大自然生物的美,总是给人以美的享受,就像蝴蝶一样,对称的体型,美丽的翅膀,总能让人心情舒畅。今天,我们走进数学的殿堂,来一起认识一下另一种蝴蝶。连接任意一个四边形的对角线,会将四边形分成四个部分,它的形状类似于蝴蝶,称之为“蝴蝶模型”,其背后关于面积和边的比例性质引出了一系列定理,称之为“蝴蝶定理”。蝴蝶定理(Butte erflyTheorem), 是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一,最早出现在1815年,英国著名数学科普刊物《男士日记》上刊登了如下问题:如图,设AB是已知圆的弦,O是AB的中点,弦CD、GH过点O,弦CH、GD与AB分别相交于P、Q两点,求iEPO=OQ D H D Q G 这个图形似一只翩翩起舞的蝴蝶,在1944年2月美国《数学月刊》上,有了一个动人的名称蝴蝶定理。这一定理变形内容较多,研究者不少,现在它已飞入了小学数学:四边形中的蝴蝶模型如图,ABCD是任意一个四边形,被两条对角线分成了四部分,其面积分别为S 1、S_{2}、S_{3}、S_{4}, 因为它的形状类似于蝴蝶，称之为“蝴蝶模型”，这个模型有如下结论：S_{1}:S

小学几何之蝴蝶定理大全------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxx小学几何之蝴蝶定理大全小学几何之蝴蝶定理大全一、基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比等于对应底边之比。S1:S2=a:b定理2：等分点结论(鸟头定理)如图，三角形△AED的面积占三角形△ABC的面积的5341203定理3：任意四边形中的比例关系(蝴蝶定理)1）S1∶S2=S4∶S3或S1×S3=S2×S4上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积2）AO∶OC=（S1＋S2）∶（S4＋S3）梯形中的比例关系(梯形蝴蝶定理)2/10小学几何之蝴蝶定理大全1）S1∶S3=a2∶b2上、下部分的面积比等于上、下边的平方比2）左、右部分的面积相等3）S1∶S3∶S2∶S4=a2∶b2∶ab∶ab4）S的对应份数为（a+b）2定理4：相似三角形性质1）HhAaBbCc2）S1∶S2=a2∶A23/10小学几何之蝴蝶定理大全定理5：燕尾定理S△ABG∶S△AGC=S△BGE∶S△GEC=BE∶ECS△BGA∶S△BGC=S△AGF∶S△GFC=AF∶FCS△AGC∶S△BCG=S△ADG∶S△DGB=AD∶DB二、例题分析例1、如

基本知识点定理1:同一三角形中,两个三角形的高相等,则面积之比等于对应底边之比。S1S2a0S_{1}:S_{2}=a:bADEBC定理2:等分点结论(鸟头定理)如图，三角形\triangle AED的面积占三角形\triangle ABC的面积的\frac {3}{5} \times \frac {1}{4}= \frac {3}{20}定理3:任意四边形中的比例关系(蝴蝶定理)DAS1S4S2OS3BC(1)S_{1}:S_{2}=S_{4}:S_{3}或S_{1} \times S_{3}=S_{2} \times S_{4}上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积(2)AO:OC= 例题分析例1、如图，AD=DB,AE=EF=FC,已知阴影部分面积为5平方厘米,ABC的面积是多少平方厘米?BDAEFC例2、有一个三角形ABC的面积为1,如图,且AD= \frac {1}{2}AB,BE= \frac {1}{3}BC,CF= \frac {1}{4}CA,求三角形DEF的面积.ADFBE为ABEC三角AEB'CD例3、如图，在三角形ABC中，，D为BC的中点，上的一点，且BE= \frac {1}{3}AB,已知四边形EDCA的面积是35，求形ABC的面积.六年级奥数讲义小学数学江汉城老师专辑例4、例1如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。(单位：厘米)A4D3BE6C例5、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。 练习题1、如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积=5，三角形DOC的面积=4,三角形AOB的面积=15,求三角形BOC的面积是多少?六年级奥数讲义小学数学江汉城老师专辑D02、如图所示，BD，CF将长方形ABCD分成4块，\triangle DEF的面积是4cm^{2}, \triangle CED的面积是6cm^{2}。问:四边形ABEF的面积是多少平方厘米?FA46EB---3、如右图BE= \frac {1}{3}BC,CD= \frac {1}{4}AC,那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的_.ADBEC4.如图，ABCD是直角梯形，AD=5厘米,DC=3厘米,三角形DOC的面积是1.

蝴蝶定理1.如图，梯形ABCD的上底AD长为3厘米，下底BC长为9厘米，而三角形ABO的面积为12平方厘米.则梯形ABCD的面积为_平方厘米.DA0BC2.如图,在梯形ABCD中,三角形ABO的面积是6平方厘米,且BC的长是AD的2倍。请问：梯形ABCD的面积是_平方厘米.-1D0BC3.如图，是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15,18,30公顷,则图中阴影部分面积是_.1518Cad30b4.下图中四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，如果三角形ABD的面积是30平方厘米,三角形ABC的面积是48平方厘米,三角形BCD的面积是50平方厘米。那么三角形BOC的面积是_.BODD5.如图，BD，CF将长方形ABCD分成4块，红色三角形面积是4平方厘米，黄色三角形面积是6平方厘米.则绿色四边形面积是_平方厘米.FAD红4绿黄6EBC6.如右图所示,平行四边形ABCD面积是12DE= \frac {1}{3}ADAC与BE的交点为F,则图中阴影部分面积是_.EFBC7.如图，长方形ABCD中，阴影部分是直角三角形且面积为54，OD的长是16，OB的长是9.那么四边形OECD的面积是_.D00E8.如图，一个边长为6分米的正方形，

实用标准文案小学几何之蝴蝶定理大全一、基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比等于对应底边之比。S1:S2=a:b定理2：等分点结论(鸟头定理)如图，三角形△AED的面积占三角形△ABC的面积的3135420定理3：任意四边形中的比例关系(蝴蝶定理)1）S1∶S2=S4∶S3或S1×S3=S2×S4上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积2）AO∶OC=（S1＋S2）∶（S4＋S3）文档实用标准文案梯形中的比例关系(梯形蝴蝶定理)1）S1∶S3=a2∶b2上、下部分的面积比等于上、下边的平方比2）左、右部分的面积相等3）S1∶S3∶S2∶S4=a2∶b2∶ab∶ab4）S的对应份数为（a+b）2定理4：相似三角形性质文档实用标准文案abch1）ABCH2）S1∶S2=a2∶A2定理5：燕尾定理文档实用标准文案S△ABG∶S△AGC=S△BGE∶S△GEC=BE∶ECS△BGA∶S△BGC=S△AGF∶S△GFC=AF∶FCS△AGC∶S△BCG=S△ADG∶S△DGB=AD∶DB二、例题分析例1、如图，ADDB，AEEFFC，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC的面积是多少平方厘米？BDAEFC例2、有一个三角形ABC的面积为1，如图，且1AB，

……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………小学几何之蝴蝶定理大全一、基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比等于对应底边之比。S1 : S2 = a : b定理2：等分点结论(鸟头定理)如图，三角形△AED的面积占三角形△ABC的面积的3135420定理3：任意四边形中的比例关系(蝴蝶定理)1）S1∶S2=S4∶S3或S1×S3 = S2×S4上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积2）AO∶OC =（S1＋S2）∶（S4＋S3）梯形中的比例关系(梯形蝴蝶定理)1）S1∶S3 =a2∶b2上、下部分的面积比等于上、下边的平方比2）左、右部分的面积相等3）S1∶S3∶S2∶S4=a2∶b2∶ab∶ab4）S的对应份数为（a+b）21……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………定理4：相似三角形性质1）abchABCH2）S1∶S2= a2∶A2定理5：燕尾定理S△ABG∶S△AGC= S△BGE∶S△GEC= BE∶ECS△BGA∶S△BGC= S△AGF∶S△GFC= AF∶FCS△AGC∶S

小学奥数之几何五大定理1：共高定理这是最基本最重要最常用最简单的定理，要求熟练掌握，牢固记忆或者（共高三角形面积比等于底的比。）2：鸟头定理鸟头定理又叫共角定理，是由共高定理推出来的。如图在ABC中，D，E分别是AB，AC上的点则。证明：连DC，根据共高定理，则，所以。3：沙漏定理（相似里的平行线截线段）4：蝴蝶定理这个也是由共高定理推出来的也可以用外项之积等于内项之积来写：。用文字叙述为：梯形的对角线将梯形分成四个三角形，腰上两个三角形面积的乘积等于上、下底两个三角形面积之乘积。S1×S3=S2×S4。5:燕尾定理1由共高定理得，所以，这里的最后一行就是燕尾定理，整个过程是燕尾定理怎么用共高定理推出来。

这是几何学上著名的难题之一经过人们不断地研究和探索, 从各个不同角度给出了蝴蝶定理的多种证明方法, 但都较复杂。这里给出一种解析证法, 十分简捷而又优美。证明如上图, 以M 为原点.A B 为x 轴, 建立直角坐标系.设圆心为a(0, 一a), 国半径为r, 直线C D和直线E F 的方程分别为:y 二泛, x 和y 二瓜x, 则知, 圆与二直线CD、E F(退化二次曲线)的曲线系方程为:x,+(y 一a)2 一rZ+又(, 一泥、二)(y 一k Z x)=o此方程表示过C、E、刀、F 四点的二次曲线.在中.令y 一。得二次方程一次项系数为。, 知由表示的任一二次曲线与x 轴(即A B 所在直线)的两交点横坐标x,、二:之和均为。, 即x, 十x:二0.由此得知此二交点关于点M 对称。特别地, 二直线C F、D E(退化二次曲线)也包含在曲线系中, 故其与A B 二交点尸、Q 也应关于M 点对称, 即尸M = Q M, 证毕.此证法之妙, 在于运用整体思维, 不必具体算出各交点的坐标.一道猜想题的肯定与推广华东输油管理局中学初三(2)班张杨(邮编:2 2 1 0 8)(指导老师徐州师范大学数学系张啥方(邮编:2 2 1 1 1 6))在

什么是鸟头模型在三角形中，任意两条边画的两个高线相交，把分成的四个小三角形看成三个三角形，那么中间的那个三角形面积就是大三角形面积的1/4。这就是鸟头模型。 鸟头模型的应用鸟头模型的应用很广泛，经常出现在小学高年级数学题中，尤其是在鸡兔同笼问题中，更是发挥了巨大的作用。 鸟头模型的意义鸟头模型是三角形面积计算公式的一种直观的表现形式，通过对鸟头模型的学习和理解，可以更好地掌握三角形的面积计算，并且能够提高学生的几何思维能力和解决问题的能力。 鸟头模型的证明鸟头模型的证明需要运用三角形面积的公式和共角定理。首先，根据三角形的面积公式可以得出，任意一个三角形的面积为：S=1/2bh，其中b为底边长，h为高线长。然后，根据共角定理可以得出，两个三角形如果有相同的角度，那么它们的面积比等于对应边的平方比。假设在三角形ABC中，BC边上的高线与AC边上的高线相交于点O，那么我们可以将三角形ABC分成四个小三角形，其中三角形BOC和三角形AOC有相同的角度，那么它们的面积比就是对应边的平方比，即：SBOC/SAOC=BO^2/AO^2。同时，三角形BOC和三角形AOB有相同的角度，那么它们的面积比也是对应边的平方比，即：SBQC/SAOB=BQ^2/AO^2。 鸟头模型的推广鸟头模型不仅可以应用于三角形中，还可以推广到四边形中。在四边形中，如果两个对角线相等，那么分成的四个小三角形的面积相等。这个结论也可以通过共角定理来证明。 总结鸟头模型是三角形面积计算公式的一种直观的表现形式，通过学习鸟头模型，可以更好地掌握三角形的面积计算，并且能够提高学生的几何思维能力和解决问题的能力。同时，鸟头模型的证明也运用了共角定理这个重要的几何定理，通过证明鸟头模型的过程，可以加深学生对几何定理的理解和应用。

评析解法5 直接借助椭圆的参数方程设出点的坐标，思路简单，面积表达式清晰，计算量也不算大，相对而言还是一种比较理想的解法．这种解法对于没有学过参数方程的文科考生不太适用． 解法6 由解法1 得2(12)212kADk+=+，12BCBCyyk== ，所以2(12)(2)(12)412kAD BCkk+=+=．由于ADBC，所以122ABDCSAD BC==四边形，则2PCDBAPSS=．设(2cossin)Pθθ，，π(0)2θ ，，(0 1)B ，，(2 0)A ，，则:220ABlxy+=，点P 到直线AB 的距离：22| 2cos2sin2 |1(2)dθθ+=+| 2(cossin1)|5θθ+=，所以1| cossin1|2BAPSAB dθθ==+π|2 cos()1|4θ=++．而πππ()44 4θ+，，π2cos()(1]42θ+，，π2 cos()1(221]4θ+++，，所以(221]BAPS+，，所以2(021]PCDBAPSS=，，即PCD的面积的最大值为21 ．评析解法6 先证明四边形ABDC 的面积是定值2，再将问题转化为求三角形PCD 的面积的最大值，计算量小，容易求，但是前提是要能观察出四边形ABDC 的面积是一个定值，对于大多数考生，思维要求比较高．纵观上述6 种解法，从参数的设法上，可以分为两类：一类是设直线方程（前3 种解法），另一类是设点的坐标（后3 种解

小学几何之蝴蝶定理几何之蝴蝶定理 一、 基本知识点 定理1:同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。 S : S = a : b 12定理2:等分点结论( 鸟头定理) 如图，三角形?AED的面积占三角形?ABC的面积的 313，, 5420定理3:任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理) 1) S?S=S?S 或 S×S = S×S12 431324 上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积 2)AO?OC = (S，S)?(S，S) 1243梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理) 22 1)S?S =a?b 13上、下部分的面积比等于上、下边的平方比 2)左、右部分的面积相等22 3)S?S?S?S=a?b ?ab?ab 1324 2 4)S的对应份数为(a+b)定理4:相似三角形性质 abch 1) ,,,ABCH2 2 2) S ?S= a?A12 定理5:燕尾定理 S?ABG ? S?AGC = S?BGE ? S?GEC = BE?EC S?BGA ? S?BGC = S?AGF ? S?GFC = AF?FC S?AGC ? S?BCG = S?ADG ? S?DGB = AD?DB 二、 例题分析 ABCAEEFFC,,5例1、如图，，，已知阴影部分面积为平方厘米，的面积是ADDB,多少平方厘米, B D AEFC111ABC例2、有一个三角形的面积为1，如图，且，，，求ADAB,BEBC,CFCA,234三角形的面积. DEFA DF 例3、如图，在三角形ABC中，，D为

一、五大定理简介小学奥数中的几何五大定理包括：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理、相似三角形定理。这些定理广泛应用于小学奥数的几何问题中，能够帮助学生解决各种复杂的几何问题。 定理详解1.梅涅劳斯定理如果一条直线与ABC 的三边AB、BC、CA 或其延长线交于F、D、E 点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=-1。 2.塞瓦定理在ABC 内任取一点O，直线AO、BO、CO 分别交对边于D、E、F，则(BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。 3.托勒密定理圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 4.西姆松定理从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 5.相似三角形定理如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 定理应用1.梅涅劳斯定理在遇到三角形中的线段比的计算问题时，可以考虑使用梅涅劳斯定理来求解。例如，在一个三角形中，已知三条边上的三个分点，可以通过梅涅劳斯定理计算出三个分点所构成的三角形与原三角形面积的比值。 2.塞瓦定理在解决涉及三角形三条高线的交点问题时，可以使用塞瓦定理来求解。例如，在一个三角形中，已知三个顶点和三条边上的高，可以通过塞瓦定理计算出三个垂足是否共线。 3.托勒密定理在解决圆内接四边形的问题时，可以使用托勒密定理来求解。例如，在一个圆内接四边形中，已知四条边的长度，可以通过托勒密定理计算出这个四边形的面积。 4.西姆松定理在解决与三角形外接圆有关的问题时，可以使用西姆松定理来求解。 总结 小学奥数中的几何五大定理是解决几何问题的重要工具，它们涵盖了三角形、圆等基本几何图形的性质和关系。通过掌握这些定理，学生可以提高解决几何问题的能力和思维能力。在学习和应用这些定理时，学生需要注重理解和掌握定理的证明过程，以便更好地理解和应用这些定理。