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2025高中数学八大核心知识概率统计排列组合常见22类题型解题策略（解析版）
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排列组合常见22类题型解题策略考点01：特殊元素和特殊位置优先策略1.贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛在黔东南苗族侗族自治州台江县台盘村开赛.该联赛由台盘村“六月六”吃新节篮球赛发展演变而来，被网友称为“村BA”.村BA给全国人民展现的不仅是贵州人热爱生活的精神，更展现了如今欣欣向荣的贵州山水人文，同时给贵州的旅游带来巨大的收益.2023年8月20日晚上村BA西南大区赛总决赛落下帷幕，为庆祝比赛顺利结束，主办方设置一场扣篮表演，分别由重庆、贵州、四川、云南代表队每队各选出2名球员参加扣篮表演，贵州队作为东道主，扣篮表演必须在第一位及最后一位，那么一共有()种表演顺序.A.A88B.C28A66C.A22A66D.A28A662.云南省大理州于2023年5月4日至10日成功举办了三月街民族节活动.在活动期间，有6名志愿者报名参加了三月街民族节志愿服务活动，活动结束后6名志愿者排成一排合影，则甲志愿者不在两边，乙、丙志愿者相邻的概率为.考点02：相邻元素捆绑策略3.2023年5月21日，中国羽毛
（整理版）排列组合的常见题型及其解法
排列组合的常见题型及其解法排列、组合的概念具有广泛的实际意义，解决排列、组合问题，关键要搞清楚是否与元素的顺序有关。复杂的排列、组合问题往往是对元素或位置进行限制，因此掌握一些根本的排列、组合问题的类型与解法对学好这局部知识很重要。一.特殊元素〔位置〕用优先法把有限制条件的元素〔位置〕称为特殊元素〔位置〕，对于这类问题一般采取特殊元素〔位置〕优先安排的方法。例1.6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？分析：解有限制条件的元素〔位置〕这类问题常采取特殊元素〔位置〕优先安排的方法。解法1：〔元素分析法〕因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有种站法故站法共有：480〔种〕解法2：〔位置分析法〕因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有种；第二步再让剩余的4个人〔含甲〕站在中间4个位置，
(完整)常见排列组合题型及解题策略
可重复的排列求幂法相邻问题捆绑法相离问题插空法元素分析法（位置分析法）多排问题单排法定序问题缩倍法（等几率法）标号排位问题（不配对问题）不同元素的分配问题（先分堆再分配）相同元素的分配问题隔板法：多面手问题（分类法---选定标准）走楼梯问题（分类法与插空法相结合）排数问题（注意数字“0”）染色问题“至多”“至少”问题用间接法或分类:十三．几何中的排列组合问题:排列组合常见题型及解题策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪
排列组合问题经典题型与通用方法(1)
排列组合问题经典题型与通用方法解析版1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，则不同的排法有（）A、60种B、48种C、36种D、24种解析：把视为一人，且固定在的右边，则本题相当于4人的全排列，种，答案：.2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种，选.3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种B、60种C、90种D、120种解析：在的右边与在的左边排法数相同，所以题设
排列组合中的常见题型与技巧应用（8大题型）原卷版-2025高考数学重难题型解题技巧
i重难题型•解题技巧攻略J_______________________专题16排列组合中的常见题型与技巧应用检-----------题型归纳•定方向 -----------*>目录 题型01特殊元素、特殊元素位置法..............................................................1题型02捆绑法.................................................................................2题型03插空法.................................................................................3题型04间接法.................................................................................4题型05倍缩法.................................................................................5题型06排数问题...............................................................................6题型07分组、分配问题.........................................................................7题型08染色问题...............................................................................8O---------------- 题型探析,明规律 ----------♦>题型01特殊元素、特殊元素位置法【解题规律•提分快招】对有限制条件的元素（或位置）要优先考虑，位置优先法和元素优先法
2025年高考数学专项题型点拨训练之排列与组合
2025年高考数学专项题型点拨训练之排列与组合
2025年高考数学专项题型点拨训练排列与组合【题型一】排列数与组合数(押题型)【题型二】人坐座位模型1：相邻捆绑与不相邻插空【题型三】人坐座位模型2：染色(平面、空间)【题型四】分配问题：球不同，盒不同【题型五】分配问题：球同，盒不同【题型六】书架插书模型【题型七】代替元法：最短路径【题型八】代替元法：空车位停车等【题型九】环排问题：直排策略【题型十】数列思想：上楼梯等排列组合和二项式定理是高考热点知识点，有了多选题型后常和概率结合起来考察，所以需要考生对于排列组合的基础题型有所了解，以及一些特殊的方法，这块有很多固定的题型，当然在掌握题型的基础上还需要明白其原理，能够冷静分析，合理运用好排列组合的解题思维。根据高考回归课本的趋势，排列数与组合数的运算以及术与式的归纳理解要求要相继变高，而这块内容也是因为传统的固定题型容易被学生忽略的知识点，需要重视起来。易错点：对两个计数原理理解混乱两个计数原理完成一
排列组合常见题型及解题策略(20220201155349)
排列组合常见题型及解题策略一、可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,则通过“住店法”可顺利解题,在这类问题使用住店处理的策略中,关键是在正确判断哪个底数,哪个是指数【例1】(1)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有多少种不同报名方法(2)有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结果(3)将3封不同的信投入4个不同的邮筒,则有多少种不同投法【解析】：(1)3^{4}(2)4^{3}(3)4^{3}【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法【解析】:完成此事共分6步,第一步;将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有7^{6}种不同方案.【例3】8名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有()A、8^{3}D、C_{8}^{3}A.8^{3}B、3^{8}C、A_{8}^{3}D【解析】:冠军不能重复,但同一个学生可获得多项
排列组合常见题型及解题策略(2)
排列组合常见题型及解题策略可重复的排列求幂法相邻问题捆绑法相离问题插空法元素分析法（位置分析法）多排问题单排法定序问题缩倍法（等几率法）标号排位问题（不配对问题）不同元素的分配问题（先分堆再分配）相同元素的分配问题隔板法多面手问题（分类法---选定标准）走楼梯问题（分类法与插空法相结合）排数问题（注意数字“0”）高考资染色问题排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，
排列组合常见22类题型解题策略（解析版）
排列组合常见22类题型解题策略考点01：特殊元素和特殊位置优先策略1.贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛在黔东南苗族侗族自治州台江县台盘村开赛.该联赛由台盘村“六月六”吃新节篮球赛发展演变而来，被网友称为“村BA”.村BA给全国人民展现的不仅是贵州人热爱生活的精神，更展现了如今欣欣向荣的贵州山水人文，同时给贵州的旅游带来巨大的收益.2023年8月20日晚上村BA西南大区赛总决赛落下帷幕，为庆祝比赛顺利结束，主办方设置一场扣篮表演，分别由重庆、贵州、四川、云南代表队每队各选出2名球员参加扣篮表演，贵州队作为东道主，扣篮表演必须在第一位及最后一位，那么一共有()种表演顺序.A.A88B.C28A66C.A22A66D.A28A66【答案】C【分析】先确定贵州两名球员的顺序，再确定其余6人的表演顺序即可.【详解】由题意易知，一共有8个人需要排列.先确定贵州两名球员的顺序为A22，在确定其余6人顺序为A66，由分步乘法原理可得一共有A22A66种顺序.故选：C.2.云南省大理州于2023年5月4日至10日成功
排列组合常见题型及解题策略(详解)10
可重复的排列求幂法:重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,则通过“住店法”可顺利解题,在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】(1)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法?(2)有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结果?(3)将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法?【解析】:(1)3^{4}(2)4^{3}(3)4^{3}【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法?【解析】:完成此事共分6步,第一步; 相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.【例1】A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果A,B必须相邻且B在A的右边,那么不同的排法种数有_【解析】:把A,B视为一人,且B固定在A的右边,则本题相当于4人的全排列,A_{4}^{4}=24种【例2】(2009四川卷理)3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是()A.360B.188C.216D.96【解析】:间接法6位同学站成一排,3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，C_{3}^{2}A_{2}^{2}A_{4}^{2}A_{2}^{2} 元素分析法(位置分析法):某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素;再排其它的元素。【例1】2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有()A.36种B.12种C.18种D.48种【解析】:方法一：从后两项工作出发，采取位置分析法。A_{3}^{2}A_{3}^{3}=36方法二：分两类：若小张或小赵入选，则有选法C_{2}^{1}C_{2}^{1}A_{3}^{3}=24;若小张、小赵都入选，则有选法A_{2}^{2}A_{3}^{2}=12,共有选法36种，选A. 定序问题缩倍法(等几率法):在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.【例1】.A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边(A,B可以不相邻）那么不同的排法种数是()【解析】：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即\frac {1}{2}A_{5}^{5}=60【例2】书架上某层有6本书,新买3本插进去,要保持原有6本书的顺序,有多少种不同的插法?【解析】：法一：法二：\frac {1}{A_{6}^{6}}A_{9}^{9}【例3】将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排,若A、B、C必须按A在前,B居中，C在后的原则(A、B、C允许不相邻)，有多少种不同的排法? 标号排位问题（不配对问题）把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.【例1】将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有()A、6种B、9种C、11种D、23种【解析】：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3 \times 3 \times 1=9种填法，选B.【例2】编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位,其中有且只有两个的编号 不同元素的分配问题(先分堆再分配);注意平均分堆的算法【例1】有6本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配方式?(1)分成1本、2本、3本三组；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；(3)分成每组都是2本的三个组；(4)分给甲、乙、丙三人，每个人2本；(5)分给5人每人至少1本。【解析】:(1)C_{6}^{1}C_{5}^{2}C_{3}^{3}(2)C_{6}^{1}C_{5}^{2}C_{3}^{3}A_{3}^{3}(3)\frac {C_{6}^{2}C_{4}^{2}C_{2}^{2}}{A_{3}^{3}}(4)C_{6}^{2}C_{4} 相同元素的分配问题隔板法：【例1】:把20个相同的球全放入编号分别为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子中的球数不少于其编号数,则有多少种不同的放法?【解析】:向1,2,3号三个盒子中分别放入0,1,2个球后还余下17个球,然后再把这17个球分成3份,每份至少一球,运用隔板法,共有C_{16}^{2}=120种。【例2】10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?【解析】:10个名额分到7个班级,就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个,可以在10个小球的9个空位中插入6块木板,每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为C_{9}^{6}=84种. 多面手问题(分类法---选定标准)【例1】:有11名外语翻译人员,其中5名是英语译员,4名是日语译员,另外两名是英、日语均精通，从中找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可以开出几张?C_{5}^{4}C_{4}^{4}+C_{5}^{3}C_{2}^{1}C_{4}^{4}+C_{5}^{4}C_{2}^{1变式:.有11名外语翻译人员,其中有5名会英语,4名会日语,另外两名英,日语都精通,从中选出8人,组成两个翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻译日语,问共有多少不同的选派方式?答案：185 染色问题：涂色问题的常用方法有：(1)可根据共用了多少种颜色分类讨论；(2)根据相对区域是否同色分类讨论；(3)将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。【例1】将一个四棱锥S-ABCD的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有5种颜色可供使用,那么不同的染色方法的总数是_【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。(1)若恰用三种颜色,可先从五种颜色中任选一种染顶点S,再从余下的四种颜色中任选两种涂A、B、C、D四点，此时只能A与C、B与D分别同色，故有C_{5}^{1}A_{4}^{2}=60种方法。(2)若恰用四种颜色 “至多”“至少”问题用间接法或分类:十三．几何中的排列组合问题：【例1】已知直线\frac {x}{a}+\frac {y}{b}=1b是非零常数)与圆x^{2}+y^{2}=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有_条【解析】:圆上的整点有:(\pm 6, \pm 8),(\pm 8, \pm 6),(\pm 10,0),(0 \pm 10)12个C_{12}^{2}=66其中关于原点对称的有4条不满则条件切线有C_{12}^{1}=12,其中平行于坐标轴的有14条不满则条件66-4+12-14=60答案:60
排列组合概率统计题型
**排列组合概率统计题型详解****一、排列与组合基础**1.**基本概念**：排列是从n个不同元素中取出m（mn）个元素，按照一定的顺序排成一列；组合是从n个不同元素中取出m（mn）个元素，不考虑其顺序。2.**计算公式**：排列公式：A_n^m=n! 组合公式：C_n^m=n! ]3.**典型题型**：给定一组数或物品，问可以形成多少种不同的排列或组合。**二、古典概型计算**1.**基本概念**：古典概型是指在一定条件下，一些互不相容且必有一个发生的随机事件构成的模型。2.**计算方法**：某一事件A发生的概率P(A)=该事件包含的基本事件个数/基本事件总数。3.**典型题型**：根据给定的样本空间，计算某事件发生的概率。**三、条件概率与独立性**1.**条件概率**：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率P(A|B)。2.**独立性**：如果两个事件A和B的发生是相互独立的，则P(AB)=P(A)*P(B)。3.**典型题型**：给定某事件已发生，求另一事件发生的概率；或判断两个事件是否独立。**四、随机变量与分布**1.**随机变量**：随机变量是定义在样本空
排列组合问题的常见题型及解题方法
排 列组 合 问题 是高考 必考 题 ，是学 习概 率的重 要基 础知 识 。它联 系实 际 ，生 动 有 趣 。但 这 种 题 型 思 路 灵 活 ，方 法 新 颖 ，解 题 过 程 中 出 现 “ 重 复 ” 或 “ 遗 漏 ” 是 常 见 的现象 ，计 算结 果往 往数 目较 大 ，无法 一一检 验 。要解 决这 个 问题 ，除 了加深 对 概念 的理解 、掌握 知识 的 内在 联系 和 区别 、科 学 周全地 分 析思 考外 ，对题 型 的 归 类 、解 题 方 法 的 总 结 也 是 行 之 有 效 的 好 方 法 。 本 文 就 常 见 的 典 型 题 型 和 解 决 方 法 归 纳 如 下 。 一、 两个 基本原 理 的直接 运用 应 用 两 个 原 理 时 ，一 定 要 区 分 事 件 是 分 类 而 不 是 分 步 完 成 的 ，对 某 些 复 杂 问题 常先 分类 ，后分步 ，做 到层 次清 楚 ，不重 复不 遗漏 。 例 l 5 名学 生参加 四项体 育 比赛 ，每人 限报 一项 ，报 名 方法 的种 数 为 多少? 又他们 争夺 四项 比赛 的冠 军 ．获得 冠军 的可能性 有 多少种? 解析第一 问 ，每个学 生都 报名 后 才能完 成报名 任 务
排列组合问题经典题型及通用方法
-排列组合问题经典题型与通用方法(教师版)1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，则不同的排法有〔〕A、60种B、48种C、36种D、24种2.相离问题插空排:元素相离〔即不相邻〕问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，则不同的排法种数是〔〕A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制*几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果必须站在的右边〔可以不相邻〕则不同的排法有〔〕A、24种B、60种C、90种D、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把*个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的
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