一 、 选择 题 1 ． （ 2023 八 下 · 台江 期末 ） 对于 一元 二 次 方程 ， 则 它 根 的 情况 为 （ 有 一个 实数 根 B ． 有 两 个 不 相等 的 实数 根 C ． 没有 实数 根 D ． 无法 判断 【 答案 】 B 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 根 的 判别 式 及 应用 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 2 x2 = x ， 整理 得 2 x2 - x = 0 ， = b2 - 4 ac = （ - 1 ） 2 - 4 × 2 × 0 = 10 ， 方程 2 x2 = x 有 两 个 不 相等 的 实数 根 . 故 答案 为 ： B . 【 分析 】 对于 一元 二 次 方程 “ ax 2 + bx + c = 0 （ a 、 b 、 c 是 常数 ， 且 a0 ） ” 中 ， 当 b2 - 4 ac 0 时 方程 有 两 个 不 相等 的 实数 根 ， 当 b2 - 4 ac = 0 时 方程 有 两 个 相等 的 实数 根 ， 当 b2 - 4 ac 0 时 方程 没有 实数 根 ， 据此 计算 出 方程 根 的 判别 式 的 值 即可 判断 得出 答案 . 2 ． （ 2023 八 下 · 海淀 期末 ） 用 配 方法 解 方程 时 ， 原 方程 变形 正确 的 是 （ 【 答案 】 C 【 知识 点 】 配 方法 解 一元 二 次 方程 【 解析 】 【 解答 】 故 选 ： C 【 分析 】 看到 一次 项 系数 为 - 2 ， 它 的 一半 是 - 1 ， 至此 就 可以 判定 出 正确 选项 是 C 。 掌握 配 方法 解 一元 二 次 方程 。 （ 2023 八 下 · 杭州 期中 ） 用 配 方法 解 方程 x2 - 4 x - 60 时 ， 原 方程 应 变形 为 （ （ x + 2 ） 210 B ． （ x + 4 ） 222 C ． （ x - 4 ） 222 D ． （ x - 2 ） 2101 / 10 【 答案 】 D 【 知识 点 】 配 方法 解 一元 二 次 方程 【 解析 】 【 解答 】 解 ： x2 - 4 x - 60 ， 移项 ， 得 x2 - 4 x = 6 ， 配方 ， 得 x2 - 4 x + 4 = 6 + 4 ， 2 = 10 . （ x - 2 ） 故 答案 为 ： D . 【 分析 】 将 常数 项 移 到 方程 的 右边 ， 方程 的 两 边 都 加上 一次 项 系数 一半 的 平方 “ 4 ” ， 左边 利用 完全 平方 公式 分解 因式 ， 右边 合并 同类 项 即可 . 4 ． （ 2023 八 下 · 安庆 期末 ） 下列 一元 二 次 方程 中 ， 没有 实数 根 的 是 （ 【 答案 】 C 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 根 的 判别 式 及 应用 【 解析 】 【 解答 】 解 ： A ： 原 式 为 ： ， 得 ： x = - 1 或 x = 3 ， A 不 符合 题意 B ： 原 式 解 得 ： ， B 不 符合 题意 ； C ： 原 式 为 ： ， 方程 无 解 ， C 符合 题意 ； D ： 原 式 为 ， 解 得 ： x = - 1 ， D 不 符合 题意 。 故 答案 为 ： C 【 分析 】 化 简 方程 即可 求 出 答案 。 （ 2023 八 下 · 靖江 期末 ） 利用 公式 法 求解 可 得 一元 二 次 方程 式 的 两 解 为 、 ， 且 ， 求 a 值 为何 （ 【 答案 】 D2 / 10 【 知识 点 】 公式 法 解 一元 二 次 方程 【 解析 】 【 解答 】 解 ： a ， b 为 一元 二 次 方程 得 两 解 ， 且 ab ， 由 求 根 公式 得 故 答案 为 ： D .

一 、 选择 题 1 ． （ 2022 八 下 · 杭州 期中 ） 下列 关于 的 方程 其中 一元 二 次 方程 有 （ 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 【 答案 】 A 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 的 定义 及 相关 的 量 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 当 a = 0 且 b0 时 ， 此 方程 是 一元 一次 方程 ； 此 方程 是 一元 二 次 方程 ； 此 方程 是 分式 方程 ； 此 方程 是 一元 三 次 方程 ； 即 - 12 x + 12 = 0 是 一元 一次 方程 ； ， 此 方程 是 是 一元 一次 方程 ； 其中 一元 二 次 方程 有 . 故 答案 为 ： A . 【 分析 】 一元 二 次 方程 满足 的 条件 ： 1 、 含有 一个 未知 数 ； 2 、 含 未知 数 项 的 最高 次数 是 2 次 ； 3 、 是 整式 方程 ； 再 对 各 选项 逐一 判断 可 得 答案 . 2 ． （ 2015 八 下 · 萧山 期中 ） 把 一元 二 次 方程 （ 1 x ） （ 2 x ） = 3 x2 化成 一般 形式 ax 2 + bx + c = 0 （ a0 ） 其中 a 、 b 、 c 分别 为 （ 2 、 3 、 1 B ． 2 、 3 、 1 C ． 2 、 3 、 1D ． 2 、 3 、 1 【 答案 】 B 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 的 定义 及 相关 的 量 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 原 方程 可 整理 为 ： 2 x 23 x1 = 0 ， 1 / 10a = 2 ， b = 3 ， c = 1 ； 故 选 B ． 【 分析 】 首先 将 已知 方程 进行 整理 ， 化为 一元 二 次 方程 的 一般 形式 ， 再 来 确定 a 、 b 、 c 的 值 ． （ 2023 八 下 · 舟山 期末 ） 关于 x 的 一元 二 次 方程 的 一个 根 是 0 ， 则 a 的 值 为 （ 1 或 C ． 0 . 5 【 答案 】 C 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 的 根 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 一元 二 次 方程 的 一个 根 为 0 ， a - 10 且 a2 - 1 = 0 ， a = - 1 . 故 答案 为 ： C . 【 分析 】 根据 一元 二 次 方程 的 概念 以及 根 的 概念 可 得 a - 10 且 a2 - 1 = 0 ， 求解 即可 . 4 ． （ 2023 八 下 · 江北 期末 ） 某 放射 性 元素 经 2 天后 ， 质量 衰变 为 原来 的 ． 若 设 这种 放射 性 元素 质量 的 日 平均 减少 率 为 ， 则 可 列 出 方程 为 （ 【 答案 】 C 【 知识 点 】 列 一元 二 次 方程 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 由 题意 得 ， 某 放射 性 元素 经 1 天后 的 质量 为 ， 某 放射 性 元素 经 2 天后 的 质量 为 ， 某 放射 性 元素 经 2 天后 的 质量 为 原来 的 ， . 故 答案 为 ： C . 2 / 10 【 分析 】 根据 等量 关系 质量 衰 为 原来 的 ， 列 一元 二 次 方程 即可 求解 . 5 ． （ 2022 八 下 · 温州 期中 ） 已知 关于 x 的 一元 二 次 方程 x2 + 3 x - m = 0 的 一个 根 是 x = 2 ， 则 m 的 值 为 （ - 10B ． 10 【 答案 】 D 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 的 根 【 解析 】 【 解答 】 解 ： x2 为 x2 + 3 x - m = 0 的 一个 根 ， 22 + 3 × 2 - m0 ， 解 得 ： m10 . 故

一 、 选择 题 1 ． （ 2023 八 下 · 青 秀 期末 ） 年月 是 第 个 世界 读书 日 ， 读书 已经 成为 很 多 人 的 一 种 生活 方式 ， 城市 书院 是 读书 的 重要 场所 之一 ， 据 统计 ， 某 书院 对外 开放 的 第 一 个 月 进 书院 人次 ， 进 书院 人次 逐月 增加 ， 到 第 三 个 月末 累计 进 书院 人次 ， 若 进 书院 人次 的 月 平均 增长 率 为 ， 则 可 列 方程 为 （ 【 答案 】 C 【 知识 点 】 列 一元 二 次 方程 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 设 进 馆 人次 的 月 平均 增长 率 为 x ， 则 由 题意 得 ： 600 + 600 （ 1 + x ） + 600 （ 1 + x ） 22850 ． 故 答案 为 ： C . 【 分析 】 先 分别 表示 出 第 二 个 月 和 第 三 个 月 的 进 馆 人次 ， 再 根据 等量 关系 式 ： 第 一 个 月 的 进 馆 人次 + 第 二 进 馆 人次 + 第 三 个 月 的 进 馆 人次 = 2850 ， 列 出 方程 即可 解答 ． （ 2023 八 下 · 温州 期末 ） 我国 南宋 数学 家 杨辉 所 著 《 田亩 算法 》 中 记载 了 这样 一个 问题 ： “ 直 田 积 八 百 六 十 四 步 ， 只 云 阔 不及 长 一 十 二 步 ， 问 阔 及 长 各 几 步 ． ” 其 大意 为 ： 矩形 面积 为 864 平方 步 ， 宽 比 长 少 12 步 ， 问 宽 和 长 各 多少 步 ？ 设 矩形 宽 为 x 步 ， 可 列 出 方程 为 （ 【 答案 】 C 【 知识 点 】 列 一元 二 次 方程 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 设 矩形 宽 为 x 步 ， 根据 题意 得 x （ x + 12 ） = 864 . 故 答案 为 ： C 【 分析 】 此 题 的 等量 关系 为 ： 宽 = 长 - 12 ； 长 × 宽 = 864 ； 据此 设 未知 数 ， 列 方程 即可 . 1 / 103 ． （ 2023 八 下 · 舟山 期中 ） 为了 宣传 环保 ， 某 学生 写 了 一 份 倡议 书 在 微博 传播 ， 规则 为 ： 将 倡议 书 发表 在 自己 的 微博 ， 再 邀请 n 个 好友 转发 倡议 书 ， 每 个 好友 转发 倡议 书 ， 又 邀请 n 个 互不 相同 的 好友 转发 倡议 书 ， 以此类推 ， 已知 经过 两 轮 传播 后 ， 共有 1641 人 参与 了 传播 活动 ， 则 方程 列为 （ ( n + 1 ) 2 = 1641 B ． ( n - 1 ) 2 = 1641 C ． n ( n + 1 ) = 1641 D ． 1 + n + n2 = 1641 【 答案 】 D 【 知识 点 】 列 一元 二 次 方程 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 设 邀请 了 n 个 好友 转发 倡议 书 ， 由 题意 ， 得 1 + n + n2 = 1641 . 故 答案 为 ： D . 【 分析 】 设 邀请 了 n 个 好友 转发 倡议 书 ， 第 一 轮 转发 了 n 个人 ， 第 二 轮 转发 了 n2 个人 ， 根据 两 轮 转发 后 ， 共有 1641 人 参与 列 出 方程 即可 . 4 ． 2022 年 北京 冬奥会 女子 冰壶 比赛 有 若干 支 队伍 参加 了 单 循环 比赛 ， 单 循环 比赛 共 进行 了 45 场 ， 参加 比赛 的 队伍 数 是 （ 10C ． 9 【 答案 】 B 【 知识 点

一 、 选择 题 1 ． （ 2023 八 下 · 安庆 期末 ） 若 方程 有 两 个 实数 根 ， 则 k 的 取值 范围 是 （ 且 【 答案 】 B 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 根 的 判别 式 及 应用 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 方程 有 两 个 实数 根 ， 0 且 k 0 ， ， 解 得 ： 且 ， 故 答案 为 ： B . 【 分析 】 利用 一元 二 次 方程 根 的 判别 式 列 出 不等式 组 求解 即可 . 2 ． 已知 三角形 的 两 边长 分别 是 8 和 6 ， 第 三 边 的 长 是 一元 二 次 方程 ( x - 6 ) ( x - 10 ) = 0 的 一个 实数 根 ， 则 该 三角形 的 面积 是 （ 24 或 2B ． 24C ． 8 或 24 【 答案 】 D 【 知识 点 】 因式 分解 法 解 一元 二 次 方程 ； 三角形 的 面积 ； 勾股 定理 【 解析 】 【 解答 】 解 ： ( x - 6 ) ( x - 10 ) = 0 ， x - 6 = 0 或 x - 10 = 0 解 之 ： x1 = 6 ， x2 = 10 ， 当 x = 6 时 ， 三角形 的 两 边长 分别 是 8 和 6 ， 此 三角形 是 等 腰 三角形 ， 底边 上 的 高 为 ， 此时 三角形 的 面积 为 ； x = 10 时 ， 1 / 1262 + 82 = 102 ， 此时 的 三角形 是 直角 三角形 ， 此 三角形 的 面积 为 ， 此 三角形 的 面积 为 8 或 24 . 故 答案 为 ： D . 【 分析 】 先 求 出 方程 的 解 。 再 分 情况 讨论 ： 当 x = 6 时 ， 三角形 的 两 边长 分别 是 8 和 6 ， 利用 勾股 定理 求 出 底边 上 的 高 ， 再 利用 三角形 的 面积 公式 求 出 此时 的 三角形 的 面积 ； x = 10 时 ， 利用 勾股 定理 的 逆 定理 可 证 得 三角形 是 直角 三角形 ， 再 利用 直角 三角形 的 面积 公式 可 求 出 此时 的 三角形 的 面积 . 3 ． （ 2023 八 下 · 夏津 期末 ） 已知 关于 的 一元 二 次 方程 没有 实数 根 ， 则 一次 函数 的 图像 一定 不 经过 （ 第 一 象 限 B ． 第 二 象 限 C ． 第 三 象 限 D ． 第 四 象 限 【 答案 】 C 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 根 的 判别 式 及 应用 ； 一次 函数 图象 、 性质 与 系数 的 关系 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 关于 的 一元 二 次 方程 没有 实数 根 ， = 4 - 4 （ b - 3 ） 0 ， 解 得 ： b4 ， 在 中 ， k 0 ， b0 ， 一次 函数 的 图像 经过 一 二 四象 限 ， 即 一次 函数 的 图像 不 经过 第 三 象 限 ， 故 答案 为 ： C . 【 分析 】 根据 方程 无 实 根 可 求 出 b 的 范围 ， 再 根据 一次 函数 的 图象 与 系数 的 关系 确定 直线 经过 的 象 限 ， 继而 得 解 . 4 ． （ 2023 八 下 · 界首 期末 ） 如果 关于 x 的 一元 二 次 方程 有 两 个 相等 的 实数 根 ， 那么 m 的 值 可 为 （ 或 3D ． 5 或 【 答案 】 D 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 根 的 判别 式 及 应用 2 / 12 【 解析 】 【 解答 】 一元 二 次 方程 ， 如果 有 2 个 相等 的 实数 根

专题 02 解 一元 二 次 方程 （ 六 大 题型 ） 题型 归纳 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 【 题型 1 解 一元 二 次 方程 一 直接 平方 】 【 题型 2 解 一元 二 次 方程 一 配 方法 】 【 题型 3 解 一元 二 次 方程 一 公式 法 】 【 题型 4 解 一元 二 次 方程 一 因式 分解 法 】 【 题型 5 根 的 判别 式 】 【 题型 6 根 与 系数 的 关系 】 流 题型 专 练 【 题型 1 解 一元 二 次 方程 一 直接 平方 】 （ 24 - 25 九 年级 上 • 湖南 常德 • 期末 ） 1 . 一元 二 次 方程 / = 1 的 解 为 （ ） A . X ] = % = 1 B . 再 = 1 , % = - 1 C . x — 0 D . 无 实数 根 （ 24 - 25 九 年级 上 • 浙江 台州 • 期末 ） 2 . 一元 二 次 方程 / 一 16 = 0 的 解 为 （ ） A . x = 4 B . x = - 4 C . 玉 = 0 , % 2 = 16 D . % = 4 , x2 = - 4 （ 24 - 25 八 年级 上 • 上海 • 假期 作业 ） 3 . 方程 （ 尤 + 1 ） 2 - 9 = 0 的 根 为 . （ 24 - 25 八 年级 上 • 四川 达州 • 期中 ） 4 . 关于 x 的 方程 3 （ x + 2 『 = 16 的 解 是 （ 24 - 25 九 年级 上 • 广东 韶关 • 期末 ） 5 . 解 方程 ： （ 1 ） X2 - 9 = 0 ； （ 2 ） x2 - 5 = 4 x . 试卷 第 1 页 ， 共 6 页 （ 24 - 25 九 年级 上 • 全国 • 期末 ） 6 . 解 方程 ： 3 （ X - 2 ） 2 = 12 （ 22 - 23 九 年级 上 • 四川 成都 • 阶段 练习 ） 7 . 解 方程 ： （ x - 3 ） 2 - 9 = 0 . 【 题型 2 解 一元 二 次 方程 一 配 方法 】 （ 24 - 25 九 年级 上 • 河北 保定 • 期末 ） 8 . 用 配 方法 解 方程 x2 - 2 x - 5 = 0 时 ， 原 方程 应 变形 为 （ ） A . （ x + 1 ） 2 = 6 B . （ x + 2 ） 2 = 9 C . （ I ） * D . （ x - 2 ） 2 = 9 （ 24 - 25 九 年级 上 • 湖北 武汉 • 期末 ） 9 . 解 一元 二 次 方程 尤 2 - 8 》 + 1 = 0 , 配方 后 正确 的 是 （ ） A . （ x - 4 ） 2 = 15 B . （ x + 4 ） 2 = 15 C . （ x - 4 ） 2 = 7 D . （ x - 4 ） 2 = 17 （ 24 - 25 九 年级 上 • 山西 太原 • 期末 ） 10 . 用 配 方法 解 一元 二 次 方程 x ? - 2 x = 2 时 ， 应 在 方程 两 边 同时 加上 （ ） A . 1 B . 2 C . - 1 D . 4 （ 24 - 25 九 年级 上 • 山东 聊城 • 阶段 练习 ） 11 . 用 配 方法 解 一元 二 次 方程 / - 2 x - 2023 = 0 , 将 它 转化 为 （ x + a ） 2 = 6 的 形式 ， 则 片 的 值 为 _ _ _ _ _ _ （ 24 - 25 九 年级 上 • 甘肃 兰州 •

一 、 选择 题 1 ． （ 2022 八 下 · 济南 期末 ） 对于 一元 二 次 方程 ， 我国 及 其他 一些 国家 的 古代 数学 家 还 研究 过 其 几何 解法 呢 ！ 以 方程 x22 x350 即 x （ x2 ） 35 为 例 加以 说明 ， 三国 时期 的 数学 家 赵爽 在 其 所 著 的 《 勾股 圆 图 注 》 中 记载 的 方法 是 ： 构造 如 图 ， 一 方面 ， 图 中 的 大 方形 的 面积 是 （ xx 2 ） 2 ； 另 一 方面 ， 它 又 等于 四 个 矩形 面积 加上 中间 小 正方形 的 面积 ， 即 4 × 3522 ， 据此 易得 x5 ， 那么 在 下面 的 四 个 构图 中 ， 能够 说明 x22 x80 的 正确 构图 是 （ 【 答案 】 B 【 知识 点 】 列 式 表示 数量 关系 ； 一元 二 次 方程 的 应用 - 几何 问题 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 变形 方程 得 ， 即 ， 则 大 长方形 的 面积 是 ， 四 个 矩形 的 面积 是 ， 中间 小 正方形 的 面积 是 ， 即 ， ， 解 得 ， 1 / 13 正确 的 图解 为 B ， 故 答案 为 ： B ． 【 分析 】 先 将 方程 变形 为 ， 再 根据 大 长方形 的 面积 是 ， 四 个 矩形 的 面积 是 ， 中间 小 正方形 的 面积 是 ， 可 得 ， 求 出 x 的 值 ， 即可 得到 答案 。 （ 2022 八 下 · 新昌 期末 ） 如 图 ， 一 块 长方形 绿地 长 10 m ， 宽 5 m ． 在 绿地 中 开辟 三 条 道路 后 ， 绿地 面积 缩小 到 原来 的 78 % ， 则 可 列 方程 为 （ （ 10 - 2 x ） （ 5 - x ） = 10 × 5 × 78 % B ． （ 10 - 2 x ） （ 5 - x ） + 2 x2 = 10 × 5 × 78 % C ． （ 10 - 2 x ） （ 5 + x ） = 10 × 5 × 78 % D ． （ 10 - 2 x ） （ 5 - x ） - 2 x2 = 10 × 5 × 78 % 【 答案 】 A 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 的 应用 - 几何 问题 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 道路 宽 为 x ， 则 （ 10 - 2 x ） （ 5 - x ） = 10 × 5 × 78 % . 故 答案 为 ： A . 【 分析 】 在 绿地 中 开辟 三 条 道路 后 ， 剩余 绿地 部分 拼凑 起来 是 一个 长 为 （ 10 - 2 x ） ， 宽 为 （ 5 - x ） 的 矩形 ， 结合 绿地 面积 缩小 到 原来 的 78 % 建立 方程 ， 即可 解答 . 3 ． （ 2022 八 下 · 温州 期中 ） 受 油价 上涨 等 因素 刺激 ， 传统 燃油 汽车 市场 进入 “ 寒冬 ” 期 ， 但 新 能源 汽车 迎来 了 销量 春天 . 据 统计 ， 2020 年 我国 新 能源 汽车 累计 销量 为 150 万 辆 ， 销量 逐年 增加 ， 预计 到 2022 年 销量 达到 486 万 辆 . 若 2020 年 到 2022 年 的 年 平均 增长 率 为 x ， 则 x 的 值 为 （ 80 % B ． 120 % C ． 112 % D ． 150 % 【 答案 】 A 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 的 实际 应用 - 百分率 问题 2 / 13 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 2020 年 到 2022 年 的 年 平均 增长 率 为 x ， 根据 题意 得 ： ， 解 得 ： x = 0 . 8 或 x = - 2 . 8 （ 舍去 ） 平均 增长 率 为

一 、 选择 题 1 ． 下列 方程 属于 一元 二 次 方程 的 是 （ 2 x + 1 = 0 B ． 【 答案 】 B 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 的 定义 及 相关 的 量 【 解析 】 【 解答 】 解 ： A 、 2 x + 1 = 0 是 一元 一次 方程 ， 故 A 不 符合 题意 ； B 、 x2 - 3 x + 1 = 0 是 一元 二 次 方程 ， 故 B 符合 题意 ； C 、 x2 + y = 1 是 二元 二 次 方程 ， 故 C 不 符合 题意 ； D 、 是 分式 方程 ， 故 D 不 符合 题意 ； 故 答案 为 ： B . 【 分析 】 一元 二 次 方程 满足 的 条件 ： 1 、 含有 一个 未知 数 ； 2 、 含 未知 数 项 的 最高 次数 是 2 次 ； 3 、 是 整式 方程 ， 再 对 各 选项 逐一 判断 . 2 ． 一元 二 次 方程 化成 一般 形式 后 ， a ， b ， c 的 值 分别 是 （ 1 ， 2 ， 5B ． 1 ， - 2 ， - 5C ． 1 ， - 2 ， 5D ． 1 ， 2 ， - 5 【 答案 】 D 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 的 定义 及 相关 的 量 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 将 一元 二 次 方程 x2 + 2 x = 5 化成 一般 形式 有 ： x2 + 2 x - 5 = 0 ， 故 a = 1 ， b = 2 ， c = - 5 ． 故 答案 为 ： D . 【 分析 】 根据 一元 二 次 方程 的 一般 形式 是 ： ax 2 + bx + c = 0 （ a ， b ， c 是 常数 ， 且 a0 ） ， 即可 得出 答案 . 3 ． （ 2023 八 下 · 青 秀 期末 ） 一元 二 次 方程 的 一次 项 系数 是 （ 【 答案 】 C1 / 8 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 的 定义 及 相关 的 量 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 一元 二 次 方程 的 一次 项 系数 是 . 故 答案 为 ： C . 【 分析 】 对于 一元 二 次 方程 “ ax 2 + bx + c = 0 （ a 、 b 、 c 是 常数 ， 且 a0 ） ” 中 ， ax 2 是 二 次 项 ， bx 是 一次 项 ， c 是 常数 项 ， a 是 二 次 项 系数 ， b 是 一次 项 系数 ， 据此 可 得 答案 . 4 ． （ 2023 八 下 · 肇源 月 考 ） 将 一元 二 次 方程 化成 一般 式 后 ， 二 次 项 系数 和 一次 项 系数 分别 为 （ 3 ， 5B ． 3 ， 1 C ． 3 ， 【 答案 】 D 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 的 定义 及 相关 的 量 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 3 x2 = 5 x - 1 ， 3 x2 - 5 x + 1 = 0 ， 二 次 项 系数 和 一次 项 系数 分别 为 3 、 - 5 . 故 答案 为 ： D . 【 分析 】 一元 二 次 方程 的 一般 形式 是 ： ax 2 + bx + c = 0 （ a ， b ， c 是 常数 且 a0 ） . 其中 a ， b ， c 分别 叫 二 次 项 系数 ， 一次 项 系数 ， 常数 项 . 5 ． （ 2023 八 下 · 安庆 期末 ） 下列 方程 中 ， 是 关于 x 的 一元 二 次 方程 的 是 （ x 25B ． ax 2 bxc 0 C ． （ x1 ） （ x2 ） 0 D ． 3 x 24 xyy 20 【 答案 】 C 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 的 定义 及 相关 的 量 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 根据 一元 二 次 方程 的 定义 可 得 ： 必须 同时 满足 只 含有 一个

一 、 选择 题 1 ． 用 因式 分解 法 解 一元 二 次 方程 ， 其 依据 是 （ 若 ab = 0 ， 则 a = 0 或 b = 0 B ． 若 a = 0 或 b = 0 ， 则 ab = 0 C ． 若 ab = 0 ， 则 a = 0 且 b = 0 D ． 若 a = 0 且 b = 0 ， 则 ab = 0 【 答案 】 A 【 知识 点 】 因式 分解 法 解 一元 二 次 方程 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 因式 分解 法 解 一元 二 次 方程 的 依据 是 “ 若 ab = 0 ， 则 a = 0 或 b = 0 ” 故 答案 为 ： A 【 分析 】 根据 乘法 运算 可知 ： 如果 ab = 0 ， 那么 a = 0 或 b = 0 。 一元 二 次 方程 的 根 为 （ 【 答案 】 D 【 知识 点 】 直接 开平 方法 解 一元 二 次 方程 【 解析 】 【 解答 】 解 ： ， x - 1 = ± 2 ， x1 = 3 ， x2 = - 1 . 故 答案 为 ： D . 【 分析 】 把 （ x - 1 ） 2 = 4 两 边 开方 得到 x - 1 = ± 2 ， 然后 解 两 个 一元 一次 方程 即可 求得 . 3 ． 若 x2 = - x ， 则 （ x1 = x2 = - 1 C ． x1 = - 1 ， x2 = 1D ． x1 = - 1 ， x2 = 0 【 答案 】 D 【 知识 点 】 因式 分解 法 解 一元 二 次 方程 【 解析 】 【 解答 】 解 ： x2 = - x ， x2 + x = 0 ， x （ x + 1 ） = 0 ， x1 = - 1 ， x2 = 0 故 答案 为 ： D 。 【 分析 】 因式 分解 法 解 一元 二 次 方程 。 （ 2018 八 下 · 肇源 期末 ） 用 配 方法 解 一元 二 次 方程 ， 下列 配方 正确 的 是 （ ） 1 / 8A ． 【 答案 】 A 【 知识 点 】 配 方法 解 一元 二 次 方程 【 解析 】 【 解答 】 方程 两 边 同时 加 1 ， 可 得 ， 即 . 故 答案 为 ： A 【 分析 】 利用 完全 平方 公式 进行 配方 即可 。 （ 2023 八 下 · 合肥 期末 ） 利用 “ 配 方法 ” 解 一元 二 次 方程 ， 配方 后 结果 是 （ 【 答案 】 C 【 知识 点 】 配 方法 解 一元 二 次 方程 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 即 故 答案 为 ： C . 【 分析 】 根据 配 方法 ， 将 方程 的 左边 配方 成 完全 平方 公式 ， 即可 求解 ． （ 2022 八 下 · 长乐 期末 ） 若 关于 x 的 一元 二 次 方程 （ x - 2 ） 2 + m0 有 实数 解 ， 则 m 的 取值 是 （ 全体 实数 【 答案 】 A 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 根 的 判别 式 及 应用 【 解析 】 【 解答 】 解 ： （ x - 2 ） 2 + m = 0 ， （ x - 2 ） 2 = - m ， 方程 有 实数 解 ， - m0 ， 2 / 8 解 得 m0 ， 即 m 的 取值 范围 为 m0 ． 故 选 ： A ． 【 分析 】 先 把 方程 变形 为 （ x - 2 ） 2 = - m ， 利用 平方 的 意义 得到 - m0 ， 然后 解 不等式 即可 ． （ 2023 八 下 · 长沙 期末 ） 已知 关于 x 的 一元 二 次 方程 x2 bx 10 有 两 个 不 相等 的 实数 根 ， 则 在 下列 选项 中 ， b 的 值 可以 是 （ b0 【 答案 】 C 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 根 的 判别 式 及 应用 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 关于 x

一 、 选择 题 1 ． 若 关于 x 的 一元 二 次 方程 x2 - 8 x + m = 0 的 两 根 为 x1 ， x2 ， 且 x1 = 3 x2 ， 则 m 的 值 为 （ 12 D ． 16 【 答案 】 C 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 的 根 与 系数 的 关系 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 方程 x2 - 8 x + m = 0 的 两 根 为 x1 ， x2 ， x1 + x2 = 8 ， x1 = 3 x2 ， 解 得 x1 = 6 ， x2 = 2 ， m = x1 · x2 = 6 × 2 = 12 . 故 答案 为 ： C . 【 分析 】 根据 根 与 系数 的 关系 可 得 x1 + x2 = 8 ， 结合 x1 = 3 x2 ， 求 出 为 x1 、 x2 ， 利用 m = x1 · x2 即可 求解 . 2 ． 在 解 关于 x 的 一元 二 次 方程 x2 + px + q = 0 时 ， 小红 看 错 了 常数 项 q ， 得到 方程 的 两 个 根 是 - 3 ， 1 ． 小明 看 错 了 一次 项 系数 p ， 得到 方程 的 两 个 根 是 5 ， - 4 ， 则 原来 的 方程 是 （ x2 + 2 x - 3 = 0 B ． x2 + 2 x - 20 = 0 C ． x 2 - 2 x - 20 = 0 D ． x2 - 2 x - 3 = 0 【 答案 】 B 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 的 根 与 系数 的 关系 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 设 方程 的 两 个 根 为 α ， β ， 根据 题意 得 α + β = - p = - 3 + 1 = - 2 ， α β = q = 5 × （ - 4 ） = - 20 ， 以 α ， β 为 根 的 一元 二 次 方程 是 x2 + 2 x - 20 = 0 . 故 答案 为 ： B . 【 分析 】 设 方程 的 两 个 根 为 α ， β ， 根据 根 与 系数 的 关系 可 求 出 p 、 q 的 值 ， 进而 求 出 方程 . 3 ． 已知 m ， n 是 方程 x2 + 2 x5 = 0 的 两 个 实数 根 ， 则 m2 mn + 3m + n = （ 9 【 答案 】 C 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 的 根 ； 一元 二 次 方程 的 根 与 系数 的 关系 【 解析 】 【 解答 】 解 ： m 、 n 是 方程 x2 + 2 x5 = 0 的 两 个 实数 根 ， mn = 5 ， m + n = 2 ， m2 + 2 m5 = 0 ， 1 / 11 m2 = 52 m ， m2 mn + 3m + n = （ 52 m ） （ 5 ） + 3m + n = 10 + m + n = 102 = 8 ． 故 选 C ． 【 分析 】 利用 根 与 系数 的 关系 及 一元 二 次 方程 的 解 的 定义 得出 m + n = 2 ， mn = 5 ， m2 = 52 m ， 再 将 m2 mn + 3m + n 变形 为 两 根 之 积 或 两 根 之 和 的 形式 ， 然后 代 入 数值 计算 即可 ． （ 2023 八 下 · 长沙 期末 ） 已知 ， 是 一元 二 次 方程 的 两 个 实数 根 ， 则 代数 式 的 值 等于 （ 10 【 答案 】 A 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 的 根 ； 一元 二 次 方程 的 根 与 系数 的 关系 【 解析 】 【 解答 】 解 ： ， 是 一元 二 次 方程 的 两 个 实数 根 故 答案 为 ： A 【 分析 】 先 根据 一元 二 次 方程 根 的 定义 结合 一元 二 次 方程 根 与 系数 的 关系 即可 得到 ， 再 代 入 求 值 即可 求解 。 （ 2023 八 下 · 岑溪 期末 ） 若是 一元 二 次 方程 的 两 根 ， 则 的 值 是 （ ） A ． 【 答案 】 B 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 的 根 与 系数 的 关系 【 解

一 、 选择 题 1 ． （ 2023 九 上 · 丰南 期中 ） 把 一元 二 次 方程 化成 一般 形式 ， 正确 的 是 （ 【 答案 】 A 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 的 定义 及 相关 的 量 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 由 题意 得 把 一元 二 次 方程 化成 一般 形式 得 ， 故 答案 为 ： A 【 分析 】 根据 题意 将 一元 二 次 方程 化 简 即可 求解 。 关于 x 的 二 次 方程 的 一个 根 是 0 ， 则 a 的 值 为 ( 1 或 - 1D ． 【 答案 】 B 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 的 定义 及 相关 的 量 ； 一元 二 次 方程 的 根 【 解析 】 【 分析 】 此 题 考查 了 一元 二 次 方程 的 解 ， 以及 一元 二 次 方程 的 解法 ， 方程 的 解 即 为 能 使 方程 左右 两 边 相等 的 未知 数 的 值 ． 因为 一元 二 次 方程 （ a - 1 ） x2 + x + a2 - 1 = 0 的 一个 根 是 0 ， 将 x = 0 代 入 方程 得到 关于 a 的 方程 ： a2 - 1 = 0 ， 求 出 方程 的 解 得到 a 的 值 ： a = 1 或 a = - 1 ， 将 a 的 值 代 入 方程 进行 检验 ， 当 a = 1 时 ， 方程 的 二 次 项 系数 为 0 ， 不合 题意 ， 舍去 ， 当 a = - 1 时 ， 符合 题意 . 故 选 B3 ． （ 2020 八 下 · 越城 期末 ） 若 a ， b ， c 满足 ， 则 关于 x 的 方程 ax 2 + bx + c 0 （ a0 ） 的 解 是 （ 1 ， 0 B ． 1 ， 0 C ． 1 ， 1D ． 无 实数 根 【 答案 】 C 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 的 根 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 当 x1 时 ， a + b + c 0 ， 1 / 6 当 x1 时 ， ab + c 0 ， 所以 关于 x 的 方程 ax 2 + bx + c 0 （ a0 ） 的 解 为 1 或 1 . 故 答案 为 ： C . 【 分析 】 分别 把 x1 或 x1 代 入 方程 可 得到 足 a + b + c 0 和 ab + c 0 ， 则 根据 一元 二 次 方程 的 解 的 定义 可 判断 方程 的 根 . 4 ． （ 2023 九 上 · 泸州 期中 ） 我国 南宋 数学 家 杨辉 在 1275 年 提出 的 一个 问题 ： “ 直 田 积 八 百 六 十 四 步 ， 只 云 阔 不及 长 一 十 二 步 ． 问 阔 及 长 各 几 步 ． ” 意思 是 ： 长方形 的 面积 是 864 平方 步 ， 宽 比 长 少 12 步 ， 问 宽 和 长 各 是 几 步 ． 设 宽 为 x 步 ， 根据 题意 列 方程 正确 的 是 （ 【 答案 】 C 【 知识 点 】 列 一元 二 次 方程 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 设 宽 为 x 步 ， 则 长 为 步 ， 由 题意 得 ： ， 故 答案 为 ： D . 【 分析 】 基本 等量 关系 ： 长方形 的 面积 = 长 乘以 宽 。 用 x 表示 长和 宽 ， 列 一元 二 次 方程 求解 。 （ 2023 九 上 · 福田 月 考 ） 如 图 ， 在 长 为 32 米 ， 宽 为 20 米 的 长方形 地面 上 修筑 同样 宽 的 小路 （ 图 中 阴影 部分 ） ， 余下 部分 种植 草坪 ， 要 使 小路 的 面积 为 100 平方 米 ， 设 小路 的 宽 为 x 米 ， 则 下面 所 列 方程 正确

一 、 选择 题 1 ． （ 2019 八 下 · 长春 期末 ） 在 某 篮球 邀请 赛 中 ， 参赛 的 每 两 个 队 之间 都 要 比赛 一 场 ， 共 比赛 36 场 ， 设 有 x 个 队 参赛 ， 根据 题意 ， 可 列 方程 为 （ 【 答案 】 A 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 的 其他 应用 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 设 有 x 个 队 参赛 ， 根据 题意 ， 可 列 方程 为 ： x （ x1 ） 36 ， 故 答案 为 ： A ． 【 分析 】 共有 x 个 队 参加 比赛 ， 则 每 队 参加 （ x - 1 ） 场 比赛 ， 但 2 队 之间 只有 1 场 比赛 ， 根据 共 安排 36 场 比赛 ， 列 方程 即可 ． 如 图 ， 在 长 为 62 m 、 宽 为 42 m 的 长方形 草地 上 修 同样 宽 的 路 ， 余下 部分 种植 草坪 . 要 使 草坪 的 面积 为 2 400 m ² ， 设 道路 的 宽 为 x ( m ) ， 则 可 列 方程 为 （ ( 62 - x ) ( 42 - x ) = 2400 B ． 62 × 42 - 62 x - 42 x = 2 400D ． 62 x + 42 x = 2 400 【 答案 】 A 【 知识 点 】 列 一元 二 次 方程 1 / 9 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 设 道路 的 宽 为 x （ m ） ， 如 图 ， 黑色 道路 的 面积 为 62 x ， 剩下 道路 的 面积 为 （ 42 - x ） x ， 则 62 × 42 - 62 x - （ 42 - x ） x = 2 400 ， 变形 得 ， ( 62 - x ) ( 42 - x ) = 2400 ， 故 答案 为 ： A . 【 分析 】 利用 平 移 ， 黑色 道路 的 面积 为 62 x ， 剩下 道路 的 面积 为 （ 42 - x ） x ， 利用 草坪 的 面积 为 2400 ， 即可 列 出 方程 . 3 ． 如 图 ， 把 一 块 长 为 40 cm 、 宽 为 30 cm 的 长方形 硬 纸 板 的 四 角 剪 去 四 个 相同 的 小 正方形 ， 然后 把 纸板 的 四边 沿 虚线 折 起 粘 好 ， 即可 做 成 一个 无盖 纸盒 . 若 该 无盖 纸盒 的 底 面积 为 600 cm ² ， 设 剪 去 小 正方形 的 边长 为 x ( cm ) ， 则 可 列 方程 为 （ ( 30 - 2 x ) ( 40 - x ) = 600 B ． ( 30 - x ) ( 40 - x ) = 600C ． ( 30 - x ) ( 40 - 2 x ) = 600D ． ( 30 - 2 x ) ( 40 - 2 x ) = 600 【 答案 】 D 【 知识 点 】 列 一元 二 次 方程 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 设 剪 去 小 正方形 的 边长 为 x ( cm ) ， 则 该 无盖 纸盒 的 底 的 长 （ 40 - 2 x ） cm ， 宽 为 （ 30 - 2 x ） cm ， 根据 题意 得 ， ( 30 - 2 x ) ( 40 - 2 x ) = 600 ， 故 答案 为 ： D . 【 分析 】 设 设 剪 去 小 正方形 的 边长 为 x ( cm ) ， 用 x 表示 出 纸盒 的 长和 宽 ， 利用 长方形 的 面积 公式 ， 即可 列 出 关于 x 的 一元 二 次 方程 . 4 ． （ 2023 八 下 · 长丰 期末 ） 在 “ 双 减 政策 ” 的 推动 下 ， 某 初级 中学 学生 课后 作业 时 长 明显 减少 2 / 9 年 上 学期 每天 作业 平均 时 长 为 分钟 ， 经过 年 下 学期 和 年 上 学期 两 次 调整 后 ， 年 上 学期 平均 每天 作业 时 长 为 分钟 设 这 两 学期 该 校

一 、 选择 题 1 ． （ 2023 八 下 · 凤阳 期末 ） 下列 方程 中 ， 有 两 个 相等 实数 根 的 是 （ 【 答案 】 B 【 知识 点 】 直接 开平 方法 解 一元 二 次 方程 ； 因式 分解 法 解 一元 二 次 方程 ； 一元 二 次 方程 根 的 判别 式 及 应用 【 解析 】 【 解答 】 解 ： A 、 方程 ， 则 ， 所以 A 有 两 个 不 相等 的 实数 根 ， 不 符合 题意 ； B 、 方程 x2 - 2 x + 1 = 0 ， 即 （ x - 1 ） 2 = 0 ， 所以 x1 = x2 = 1 ， 所以 B 有 两 个 相等 的 实数 根 ， 符合 题意 ； C 、 方程 x2 - 2 x - 3 = 0 的 根 的 判别 式 为 ： （ - 2 ） 2 - 4 × 1 × （ - 3 ） = 160 ， 所以 C 有 两 个 不 相等 的 实数 根 ， 不 符合 题意 ； D 、 解 x2 - 2 x = 0 可 得 方程 的 解 是 x1 = 0 ， x2 = 2 ， 所以 D 有 两 个 不 相等 的 实数 根 ， 不 符合 题意 ； 故 答案 为 ： B . 【 分析 】 根据 所 给 方程 的 特点 ， 能 直接 得出 方程 的 解 的 ， 可以 直接 根据 解 的 情况 判断 ， 比如 A ， B ， D ， 稍 复杂 的 方程 可 不解 方程 ， 直接 利用 根 的 判别 式 进行 判断 方程 的 解 的 情况 ， 比如 C ， 然后 得出 答案 即可 。 （ 2023 八 下 · 瑶海 期中 ） 关于 方程 式 的 两 根 ， 下列 判断 何者 正确 （ 一 根 小于 ， 另 一 根 大于 B ． 一 根 小于 ， 另 一 根 大于 C ． 两 根 都 小于 D ． 两 根 都 大于 【 答案 】 A 【 知识 点 】 直接 开平 方法 解 一元 二 次 方程 【 解析 】 【 解答 】 解 1 / 11 或 ， 故 答案 为 ： A . 【 分析 】 根据 直接 开平 方法 求 出 x 的 值 ， 再 判断 即可 。 （ 2023 八 下 · 庐阳 期末 ） 一元 二 次 方程 配方 后 可 变形 为 （ 【 答案 】 C 【 知识 点 】 完全 平方 公式 及 运用 ； 配 方法 解 一元 二 次 方程 【 解析 】 【 解答 】 解 ： x2 - 8 x - 1 = 0 x2 - 8 x + 42 - 42 - 1 = 02 - 17 = 0 （ x - 4 ） 2 = 17 （ x - 4 ） 故 答案 为 ： C . 【 分析 】 由 配 方法 步骤 解题 即可 。 （ 2023 八 下 · 余杭 期中 ） 对于 一元 二 次 方程 ， 下列 说法 ： 若 ， 则 ； 若 方程 有 两 个 不 相等 的 实 根 ， 则 方程 必 有 两 个 不 相等 的 实 根 ； 若是 方程 的 一个 根 ， 则 一定 有 成立 ； 若是 一元 二 次 方程 的 根 ， 则 ； 存在 实数 ， 使得 ． 其中 正确 的 （ 只有 B ． 只有 C ． 只有 【 答案 】 B 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 的 根 ； 公式 法 解 一元 二 次 方程 ； 一元 二 次 方程 根 的 判别 式 及 应用 【 解析 】 【 解答 】 解 ： a + b + c = 0 ， 此 方程 有 一个 根 是 x = 1 ， 2 / 11 一元 二 次 方程 方程 必 有 实数 根 ， 即 b2 - 4 ac 0 ， 故 正确 ； 方程 ax 2 + c = 0 有 两 个 不 相等 的 实数 根 ，

《一元二次方程》知识归纳与题型训练（8类题型）01思维导图■一元二次方程的定义）Y一元二次方程）一〔二次方程的一般式： 渥+加+c = 0（a#0））L（一元二次方程的解）因式继法因式分解解一元二次方程的方廊因式分解法直接开方法;后用开平方法求解的方法一元二次方程的解法配方法把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，然万能公式：厂也尸一元二次方程-4ac>0 O方程or? +反+c = 0（。# 0）有两个不相等的实数根;- 48=0 o方程a? +及+c = 0（。* 0）有两个相等的实数根；b2 - 4ac<0。方程—+及+c = 0（。，0）没有实数根；一元二次方程根与系数的关系如果和/是1+及+，= 0（叱0的两个根，+ =--；x, «x2 =-.平均增长率问题 平均增长率应用问题等量关系：原来的式1+寸=现在的一元二次方程的应用销售问题 销售类应用问题等量关系：单件利润》懒=总利润一.动点与几何面积问题J02知识速记一、一元二次方程 ax?+bx + c = 0（a w 0）1 .一元二次方程的定义：方程的两边都是整式，只含有一个未知数

一 、 选择 题 1 ． （ 2021 · 毕节 ） 某 校 八 年级 组织 一次 篮球 赛 ， 各 班 均 组队 参赛 ， 赛制 为 单 循环 形式 （ 每 两 班 之间 都 赛 一 场 ） ， 共 需 安排 15 场 比赛 ， 则 八 年级 班级 的 个数 为 （ 8 【 答案 】 B 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 的 其他 应用 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 设 有 x 个 班级 参加 比赛 解 得 ： （ 舍 ） ， 则 共有 6 个 班级 参加 比赛 ， 故 答案 为 ： B . 【 分析 】 设 有 x 个 班级 参加 比赛 ， 由于 单 循环 形式 ， 可 得 x 个 班级 比赛 场 数 为 ， 据此 列 出 方程 ， 解 之 即可 . 2 ． （ 2023 九 上 · 大同 期中 ） “ 绿色 电力 ， 与 你 同行 ” ， 根据 中国 汽车 工业 协会 发布 的 数据 显示 ， 我国 新 能源 汽车 销售 量 逐年 增加 ， 据 统计 2022 年 新 能源 汽车 年 销售 量 为 万 辆 ， 预计 2024 年 新 能源 汽车 年 销售 量 将 达到 万 辆 ． 则 这 两 年 新 能源 汽车 销售 量 年 平均 增长 率 为 （ 【 答案 】 D 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 的 实际 应用 - 百分率 问题 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 设 这 款 新 能源 汽车 销售 量 的 年 平均 增长 率 为 ， 依 题意 得 ： ， 解 得 ： ( 不 符合 题意 ， 舍去 ) ， 这 款 新 能源 汽车 销售 量 的 年 平均 增长 率 为 ． 故 答案 为 ： D ． 【 分析 】 根据 一元 二 次 方程 的 应用 之 增长 率 问题 求解 。 设 这 款 新 能源 汽车 销售 量 的 年 平均 增长 率 为 1 / 11 x ， 利用 这 款 新 能源 汽车 年 的 销售 量 = 这 款 新 能源 汽车 年 的 销售 量 这 款 新 能源 汽车 销售 量 的 年 平均 增长 率 ， 即可 得出 关于 的 一元 二 次 方程 ， 解 之 取 其 正值 即可 ． （ 2019 九 上 · 兰山 期中 ） 我 省 加快 新旧 动能 转换 ， 促进 企业 创新 发展 ． 某 企业 一 月份 的 营业 额 是 1000 万 元 ， 月 平均 增长 率 相同 ， 今年 第 一 季度 的 总 营业 额 是 3640 万 元 ． 若 设 月 平均 增长 率 是 ， 那么 可 列 出 的 方程 是 （ 【 答案 】 C 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 的 实际 应用 - 百分率 问题 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 设 月 平均 增长 的 百分率 是 ， 则 该 超市 二 月份 的 营业 额 为 万 元 ， 三 月份 的 营业 额 为 万 元 ， 依 题意 ， 得 ． 故 答案 为 ： C ． 【 分析 】 设 月 平均 增长 的 百分率 是 ， 依据 题意 列 方程 即可 ． （ 2021 九 上 · 西安 期中 ） 某种 服装 ， 平均 每天 可 销售 50 件 ， 每 件 利润 40 元 ． 若 每 件 降价 5 元 ， 则 每天 多 售 10 件 ． 如果 要 在 扩大 销量 的 同时 ， 使 每天 的 总 利润 达到 2100 元 ， 每 件 应 降价 多少 元 ？ 若 设 每 件

专题 2 . 32 一元 二 次 方程 的 应用 （ 销售 与 利润 问题 ） （ 专项 练习 ） 1 ． 某 演出 团体 准备 在 常州 大 剧院 举办 迎新 演出 ， 该 剧院 共有 1500 个 座位 ． 如果 票价 定 为 每 张 100 元 ， 那么 门票 可以 全部 售出 ； 如果 票价 每 增加 1 元 / 张 ， 那么 门票 就 会 减少 3 张 ． 演出 团体 既 要 让利 于 民 又 要 使得 门票 收入 为 240000 元 ， 则 票价 应该 定 为 多少 元 / 张 ？ 某 商场 在 去年 底 以 每 件 元 的 进价 购进 一 批 同 型号 的 服装 ， 一 月份 以 每 件 元 的 售价 销售 了 件 ， 二 、 三 月份 该 服装 畅销 ， 销量 持续 走 高 ， 在 售价 不变 的 情况 下 ， 三 月 底 统计 知 三 月份 的 销量 达到 了 件 ． ( 1 ) 求 二 、 三 月份 服装 销售 量 的 平均 月 增长 率 ； ( 2 ) 从 四 月份 起 商场 因 换季 清仓 采用 降价 促销 的 方式 ， 经 调查 发现 ， 在 三 月份 销量 的 基础 上 ， 该 服装 售价 每 降价 元 ， 月 销售 量 增加 件 ， 当 每 件 降价 多少 元 时 ， 四 月份 可 获利 元 ？ 某 商场 销售 一 批 空气 加湿 器 ， 平均 每天 可 售出 30 台 ， 每 台 可 盈利 50 元 ， 为了 扩大 销售 量 ， 增加 盈利 ， 尽快 减少 库存 ， 商场 决定 采取 适当 的 降价 措施 ， 经 调查 发现 ， 如果 每 台 降价 1 元 ， 商场 平均 每天 可 多 售出 2 台 ． ( 1 ) 若 该 商场 某 天 降价 了 5 元 ， 则 当天 可 售出 台 ， 当天 共 盈利 ( 2 ) 在 尽快 减少 库存 的 前提 下 ， 商场 每天 要 盈利 2100 元 ， 每 台 空气 加湿 器 应 降价 多少 元 ？ 六一 节 前 某 市场 以 每 盒 60 元 的 价格 购进 1000 盒 拼装 玩具 ． 四 月份 以 单价 100 元 销售 ， 售出 了 300 盒 ． 五 月份 如果 销售 单价 不变 ， 预计 仍 可 售出 300 盒 ， 市场 为 增加 销售 量 ， 决定 降价 销售 ， 根据 市场 调查 ， 销售 单价 每 降低 3 元 ， 可 多 售出 6 盒 ， 但 最低 销售 单价 应 高于 购进 的 价格 ． 五 月份 结束 后 ， 批发 商 将 对 剩余 的 玩具 一次 性 清仓 ， 清仓 时 销售 单价 为 50 元 ． 设 五 月份 销售 单价 降低 x 元 ． ( 1 ) 填空 ： 五月 销售 量 为 _ 件 ， 清仓 销售 量 为 _ 件 ． ( 2 ) 如果 市场 希望 通过 销售 这 批 玩具 获利 15200 元 ， 那么 五 月份 的 销售 单价 应 是 多少 元 ？ 某 商店 将 进价 为 元 的 商品 按每 件 元 出售 ， 每天 可 出售 件 ， 现在 采取 提高 商品 售价 减少 销售 量 的 办法 增加 利润 ， 如果 这种 商品 每 件 的 销售 价 每 提高 元 ， 那么 每天 的 销售 量 就 减少 件 ． ( 1 ) 将 每 件 商品 的 售价 定 为 多少 元 时 ， 才能 使 每天 的 利润 为 元 ？ ( 2 ) 店主 想

【 基础 卷 】 2024 年 浙 教 版 数学 八 年级 下册 2 . 2 一元 二 次 方程 的 解法 同步 练习 一 、 选择 题 1 ． （ 2023 八 下 · 蒙城 期中 ） 方程 的 根 是 （ x1 ， x 2 B ． x11 ， x2 C ． x 1 x 2D ． x1 ， x25 【 答案 】 A 【 知识 点 】 直接 开平 方法 解 一元 二 次 方程 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 由 题意 得 ， x1 ， x2 ， 故 答案 为 ： A 【 分析 】 运用 直接 开平 方法 解 一元 二 次 方程 即可 求解 。 （ 2018 八 下 · 肇源 期末 ） 用 配 方法 解 一元 二 次 方程 ， 下列 配方 正确 的 是 （ 【 答案 】 A 【 知识 点 】 配 方法 解 一元 二 次 方程 【 解析 】 【 解答 】 方程 两 边 同时 加 1 ， 可 得 ， 即 . 故 答案 为 ： A 【 分析 】 利用 完全 平方 公式 进行 配方 即可 。 （ 2023 八 下 · 慈溪 期末 ） 把 一元 二 次 方程 配方 可 得 （ 【 答案 】 C 【 知识 点 】 配 方法 解 一元 二 次 方程 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 首先 将 二 次 项 的 系数 化为 1 ， 1 / 10 得 ， 再 移项 得 ， 在 方程 的 左右 两 边 都 加上 一次 项 系数 的 一半 的 平方 ， 得到 ， 根据 完全 平方 公式 得到 ， 故 答案 为 ： C . 【 分析 】 本 题 主要 考查 配 方法 的 应用 ， 首先 先 移项 ， 然后 再 加上 一次 项 系数 的 一半 的 平方 ， 整理 后 即可 得到 答案 . 4 ． 如果 一元 二 次 方程 x2 + px + q = 0 能 用 公式 法 求解 ， 那么 必须 满足 的 条件 是 （ p2 - 4 q 0 B ． p2 - 4 q 0 C ． p 2 - 4 q > 0 D ． p 2 - 4 q < 0 【 答案 】 A 【 知识 点 】 公式 法 解 一元 二 次 方程 【 解析 】 【 解答 】 解 ： = p2 - 4 q 0 ， 一元 二 次 方程 x2 + px + q = 0 的 根 为 x = ， 故 答案 为 ： A . 【 分析 】 根据 一元 二 次 方程 的 求 根 公式 x = （ b2 - 4 a c 0 ） ， 得出 一元 二 次 方程 x2 + px + q = 0 的 根 为 x = （ p2 - 4 q 0 ） ， 即可 得出 答案 . 5 ． （ 2019 八 下 · 南昌 期末 ） 一元 二 次 方程 ax 2 + bx + c 0 （ a0 ） 的 求 根 公式 是 （ 【 答案 】 A 【 知识 点 】 公式 法 解 一元 二 次 方程 2 / 10 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 一元 二 次 方程 ax 2 + bx + c 0 （ a0 ） 的 求 根 公式 是 x ， 故 答案 为 ： A ． 【 分析 】 根据 求 根 公式 即可 求 出 答案 ． （ 2023 八 下 · 青 秀 期末 ） 一元 二 次 方程 的 解 为 （ 【 答案 】 A 【 知识 点 】 因式 分解 法 解 一元 二 次 方程 【 解析 】 【 解答 】 解 ： x25 x ， x2 - 5 x0 ， x （ x - 5 ） 0 ， x10 ， x25 ， 故 答案 为 ： A . 【 分析 】 先 移项 ， 将 方程 整理 成 一般 形式 ， 然后 将 方程 的 左边 利用 提取 公 因 式 法 分解 因式 ， 根据 两 个 因式 的 乘积 等于 0 ， 则

一 、 选择 题 1 ． （ 2023 八 下 · 肇东 月 考 ） 下列 关于 的 方程 中 ， 一定 是 一元 二 次 方程 的 是 （ 【 答案 】 C 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 的 定义 及 相关 的 量 【 解析 】 【 解答 】 解 ： A 、 是 一元 一次 方程 ， 不 符合 题意 ； B 、 是 一元 三 次 方程 ， 不 符合 题意 ； C 、 是 一元 二 次 方程 ， 符合 题意 ； D 、 可能 是 一元 二 次 方程 ， 也 可能 是 一元 一次 方程 ， 也 可能 不是 方程 ， 不 符合 题意 . 故 答案 为 ： C . 【 分析 】 根据 一元 二 次 方程 的 表达 式 ： 通过 化 简 后 ， 只 含有 一个 未知 数 （ 一元 ） ， 并且 未知 数 的 最高 次数 是 2 （ 二 次 ） 的 整式 方程 ， 叫做 一元 二 次 方程 ， 即 要求 即可 判断 . 2 ． （ 2023 八 下 · 青 秀 期末 ） 一元 二 次 方程 的 一次 项 系数 是 （ 【 答案 】 C 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 的 定义 及 相关 的 量 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 一元 二 次 方程 的 一次 项 系数 是 . 故 答案 为 ： C . 【 分析 】 对于 一元 二 次 方程 “ ax 2 + bx + c = 0 （ a 、 b 、 c 是 常数 ， 且 a0 ） ” 中 ， ax 2 是 二 次 项 ， bx 是 一次 项 ， c 是 常数 项 ， a 是 二 次 项 系数 ， b 是 一次 项 系数 ， 据此 可 得 答案 . 3 ． （ 2023 八 下 · 招远 期末 ） 下列 方程 中 ， 关于 的 一元 二 次 方程 是 （ 1 / 9 【 答案 】 C 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 的 定义 及 相关 的 量 【 解析 】 【 解答 】 A 、 方程 化为 一般 式 后 为 6 x + 1 = 0 ， 不是 一元 二 次 方程 ， A 不 符合 题意 ； B 、 方程 （ a0 ） 是 一元 二 次 方程 ， B 不 符合 题意 ； C 、 方程 化为 一般 式 后 为 x2 + 3 = 0 ， 是 一元 二 次 方程 ， C 符合 题意 ； D 、 方程 不是 一元 二 次 方程 ， D 不 符合 题意 ； 故 答案 为 ： C . 【 分析 】 利用 一元 二 次 方程 的 定义 逐 项 判断 即可 . 4 ． （ 2023 八 下 · 安庆 期末 ） 用 求 根 公式 解 一元 二 次 方程 时 a ， b ， c 的 值 是 答案 】 C 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 的 定义 及 相关 的 量 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 一元 二 次 方程 整理 得 ： a 是 二 次 项 系数 ， 故 为 5b 是 一次 项 系数 ， 故 为 - 4c 是 常数 项 ， 故 为 - 1 故 答案 为 ： C 【 分析 】 了解 一元 二 次 方程 的 定义 ， 根据 一般 式 的 样子 找到 对应 的 系数 ， 留意 符号 。 关于 x 的 一元 二 次 方程 （ a2 ） x2 + x + a24 = 0 的 一个 根 是 0 ， 则 a 的 值 为 （ 2 或 2D ． 0 【 答案 】 B 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 的 根 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 关于 x 的 一元 二 次 方程 （ a2 ） x2 + x + a24 = 0 的 一个 根 是 0

【 基础 卷 】 2024 年 浙 教 版 数学 八 年级 下册 2 . 3 一元 二 次 方程 的 应用 同步 练习 一 、 选择 题 1 ． （ 2023 九 上 · 沂水 月 考 ） 某 中学 的 初三 篮球 赛 中 ， 参赛 的 每 两 支 球队 之间 都 要 进行 一 场 比赛 ， 共 比赛 场 ， 设 参加 比赛 的 球队 有 支 ， 根据 题意 ， 下面 列 出 的 方程 正确 的 是 （ 【 答案 】 B 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 的 其他 应用 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 设 参加 比赛 的 球队 有 支 ， 每 两 支 球队 之间 都 要 进行 一 场 比赛 ， 共 比赛 场 ， 则 故 答案 为 ： B . 【 分析 】 本 题 考查 一元 二 次 方程 应用 单 循环 。 单 循环 ： 以此 赛 为 例 ， 即 每 两 队 之间 比赛 一次 ， 如 世界 杯 足球 赛 、 多边形 对 角 线 、 握手 等 问题 均 属于 单 循环 问题 ， 其 计算 公式 ： x （ x1 ） n ， 双 循环 ： 是 所有 参加 比赛 的 队 均 能 相遇 两 次 ， 如 互 送 卡片 ， 互 赠 礼物 等 问题 均 属 双 循环 问题 ， 其 计算 公式 ： x （ x1 ） n . 2 ． （ 2017 · 无锡 ） 某 商店 今年 1 月份 的 销售 额 是 2 万 元 ， 3 月份 的 销售 额 是 4 . 5 万 元 ， 从 1 月份 到 3 月份 ， 该 店 销售 额 平均 每 月 的 增长 率 是 （ 20 % B ． 25 % C ． 50 % D ． 62 . 5 % 【 答案 】 C 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 的 其他 应用 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 设 该 店 销售 额 平均 每 月 的 增长 率 为 x ， 则 二 月份 销售 额 为 2 （ 1 + x ） 万 元 ， 三 月份 销售 额 为 2 （ 1 + x ） 2 万 元 ， 由 题意 可 得 ： 2 （ 1 + x ） 2 = 4 . 5 ， 解 得 ： x1 = 0 . 5 = 50 % ， x2 = 2 . 5 （ 不合 题意 舍去 ） ， 答 即 该 店 销售 额 平均 每 月 的 增长 率 为 50 % ； 故 选 ： C ． 1 / 10 【 分析 】 设 每 月 增长 率 为 x ， 据 题意 可知 ： 三 月份 销售 额 为 2 （ 1 + x ） 2 万 元 ， 依 此 等量 关系 列 出 方程 ， 求解 即可 ． （ 2023 九 上 · 怀化 期中 ） 杭州 亚运会 吉祥 物 深受 大家 喜爱 ． 某 商户 8 月份 销售 吉祥 物 “ 宸 宸 ” 摆件 10 万 个 ， 10 月份 销售 万 个 ． 设 该 摆件 销售 量 的 月 平均 增长 率 为 x ， 则 可 列 方程 为 （ 【 答案 】 C 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 的 实际 应用 - 百分率 问题 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 该 摆件 销售 量 的 月 平均 增长 率 为 x ， 由 题意 得 ： 故 答案 为 ： C . 【 分析 】 该 摆件 销售 量 的 月 平均 增长 率 为 x ， 先 表示 出 9 月份 的 销售 数量 为 ， 10 月份 的 销售 数量 为 ， 根据 8 月份 的 销售 数量 （ 1 + 增长 率 ） 2 = 10 月份 的 销售 数量 ， 即可 求解 . 4 ． （ 2023 九 上 · 宿州 月 考 ） 为 执行 国家

浙 教 版 数学 八 年级 下册 课时 练习 2 . 2 《 一元 二 次 方程 的 解法 》 一 、 选择 题 1 . 方程 ( x3 ) 2 = 0 的 根 是 ( ) A . x = 3 B . x = 0 C . x1 = x2 = 3 D . x1 = 3 ， x2 = 32 . 下列 方程 中 ， 不 能 用 直接 开平 方法 的 是 ( ) A . x 23 = 0 B . ( x1 ) 24 = 0 C . x22 x = 0 D . ( x1 ) 2 = ( 2 x1 ) 23 . 用 配 方法 解 下列 方程 ， 其中 应 在 两 边 都 加上 16 的 是 ( ) A . x 24 x2 = 0 B . 2 x 28 x3 = 0 C . x 28 x = 2D . x 24 x = 24 . 用 配 方法 解 下列 方程 时 ， 配方 有 错误 的 是 ( ) A . x22 x 99 = 0 化为 ( x1 ) 2 = 100 B . x 28 x9 = 0 化为 ( x4 ) 2 = 25 C . 2t 27 t4 = 0 化为 ( t ) 2 = D . 3 y 24 y2 = 0 化为 ( y ) 2 = 5 . 小明 在 解 方程 x 24 x2 时 出现 了 错误 ， 解答 过程 如下 ： a1 ， b4 ， c2 ( 第 一 步 ) b 24 ac ( 4 ) 24 × 1 × ( 2 ) 24 ( 第 二 步 ) ( 第 三 步 ) ( 第 四 步 ) 小明 解答 过程 开始 出错 的 步骤 是 ( ) A . 第 一 步 B . 第 二 步 C . 第 三 步 D . 第 四 步 6 . 方程 ( x2 ) ( x4 ) = 0 的 两 个 根 是 等 腰 三角形 的 底 和 腰 ， 则 这 个 等 腰 三角形 的 周长 为 ( ) A . 6 B . 8 C . 10 D . 8 或 107 . 若 关于 x 的 一元 二 次 方程 x2 mxn = 0 的 两 个 实 根 分别 为 5 ， 6 ， 则 二 次 三 项 式 x2 mxn 可 分解 为 ( ) A . ( x5 ) ( x6 ) B . ( x5 ) ( x6 ) C . ( x5 ) ( x6 ) D . ( x5 ) ( x6 ) 8 . 若 关于 x 的 方程 x22 x3 = 0 与 = 有 一个 解 相同 ， 则 a 的 值 为 ( ) A . 1 B . 1 或 3 C . 1 D . 1 或 39 . 已知 实数 ( x2 x ) 24 ( x2 x ) 12 = 0 ， 则 代数 式 x2 x1 的 值 为 ( ) A . 1 B . 7 C . 1 或 7 D . 以上 全 不 正确 10 . 若 实数 x ， y 满足 ( x2 y 22 ) ( x2 y 22 ) = 0 . 则 x2 y2 的 值 为 ( ) A . 1 B . 2 C . 2 或 1 D . 2 或 1 二 、 填空 题 11 . 方程 x 29 = 0 的 解 是 12 . 将 下列 各 式 配方 ： ( 1 ) x 24 x ( ( 2 ) x 212 x ( ( 3 ) x2 x ( ( 4 ) x22 x ( 13 . 将 一元 二 次 方程 x26 x5 = 0 化成 ( xa ) 2 = b 的 形式 ， 则 b 等于 . 14 . 已知 关于 x 的 方程 ax 2 bxc = 0 的 一个 根 是 x1 = ， 且 b 24 ac = 0 ， 则 此 方程 的 另 一个 根 x2 = . 15 . 已知 若 分式 的 值 为 0 ， 则 x 的 值 为 ． 16 . 三角形 两 边 的 长 分别 是 8 和 6 , 第 3 边 的 长 是 一元 二 次 方程 x 216 x60 = 0 的 一个 实数 根 , 则 该 三角形 的 面积 是 ． 三 、 解答 题 17 . 用 配 方法 解 方程 : x22 x4 = 018 . 用 配 方法 解 方程 ： x22 x3 = 0 ； 19 . 用 公式 法 解 方程 : 2 x2 x3 = 0 ． 20 . 用 公式 法 解 方程 : 2 x 23 = 7 x . 21 . x2 axb 分解 因式 的 结果 是 ( x1 ) ( x2 ) ， 则 方程 x2 axb = 0 的 二 根 分别 是 什么 ？ 22 . 已知 等 腰 三角形 的 腰 和 底 的 长 分别 是 一元 二 次 方程 x ( x5 ) 10 ( x5 ) = 0 的 一个 根 ， 求 这 个 三角形 的 周长 . 23 . 阅读 例题 ， 解答 问

【 基础 卷 】 2024 年 浙 教 版 数学 八 年级 下册 2 . 1 一元 二 次 方程 同步 练习 一 、 选择 题 1 ． （ 2023 八 下 · 肇源 月 考 ） 将 一元 二 次 方程 化成 一般 式 后 ， 二 次 项 系数 和 一次 项 系数 分别 为 （ 3 ， 5B ． 3 ， 1 C ． 3 ， 【 答案 】 D 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 的 定义 及 相关 的 量 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 3 x2 = 5 x - 1 ， 3 x2 - 5 x + 1 = 0 ， 二 次 项 系数 和 一次 项 系数 分别 为 3 、 - 5 . 故 答案 为 ： D . 【 分析 】 一元 二 次 方程 的 一般 形式 是 ： ax 2 + bx + c = 0 （ a ， b ， c 是 常数 且 a0 ） . 其中 a ， b ， c 分别 叫 二 次 项 系数 ， 一次 项 系数 ， 常数 项 . 2 ． （ 2023 八 下 · 海淀 期末 ） 下列 方程 中 ， 属于 一元 二 次 方程 的 是 （ 【 答案 】 A 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 的 定义 及 相关 的 量 【 解析 】 【 解答 】 A ： 是 一元 二 次 方程 B ： ， 是 二元 二 次 方程 C ： ， 是 分式 方程 D ： ， 整理 得 x - 2 = 0 ， 是 一元 一次 方程 。 故 选 ： A1 / 8 【 分析 】 了解 一元 二 次 方程 的 定义 、 一元 一次 方程 和 分式 方程 的 定义 。 （ 2023 八 下 · 淮北 期末 ） 若 关于 x 的 一元 二 次 方程 的 常数 项 是 6 ， 则 一次 项 是 （ 1 【 答案 】 A 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 的 定义 及 相关 的 量 【 解析 】 【 解答 】 由 题意 可知 ， m = 3 ， - 4 x + mx = - 4 x + 3 x = - x ， 一次 项 是 - x ， 故 A 符合 题意 ； 故 选 A . 【 分析 】 本 题 考查 方程 的 项 的 概念 ， 且 要 注意 写 方程 的 每 一 项 时 都 不要 忘记 前面 的 符号 . 4 ． （ 2023 八 下 · 海阳 期末 ） 若 方程 的 一个 根 是 ， 则 常数 的 值 为 （ 【 答案 】 B 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 的 根 【 解析 】 【 解答 】 将 x = 2 代 入 ， 可 得 ： 22 - 3 × 2 + k = 0 ， 解 得 ： k = 2 ， 故 答案 为 ： B . 【 分析 】 将 x = 2 代 入 ， 再 求解 即可 . 5 ． （ 2023 八 下 · 青阳 期末 ） 关于 x 的 一元 二 次 方程 的 一个 根 是 0 ， 则 a 的 值 为 （ 1 或 D ． 【 答案 】 B 【 知识 点 】 一元 二 次 方程 的 根 【 解析 】 【 解答 】 解 ： 代 x = 0 入 原 式 得 a2 - 1 = 0 解 得 a = 1 一元 二 次 方程 有 意义 ， a - 10 ， 即 a12 / 8a = - 1 故 答案 为 ： B 【 分析 】 题目 中 明确 说是 关于 x 的 一元 二 次 方程 ， 因此 要 保证 二 次 项 系数 不 为 0 . 6 ． （ 2023 八 下 · 长沙 期末 ） 我国 古代 数学 家 杨辉 的 《 田亩 比 数 乘除 减法 》 中 记载 ： “ 直 田 积 八 百 六 十 四 步 ， 只 云 阔 不及 长 一 十 二 步 ， 问 阔 及 长 各 几 步 ？ ” 翻译 成 数学 问题 是 ： 一 块