一 、 选择 题 : 1 ~ 10 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 50 分 . 下列 每 题 给 出 的 四 个 选项 中 , 只有 一个 选项 是 符合 题目 要求 的 . 1 . 当 x \ rightarrow 0 , \ int _ { 0 } ^ { x ^ { 2 } } ( e ^ { t ^ { 3 } } - 1 ) dt 是 x ^ { 7 } 的 A . 低 阶 无穷小 . B . 等价 无穷小 . C . 高 阶 无穷小 . D . 同 阶 但 非 等价 无穷小 . 【 答案 】 \ lim _ { x \ rightarrow 0 } \ int _ { 0 } ^ { x ^ { 2 } } ( e ^ { x ^ { 2 } } - 1 ) dt } = \ lim _ { x \ rightarrow 0 } \ frac { 2 ( e ^ { x ^ { 6 } } - 1 ) } { x ^ 故 选 C . 【 解析 】 2 . 函数 f ( x ) = \ cases { e ^ { x } - 1 \ cr \ frac { 1 } { x } , & $ x \ neq 0 $ } x = 0 处 A . 连续 且 取 极 大 值 B . 连续 且 取 极 小 值 C . 可 导 且 导 数 等于 零 D . 可 导 且 导 数 不 为 零 【 答案 】 D 【 解析 】 因为 \ lim _ { x \ rightarrow 0 } \ frac { e ^ { x } - 1 } { x } = 1 = f ( 0 ) , 故 连续 ; 又 因为 \ lim _ { x \ rightarrow 0 } \ frac { \ frac { e ^ { x } - 1 } { x } - 1 } { x } = \ frac { e ^ { x } - 1 - x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } = \ frac { 1 } { 2 } 故 可 导 , 所以 选 D . 3 . 有 一 圆柱 体 底面 半径 与 高 随 时间 变化 的 速率 分别 为 2 cm / s , - 3 cm / s , 当 底面 半径 为 10 cm , 高 为 5 cm 时 , 圆柱 体 的 体积 与 表 面积 随 时间 变化 的 速率 分别 为 A . 125 \ pi m ^ { 3 } / s , 40 \ pi m ^ { 2 } / s B . 125 \ pi m ^ { 3 } / s , - 40 \ pi m ^ { 2 } / s C . - 100 \ pi m ^ { 3 } / s , 40 \ pi m ^ { 2 } / s D . - 100 \ pi m ^ { 3 } / s , - 40 \ pi m ^ { 2 } / s 【 答案 】 C . V = \ pi r ^ { 2 } h , S = 2 \ pi rh + 2 \ pi r ^ { 2 } . \ frac { dS } { dt } = 2 \ pi h \ frac { dr } { dt } + 2 \ pi r \ frac { dh } { dt } + 4 \ pi r \ frac { dr } { dt } = 40 \ pi 4 . 设 函数 f ( x ) = ax - b \ ln x ( a > 0 ) 有 2 个 零点 , 则 \ frac { b } { a } 的 取值 范围 A . ( e , + \ infty ) B . ( 0 , e ) C . ( 0 , \ frac { 1 } { e } D . \ frac { 1 } { e } + \ infty ) 【 答案 】 A . 【 解析 】 f ( x ) = ax - b \ ln x 若 b < 0 , 不 满足 条件 ， 舍去 ； 5 . 设 函数 f ( x ) = \ sec x 在 x = 0 处 的 2 次 泰勒 多 项 式 为 1 + ax + bx ^ { 2 } , 则 A . a = 1 , b = - \ frac { 1 } { 2 } B . a = 1 , b = \ frac { 1 } { 2 } C . a = 0 , b = - \ frac { 1 } { 2 } D . a = 0 , b = \ frac { 1 } { 2 } 【 答案 】 D . 【 解析 】 f ( x ) = \ sec x = f ( 0 ) + f ' ( 0 ) x 所以 可 得 a = 0 , b = \ frac { 1 } { 2 } .

2021 考研 数学 （ 二 ） 真题 试题 数学 ( 二 ) 一 、 选择 题 ( 本 题 共 10 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50 分 . 每 小 题 给 出 的 四 个 选项 中 ， 只有 一个 选项 是 符合 题目 要求 , 把 所 选 选项 前 的 字母 填 在 答题 卡 指定 位置 上 . ) ( 1 ) 当 \ int _ { 0 } ^ { x ^ { 2 } } ( e ^ { t ^ { 3 } } - 1 ) dtx ' 的 ( A ) 低 阶 无穷小 . ( B ) 等价 无穷小 . ( C ) 高 阶 无穷小 . ( D ) 同 阶 但 非 等价 无穷小 . ( 2 ) 函数 f ( x ) = \ cases { e ^ { x } - 1 , x \ neq 0 \ cr 1 , x = 0 } x = 0 ( A ) 连续 且 取 极 大 值 . ( B ) 连续 且 取 极 小 值 . ( C ) 可 导 且 导 数 为 0 . ( D ) 可 导 且 导 数 不 为 0 . ( 3 ) 有 一 圆柱 体 底面 半径 与 高 随 时间 变化 的 速率 分别 为 2 cm / s , - 3 cm / s , 当 底面 半径 为 10 cm , 高 为 5 cm 时 , 圆柱 体 的 体积 与 表 面积 随 时间 变化 的 速率 分别 为 ( A ) 125 \ pi cm ^ { 3 } / s , 40 \ pi cm ^ { 2 } / s ( B ) 125 \ pi cm ^ { 3 } / s , - 40 \ pi cm ^ { 2 } / s . ( C ) - 100 \ pi cm ^ { 3 } / s , 40 \ pi cm ^ { 2 } / s . ( D ) - 100 \ pi cm ^ { 3 } / s , - 40 \ pi cm ^ { 2 } / s ( 4 ) 设 函数 f ( x ) = ax - b \ ln x ( a > 0 ) 有 两 个 零点 , 则 \ frac { b } { a } 的 取值 范围 是 ( A ) ( e , + \ infty ) . ( B ) ( 0 , e ) . ( C ) ( 0 , \ frac { 1 } { e } ) . ( D ) ( \ frac { 1 } { e } , + \ infty ) . ( 5 ) 设 函数 f ( x ) = \ sec x 在 x = 0 处 的 2 次 泰勒 多 项 式 为 1 + ax + bx ^ { 2 } , 则 ( A ) a = 1 , b = - \ frac { 1 } { 2 } . ( B ) a = 1 , b = \ frac { 1 } { 2 } . ( C ) a = 0 , b = - \ frac { 1 } { 2 } . ( D ) a = 0 , b = \ frac { 1 } { 2 } . ( 6 ) 设 函数 f ( x , y ) 可 微 , 且 f ( x + 1 , e ^ { x } ) = x ( x + 1 ) ^ { 2 } , f ( x , x ^ { 2 } ) = 2 x ^ { 2 } \ ln x 则 df ( 1 , 1 ) = ( A ) dx + dy . ( B ) dx - dy ( C ) dy . ( D ) - dy . ( 7 ) 设 函数 f ( x ) 在 区间 [ 0 , 1 ] 上 连续 , 则 \ int _ { 0 } ^ { 1 } f ( x ) dx = ( A ) \ lim _ { n \ rightarrow \ infty } \ sum _ { k = 1 } ^ { n } f ( \ frac { 2k - 1 } { 2n } ) \ frac { 1 } { 2n } ( B ) \ lim _ { n \ rightarrow \ infty } \ sum _ { k = 1 } ^ { n } f ( \ frac { 2k - 1 } { 2n } ) \ frac { 1 } { n } . ( C ) \ lim _ { n \ rightarrow \ infty } \ sum _ { k = 1 } ^ { 2n } f ( \ frac { k - 1 } { 2n } ) \ frac { 1 } { n } . ( D ) \ lim _ { x \ rightarrow 0 } \ sum _ { k = 1 } ^ { 2n } f ( \ frac { k } { 2n } ) \ cdot \ frac { 2 } { n } 8 ) 二次型 f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) = ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( x _ { 2 } + x _ { 3 } ) ^ { 2 } - ( x _ { 3 } - 的 正 惯性 指数 与 负 惯性 指数 依次 为 1 ( A ) 2 , 0 . ( B ) 1 , 1 . ( C ) 2 , 1 . ( D ) 1 , 2 . ( 9 ) 设 3 阶 矩阵 A = ( \ alpha _ { 1 } , \ alpha _ { 2 } , \ alpha _ { 3 } ) , B = ( \ beta _ { 1 }

一 、 选择 题 ： 1 ~ 10 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50 分 . 下列 每 题 给 出 的 四 个 选项 中 ， 只有 一个 选项 是 符合 题目 要求 的 . 请 将 所 选项 前 的 字母 填 在 答题 纸 指定 位置 上 . 1 . \ int _ { 0 } ^ { x ^ { 2 } } ( et ^ { 3 } - 1 ) dt 的 ( A ) 低 阶 无穷小 ( B ) 等价 阶 无穷小 ( C ) 高 阶 无穷小 ( D ) 同 阶 但 非 等价 无穷小 2 . f ( x ) = \ cases { \ frac { ex - 1 } { x } , x \ neq 0 \ cr 1 , x = 0 } x = 0 ( A ) 连续 且 取得 极 大 值 ( B ) 连续 且 取得 极 小 值 ( C ) 可 导 且 导 数 为 零 ( D ) 可 导 且 导 数 不 为 零 3 . 有 一 圆柱 体 ， 底面 半径 与 高 随 时间 的 变化 率 分别 为 2 cm / s , - 3 cm / s , 当 底面 半径 为 10 cm ， 高 为 5 cm 时 ， 圆体 的 体积 与 表 面积 随 时间 的 变化 速率 为 ( A ) 125 \ pi cm3 / s , 40 \ pi cm 2 / s ( B ) 125 \ pi cm3 / s , - 40 \ pi cm 2 / s ( C ) - 100 \ pi cm3 / s , 40 \ pi cm 2 / s ( D ) - 100 \ pi cm3 / s , - 40 \ pi cm 2 / s4 . 函数 f ( x ) = ax - b \ ln x ( a > 0 ) 有 2 个 零点 ， 则 \ frac { b } { a } 的 取值 范围 是 ( A ) ( e , + \ infty ) ( B ) ( 0 , e ) ( C ) ( 0 , \ frac { 1 } { e } ) ( D ) ( \ frac { 1 } { e } , + \ infty ) 5 . 设 函数 f ( x ) = \ sec x 在 x = 0 处 的 2 次 泰勒 多 项 式 为 1 + a + bx ^ { 2 } , 则 ( A ) a = 1 , b = - \ frac { 1 } { 2 } ( B ) a = 1 , b = \ frac { 1 } { 2 } ( C ) a = 0 , b = - \ frac { 1 } { 2 } ( D ) a = 0 , b = \ frac { 1 } { 2 } 6 . 设 函数 f ( u , v ) 时 且 f ( x + 1 , ex ) = x ( x + 1 ) ^ { 2 } , f ( x , x ^ { 2 } ) = 2 x ^ { 2 } \ ln x , 则 df ( 1 , 1 ) = ( A ) dx + dy ( B ) dx - dy ( C ) dy ( D ) - dy 7 . 设 函数 f ( x ) 在 区间 [ 0 , 1 ] 上 连续 , 则 \ int _ { 0 } ^ { 1 } f ( x ) dx = ( A ) \ lim _ { n \ rightarrow \ infty } \ sum _ { k = 1 } f ( \ frac { 2k - 1 } { 2n } ) \ frac { 1 } { 2n } ( B ) \ lim _ { n \ rightarrow \ infty } \ sum _ { k = 1 } ^ { \ infty } f ( \ frac { 2k - 1 } { 2n } ) \ frac { 1 } { n } ( C ) \ lim _ { n \ rightarrow \ infty } \ sum _ { k = 1 } ^ { n } f ( \ frac { k - 1 } { 2n } ) \ frac { 1 } { n } ( D ) \ lim _ { n \ rightarrow \ infty } \ sum _ { k = 1 } ^ { \ infty } f ( \ frac { k } { 2n } ) \ frac { 2 } { n } 8 . 二次型 f ( x , x , x ) = ( x + x ) 2 + ( x + x ) 2 + ( x + x ) 2 - ( x - x ) 2 的 正 惯性 指数 和 负 惯性 指数 分别 为 ( A ) 2 , 0 ( B ) 1 ， 1 ( C ) 2 , 1 ( D ) 1 , 29 . 设 3 阶 矩阵 A = ( \ alpha _ { 1 } , \ alpha _ { 2 } , \ alpha _ { 3 } ) , B = ( \ beta _ { 1 } , \ beta _ { 2 } , \ beta _ { 3 } ) , 若 向量 组 α , α , α , 可以 由 向量 组 \ beta _ { 1 } , \ beta _ { 2 } , \ beta _ { 3 } 线性 表示 出 ， 则 ( A ) Ax = 0 的 解 均 为 Bx = 0 解 ( B ) Arx = 0 的 解

( 1 ) 以下 反常 积分 中 收敛 的 是 ( A ) \ int _ { 2 } ^ { + \ infty } \ frac { 1 } { \ sqrt { x } } dx ( B ) \ int _ { 2 } ^ { + \ infty \ ln x } \ frac { dx } { x } dx ( C ) \ int _ { 2 } ^ { + \ infty } \ frac { 1 } { x \ ln x } dx ( D ) \ int _ { 2 } ^ { + \ infty } \ frac { x } { e ^ { x } } dx 【 答案 】 D 。 【 解析 】 题 干 中 给 出 4 个 反常 积分 ， 分别 判断 敛 散 性 即可 得到 正确 答案 。 综 上 所 述 ， 此 题 正确 答案 是 D 。 【 考点 】 高等 数学 元 函数 积分 学 反常 积分 ( 2 ) 函数 f ( x ) = \ lim _ { t \ rightarrow 0 } ( 1 + \ frac { \ sin t } { x } ) ^ { \ frac { x ^ { 2 } } { t } } ( - \ infty , + \ infty ) ( A ) 连续 ( B ) 有 可 去 连续 点 ( C ) 有 跳跃 连续 点 ( D ) 有 无穷 连续 点 【 答案 】 B 【 解析 】 这 是 “ 1 ” 型 极限 , 直接 有 f ( x ) = \ lim _ { t \ rightarrow 0 } ( 1 + \ frac { \ sin t } { x } ) ^ { \ frac { x ^ { 2 } } { t } } = e ^ { \ lim _ { t \ rightarrow 0 } \ frac { x ^ { 2 } } { t } ( 1 + \ frac { \ sin t } { x } - 1 ) } = e ^ { x \ lim _ { t \ rightarrow 0 } \ frac { \ sin t } { t } } = e ^ { x } f ( x ) 在 x = 0 处 无 定义 ， = \ lim _ { x \ rightarrow 0 } f ( x ) = \ lim _ { x \ rightarrow 0 } e ^ { x } = 1 所以 x = 0 是 f ( x ) 的 可 去 连续 点 ， 选 B 。 综 上 所 述 ， 此 题 正确 答案 是 B 。 【 考点 】 高等 数学 一 函数 、 极限 、 连续 一 两 个 重要 极限 ( 3 ) 设 函数 f ( x ) = \ cases { x ^ { \ alpha } \ cos \ frac { 1 } { x ^ { \ beta } } , x > 0 , \ cr 0 , & x \ le 0 } ( \ alpha > 0 , \ beta > 0 ) . 假设 f ( x ) 在 x = 0 处 连续 ， 则 ( A ) \ alpha - \ beta > 1 ( B ) 0 < \ alpha - \ beta \ le 1 ( C ) \ alpha - \ beta > 2 ( D ) 0 < \ alpha - \ beta \ le 2 【 答案 】 A 【 解析 】 易 求 出 f ' ( x ) = \ cases { \ alpha x ^ { \ alpha - 1 } \ cos \ frac { 1 } { x ^ { \ beta } } + \ beta x ^ { \ alpha - \ beta - 1 } \ sin \ frac { 1 } { x ^ { \ beta } } , & x > 0 , ) 再有 f _ { + } ^ { ' } ( 0 ) = \ lim _ { x \ rightarrow 0 ^ { + } } \ frac { f ( x ) - f ( 0 ) } { x } = \ lim _ { x \ rightarrow 0 ^ { + } } x ^ { \ alpha - 1 } \ cos \ frac { 1 } { \ alpha > 1 , 不 存在 ， \ alpha \ le 1 , f _ { - } ( 0 ) = 0 于是 ， f ( 0 ) 存在 \ iff \ alpha > 1 , 此时 f ( 0 ) = 0 . 当 \ alpha > 1 时 ， \ lim _ { x \ rightarrow 0 } x ^ { \ alpha - 1 } \ cos \ frac { 1 } { x ^ { \ beta } } = 0 , \ lim _ { x \ rightarrow 0 } \ beta x ^ { \ alpha - \ beta - 1 } \ sin \ frac { 1 } { x ^ { \ beta } } \ { 0 \ alpha - \ beta - 1 > 0 , 存在 ， \ alpha - \ beta - 1 \ le 0 , 因此

一 、 选择 题 ： 本 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60 分 . 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选项 中 ， 只有 一 项 是 符合 题目 要求 的 . 1 . 复数 \ frac { 2 - i } { 1 - 3 i } 在 复 平面 内 对应 的 点 所在 的 象 限 为 ( ) A . 第 一 象 限 B . 第 二 象 限 C . 第 三 象 限 D . 第 四 象 限 【 答案 】 A 【 解析 】 【 分析 】 利用 复数 的 除 法 可 化 简 \ frac { 2 - i } { 1 - 3 i } , 从而 可 求 对应 的 点 的 位置 . 【 详解 】 \ frac { 2 - i } { 1 - 3 i } = \ frac { ( 2 - i ) ( 1 + 3 i ) } { 10 } = \ frac { 5 + 5i } { 10 } = \ frac { 1 + i } { 2 } , 所以 该 复数 对应 的 点 为 ( \ frac { 1 } { 2 } , \ frac { 1 } { 2 } ) , 该 点 在 第 一 象 限 ， 故 选 : A . 2 . 设 集合 U = \ { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 \ } , A = \ { 1 , 3 , 6 \ } , B = \ { 2 , 3 , 4 \ } , 则 A \ cap ( \ Phi , B ) = ( ) A . { 3 } B . { 1 ， 6 } C . { 5 ， 6 } D . { 1 , 3 } 【 答案 】 B 【 解析 】 【 分析 】 根据 交集 、 补 集 的 定义 可 求 A \ cap ( \ complement _ { U } B 详解 】 由 题 设 可 得 \ partial _ { U } B = \ { 1 , 5 , 6 \ } , 故 A \ cap ( \ complement _ { U } B ) = \ { 1 , 6 \ } , 故 选 ： B . 3 . 抛物 线 y ^ { 2 } = 2 px ( p > 0 ) 的 焦点 到 直线 y = x + 1 的 距离 为 \ sqrt { 2 } , 则 p = ( ) A . 1 B . 2 C . 2 \ sqrt { 2 } D . 4 【 答案 】 B 【 解析 】 【 分析 】 首先 确定 抛物 线 的 焦点 坐标 , 然后 结合 点 到 直线 距离 公式 可 得 P 的 值 . 【 详解 】 抛物 线 的 焦点 坐标 为 ( \ frac { p } { 2 } , 0 ) , 其 到 直线 x - y + 1 = 0 的 距离 : d = \ frac { \ mid \ frac { p } { 2 } - 0 + 1 \ mid } { \ sqrt { 1 + 1 } } = \ sqrt { 2 } , 解 得 ： p = 2 ( p = - 6 舍去 ) . 故 选 ： B . 4 . 北斗 三 号 全球 卫星 导航 系统 是 我国 航天 事业 的 重要 成果 . 在 卫星 导航 系统 中 ， 地球 静止 同步 卫星 的 轨道 位于 地球 赤道 所在 平面 , 轨道 高度 为 36000 km ( 轨道 高度 是 指 卫星 到 地球 表面 的 距离 ) . 将 地球 看作 是 一个 球心 为 0 , 半径 r 为 6400 km 的 球 , 其 上 点 A 的 纬度 是 指 OA 与 赤道 平面 所 成 角 的 度数 . 地球 表面 上 能 直接 观测 到 一 颗 地球 静止 同步 轨道 卫星 点 的 纬度 最大 值 为 α ， 记 卫星 信号 覆盖 地球 表面 的 表 面积 为 S = 2 \ pi r ^ { 2 } ( 1 - \ cos \ alpha ) ( 单位 ： km ^ { 2 } ) , 则 S 占 地球 表 面积 的 百分比 约 为 ( ) A26 % B . 34 % C . 42 % D . 50 % 【 答案 】 C 【 解析 】 【 分析 】 由 题意 结合 所 给 的 表 面积 公式 和 球 的 表 面积 公式 整理 计算 即可 求得 最终 结果 . 【 详解 】 由 题意 可 得 , S 占 地