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2024年清华大学强基计划数学学科笔试试题含答案
2024年清华大学强基计划数学学科笔试试题含答案
清华大学2024年强基计划数学学科试题考试时间2024年6月28日8:00-12:00 1.已知{}{θ}θθθθθcos,cos2,cos3sin,sin2,sin3=，则θ=_.2.已知4ln=+=+bbaea,则下列选项中正确的有（）A.1lnln>+abaB.1lnln=+abaC.ab<4D.ab>e3.某城市内有若干街道，所有街道都是正东西或南北向，某人站在某段正中央开始走，每个点至多经过一次，最终回到出发点.已知向左转了100次，则可能向右转了（）次。A.96 B.98 C.104 D.102 4.在平面直角坐标系内，()1,21,8,)200(22AyxxyM+，若OMA的面积不超过3，则满足条件的整点M个数为_.6.已知2111,1nnnaaaa+==+，下列选项中正确的有 D.[]a900=30A.333lim=B.[]a400=20C.2lim=nn+nan+nan7.正整数{,100},2,1,,abc，且cbbaca>>=+2,11，满足这样条件的(abc 的组数为 A.60 B.90 C.75 D.86 8.从棱长为1个单位长度的正方体的底面一顶点A出发，每次均随机沿一条棱行走一个单位长度，下列选项中正确的有 +4A.进行4次这样的操作回到A的概率为3)11(21B.进行2次这样的操作回到A的概率为95 学科网（北京）股份有限公司4C.进行4次这样的操作回到A的概率为3)11(21D.进行2次这样的操作
清华大学2024年强基计划数学试题（含解析）
清华 大学 2024 年 强 基 计划 笔试 1 . 点 A \ in \ { ( x , y ) \ mid \ frac { x ^ { 2 } } { 200 } + \ frac { y ^ { 2 } } { 8 } \ le 1 \ } , M ( 2 , 1 ) 求 满足 S _ { \ triangle OAM } \ le 3 的 整点 的 个数 . 2 . 5a - 3c \ le b \ le 4a - c , c \ ln b \ ge a + c \ ln c , abc 均 为 正数 , 则 \ frac { b } { a } 的 最大 ， 最小 值 是否 存在 ? 是 多少 ? 3 . 点 集 S = \ { ( x , y ) \ mid x \ le 5 , y \ le 4 且 x , y \ in N ^ { * } \ } , 则 由 _ { S } 中 的 点 可以 组成 多少 个 不同 的 三角形 ? 4 . 抛物 线 C : x ^ { 2 } = 4 y , 焦点 为 F . 过 焦点 F 的 直线 l 交 C 于 A , B 两 点 . 过 A 作 平行 于 B 点 切线 的 直线 交 C 于 点 P , 交 y轴 于 点 D . 设 A ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , B ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) , P ( x _ { 3 } , y _ { 3 } ) , 则 ( ) A . y _ { 1 } y _ { 2 } = 4 . B.S _ { \ triangle ABP } 的 最大 值 为 16 . C . \ mid DF \ mid = \ mid AF \ midD . x _ { 1 } + x _ { 3 } = 2 x _ { 2 } 5 . f ( a , b , c ) = \ sqrt { \ frac { a } { b + c } } + \ sqrt { \ frac { b } { a + c } } + \ sqrt { \ frac { c } { a + b } } ( a , b , c ) 非 负 ) , 则 f ( a , b , c ) 的 最大 值 和 最小 值 是否 存在 ? 是 多少 ? 6 . f ( x ) = \ frac { x - 1 } { e ^ { x } } . 则 ( ) A . 若 f ( x ) = a 有 两 个 解 , 则 0 < a < \ frac { 1 } { e ^ { 2 } } . B . 若 \ mid f ( x ) + m \ mid 有 最小 值 ， 则 m \ le - \ frac { 1 } { 2 e ^ { 2 } } . C . 若 \ mid f ( x ) + m \ mid 有 最小 值 ， 则 m < - \ frac { 1 } { 2 e ^ { 2 } } . D . 若 f ( x ) = a 有 两 个 解 x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 1 } + x _ { 2 } > 4 . 7 . 圆 上 7 点 所 成 线段 中 任 取 两 条 ， 这 两 条 线段 无 公共 点 的 概率 为 ? 8 . 复 方程 ( z ^ { 3 } + z ) ^ { 2 } + 9 z ^ { 3 } - 72 z = 0 的 所有 复数 根 的 平方 和 为 ? 9 . 已知 \ { \ cos \ alpha , \ cos 2 \ alpha , \ cos 3 \ alpha \ } = \ { \ sin \ alpha , \ sin 2 \ alpha , \ sin 3 \ alpha \ } , 则 α 可以 是 ( ) A . \ frac { \ pi } { 8 } B . - \ frac { 3 \ pi } { 8 } C . - \ frac { 2 \ pi } { 7 } D . - \ frac { \ pi } { 14 } 10 . x ^ { 3 } + px ^ { 2 } + q = 02 ) 有 解 , 则 p + q 可能 的 取值 为 ? 11 . x ^ { 3 } + px ^ { 2 } + qx + r = 02 ) 内 有 三 个 不等 实 根 , 则 p + q+ r 的 取值 范围 ? 12 . a + e ^ { a } = b + \ ln b = 4 , 则 ( ) A . a \ ln b + b \ ln a > 1 B . a \ ln b + b \ ln a = 1 C . ab < 4D . ab > e13 . 已知 复数 z 满足 \ mid z \ mid = 1 , z ^ { n } = z + \ sqrt { 2 } , 则 n 的 最小 值 为 ? 14 . 四面体 V - ABC 中 ， VA = VB = 2 \ sqrt { 2 } , VC = 3 , CA = CB = 4 求 CA 与 VB 所 成 角 余弦 的 最 值 . 15 . 正 四面体 ABCD 中 ， 棱 长 为 2 \ sqrt { 2 } . 点 P 满足 \ mid \
清华大学2024年强基计划数学试题（解析）
清华大学2024年强基计划数学试题（解析）
求 满足 的 整点 的 个数 . 【 答案 】 65 【 解析 】 【 分析 】 设 ， 直线 的 方程 为 ， ， 设 ， 则 ， 把 ， 代 入 ， 讨论 可 得 答案 . 【 详解 】 设 ， 直线 的 方程 为 ， 即 ， ， 设 ， 则 ， 代 入 ， 化 简 得 ， 当时 有 5 个 整点 ； 当时 有 5 个 整点 ； 当时 有 5 个 整点 ； 当时 有 5 个 整点 ； 当时 有 5 个 整点 ； 当时 有 5 个 整点 ； 当时 有 5 个 整点 ； 根据 对称 性 ， 当时 ， 也 分别 有 5 个 整点 ， 所以 共有 65 个 整点 . 2 . 均 为 正数 ， 则 的 最大 ， 最小 值 是否 存在 ？ 是 多少 ？ 第 1 页 / 共 31 页 学科 网 （ 北京 ） 股份 有限 公司 【 答案 】 存在 ， 的 最大 值 为 3 ， 最小 值 为 . 【 解析 】 【 分析 】 根据 已知 条件 进行 化 简 ， 构造 函数 利用 函数 导 数 判断 函数 的 单调 性 ， 解 出 最 值 ， 再 根据 条件 限制 范围 ； 【 详解 】 由 题意 知 ， ， 令 则 ， 且 令 ， 则 ， 令 ， 则 递增 ， 递减 ； 所以 ， 此时 ， 因此 所以 的 最大 ， 最小 值 存在 ， 的 最大 值 为 3 ， 最小 值 为 . 3 . 点 集 且 ， 则 由 中 的 点 可以 组成 多少 个 不同 的 三角形 ？ 【 答案 】 1056 【 解析 】 【 分析 】 利用 组合 数 的 知识 结合 图象 分析 即可 . 【 详解 】 总共 有 种 , 第 2 页 / 共 31 页 学科 网 （ 北京 ） 股份 有限 公司 如 图 ， 三 点 共 线 （ 粗 虚线 ） 有 8 组 ， 四 点 共 线 有 9 组 （ 图 中 实线 加上 5 条 竖线 ） ， 五 点 共 线 有 4 组 ， 于是 一共 能 组成 种 . 故 答案 为 ： 1056 . 4 . 抛物 线 ， 焦点 为 ． 过 焦点 的 直线 交 于 两 点 ． 过 作 平行 于 点 切线 的 直线 交 于 点 ， 交 轴 于 点 ． 设 ， 则 （ ） A . ． B . 的 最大 值 为 16 ． C . D . 【 答案 】 CD 【 解析 】 【 分析 】 对于 ， 设 直线 的 方程 为 ， 联立 抛物 线 方程 用 韦达 定理 即可 判断 ； 对于 ， 求 导 得 ， 则 直线 的 斜率 为 ， 进而 可 得 直线 的 方程 ， 联立 抛物 线 方程 用 韦达 定理 即可 判断 ； 对于 ， 过 作 轴 平行 线 交 于 ， 结合 选项 知 ， 的 面积 等于 的 2 倍 ， 根据 直线 的 方程 可 得 ， 可 求 ， 进一步 可 求得 ， 利用 基本 不等式 结合 即可 判断 ． 对于 ， 由 直线 的 方程 可 得 坐标 ， 进一步 可 得 ， 即可 判断 ； 【 详解 】 第 3 页 / 共 31 页 学科 网 （ 北京 ） 股份 有限 公司 如 图 所 示 ， 切线 记 为 ， 记 为 ． 对于 ， 直线 的 斜率 存在 ， 故 设 直线 的 方程 为 ， 联立 ， 消去 得 ， ， 所以 ， 故 ， 故 错误 ； 对于 ， 因为 ， 所以 ， 则 直线 的 斜率 为 ， 故 直线 的 方程 为 ， 即 ， 联立 ， 消去 得 ， 故 ，
清华大学2024年强基计划数学试题（原卷）
清华大学2024年强基计划数学试题（原卷）
求 满足 的 整点 的 个数 . 2 . 均 为 正数 ， 则 的 最大 ， 最小 值 是否 存在 ？ 是 多少 ？ 3 . 点 集 且 ， 则 由 中 的 点 可以 组成 多少 个 不同 的 三角形 ？ 4 . 抛物 线 ， 焦点 为 ． 过 焦点 的 直线 交 于 两 点 ． 过 作 平行 于 点 切线 的 直线 交 于 点 ， 交 轴 于 点 ． 设 ， 则 （ ） A . ． B . 的 最大 值 为 16 ． C . D . 5 . 非 负 ， 则 的 最大 值 和 最小 值 是否 存在 ？ 是 多少 ？ 则 （ ） A . 若 有 两 个 解 ， 则 ． B . 若 有 最小 值 ， 则 ． C . 若 有 最小 值 ， 则 ． D . 若 有 两 个 解 ， 则 ． 的 7 . 圆 上 7 点 所 成 线段 中 任 取 两 条 ， 这 两 条 线段 无 公共 点 概率 为 ？ 8 . 复 方程 的 所有 复数 根 的 平方 和 为 ？ 9 . 已知 ， 则 可以 是 （ ） 第 1 页 / 共 4 页 学科 网 （ 北京 ） 股份 有限 公司 A . B . C . D . 10 . 在 有 解 ， 则 可能 的 取值 为 ？ 11 . 在内 有 三 个 不等 实 根 ， 则 的 取值 范围 ？ 12 . ， 则 （ ） A . B . C . D . 13 . 已知 复数 满足 ， ， 则 的 最小 值 为 ？ 14 . 四面体 中 ， . 求 与 所 成 角 余弦 的 最 值 ． 15 . 正 四面体 中 ， 棱 长 为 ． 点 满足 ， 则 的 （ ） 为 A . 最小 值 ． B . 最大 值 为 C . 最小 值 为 D . 最大 值 为 16 . 已知 正方体 ， 初始 时 与 重合 ， 每 一步 都 等 可能 得 移动 到 相邻 顶点 ， 记 移动 步 后 仍 在 面上 的 概率 为 ， 则 （ ） A . 移动 步 后 ， 仍 在 点 的 概率 为 第 2 页 / 共 4 页 学科 网 （ 北京 ） 股份 有限 公司 B . C . D . 与 的 递推 式 为 17 则 （ ） A . B . C . D . 18 . 复数 列 ， 且 ， 则 的 最大 值 是 _ ． 19 . 某 区域 仅 有 东西 向 或 南北 向 道路 ， 某人 从 区域 中心 出发 后 又 回到 起点 ， 且 路途 中 不 经过 重复 区域 ， 已知 此 人 左 转 次 ， 则 其 右 转 次数 可以 是 （ ） A . B . C . D . 20 . 正 整数 均 不 大于 ， 且 满足 ． 求 满足 这样 条件 的 的 组 数 ． 21 . 的 所有 极值 点 依次 为 的 ， 则 _ ． 22 . 有 零点 ， 则 的 最小 值 为 多少 . 第 3 页 / 共 4 页 学科 网 （ 北京 ） 股份 有限 公司 23 . 1 . 是 在 上 的 连续 函数 , 设 , 则 A . B . C . D . . 24 . 双 曲线 ， 斜率 为 的 直线 与 交 于 两 点 ， 点 在 上 ， 且 ， 的 外心 为 ， 的 重心 为 ， 的 重心 为 ， ， 则 的 离心 率 _ ． 25 . ， 使得 的 解 的 组 数 有 _ 组 ． 26 . ， 则 等于 多少 ？ 比较 与 . 第 4 页 / 共 4 页 学科 网 （ 北京 ） 股份 有限 公司
清华大学强基计划答案2024
清华大学强基计划答案2024
1 . 已知 实数 x ， y 满足 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \ le 1 ， 则 x ^ { 2 } + xy - y ^ { 2 } 的 最大 值 为 0 A . 1 B . \ frac { \ sqrt { 10 } } { 3 } D . \ sqrt { 2 } 答案 . B . 简析 1 . 由 AM - GM 不等式 ， 得 x ^ { 2 } - y ^ { 2 } + ( \ sqrt { 5 } + 2 ) \ cdot \ frac { x } { \ sqrt { 5 } + 2 } \ cdot y \ le x ^ { 2 } - y ^ { 2 } + \ frac { \ sqrt { 5 } + 2 } { 2 } \ cdot ( \ frac { 上 式 当 x = \ frac { 1 } { \ sqrt { 10 - 4 \ sqrt { 5 } } } , y = \ frac { 1 } { \ sqrt { 10 + 4 \ sqrt { 5 } } } 时 取 等号 . 即 原 式 的 最大 值 为 \ frac { \ sqrt { 5 } } { 2 } . 简析 2 . 设 x = r \ cos \ theta , y = r \ sin \ theta ， 其中 \ mid r \ mid \ le 1 , \ theta \ in R ， 则 x ^ { 2 } + xy - y ^ { 2 } = r ^ { 2 } \ cos 2 \ theta + \ frac { r ^ { 2 } } { 2 } \ sin 2 \ theta \ le \ cos 2 \ theta + 上 式 当 r = 1 , \ cos \ theta = \ frac { 1 } { \ sqrt { 10 - 4 \ sqrt { 5 } } } , \ sin \ theta = \ frac { 1 } { \ sqrt { 10 + 4 \ sqrt { 5 } } } 时 取 等号 . 即 原 式 的 最大 值 为 \ frac { \ sqrt { 5 } } { 2 } . 2 . 设 a , b , c 为 正 实数 , 若 一元 二 次 方程 ax ^ { 2 } + bx + c = 0 有 实 根 , 则 ( ) A . max \ { a , b , c \ } \ ge \ frac { 1 } { 2 } ( a + b + c ) B . max \ { a , b , c \ } \ ge \ frac { 4 } { 9 } ( a + b + c ) C . max \ { a , b , c \ } \ le \ frac { 1 } { 4 } ( a + b + c ) D . max \ { a , b , c \ } \ le \ frac { 1 } { 3 } ( a + b + c ) 答案 . BCD . 简析 . 依 题意 , 有 b ^ { 2 } \ ge 4 ac . 由 齐 次 性 不妨 设 a + b + c = 1 . 首先 证明 : max \ { a , b , c \ } \ le \ frac { 1 } { 4 } ( a + b + c ) . 由 对称 性 不妨 设 a \ ge c . 则 b ^ { 2 } \ ge 4 ac \ ge 4c ^ { 2 } \ Rightarrow b \ ge 2c . 故 1 = a + b + c \ ge c + 2c + c \ Rightarrow 4c = c \ le \ frac { 1 } { 4 } . 当 a = c = \ frac { 1 } { 4 } , b = \ frac { 1 } { 2 } 时 ， 符合 题意 . 即 命题 得 证 . 又 注意 到 \ frac { 1 } { 4 } < \ frac { 1 } { 3 } , , 则 选项 CD 均 成立 . 其次 证明 : \ max \ { a , b , c \ } \ ge \ frac { 4 } { 9 } ( a + b + c ) . 若 b \ ge \ frac { 4 } { 9 } , 则 命题 得 证 . 当 b = c = \ frac { 4 } { 9 } , a = \ frac { 1 } { 9 } 时 ， 符合 题意 . 若 b < \ frac { 4 } { 9 } 则 a + c = 1 - b > \ frac { 5 } { 9 } . 又 注意 到 b ^ { 2 } \ ge 4 ac , 则 \ frac { 16 } { 81 } > 4 ac > 4a \ cdot ( \ frac { 5 } { 9 } - a ) \ Rightarrow ( a - \ frac { 1 } { 9 } ) \ cdot ( a - \ frac { 4 } { 9 } ) > 0 \ Rightarrow a \ in ( 0 , \ frac { 1 } 若 a \ in ( \ frac { 4 } { 9 } , + \ infty ) 则 命题 得 证 若 a \ in ( 0 , \ frac { 1 } { 9 } ) 此时 c > \ fra
清华大学强基计划测试数学试题
清华大学强基计划测试数学试题
( 部分 ) 考试 时间 2022 年 6 月 28 日 数学 一共 35 道 题目 , 均 为 不定 项 选择 , 目前 只有 12 道 题目 1 . x8 ( y 8 z ) = x8 y + z , x8 x = 0 , 求 200082022 2 . a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } + d ^ { 2 } + e ^ { 2 } = 1 , 求 | a - b | + | b - c | + | c - d | + | d - e \ mid + \ mid e - al 的 最大 值 3 . 已知 复数 z 满足 | z | = 1 ， 求 ( z - 2 ) ( z + 1 ) ² ) 的 最大 值 4 . 在 复 平面 内 , 复数 zi 终点 在 1 + i 和 1 + ai 表示 两 点 连成 的 线段 上 移动 ， \ mid z _ { 2 } \ mid = 1 , 若 z = z _ { 1 } + z _ { 2 } 在 复 平面 上 表示 的 点 围 成 的 面积 为 5 \ pi + 4 , 则 a 的 可能 值 为 ( ) 5 . 已知 一个 空间 几何 体 三 视图 如下 , 都 为 中点 最大 边长 为 2 , 求 这 个 几何 体 可能 的 体积 6 . 对于 xR , f ( x ) + f ( 1 - x ) = 1 , f ( x ) = 2f ( \ frac { x } { 5 } ) , 且 对于 0 \ le x _ { 1 } \ le x _ { 2 } \ le 1 , 对于 恒 有 f ( x1 ) f ( x2 ) , 则 f ( \ frac { 1 } { 2022 } ) = 7 . 用 蓝色 和 红色 给 一 排 10 个 方格 染色 , 则 不 超过 ( 忘记 是 不 超过 还是 不 少于 ) 三 个 相邻 块 颜色 相同 的 方法 种 数 为 ( ) A . 504 B . 505 C . 506 D . 507 8 . 对于 三 个 正 整数 \ sqrt { a + b } , \ sqrt { b + c } , \ sqrt { c + a } 为 三 个 连续 正 整数 , 则 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } 最小 值 为 已知 a ^ { 2 } + ab + b ^ { 2 } = 3 , 求 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - abb 的 最大 值 和 最小 值 10 . \ lim _ { n \ rightarrow \ infty } \ sum _ { k = 1 } ^ { n } \ frac { 1 } { n } \ sin \ frac { ( 2k - 1 ) \ pi } { 2n } = \ _ . 11 . 曲线 ( : ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) ^ { 3 } = 16x ^ { 2 } y ^ { 2 } A . 曲线 C 仅 过 ( 0 , 0 ) 一个 整点 B . 曲线 C 上 的 点距 原点 最大 距离 为 2C . 曲线 C 围 成 的 图形 面积 大于 4 π D . 曲线 C 为 轴 对称 图形 12 . 任意 四边形 ABC
清华大学2024强基计划基础测试
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一、数学部分1.函数f(x)= x^2 - 4x+3在区间[0, 3]上的最小值为：A.-1 B.0C.1 D.32.对于复数z，若|z| = 2，且z的实部为1，则z的虚部是：A.3B.±3 C.-3 D.23.在等差数列{a_n}中，已知a_1 = 2，a_4 = 8，则公差d为：A.1B.2 C.3 D.44.已知直线l的方程为3x - 4y+5 = 0，则直线l在y轴上的截距为：A.5/4 B.-5/4 C.4/5 D.-4/5二、物理部分5.一质点做匀速圆周运动，已知其线速度大小为v，角速度为ω，则质点的轨道半径r为：A.v/ωB.ω/v C.vωD.v^2/ω6.在真空中，两个点电荷Q和Q之间的库仑力大小为F，若保持两电荷间距不变，仅将Q的电荷量变为原来的2倍，则两电荷之间的库仑力大小变为：A.F B.2F C.4F D.8F7.关于光的折射，下列说法正确的是：A.折射角总是大于入射角B.入射角增大时，折射角也增大C.光从空气射入水中时，速度变大D.光从水中射入空气中时，频率变大8.关于热力学第一定律，下列说法错误的是：A.物体吸热，内能一定增加B.物体对外做功，内能一定减少C.物体吸热，同时对外做功，内能可能不变D.物体放热，同时外界对物体做功，内能可能增加
2022年清华大学强基计划数学试题(部分)及其详解
清华 大学 ； 强 基 计划 ； 数学 测试 ; 抽象 函数 文章 编号 ： 1008 - 0333 ( 2023 ) 04 - 0040 - 06 中图 分类 号 : G632 文献 标识 码 : A 2022 年 清华 大学 强 基 计划 数学 测试 已 于 2022 题 1 若 运算 “ & ” 满足 x & ( y & z ) x & y + z , x & x 年 6 月 28 日 举行 ， 试题 共 35 道 ， 全部 是 不定 项 选择 0 , 则 2000 & 2002 . 解法 1 在 题 设 中 令 x y z 2000 , 可 得 题 . 本文 回忆 出 了 其中 的 12 道 题 （ 并且 大 部分 题 的 2000 & ( 2000 & 2000 ) 2000 & 2000 + 2000 0 + 选项 也 不 完整 ） ， 还给 出 了 其 详细 解答 . 2000 2000 , 按 本文 列 出 的 顺序 : 第 1 , 6 题 均 是 抽象 函数 问题 ; 第 2 , 9 题 均 是 不等式 问题 , 其中 第 2 题 涉及 柯西 2000 & ( 2000 & 2000 ) 2000 & 0 . 所以 2000 & 0 2000 . 不等式 与 均值 不等式 ; 第 3 , 4 题 均 是 复数 问题 ; 第 5 , 7 , 8 , 10 , 11 , 12 题 分别 是 立体 几何 中 的 三 视图 问 在 题 设 中 令 x 2000 , y z 2022 ， 可 得 题 、 排列 组合 问题 、 初等 数论 问题 、 考查 定 积分 的 定 2000 & ( 2022 & 2022 ) 2000 & 2022 + 2022 , 义 、 平面 解析 几何 中 的 四 叶 玫瑰 线 问题 、 平面 向量 问 2000 & ( 2022 & 2022 ) 2000 & 0 2000 . 所以 2000 & 2022 2000 - 2022 - 22 . 题 中 的 数量 积 其中 第 2 , 3 , 6 题 在 全国 高中 数学 联 解法 2 在 题 设 中 令 y z x , 可 得 赛 预赛 试题 （ 下 简称 预赛 试题 ） 中 均 出现 过 类 题 ; 第 x & ( x & x ) x & x + x 0 + x x , 6 题 在 预赛 试题 中 还 出现 过 两 次 类 题 ， 但 这 三 道 题 x & ( x & x ) x & 0 . 中 的 抽象 函数 均 不 存在 （ 即 都 是 错题 ） . 相对 于 高考 数 所以 x & 0 x . 学 试题 ， 这 份 强 基 计划 数学 试题 新颖 ， 整体 难度 适中 . 收 稿 日期 ： 2022 - 11 - 05 作者 简介 : 甘志国 （ 1971 - ） ， 男 ， 湖北 省 竹溪 人 ， 硕士 ， 中学 正 高级 教师 ， 从事 高中 数学 教学 研究 . 基金 项目 ： 北京 市 教育 学会 “ 十 三 五 ” 教育 科研 滚动 立项 课题 “ 数学 文化 与 高考 研究 ” （ 项目 编号 : FT 2017 G D 003 ） . 40 2023 年 第 04 期 总 第 569 期 数 理 化 解题 研究 ( 1 x I a I + 1 x I b I + 1 x I e I + 1 x I d I ) 2 W ( 12 + 在 题 设 中 令 z = 7 , 可 得 12 + 12 + 12 ) ( I a I 2 + I b I 2 + I e I 2 + I d I 2 ) W4 ( a2 + b2 x & ( 7 & 7 ) = x & 7 + 7 , + e2 + d2 + e2 ) = 4 . x & ( 7 & 7 ) = x & 0 = x . 所以 I a I + I b I + I e I + I d I W2 , 当 且 仅 当 I a I = 所以 x & 7 = x - 7 . I b I = I e I = I dI , e = 0 时 取 等号 . 还 可 验证 x & 7 = x - 7 满足 题 设 . 所以 I a - b I + I b - e I + I e -
2023年清华大学强基计划数学试题
2023年清华大学强基计划数学试题
1 、 有 六 面 旗 ， 两面 蓝 ， 两面 红 ， 两面 黄 ， 除 颜色 外 完全 相同 ， 从 这些 旗子 中 去除 若干 面 （ 至少 一面 ） ， 从 上 到 下 悬挂 在 同 一个 旗杆 上 ， 可以 组成 一个 信号 序列 ， 则 不同 的 信号 序列 共有 多少 种 ？ 2 、 已知 a ， x ， kR ， ln ( x + a ) kax = 0 对 任意 的 aR 恒 成立 ， 求 k 的 最小 值 3 、 11 个 黑球 ， 9 个 红 球 ， 依次 取出 ， 剩下 全 是 一 种 颜色 就 结束 ， 求 最后 只 剩下 红 球 的 概率 。 4 、 三 个 复数 的 模 分别 为 1 ， 5 ， 52 ， 且 这 三 个 复数 实 部 虚部 均 为 整数 ， 则 这 三 个 复数 的 积 有 多少 个 可能 值 。 225 、 椭圆 x4 + y3 = 1 ， F 为 左 焦点 ， A ， B 为 椭圆 上 两 点 且 FA = 5 ， FB = 8 ， 求 直线 AB 的 斜率 k 的 范围 。 an ， 求 使 该 数列 { an } 有 极限 的 x 的 最大 值 。 6 、 数列 an 满足 a1 = 32 ， an + 1 = x7 、 4 x + 1 + 9 x + 2 + 16x + 3 = ( 4 x + 5 ) ( 2 x ) 有 几 个 正 实数 解 ？ 8 、 已知 点 M ( 8 ， 1 ) ， 过 点 N ( 1 ， 0 ) 的 直线 L 上 有 一个 动 点 P ， 则 第 1 页 共 3 页 | PN | + 2 | PM | 的 最小 值 为 （ ） 9 、 两 个 人 甲 和 乙 ， 数字 为 230 之间 的 共 29 个 自然数 ， 现 找 出 两 个 不同 的 数 ， 把 其 和 告诉 甲 ， 把 其 和 告诉 乙 。 甲 说 ： “ 虽然 我 不 知道 是 哪 两 个数 ， 但是 肯定 乙 也 不 知道 ” ， 再 问 乙 ， 乙 说 ： “ 本来 我 不 知道 ， 但是 听到 甲 说 这 句 话 ， 现在 为 我 知道 了 ” ， 甲 听到 乙 说 他 知道 了 ， 然后 就 说 ： “ 现在 我 也 知道 了 ” ， 那么 这 两 个数 是 多少 ？ 10 、 p ， q 都 为 质数 ， p 整除 7 p + 1 ， q 整除 7 p + 1 ， 有 多少 组 p ， q11 、 正 整数 a ， b ， c ， x ， y ， z 满足 ： ax = b + c ， by = c + a ， cz = a + b ， 则 xyz 的 可能 值 有 （ ） 第 2 页 共 3 页
2022年清华大学强基计划笔试数学试题
2022年清华大学强基计划笔试数学试题
1 . 关于 方程 ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { 3 } = 16x ^ { 2 } y ^ { 2 } 在 平面 直角 坐标 系 中 所 确定 的 曲线 , 下列 说法 正确 的 有 ( ) . A . 曲线 关于 坐标 轴 轴 对称 , 也 关于 原点 中心 对称 B . 曲线 只 过 ( 0 , 0 ) 一个 整点 C . 曲线 上 的 动 点 与 原点 的 距离 不 超过 2D . 曲线 所 围 区域 的 面积 大于 4 π 2 . 已知 a ^ { 2 } + ab + b ^ { 2 } = 3 , 求 a ^ { 2 } - ab + b ^ { 2 } 的 最大 值 和 最小 值 分别 为 ( ) A . 9 , \ frac { 1 } { 2 } B . 9 , 1 C . 10 , \ frac { 1 } { 2 } D . 10 , 13 . 定义 x * y 为 一个 由 x , y 确定 的 二元 函数 , 且 对 任意 实数 x , y , z 成立 x ^ { * } x = 0 , x ^ { * } ( y * z ) = x ^ { * } y + z , 则 2000 ^ { * } 2022 = ( ) A . 20B . 22 C . - 20D . - 224 . 已知 一个 正 整数 x 在 十进制 表示 下 的 数 位 个数 为 n , x ^ { 3 } 的 数 位 个数 为 m , 求 m + n 可能 为 ( ) A . 2020 B . 2021 C . 2022 D . 20235 . 已知 实数 a , b , c , d , e 满足 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } + d ^ { 2 } + e ^ { 2 } = 1 , 则 \ mid a - b \ mid + \ mid b - c \ mid + \ mid c - d \ mid + \ mid d - e \ mid + \ mid e - a \ mid 的 最大 值 为 ( ) . A . 2B . 3C . 4D . 2 \ sqrt { 5 } 6 . 圆 上 有 一个 十边形 , 任意 两 点 连成 线段 , 求 从中 任 取 两 条 线段 , 没有 交点 的 概率 为 ( ) A . \ frac { 14 } { 45 } B . \ frac { 7 } { 45 } C . \ frac { 14 } { 33 } D . \ frac { 5 } { 11 } 9 . M = \ { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 \ } , N = \ { ( A , B ) \ mid A \ subseteq M , B \ subseteq M , A \ neq B , A \ cap B = \ phi \ } , 则 M 所在 的 区间 为 ( ) . A . ( 350 , 450 ] B . ( 450 , 550 ] C . ( 550 , 650 ] D . ( 650 , 750 ] 10 . 已知 抛物 线 y = \ frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } + 4 , P ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) 为 抛物 线 外 一点 , PA 、 PB 与 抛物 线 相切 且 A 、 B 为 切点 , 则 下列 说法 中 正确 的 有 ( ) . A . 若 AB 的 方程 为 y = 9 , 则 x _ { 0 } = y _ { 0 } = 0 B . 若 P 坐标 为 ( 1 ， 1 ) ， 则 AB 的 方程 为 x - 2 y + 16 = 0 C . 若 x _ { 0 } ^ { 2 } + y _ { 0 } ^ { 2 } = 1 , 则 S _ { \ triangle ABP } 的 最小 值 为 12 \ sqrt { 3 } D . 若 x _ { 0 } ^ { 2 } + y _ { 0 } ^ { 2 } = 1 , 则 S _ { \ triangle ABP } 的 最大 值 为 20 \ sqrt { 5 } 11 . \ triangle ABC 中 ， \ angle BAC = 30 ^ { \ circ } , BE 平分 \ angle ABC 交 AC 于 E , AD 平分 \ angle BAC 交 BC 于 D , 已知 BE + AE = AB + BD , 则 \ angle ABC = \ _ . BDACEA . 100 ^ { \ circ } B . 110 ^ { \ circ } C . 120 ^ { \ circ } D . 130 ^ { \ circ } 12 . 求 \ lim _ { n \ rightarrow + \ infty } \ sum _ { k = 1 } ^ { n } \ frac { 1 } { n } \ sin \ frac { ( 2k - 1 ) } { 2n } \ pi = 13 . a , b , c 为 正 整数 , 一 \ sqrt { a + b } , \ sqrt { b + c } , \ sqrt { a + c } 为 三 个 连续 自然数 时 ， a ^ { 2
2021年清华大学强基计划数学试题及答案
清华 大学 强 基 计划 2021 年 清华 大学 强 基 计划 笔试 数学 试题 本 试卷 , 每 一道 题 均 为 不定 项 1 . 甲 乙 丙 丁 四 人 共同 参加 4 项 体育 比赛 ， 每 项 比赛 第 一 名 到 第 四 名 的 分数 依次 为 4 、 3 、 2 、 1 分 . 比赛 结束 甲 获得 14 分 第 一 名 , 乙 获得 13 分 第 二 名 , 则 ( ) . A . 第 三 名 不 超过 9 分 B . 第 三 名 可能 获得 其中 一 场 比赛 的 第 一 名 C . 最后 一 名 不 超过 6 分 D . 第 四 名 可能 一 项 比赛 拿 到 3 分 答案 ： ACD 解 ： ( 1 ) 所有 分数 之 和 为 4 \ times ( 4 + 3 + 2 + 2 ) = 40 , 甲 乙 总分 之 和 为 14 + 13 = 27 , 所以 第 三 名 和 第 四 名 总 分数 为 13 分 , 第 四 名 的 分数 不 超过 6 分 , C 正确 , 第 四 名 至少 得 4 分 ， A 正确 . ( 2 ) 所有 项目 的 第 一 名 和 第 二 名 分数 之 和 为 4 \ times ( 4 + 3 ) = 28 分 , 只 比 甲 乙 两 人 总 分数 高一 分 , 说明 只有 一 种 情况 , 甲 乙 包揽 所有 项目 第 一 名 , 总共 拿 到 3 个 第 二 名 和 1 个 第 三 名 . B 错误 . ( 3 ) D 正确 的 一 种 情形 : IIIIIIIIII 甲 4442 乙 3334 内 2221 丁 11132 . 定义 x * y = \ frac { x + y } { 1 + xy } , 则 ( \ dotsc ( ( 2 * 3 ) * 4 ) \ cdots ) * 21 = ( ) . 答案 \ frac { 116 } { 115 } 1 第 1 页 , 共 10 页 清华 大学 强 基 计划 解 ： 令 x = \ frac { \ lambda - 1 } { \ lambda + 1 } , y = \ frac { \ mu - 1 } { \ mu + 1 } , 则 x * y = \ frac { \ frac { \ lambda - 1 } { \ lambda + 1 } + \ frac { \ mu - 1 } { \ mu + 1 } } { 1 + \ frac { \ lambda - 1 } { \ lambda + 1 } \ cdot \ frac { \ mu - 1 } { \ mu + 1 } } = \ frac { \ lambda \ mu - 1 其中 \ lambda = - \ frac { x + 1 } { x - 1 } , \ mu = - \ frac { y + 1 } { y - 1 } . 容易 得到 , 若 设 z = \ frac { \ nu - 1 } { \ nu + 1 } , 即 \ nu = - \ frac { z + 1 } { z - 1 } , 则 ( x * y ) * z = \ frac { \ lambda \ mu \ nu - 1 } { \ lambda \ mu \ nu + 1 } , 即 * 运算 满足 : ( 1 ) x * y = y * x ( 2 ) ( x * y ) * z = x * ( y * z ) 进而 可 得 ( · \ cdots ( ( 2 * 3 ) * 4 ) \ cdots ) * 21 = \ frac { ( - \ frac { 3 } { 1 } ) ( - \ frac { 4 } { 20 } ) \ cdots ( - \ frac { 22 } { 20 } ) - 1 } { ( - \ frac { 3 } { 1 补充 说明 ： 看到 \ frac { x + y } { 1 + xy } , 联想 到 \ tanh x = \ frac { e ^ { 2 x } - 1 } { e ^ { 2 x } + 1 } , 于是 做 一个 x = \ frac { \ lambda - 1 } { \ lambda + 1 } 的 换 元 准 没 错 . 3 . 已知 \ omega = \ cos \ frac { \ pi } { 5 } + i \ sin \ frac { \ pi } { 5 } , 则 ( ) . A . x ^ { 4 } + x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + x + 1 = ( x - \ omega ) ( x - \ omega ^ { 3 } ) ( x - \ omega ^ { 7 } ) ( x - \ omega ^ { 9 } ) B . x ^ { 4 } - x ^ { 3 } + x ^ { 2 } - x + 1 = ( x - \ omega ) ( x - \ om
2022年清华大学强基校测数学试题
2022 年 清华 大学 强 基 计划 测试 数学 试题 考试 时间 2022 年 6 月 28 日 1 . x ( yz ) = xy + z , xx = 0 , 求 200020222 . a2 + b2 + c2 + d2 + e2 = 1 , 求 | ab ) + | bc ) + | cd ) + | de ) + | ea ) 的 最大 值 2 ) 的 最大 值 3 . 已知 复数 z 满足 | z ) = 1 , 求 | ( z2 ) ( z + 1 ) 4 . 在 复 平面 内 , 复数 z1 终点 在 1 + i 和 1 + ai 表示 两 点 连成 的 线段 上 移动 , | z2 ) = 1 , 若 z = z1 + z2 在 复 平面 上 表示 的 点 围 成 的 面积 为 π + 4 , 则 a 的 可能 值 为 （ ） 5 . 已知 一个 空间 几何 体 三 视图 如下 , 都 为 中点 最大 边长 为 2 , 求 这 个 几何 体 可能 的 体积 A . 236 B . 133 C . 3D . 46 . 对于 xR , f ( x ) 满足 f ( x ) + f ( 1 x ) = 1 , f ( x ) = 2f ( x5 ) , 且 对于 0 x1 x21 , 恒 有 f ( x1 ) f ( x2 ) 1 , 则 f ( 2022 ) = . 7 . 用 蓝色 和 红色 给 一 排 10 个 方格 染色 , 则 不 超过 ( 忘记 是 不 超过 还是 不 少于 ) 三 个 相邻 块 颜色 相同 的 方法 种 数 为 A . 504 B . 505 第 1 页 共 9 页 C . 506D . 5072 最小 值 为 2 + b2 + c8 . 对于 三 个 正 整数 a , b , c , 有 a + b , b + c , c + a 为 三 个 连续 正 整数 , 则 a . 9 . 已知 a2 ab 的 最大 值 和 最小 值 . 2 + ab + b2 = 3 , 求 a2 + b ( 2 k1 ) π n110 . lim } nnsin 2n = . k = 122 ) 11 . 曲线 C : ( x2 y2 y3 = 16 xA . 曲线 C 仅 过 ( 0 , 0 ) 一个 整点 B . 曲线 C 上 的 点距 原点 最大 距离 为 2C . 曲线 C 围 成 的 图形 面积 大于 4 π D . 曲线 C 为 轴 对称 图形 12 . 任意 四边形 ABCD , AC = a , BD = b , 则 ( AD + BC ) ( AB + DC ) = （ 用 a , b 表示 ) 13 . 已知 ax + by = 1 , ax 2 + by 2 = 2 , ax 3 + by 3 = 7 , ax 4 + by 4 = 18 , 则 ax 5 + by 5 = . 2022 年 清华 大学 强 基 计划 校测 数学 试题 答案 1 . 若 x ( yz ) = xy + z , xx = 0 , 求 20002022 【 解析 】 新 定义 题型 x = 2000 y = 2022 , 于是 有 由于 变量 的 任意 性 , 不妨 带入 { z = 2022 ) 2000 ( 20222022 ) = 20000 = 20002022 + 2022 即 20000 = 20002022 + 20221 . 1 x = 2000 y = 2000 , 则 有 再 代 入 { z = 2000 ) 2000 ( 20002000 ) = 20000 = 20002000 + 2000 = 2000 即 20000 = 20001 . 2 由 1 . 1 , 1 . 2 知 第 2 页 共 9 页 20002022 + 2022 = 2000 因此 , 20002022 = 22 . 2 . a2 + b2 + c2 + d2 + e2 = 1 , 求 | ab ) + | bc ) + | cd ) + | de ) + | ea ) 的 最大 值 . 【 解析 】 不等式 问题 袁逸凡 解答 对于 | ab ) | a ) + | b ) , 其 取 等 条件 为 a 、 b 异 号 或 至少 其中 一个 为 0 , 不妨 设 a0 , 则 b0 , 同理 可 得 | bc ) | b ) + | c ) , | cd ) | c ) + | d ) 当 以上 不等式 都 取 等 时 , 则 有 a0 , b0 , c 0 , d 0 , e 0 令 ae , 于是 有 | ab ) + | bc ) + | cd ) + | de ) + | ea ) = 2a 2b + 2c 2d } 2 a2 + b2 + c2 + d 因为 | a ) + | b ) + | c ) + | d ) 4 , 所以 有 42 ) 42 + b2 + c2 + d2 ( | a ) + | b
2021年清华大学强基计划数学试题
{x3}的可能取值为0，13；{x5}的可能取值为0，15，25，35，35，因此x30的可能取值有2×3×5=30种可能性.2+b3+c5考虑30a=15a+10b+6c，其中a,b,cZ.因为2，3，5两两互质，容易得到15a+10b+6ca(mod2)，15a+10b+6cb(mod3)，15a+10b+6cc(mod5).因此方程解的组数为30.6.已知m，n最大公约数为10!，最小公倍数为50!，数对(m,n)的组数为().A.29B.215C.221D.218答案：B.解：设m=10!×a，n=10!
2021年清华大学强基计划数学试题及其详解
摘要 ： 文章 给 出 了 2021 年 清华 大学 强 基 计划 数学 试题 的 回忆 版 及其 详解 * 关键 词 ： 强 基 计划 ； 数学 试题 ; 详解 ; 初等 数论 中图 分类 号 ： G632 文献 标识 码 : A 文章 编号 ： 1008 - 0333 （ 2022 ） 04 - 0084 - 09 全 卷 共 35 道 不定 项 选择 题 * 以下 试题 是 回忆 版 解析 关于 x 的 方程 x2 - 丄 二 a 有 唯一 实 根 * x （ 只有 21 道 ， 差 14 道 ， 有的 试题 还 差 选项 , 题目 顺序 设 f （ x ） _ x2 - ' （ x ） _ 2 x + 4 二 2 x ： 1 , 可 得 及 试题 内容 也 可能 不 准确 ） ， 其 解答 详尽 * x x 2 x 2 试题 涉及 函数 与 方程 （ 第 1 , 8 , 10 , 14 题 ） ； 集合 / （ x ） 在 （ - o , - £ 一 占 , 0 0 , + o ） 上 分别 单 及 计数 原理 （ 第 2 , 13 题 ） ； 整数 性质 （ 第 3 题 ） ； 平面 调 递减 、 单调 递增 、 单调 递增 . 再 由 lim / （ x ） _ + o , xH - o 解析 几何 （ 第 4 , 11 题 ） ； 数列 （ 第 5 题 ） ； 定 积分 （ 第 6 题 ） ； 平面 几何 （ 第 7 题 ） ； 平面 向量 与 线性 规划 f ( _ - 33 ? , lim / ( x ) _ + o , lim / ( x ) _ - o , 2 xh 0 - xh 0 + （ 第 9 题 ） ； 概率 （ 第 12 题 ） ； 三角 （ 第 15 , 20 题 ） ； 组合 数学 （ 第 16 题 ） ； 复数 （ 第 17 题 ） ； 立体 几何 （ 第 18 lim / （ x ） _ + o 可 作出 函数 / （ x ） 的 图象 如 图 1 * 题 ） ； 代数 运算 （ 第 19 题 ） ； 不等式 （ 第 21 题 ） * 其中 第 9 , 10 均 是 往年 的 高考 题 ， 第 17 道 是 往年 的 高中 数学 联赛 一 试 试题 * 题 1 若 恰 有 一个 实数 x 使得 x3 - ax - 1 _ 0 成立 , 则 常数 a 的 取值 范围 是 （ ） * A * ( - o , 2 ) 图 1 C . ( 3 ? 2 , + o ) 进而 可 得 所 求 a 的 取值 范围 是 （ - o , 2 ） * 题 2 若 集合 U _ { 0 , 1 , 2 , , 2021 } , S C ” , 且 收 稿 日期 ： 2021 - 11 - 05 作者 简介 : 甘志国 （ 1971 - ） ， 男 ， 湖北 省 竹溪 人 ， 硕士 ， 中学 正 高级 教师 ， 特级 教师 ， 从事 数学 教学 研究 * 基金 项目 ： 北京 市 教育 学会 “ 十 三 五 ” 教育 科研 滚动 立项 课题 “ 数学 文化 与 高考 研究 ” （ 项目 编号 : FT 2017 G D 003 ） * 84 2022 年 第 04 期 总 第 533 期 数 理 化 解题 研究 集合 S 中 的 任意 两 个 元素 之 和 均 不是 5 的 倍数 ， 则 B . ( x + 1 ) 2 + ( y - 1 ) 2 _ 13 集合 S 元素 个数 的 最大 值 是 . C . ( x + f ) 2 + ( y - * ) 2 略 解析 集合 U 中 元素 ( 共 2022 个 ) 分 5 类 ： ( 1 ) ( 共 405 个 ) 5 x0 , 5 x1 , 5 x2 , - , 5 x 404 ； ) 2 + ( y 一 1 ) 2 二 7 ( 2 ) ( 共 405 个 ) 5 x0 + 1 , 5 x 1 + 1 , 5 x2 + 1 , 解析 如 图 2 所 示 ， 可 设 切线 方程 是 y - 3 _ ， 5 x
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2024年清华大学强基计划数学学科笔试试题含答案
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