湖南师范大学高等代数历年考研试题
一 . 填空 题 ( 将 正确 答案 填 在 横线 上 , 每 小 填 5 分 , 共 25 分 ) . 1 . n \ ge 2 , n 阶 行列 式 | \ matrix { x & - 1 & 0 & \ cdots & 0 \ cr 0 & x & - 1 & \ cdots & 0 \ cr 0 & \ cdots & \ cdots & \ cdots & 0 \ cr 0 & 0 & 0 & \ cdots & \ cdots & - 1 \ cr 0 & a _ { n } & 0 & \ cdots & \ vdots & a _ 的 值 为 _ ; 2 . 在 R ^ { 3 } 中 , 向量 \ beta = ( 1 , 1 , 1 ) 关于 基 \ { a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } \ } 的 坐标 是 _ , 其中 \ alpha _ { 1 } = ( 1 , 1 , 0 ) , \ alpha _ { 2 } = ( 1 , 0 , 1 ) , \ alpha _ { 3 } = ( 0 , 1 , 1 ) 3 . 已知 则 W _ { 1 } = \ { x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) \ mid x _ { 1 } + x _ { 2 } + x _ { 3 } - x _ { 4 } W _ { 2 } = \ { x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) \ mid x _ { 1 } + x _ { 2 } - x _ { 3 } - x _ { 4 } 都 是 R ^ { 4 } 的 子 空间 , 那么 W _ { 1 } \ cap 的 维 数 是 _ . 4 . 若 在 R ^ { 3 } 中 规定 任意 两 个 向量 \ xi = ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) , \ eta = ( y _ { 1 } , y _ { 2 } , y _ { 3 } ) 的 内 积 为 < \ xi , \ eta > = x _ { 1 } y _ { 1 } + 2 x _ { 2 } y _ { 2 } + 3 x _ { 3 } y _ { 3 } , \ alpha = ( 1 , 0 , 1 ) , \ beta = ( 1 , 2 , 0 ) 的 夹角 是 _ . 5 . 若 实 二次型 f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) = x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } + 5 x _ { 3 } ^ { 2 } - 2 tx _ { 1 } x _ { 2 } 是 正定 的 , 则 t 的 取值 范围 是 _ 二 . 简答 题 . ( 20 分 ) ( 每 小 题 5 分 , 先 回答 对 或 错 , 对 的 做 简单 说明 , 错 的 做出 反例 ) 1 . 设 A 是 对称 矩阵 , B 是 反对 称 矩阵 , 那么 AB - BA 和 B ^ { 2 } 是否 都 是 对称 矩阵 ? 2 . 设 A , B 都 是 实 对称 矩阵 , 且 A 与 B 的 特征 多 项 式 相同 , 那么 A 与 B 是否 一定 相似 ? 3 . 设 W _ { 1 } 和 W _ { 2 } 都 是 数域 F 上 向量 空间 V 的 子 空间 , 如果 V 的 任意 向量 都 至少 属于 W _ { 1 } 与 W _ { 2 } 中 的 一个 , 是否 有 V = W _ { 1 } V = W _ { 2 } ? 4 . 若 含有 n 个 未知 数 n + 1 个 方程 的 线性 方程 组 \ cases { a _ { 1 } x _ { 1 } + a _ { 1 } x _ { 2 } + \ cdots & $ = b _ { 1 } \ cr \ cdots \ cdots , \ cdots , \ cdots , \ cdots , \ cdots , & $ - x _ { n } = b $ \ cr a _ { n + 1 } 有 解 , 是否 必 有 增广 矩阵 的 行列 式 的 值 为 0 ? 反 过来 是否 也 成立 ? 三 . 计算 题 ( 25 分 ) 1 . ( 10 分 ) 求 t 的 值 , 使 f ( x ) = x ^ { 3 } + 6 x ^ { 2 } + 3 tx + 8 有 重 根 . 2 . ( 15 分 ) 设 A = ( \ matrix { 1 & 1 & 1 & 1 \ cr 1 & 1 & - 1 & - 1 \ cr 1 & - 1 & 1 & - 1 \ cr 1 & - 1 & - 1 & 1 } ) , ( 1 ) 求 A 的 特征 值 ; ( 2 ) 求 属于 各 特征 值 的 特征 向量 ; ( 3 ) 求 一个 可逆 矩阵 T , 使 1T ^ { - 1 } AT 为 对 角 矩阵 . 四 . 证明 题 ( 每 小 题 10 分 , 共 30 分 ) 1 . 设 σ , τ 都