frac { \xi }{3M},x-x_{0} \mid <8时,有1f_{n}(x)-f_{n}(x_{0})k< \frac { \xi }{3},故当\mid x-x_{0} \mid < \delta\mid g(x)-g(x_{0})\mid < \xi.即f(x)在x_{0}连续,由x_{0}的任意性,知f(x)在(- \infty ,+\infty)上连续.寸三.连续性1.设I为一区间,f(x)在I上一致连续,若对任意x \in I,f(x)\ge 0,试证：\sqrt {

1.填空题：a)求得函数f(x)= 2x^3+5x^2 - 3x的导函数为f'(x)= 6x^2+10x -3。b)函数g(x)= sin^2(x)在区间[0, π]上的最小值为0。c)对于函数h(x)= ln(x^2+1)，其定义域为(-,+)。2.选择题：a)在直角三角形ABC中，已知A = 30°，BC = 5cm，AC =8cm，则AB的长度为：A.5 cmB.2 cmC.4 cmD.6 cm答案：Cb)设函数f(x)= x^2+3x+k，在区间[-2, 2]上的最小值是1，则k的值为：A.2B.-1C.0D.1答案：B3.解答题：a)求函数y = x^3 - 3x^2 - 9x+5在区间[-2, 4]上的极大值和极小值。解答：首先求得函数的导函数为y' = 3x^2 - 6x - 9。将导函数的值等于0，得到x = -1和x = 3。再将这两个值代入函数得到的y值为y = 9和y = -19。所以函数在x = -1处取得极大值9，在x = 3处取得极小值-19。b)求曲线y = e^x在点(1, e)处的切线方程。解答：首先求得函数的导函数为y' = e^x。将x = 1代入得到斜率为e。代入点(1, e)得到切线方程为y - e = e(x - 1)。4.应用题：一辆汽车从静止开始，匀加速行驶。已知汽车在t = 2s时的速度为10m/s，在t = 5s时的速度为30m/s。求在6秒内汽车所走的距离。解答：根据匀加速运动的公式v = u+at，

一、选择题：1~10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的,请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置。1.曲线y=x \ln(e+\frac {1}{x-1})的渐近线方程为()。A.y=x+e B.y=x+1/e C.y=x D.y=x-1/e 2.已知微分方程式y''+ay'+by=0 的解在(- \infty ,+\infty)上有界,则()。A.a<0,b>0 B.a>0,b>0 C.a=0,b>0 D.a=0,b<0 3.设函数y=f(x)田\cases {x=2t+\mid t \mid \cr y= \mid t \mid \sin t} 确定,则()。A.f(x)连续,f(0)不存在B.f(0)存在,f(x)在x=0 处不连续C.f'(x)连续,f'(0)不存在D.f”(0)存在,f”(x)在x=0 处不连续4.已知a_{n}<b_{n}(n=1,2, \cdots), 若级数\sum _{n=1}^{ \infty }a_{n} 与\sum _{n=1}^{ \infty }b_{n} 均收敛,则“级数\sum _{n=1}^{ \infty }a_{n} 绝对收敛”\sum _{n=1}^{ \infty }b_{n} 绝对收敛”的()。A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.已知n阶矩阵A，B，C满足ABC=0,1 E为n阶单位矩阵,记矩阵(\matrix {0&A \cr BC&E}),(\matrix {AB&C \cr 0&E}),(\matrix {E&AB \cr AB&0})的秩分别为\gamma _{1}, \gamma _{2}, \gamma _{3}, 则()。A.γ1γ2γ3 B.γ1y3γ2 C.Y3y1Y2 D.\gamma

12.2 几何概型与随机数t15730p2知识梳理1.几何概型的概念：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例的概率模型.2.几何概型的特点：（1）可能出现的结果有无限多个；（2）每个结果发生的可能性相等.3.几何概型的概率：构成事件A的区域长度（面积或体积）P(A)试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）4.整数随机数：对于某个指定范围内的整数，每次从中有放回随机取出的一个数.5.均匀随机数：X在区间[a，b]上等可能取任意一个值，且X的取值是连续的.6.随机模拟方法：用手工、计算机或计算器模拟试验的方法.拓展延伸1.几何概型与古典概型的共同点是随机试验中每个结果发生的可能性相等，不同点是随机试验中可能出现的结果分别有无限多个和有限多个.2.用计算机或计算器产生的随机数，是依照确定的算法产生的数，具有周期性（周期很长），这些数有类似随机数的性质，但不是真正意义上的随机数，称为伪随机数.3.计算机只能产生[0，1]上的均匀随机数，如果试