几何五大模型之二：鸟头定理（共角定理）模型鸟头定理（共角定理）模型：两个三角形中有一个角相同或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等于对应角（相同角或互补角）两夹边的乘积之比。如下图在\triangle ABC 中，D，E分别是AB，AC上的点(或D在BA的延长线上，E在AC \perp)，则S_{ \triangle ABC}:S_{ \triangle ADE}=(AB \times AC):(AD \times AE)A D D A E E B C B C 图一图二证明:最后我们会发现两种情况的证明方法完全一样。(1)(2)例题1：9.E D B 如上图，在\triangle ABC 中，D，E分别是ABAC上的点，其中：EC=3AE, AD=2DB,S_{ \triangle ABC}=1, 求\triangle ADE 的面积。题一解法一：利用鸟头定理有:\frac {S_{ \triangle ADE}}{S_{ \triangle ABC}}= \frac {AE \times AD}{AC \times AB} 所以S_{ \triangle ADE}= \frac {1}{6} 题一解法二：A E D B 本题也可以不用鸟头定理，而用等积变换。连接BE，在\triangle AEB 中，S_{ \triangle AED}:S_{ \triangle AEB}=AD:AB=2:3 S_{ \triangle AED}=(213)S_{ \triangle AEB}(1)在\triangle ABC 中，S_{ \triangle AEB}:S_{ \triangle ABC}=AE:AC=1:4 S_{ \triangle AEB}=(1/4)S_{

ABABABDCCEDFCD例、如图，\triangle ABC的面积是24,D、E、F分别是BC、AC、AD的中点,求\triangle DEF的面积。AFEBDC解析：根据等积变换知，S_{ \triangle ADC}= \frac {1}{2}S_{ \triangle ABC}= \frac {1}{2} \times 24=12,S_{ \triangle ADE}= \frac {1}{2}S_{ \triangle ADC}= \frac {1}{2} \times 12(2)鸟头模型(共角定理)1、两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫共角三角形;2、共角三角形的面积之比等于对应角(相等或互补)两夹边的乘积之比。如下图\triangle ABC中,D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点。我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！因此\frac {S_{ \triangle ADE}}{S_{ \triangle ABC}}例、如图，在\triangle ABC中,点D在BA的延长线上,点E在AC上,且AB:AD=5:2,AE:EC=3:2, \triangle ADE它的面积为12平方厘米,求\triangle ABC的面积。DAEBC解析：根据鸟头模型可知：\frac {S_{ \triangle ABC}}{S_{ \triangle ADE}}= \frac {AB \times AC}{AD \times AE},所以S_{ \triangle ABC}= \frac {AB}{AD} \times \frac {AC}{AE} \times S_{ \triangle ADE}= \frac {5}{2} \times \frac {5}{3} \times 12=50平方厘米)。(3)蝴蝶模型1、梯形中的比例

【奥数】小升初几何五大模型巩固练习1、如图，在角MON的两边上分别有A、C、E、B、D、F六个点，并且\triangle OAB、\triangle ABC、\triangle BCD、\triangle CDE、\triangle DEF的面积都等于1,求\triangle DCF的面积。NFDBOMACE2、如下图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果\triangle ADE的面积为4平方厘米,求三角形CDF的面积。DCFAEB3、如下图，在三角形ABC中，BD=2AD,AG=2CG,BE=EF=FC,求四边形DGFE面积占三角形ABC的几分之几?ADGBEFC4、如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA=AB、CB=BF、DC=CG、HD=DA,求四边形ABCD的面积。HCGDBAFE5、边长为1的正方形ABCD中，BE=2EC、FC=DF,求三角形AGE的面积。ADGFBCE6、如图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积为11，三角形BCH的面积为23,求四边形EGFH的面积。FABGHDCE7、如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，BC=120毫米，高AD=80毫米。现在要把它加工成一个正方形零件,是正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？APNBHGD8、如图，已知正方形ABCD的面积为120平方厘

三角形等高模型与鸟头模型模型二 鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做 共角三角形 ． 共角三角形面积比等于对应角 ( 相等角或互补角 ) 两夹边乘积之比 ． 如图在中，分别是上点如图 ⑴(或在延长线上，在上如图 2)，那么图⑴ 图⑵ 【例 1】 如 图 在中 ，分 别 是上 点 ， 且，，平方厘米，求面积．【解析】连接，，，所以，设份，那么份，平方厘米，所以 份是 平方厘米，份就是平方厘米，面积是平方厘米．由此我们得到一个重要定理，共角定理：共角三角形面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边乘积之比 ．【稳固】如图，三角形中，是5 倍，是3 倍，如果三角形面积等于 1，那么三角形面积是多少？【解析】连接．又∵【稳固】如图，三角形 ABC 被分成了甲(阴影局部)、乙两局部，，，，乙局部面积是甲局部面积几倍？【解析】连接．又∵， 【例 2】 如图在中，在延长线上， 在上，且，，平方厘米，求面积．【解析】连接，

如图在ABC 中，D,E 分别是AB, AC 上的点如图(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图2)，则SABC:SADE (AB AC):(AD AE)DAADEEB图图CBC【例1】如图在ABC 中，D,E 分别是AB, AC 上的点，且AD:AB 2:5 ，AE:AC 4:7 ，SADE 16 平方厘米，求ABC 的面积．AADEDEBC【解析】连接BE ，SADE:SABE AD:AB 2:5 (2 4):(5 4)，BCSABE:SABC AE:AC 4:7 (4 5):(7 5)，所以SADE:SABC (2 4):(7 5)，设SADE 8 份，则SABC 35 份，SADE 16 平方厘米，所以1份是2 平方厘米，35 份就是70 平方厘米，ABC 的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5 倍，AC 是AE 的3 倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？AADECDECB【解析】连接BE ． EC 3AE SV ABC 3SV ABE又AB 5ADB SV ADE SV ABE 5 SV ABC 15 ，SV ABC 15SV ADE 15 ．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD DC 4，BE 3 ，AE 6 ，乙部分面积是甲部分面积的几倍？AAEB甲DE乙CB甲D乙C【解析】连接AD ． BE 3 ，AE 6 A

如图在ABC中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图(或D 在BA的延长线上，E 在AC 上如图2)，则:():()ABCADESSABACADAEEDCBAEDCBA图图【例1】如图在ABC中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB，:4:7AE AC，16ADES平方厘米，求ABC的面积．三角形等高模型与鸟头模型word.EDCBAEDCBA【解析】连接BE 2:5(24):(54)ADEABESSADAB 4:7(45):(75)ABEABCSSAEAC，所以:(24):(75)ADEABCSS，设8ADES份，则35ABCS份，16ADES平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5 倍，AC 是AE的3 倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？EDCBAABCDE【解析】连接BE ．3ECAE3ABCABESSVV又5ABAD515ADEABEABCSSSVVV，1515ABCADESSVV．【巩固】如图，三角形被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BDDC，3BE，6AE，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲EDCBAABCDE甲乙【解析】连接AD ．3BE，6AE3ABBE ，3ABDBDESSVV又4BDDC，2ABCABDS

SADEAD×AES=ACABCAB×ADEBC二一点在边上，一点在边的延长线上：SSCDE=CD×CEABCBC×ACAEBDC1例1如图，AD=DB，AE=EF=FC，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC的面积是平方厘米．例2例2（1）如图在ABC中，D、E分别是AB，AC上的点，且AD:AB=2:5, AE:AC=4:7,ABC的面积是16平方厘米，求ABC的面积。（2）如图在ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD=5:2，AE:EC=3:2,ADE的面积是12平方厘米，求ABC的面积。2例3已知DEF的面积为12平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求ABC的面积。例4三角形ABC面积为1，AB边延长一倍到D，BC延长2倍到E，CA延长3倍到F，问三角形DEF的面积为多少？FACEBD3例5长方形ABCD面积为120，EF为AD上的三等分点，G、H、I为DC上的四等分点，阴影面积是多大？例6如图，过平行四边形ABCD内的一点P作边AD、BC的平行线EF、GH，若PBD的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米？AGDEPFBHC4家庭作业1.如下左图，在ABC中，D、E分别是BC、AB的三等分点，且ABC的面积是54，求CDE的面积。AEBDC1那BN．2.如图，长方形ABCD的面积

精品字里行间精品文档个性化辅导讲义_时间年月日年级：蝴蝶模型课题教学目标1.熟记蝴蝶模型，2.学会使用蝴蝶模型解决问题。3.学着对平面图形进行对比，培养发现特征的能力。教学内容【温故知新】默写公式：【知识梳理】模型三蝴蝶模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理 DAS1S4S2OS3BCS1:S2S4:S3或者S1S3S2S41S2:S4S3AO:OCS蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的成功是必须的精品字里行间精品文档对角线的比例关系。板块一任意四边形模型【例题精讲】例1如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，AOB面积为1平方千米，BOC面积为2平方千米，COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？CBOAD【举一反三】1、如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知

解析：解法一：如上图，根据三角形外角性质，可得1BD，2AC．在EMN中，由三角形内角和定理，得E12180°．所以ABCDE180°．解法二：如上图，根据三角形外角性质，可得32E，2AC．所以3ACE．在BMD中，由三角形内角和定理，得3BD180°．所以ABCDE180°．点评：以上两种解法均是利用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”这个性质来解的．解题过程是把五个角转化到同一个三角形中，再利用三角形内角和定理来求解．解法三：如上图，根据三角形外角性质，得32E，2AC，1BD．由平角定义，得31180°，所以2EBD180°．所以ABCDE180°．点评：本解法利用了外角的性质和平角的定义，巧妙代换，进而求出结果．解法四：如下图，连接BC．根据三角形内角和定理和对顶角性质，可知AD12．在EBC中，由三角形内角和定理，得EEBCECB180°，即EEBD1ECA2180°．所以EEBDECAAD180°．点评：本解法仍然是通过添加辅助线把五个角转化到同一个三角形中，再运用三角形内角和定理来求解．五角星的旋转角度可以通过不同的方法计算得出�

例题1例题2将三角形ABC的AB边延长一倍到D，BC边延长两倍到E，CA边延长三倍到F。如果三角形ABC的面积等于1，那么三角形DEF的面积是18。【例4】AC的长度是AD的五分之四，且AED的面积是ABC面积的一半。请问：AE是AB的几分之几？【解析】五分之二。因为“AC的长度是AD的五分之四”，所以SABC:SABD4:5，又因为SAED是SABC的一半，可知SAED占2份，SAED:SABD2:5。因此AE是AB的五分之二。【例8】园林小路曲径通幽.如下图所示，小路由白色正方形石板和青、红两色的三角形石板铺成。问：内圈红色三角形石板的总面积大，还是外圈青色三角形石板的总面积大？请说明理由.【解析】一样大。此题为例7的延伸，考察学生对鸟头定理中第四个模型的掌握情况，图中有多个。因为白色石板均为正方形（如图）。因此AB=AD、AE=AC，推出SADE:SABC(AD×AE AB×AC)1:1，即两三角形面积相等。同理可知内圈红色三角形面积应该等于外圈青色三角形面积，所以内外总面积相等。【挑战题】在四边形ABCD中，其对角线AC、DB交于E点。 已知四边形ABCD的

几何第02 讲_鸟头模型知识图谱几何第02 讲_鸟头模型-一、鸟头模型三角形中的鸟头四边形中的鸟头一：鸟头模型知识精讲两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比．我们把这样的图形，称为鸟头模型．如图所示，ADE 的面积比ABC 的面积是：．三点剖析重难点：复杂图形如何构造鸟头模型，进而利用鸟头模型的结论简单化复杂问题，进而解决它们．题模精讲题模一三角形中的鸟头例1.1.1、如图 那么三角形ADE 占三角形ABC 面积的_．答案：解析：根据鸟头模型，．例1.1.2、在三角形ABC 中，已知 已知三角形ABC面积是24，那么三角形DEF 的面积是_．答案：7解析：根据鸟头模型 所占比例分别为 因此，．例1.1.3、如图，在ABC 中，BD=2AD，AG=2CG，，求阴影部分的面积占ABC 面积的几分之几？答案：解析：连结BG． ，故，即．同理 故阴影部分的面积占ABC 面积的．题模二四边形中的鸟头例1.2.1、如图，长方形ABCD 的面积是48 三

鸟头模型的种类1.真选组鸟头模型：真选组鸟头模型是《银魂》中真选组队员们的恶搞形象，它的形象特点是将鸟的头部画在真选组队员的身体上，真选组鸟头模型通常用于制作各种周边产品，如钥匙扣、手机壳、文具等。 2.外星人鸟头模型：外星人鸟头模型是《银魂》中外星人的恶搞形象，它的形象特点是将鸟的头部画在外星人的身体上，外星人鸟头模型通常用于制作各种外星人文创产品，如T 恤、帽子、文具等。 3.歌舞伎町鸟头模型：歌舞伎町鸟头模型是《银魂》中歌舞伎町的恶搞形象，它的形象特点是将鸟的头部画在歌舞伎町的招牌上，歌舞伎町鸟头模型通常用于制作各种歌舞伎町相关的周边产品，如T 恤、帽子、文具等。 鸟头模型的创作方法1.准备工具：铅笔、橡皮擦、彩色铅笔、水彩笔、画纸等。 2.绘制草图：根据需要，用铅笔轻轻绘制出鸟头模型的草图，可以参考《银魂》中的鸟头模型形象，也可以自己发挥创意。 3.填充颜色：用彩色铅笔、水彩笔等工具填充鸟头模型的颜色，可以选择单一颜色或多种颜色组合。 4.添加细节：根据需要，用彩色铅笔、水彩笔等工具添加鸟头模型的细节，如眼睛、嘴巴、羽毛等。 5.完成绘制：检查绘制的鸟头模型是否有错误或不足之处，进行必要的修改和完善，完成绘制。 鸟头模型的意义1.恶搞元素：鸟头模型是《银魂》中的一个恶搞元素，它的出现常常会带来一些搞笑的效果，增加了作品的趣味性。 2.创意表达：鸟头模型的创作可以激发人们的创意和想象力，让人们通过绘画表达自己的想法和情感。 3.文化符号：鸟头模型已经成为了《银魂》文化的一部分，它代表了《银魂》的风格和特点，具有一定的文化符号意义。 4.商业价值：鸟头模型的形象可以用于制作各种周边产品，如T 恤、文具、玩具等，具有一定的商业价值。 总之，鸟头模型是一个有趣的、富有创意的形象，它可以用于装饰、艺术创作、文化衫设计等领域，也可以用于制作各种周边产品，具有一定的商业价值。同时，鸟头模型也是《银魂》文化的一部分，代表了《银魂》的风格和特点。