( 部分 ) 考试 时间 2022 年 6 月 28 日 数学 一共 35 道 题目 , 均 为 不定 项 选择 , 目前 只有 12 道 题目 1 . x8 ( y 8 z ) = x8 y + z , x8 x = 0 , 求 200082022 2 . a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } + d ^ { 2 } + e ^ { 2 } = 1 , 求 | a - b | + | b - c | + | c - d | + | d - e \ mid + \ mid e - al 的 最大 值 3 . 已知 复数 z 满足 | z | = 1 ， 求 ( z - 2 ) ( z + 1 ) ² ) 的 最大 值 4 . 在 复 平面 内 , 复数 zi 终点 在 1 + i 和 1 + ai 表示 两 点 连成 的 线段 上 移动 ， \ mid z _ { 2 } \ mid = 1 , 若 z = z _ { 1 } + z _ { 2 } 在 复 平面 上 表示 的 点 围 成 的 面积 为 5 \ pi + 4 , 则 a 的 可能 值 为 ( ) 5 . 已知 一个 空间 几何 体 三 视图 如下 , 都 为 中点 最大 边长 为 2 , 求 这 个 几何 体 可能 的 体积 6 . 对于 xR , f ( x ) + f ( 1 - x ) = 1 , f ( x ) = 2f ( \ frac { x } { 5 } ) , 且 对于 0 \ le x _ { 1 } \ le x _ { 2 } \ le 1 , 对于 恒 有 f ( x1 ) f ( x2 ) , 则 f ( \ frac { 1 } { 2022 } ) = 7 . 用 蓝色 和 红色 给 一 排 10 个 方格 染色 , 则 不 超过 ( 忘记 是 不 超过 还是 不 少于 ) 三 个 相邻 块 颜色 相同 的 方法 种 数 为 ( ) A . 504 B . 505 C . 506 D . 507 8 . 对于 三 个 正 整数 \ sqrt { a + b } , \ sqrt { b + c } , \ sqrt { c + a } 为 三 个 连续 正 整数 , 则 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } 最小 值 为 已知 a ^ { 2 } + ab + b ^ { 2 } = 3 , 求 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - abb 的 最大 值 和 最小 值 10 . \ lim _ { n \ rightarrow \ infty } \ sum _ { k = 1 } ^ { n } \ frac { 1 } { n } \ sin \ frac { ( 2k - 1 ) \ pi } { 2n } = \ _ . 11 . 曲线 ( : ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) ^ { 3 } = 16x ^ { 2 } y ^ { 2 } A . 曲线 C 仅 过 ( 0 , 0 ) 一个 整点 B . 曲线 C 上 的 点距 原点 最大 距离 为 2C . 曲线 C 围 成 的 图形 面积 大于 4 π D . 曲线 C 为 轴 对称 图形 12 . 任意 四边形 ABC

强 基 数学 是 指 针对 基础 数学 的 教育 和 培训 ， 旨在 提高 学生 的 数学 素养 和 能力 ， 为 后期 深入 学习 打下 坚实 的 基础 。 一 、 强 基 数学 的 定义 强 基 数学 是 指 在 基础 教育 阶段 ， 通过 系统 的 数学 课程 学习 和 实践 活动 ， 使 学生 掌握 数学 基础 知识 、 基本 技能 和 基本 思想 方法 ， 形成 良好 的 数学 思维 习惯 和 解决 问题 的 能力 ， 为 后期 深入 学习 打下 坚实 的 基础 。 二 、 强 基 数学 的 意义 1 . 提高 学生 的 数学 素养 和 能力 强 基 数学 教育 能够 全面 提高 学生 的 数学 素养 和 能力 ， 使 他们 掌握 数学 基础 知识 、 基本 技能 和 基本 思想 方法 ， 形成 良好 的 数学 思维 习惯 和 解决 问题 的 能力 。 2 . 为 后期 深入 学习 打下 坚实 的 基础 强 基 数学 教育 能够 为 后期 深入 学习 打下 坚实 的 基础 ， 使 学生 能够 顺利 地 进入 更 高 层次 的 数学 学习 ， 为 从事 相关 职业 和 继续 深造 提供 保障 。 3 . 培养 学生 的 创新 精神 和 实践 能力 强 基 数学 教育 注重 培养 学生 的 创新 精神 和 实践 能力 ， 通过 探究 性 学习 和 实践 活动 ， 使 学生 能够 主动 发现 问题 、 分析 问题 、 解决 问题 ， 培养 他们 的 创新 思维 和 实践 能力 。 三 、 强 基 数学 的 内容 1 . 数学 基础 知识 数学 基础 知识 包括 数学 符号 、 运算 、 公式 、 图形 、 方程 、 函数 、 数据 与 概率 等 内容 ， 学生 需要 掌握 这些 基础 知识 ， 形成 自己 的 数学 知识 体系 。 2 . 数学 基本 技能 数学 基本 技能 包括 计算 、 证明 、 分析 、 推理 、 建模 等 内容 ， 学生 需要 掌握 这些 技能 ， 形成 自己 的 数学 思维 习惯 和 方法 。 3 . 数学 基本 思想 方法 数学 基本 思想 方法 包括 归纳 、 演绎 、 抽象 、 概括 、 比较 、 分类 、 综合 、 归纳 等 ， 学生 需要 掌握 这些 思想 方法 ， 形成 自己 的 数学 思维 方式 。 四 、 强 基 数学 的 实施 方法 1 . 课堂 教学 课堂 教学 是 强 基 数学 教育 的 主要 途径 ， 教师 需要 根据 学生 的 实际 情况 ， 制定 合理 的 教学 计划 和 教学 策略 ， 使 学生 能够 掌握 数学 基础 知识 、 基本 技能 和 基本 思想 方法 。 2 . 探究 性 学习 探究 性 学习 是 强 基 数学 教育 的 重要 方式 ， 学生 可以 通过 自主 探究 、 小组 合作 等 方式 ， 发现 问题 、 分析 问题 、 解决 问题 ， 培养 自己 的 创新 精神 和 实践 能力 。 3 . 实践 活动 实践 活动 是 强 基 数学 教育 的 有益 补充 ， 学生 可以 通过 数学 建模 、 数据 分析 、 数学 游戏 等 方式 ， 运用 数学 知识 解决 实际 问题 ， 提高 自己 的

共 35 道 选择 题 ， 为 不定 项 选择 题 ． 1 ． 若 ， 则 的 取值 范围 是 设 ， ， 为 正 实数 ， 若 一元 二 次 方程 有 实 根 ， 则 （ ） A ． 3 . 在 非 等 边 中 ， ， 若 和 分别 为 的 外心 和 内心 ， 在线 段 上 ， 且 满足 ， 则 下列 选项 正确 的 是 四 点 共 圆 B ． 已知 集合 ， 且 ， 则 有序 集合 组 的 个数 是 已知 数列 满足 ， ， 则 的 值 可能 是 10D ． 126 ． 已知 点 在 椭圆 上 则 的 最大 值 是 67 ． 已知 为 双 曲线 上 一点 （ 非 顶点 令 ， ， 下列 表达 式 为 定 值 的 是 甲 、 乙 、 丙 三 位 同学 讨论 同 一道 数学 竞赛 题 ， 甲 说 ： “ 我 做 错 了 ． ” 乙 说 ： “ 甲 做 对 了 ． ” 丙 说 ： “ 我 做 错 了 ． ” 老师 看 过 他们 的 答案 并 听 了 他们 的 上述 对话 后 说 ： “ 你们 仅 有 一 人 做 对 且 仅 有 一 人 说谎 了 ” ， 则 根据 以上 信息 可以 推断 甲 做 对 了 B ． 乙 做 对 了 C ． 丙 做 对 了 D ． 无法 确定 谁 做 对 了 9 ． 在 中 则 下列 说法 正确 的 是 10 ． 求 值 11 ． 从 0 到 9 这 十 个数 中 任 取 五 个数 组成 一个 五 位数 （ 可以 等于 0 ） ， 则 的 概率 为 12 ． 随机 变量 ， ， 满足 ， 且 ， 则 13 ． 已知 向量 ， ， 满足 则 下列 说法 正确 的 是 的 最大 值 为 B ． 最大 值 为 C ． 的 最小 值 为 0 D ． 的 最小 值 为 214 ． 若 存在 ， ， 使得 与 均 为 完全 平方 数 ， 则 正 整数 可能 取值 为 615 ． 116 ． 已知 正 四 棱锥 中 ， 相邻 两 侧面 构成 的 二面角 为 ， 侧 棱 与 底面 夹角 为 ， 则 17 ． 已知 函数 ， 则 的 最大 值 与 最小 值 的 和 是 418 ． 已知 函数 的 图像 如 图 所 示 ， 的 图像 与 直线 ， ， 轴 围 成 图形 的 面积 为 ， 则 下列 说法 正确 的 是 19 ． 我们 称 数列 为 “ 好 数列 ” ， 若 对 任意 存在 ， 使得 ， 其中 则 下列 说法 正确 的 是 若 ， 则 数列 为 “ 好 数列 ” B ． 若 （ 为 常数 ） ， 则 数列 为 “ 好 数列 ” C ． 若 ， 均 为 “ 好 数列 ” ， 则 为 等 差 数列 D ． 对 任意 等 差 数列 ， 存在 “ 好 数列 使 20 ． 21 . 在 中 设 为 中点 ， 现 将 沿 折 起 ， 使得 四面体 的 体积 为 ， 则 折 起 后 的 长度 可能 为 （ ） A ． 222 ． 设 复数 ， 在 复 平面 内 对应 的 点 分别 为 ， ， 为 坐标 原点 ， 若 ， ， 则 的 面积 为 （ ） A ． 23 ． 使得 成立 的 最小 正 整数 等于 （ ） A ． 624 ． 已知 实数 ， ， 满足 ， 则 （ ） A ． 有 1 组 B ． 有 4 组 C 均 为 有理数 D 均 为 无理 数 25 ． 设 实数 满足 ， 则 的 最大 值 为 （ ） A ． 110B ． 120C ． 220 D ． 240

2023 年 高考 数学 强 基 计划 模拟 题 （ 八 ） ( 满分 100 分 ， 测试 时间 ： 60 分钟 ) 一 、 填空 题 （ 每 小 题 10 分 ） 1 . 函数 = 100 与 = sin 的 图像 共有 个 交点 ． 2 . 设 是 正 整数 ， 方程 | | + | | 共有 组 整数 解 ( 3 . 已知 映射 : { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } 既是 单射 又 是 满射 ， 并且 满足 ( ) + ( ( ) ) = 6 ， 则 ( 1 ) = ． 4 . 函数 ( ) = 222 + 122 + 2 + 5 的 取值 范围 是 ． 5 . 设 是 等 边 三角形 ， = 23 ， = 13 ， 直线 交 于 点 ， = + ， 则 + = ． 6 . 设 正 四 棱锥 的 底面 边长 和 高 都 是 1 ， 点 ， ， 分别 在线 段 ， ， 上 ， 则 | | + | | + | | + | | 的 最小 值 是 ． 二 、 解答 题 （ 每 小 题 20 分 ） 7 . 对于 任意 的 ， 求 32 cos 6 cos 66 cos 415 cos 2 的 值 ． 8 求 满足 下列 要求 的 无穷 整数 数列 { } 的 个数 ， 对于 每 个 正 整数 满足 1 ， + 2 = + 2020 + 1 + 1 ． 答案 1 . 【 答案 】 63 解 ： 作出 草图 ， 因为 31 < 100 ， 32 > 100 ， 所以 交点 个数 为 63 ． 2 . 【 答案 】 22 + 2 + 1 2 ． 解 ： | | + | | + | | = ， 非 负 解 的 个数 为 + 2 | | = 0 ， | | = 0 ， 1 种 × 1 ; | | = 0 ， | | 0 ， 种 × 2 ; | | 0 ， | | = 0 ， 种 × 2 ; 221 种 × 4 . | | 0 ， | | 0 ， + 2221 ) = 22 + 2 + 1 种 ． 最终 共有 1 + × 2 + × 2 + 4 ( + 23 . 【 答案 】 5 解 ： 设 ( 0 ) = ， 则 + ( ) = 6 ， ( ) = 6 . 令 = ， 则 ( ) + ( 6 ) = 6 ， 关于 ( 3 , 3 ) 对称 ， 所以 ( 1 ) = 5 ． 4 . 【 答案 】 [ 2 , 2 ) 解 ： = 2 [ ( 12 , 12 ) ， ( 12 , 32 ) . 2 ) 2 + 14 ( + 12 ) 2 + 94 ] ， ( , 0 ) ， ( 1 利用 几何 意义 ， = 2 ( | | | | ) ， 根据 两 边 之 差 小于 第 三 边 ， 又 注意 到 ， ， 三 点 共 线 时 可以 取 到 2 ， 故 ( ) = 44 = 4222 + 1 + 22 + 2 + 522 + 6 + 5 + 22 + 2 + 5 令 = ( + 1 ) ， 考虑 > 0 的 情况 ， 显然 + 时 ， 原 式 最大 值 为 2 ． 5 . 【 答案 】 711 解 ： 以为 原点 建 系 ， 设 出 坐标 ， 易得 + = 711 ． 6 . 【 答案 】 6 解 ： 如 图 所 示 ， 因为 | | = | | = | | = | | = 62 ， 所以 cos = cos = cos = cos = 23 ． 设 | | = ， 将 打开 ， cos = 19 ， 所以 ( | | + | | ) min = | | = 2 + 69 + 32 ． 因为 > 0 ， 所以 上 式 单调 递增 ， 在 = 0 时 最小 ， 故 F 点 在 点 时 最小 ， 从而 2 | | = 6 ． 7 . 【 答案 】 解法 1 由 三 倍 角 公式 cos 3 = 3 cos 34 cos 可 得 ． 设 2 = ， 利用 三 倍 角 公式 进行 化 简 ， 再 利用 三角 函数 的 其他 公式 化 简 ， 可 得 32 cos 6 cos 66 cos 415 cos 2 = 10 ． 解法 2 ( 复数 法 ) 设 = cos + sin ， 1 = cossin ， 则 有 + 1 = 2 cos ， ( + 1 ) 6 = 26 cos 6 ． 因为 ( + 115 ( 124 ( 133 ( 142 ( 15 ( 1 ) 6 = 6 + 6 ) + 6 ) 2 + 6 ) 3 + 6 ) 4 + 6 ) 5 + ( 1 ) 6 = 6 + 64 + 152 + 20 + 15 ( 1 ) 2 + 6 ( 1 ) 4 + ( 1 ) 6 = 6 + (

清华 大学 2023 强 基 计划 校测 复试 测试 科目 包括 数学 、 物理 、 化学 、 论述 。 清华 大学 2023 强 基 计划 校测 复试 已 结束 ， 据 了解 ， 前 几 年 清华 的 强 基 试题 主要 以 高考 + 竞赛 题 为 主 ， 但 今年 的 题 则 更加 偏向 竞赛 难度 。 为了 方便 了解 强 基 考试 情况 ， 北京 高考 在线 团队 整理 了 同学 回忆 的 强 基 试题 ， 详情 如下 ： 强 基 试题 整理 ： 2023 年 各 高校 强 基 计划 校测 笔试 面试 试题 汇总 清华 大学 2023 强 基 测试 科目 科目 ： 数学 、 物理 、 化学 、 论述 题量 ： 数学 35 题 ， 物理 、 化学 各 20 题 ， 论述 2 题 题型 ： 不定 项 选择 题 & 文字 叙述 考试 时 长 ： 理科 共计 3 小时 ， 论述 1 小时 清华 大学 2023 强 基 部分 物理 试题 1 . 时间 反演 。 t - t ， 问 速度 和 加 速度 怎么 变 2 . 考察 动能 定理 。 杆 从 墙上 滑 下来 。 3 . 考察 电势 问题 。 有 个 电容 器 ， 中间 插入 一个 带电 Q 的 薄板 ， 问 薄板 电势 。 4 . 电容 。 一个 半径 R 的 球 壳 带电 Q ， 里面 有 个 半径 r 的 球 带电 q ， 求 它 的 电容 。 5 . 磁 介质 。 一个 无限 长 的 螺线 管 ， 里面 是 磁性 的 填充 物 ， 磁 介质 中 有空 腔 ， 问 介质 和 空 腔 中 磁场 强度 H 、 磁 感应 强度 B 、 磁化 强度 M 的 关系 。 6 . 自 感 线圈 。 把 一个 是 L 的 电 杆 剪 成 两 半 ， 问 分开 的 电感 。 7 . 接 地球 的 电势 。 有 一个 内 半径 为 R 的 空心 双层 球 壳 ， 然后 在 距离 球心 为 d 的 位置 放 一个 带 正 q 的 点 电荷 ， 最 外层 球 壳 接地 ， 接地 之后 再 把 那个 接地 导线 再 断开 。 问 这 个 时候 球心 的 电势 是 多少 ？ 8 . 非 惯性 系 的 能量 守恒 问题 。 有 一个 圆锥 摆 ， 杆子 上 有 一个 小 圆环 ， 小 圆环 滑 到 杆 最 低端 的 时候 会 停 住 ， 停 住 前 和 停 住 后 的 角速度 变化 ， 以及 距离 它 垂直 轴 的 半径 。 9 . 类 落体 偏移 问题 ， 科里奥利 力 的 问题 。 10 . 静电 场 问题 。 一个 电容 器 插入 一个 的 电解 质 ， 问 它 的 电容 电场 能量 怎么 变 。 11 . 动量 的 变 质量 问题 。 一 辆 铲 雪 车 ， 每 前进 一 米 铲 起 0 . 5 kg 的 雪 ， 问 速度 怎么 变 ， 是否 有 极限 ， 铲 了 2 kg 雪 之后 的 加 速度 ， 铲 到 10 kg 雪 之后 的 加 速度 。 12 . 磁矩 。 清华 大学 2023 强 基 部分 数学 试题 清华 大学 2023 强 基 论述 试题 1 . 你 的 志愿 以及 对 该 专业 的 理解 。 （ 500 字 ） 2 . 你 心 目 中 高中 以及 大学 的 区别 ， 以及 对于 大学 的 规划 。 （ 500 字 ） 北大 强 基 测试 题 科目 ： 语文 、 数学 题量 ： 语文 25 题 ， 数学 20 题 题型 ： 语文

p是清华大学为强基计划（基础学科招生改革试点）而设置的一门数学课程。的学生。课程目标掌握基础数学知识，包括代数、分析、几何等方面的内容。培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。提高学生对于数学学科的理解和兴趣。为学生进一步从事数学及相关领域的研究工作奠定坚实的基础。02教学内容基础数学知识020103整数与多项式实数与复数初等函数与方程包括整数分解、整除、余数等基本概念，以及多项式的概念、运算和性质。讲解实数的定义、性质和运算，以及复数的概念、四则运算和几何意义。包括函数的定义、性质和分类，以及方程的概念、分类和解法。进阶数学知识微积分初步线性代数概率论与数理统计介绍极限、导数、微分、不定积分和定积分的概念、性质和计算方法。讲解矩阵、行列式、线性方程组、特征值和特征向量的概念、性质和计算方法。介绍概率、随机变量、期望值、方差、协方差和相关系数的概念、性质和计算方法。应用数学知识数学建模介绍数学建模的基

最小 值 为 C . 最大 值 为 22 一 解 设 x = rcos θ , y = rsin θ , 其中 θ e [ 0 , 2 π ) ， re [ 0 , 1 ] . 所以 x2 + xy 一 y2 = r2 cos 2 θ + 1 r2 sin 2 θ = 5 r2 sin ( 2 θ + Φ ) 2 2 ， 因为 一 1 < sin ( 2 θ + Φ ) < 1 ， 所以 一 5 < x2 + xy 一 y2 < 5 ， 故 选 C . 2 22 . 非 等 边 Δ ABC 中 ， BC = AC ， O , P 分别 为 Δ ABC 的 外心 和 内心 ， D 在 BC 上 且 ODBP ， 下列 选项 正确 的 是 ( ) A . BODP 四 点 共 圆 B . OD AC C . OD AB D . DP ACCCDDOOEEPPF BAB A 答案 ： AD 解 DO 与 BP 交 于 E ， F 为 AB 的 中点 ， 则 经 OEP = 经 CFB = 90 , 所以 O , E , F , B 四 点 共 圆 . 所以 经 CBP = 经 EBF = 经 EOP , 所以 BODP 四 点 共 圆 . 由于 BODP 四 点 共 圆 , 所以 经 PDB = 经 POB = 经 FOB = 2 经 OCB = 经 ACB ， 故 DP AC . 3 . A , B , C 均 为 { 1 , 2 , 3 , , 2020 } 的 子集 ， 且 A 坚 C , B 坚 C ， 问 有序 的 三元 组 ( A , B , C ) 的 个数 为 ( ) A . 32020 B . 42020 C . 52020 D . 20203 答案 ： C 解 方法 1 设 U = { 1 , 2 , , 2020 } ， 如 图 所 示 UCA B 对于 U 中 的 每 个 元素 ， 均 有 5 种 填 法 ， 因此 总共 有 52020 种 方式 . 方法 2 若 C 已 确定 ， 则 ( A , B ) 有 4s 中 方法 ， 其中 s 为 集合 C 元素 的 个数 . 因此 有序 三元 组 的 个数 为 2 Σ 020 Cs 4s = ( 1 + 4 ) 2020 = 52020 . s = 02020 s = 04 . a = 0 , | a | = | a + 1 | ， 令 A = Σ 20 a , 则 0 i + 1 i kk = 1A . A 可以 等于 0 B . A 可以 等于 2 C . A 可以 等于 10 D . A 可以 等于 12 解 A = Σ 20 a21 kk = 1 + + a20 , 由 条件 | a2 31 | = 1 , | a | = 2 或 0 ， | a | = 3 或 1 ， ， = a + a 将 a + a , k = 1 , 2 , , 10 作为 一个 整体 考虑 ， | a | = | a + 1 | ， 即 a 2k - 1 2k 2k 2k - 12k - 1 + 1 或 2k = aa = - a - 1 ， 所以 a + a = - 1 或 a + a = 2a + 1 . 2k 2k - 1 2k 2k - 1 2k 2k - 1 2k - 120 设 Σ a 中 有 t 组 取 2a + 1 ， 10 - t 组 取 - 1 . 则 k 2k - 1k = 1A = 2 ( a + ai 1 i 2 + + a ) + t + ( 10 - t ) ( - 1 ) = 2t - 10 + 2 ( a + a + + a ) it i 1 i 2 it 其中 i , i , , i 为 奇数 ， 1 2 t5 . P 为 椭圆 C : x2 + y2 = 1 上 一点 ， A ( 1 , 0 ) , B ( 1 , 1 ) , 则 | PA | + | PB | ( ) 4 3A . 最大 值 为 4 + 5 , 无 最小 值 ； B . 最小 值 为 4 - 5 ， 无 最大 值 ； C . 最大 值 为 4 + 5 , 最小 值 为 4 - 5 ; D . 既 无 最大 值 也 为 最小 值 . 答案 ： C 解 易 知 A 为 C 的 右 焦点 ， 设 其 左 焦点 为 F ( 一 1 , 0 ) ， | PA | + | PB | = 4 一 | PF | + | PB

清华大学2024年强基计划数学学科试题考试时间2024年6月28日8:00-12:00 1.已知{}{θ}θθθθθcos,cos2,cos3sin,sin2,sin3=，则θ=_.2.已知4ln=+=+bbaea,则下列选项中正确的有（）A.1lnln>+abaB.1lnln=+abaC.ab<4D.ab>e3.某城市内有若干街道，所有街道都是正东西或南北向，某人站在某段正中央开始走，每个点至多经过一次，最终回到出发点.已知向左转了100次，则可能向右转了（）次。A.96 B.98 C.104 D.102 4.在平面直角坐标系内，()1,21,8,)200(22AyxxyM+，若OMA的面积不超过3，则满足条件的整点M个数为_.6.已知2111,1nnnaaaa+==+，下列选项中正确的有 D.[]a900=30A.333lim=B.[]a400=20C.2lim=nn+nan+nan7.正整数{,100},2,1,,abc，且cbbaca>>=+2,11，满足这样条件的(abc 的组数为 A.60 B.90 C.75 D.86 8.从棱长为1个单位长度的正方体的底面一顶点A出发，每次均随机沿一条棱行走一个单位长度，下列选项中正确的有 +4A.进行4次这样的操作回到A的概率为3)11(21B.进行2次这样的操作回到A的概率为95 学科网（北京）股份有限公司4C.进行4次这样的操作回到A的概率为3)11(21D.进行2次这样的操作

清华 大学 2024 年 强 基 计划 笔试 1 . 点 A \ in \ { ( x , y ) \ mid \ frac { x ^ { 2 } } { 200 } + \ frac { y ^ { 2 } } { 8 } \ le 1 \ } , M ( 2 , 1 ) 求 满足 S _ { \ triangle OAM } \ le 3 的 整点 的 个数 . 2 . 5a - 3c \ le b \ le 4a - c , c \ ln b \ ge a + c \ ln c , abc 均 为 正数 , 则 \ frac { b } { a } 的 最大 ， 最小 值 是否 存在 ? 是 多少 ? 3 . 点 集 S = \ { ( x , y ) \ mid x \ le 5 , y \ le 4 且 x , y \ in N ^ { * } \ } , 则 由 _ { S } 中 的 点 可以 组成 多少 个 不同 的 三角形 ? 4 . 抛物 线 C : x ^ { 2 } = 4 y , 焦点 为 F . 过 焦点 F 的 直线 l 交 C 于 A , B 两 点 . 过 A 作 平行 于 B 点 切线 的 直线 交 C 于 点 P , 交 y轴 于 点 D . 设 A ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , B ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) , P ( x _ { 3 } , y _ { 3 } ) , 则 ( ) A . y _ { 1 } y _ { 2 } = 4 . B.S _ { \ triangle ABP } 的 最大 值 为 16 . C . \ mid DF \ mid = \ mid AF \ midD . x _ { 1 } + x _ { 3 } = 2 x _ { 2 } 5 . f ( a , b , c ) = \ sqrt { \ frac { a } { b + c } } + \ sqrt { \ frac { b } { a + c } } + \ sqrt { \ frac { c } { a + b } } ( a , b , c ) 非 负 ) , 则 f ( a , b , c ) 的 最大 值 和 最小 值 是否 存在 ? 是 多少 ? 6 . f ( x ) = \ frac { x - 1 } { e ^ { x } } . 则 ( ) A . 若 f ( x ) = a 有 两 个 解 , 则 0 < a < \ frac { 1 } { e ^ { 2 } } . B . 若 \ mid f ( x ) + m \ mid 有 最小 值 ， 则 m \ le - \ frac { 1 } { 2 e ^ { 2 } } . C . 若 \ mid f ( x ) + m \ mid 有 最小 值 ， 则 m < - \ frac { 1 } { 2 e ^ { 2 } } . D . 若 f ( x ) = a 有 两 个 解 x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 1 } + x _ { 2 } > 4 . 7 . 圆 上 7 点 所 成 线段 中 任 取 两 条 ， 这 两 条 线段 无 公共 点 的 概率 为 ? 8 . 复 方程 ( z ^ { 3 } + z ) ^ { 2 } + 9 z ^ { 3 } - 72 z = 0 的 所有 复数 根 的 平方 和 为 ? 9 . 已知 \ { \ cos \ alpha , \ cos 2 \ alpha , \ cos 3 \ alpha \ } = \ { \ sin \ alpha , \ sin 2 \ alpha , \ sin 3 \ alpha \ } , 则 α 可以 是 ( ) A . \ frac { \ pi } { 8 } B . - \ frac { 3 \ pi } { 8 } C . - \ frac { 2 \ pi } { 7 } D . - \ frac { \ pi } { 14 } 10 . x ^ { 3 } + px ^ { 2 } + q = 02 ) 有 解 , 则 p + q 可能 的 取值 为 ? 11 . x ^ { 3 } + px ^ { 2 } + qx + r = 02 ) 内 有 三 个 不等 实 根 , 则 p + q+ r 的 取值 范围 ? 12 . a + e ^ { a } = b + \ ln b = 4 , 则 ( ) A . a \ ln b + b \ ln a > 1 B . a \ ln b + b \ ln a = 1 C . ab < 4D . ab > e13 . 已知 复数 z 满足 \ mid z \ mid = 1 , z ^ { n } = z + \ sqrt { 2 } , 则 n 的 最小 值 为 ? 14 . 四面体 V - ABC 中 ， VA = VB = 2 \ sqrt { 2 } , VC = 3 , CA = CB = 4 求 CA 与 VB 所 成 角 余弦 的 最 值 . 15 . 正 四面体 ABCD 中 ， 棱 长 为 2 \ sqrt { 2 } . 点 P 满足 \ mid \

在 每 小 题 的 四 个 选项 中 , 只有 项 符合 题 同 要求 , 请 把 正确 选项 的 代号 填 在 表格 中 , 选 对 得 5 分 , 选 错 或 不 选 得 0 分 . 1 . 正 实数 X ， y ， 3 ， w 满足 x > y > w 和 x + y < 2 ( z + 间 , 则 号 + j 的 最小 值 等于 ( A ) ( C ) 1 面 三 个 答案 都 不对 2 . 在 ( 2019 x 2020 严 M 的 全体 正月 数 中 选出 若 F 个 , 使得 其中 任意 两 个 的 乘积 都 不是 平方 数 . 则 最 多可 选 因数 个数 为 ( A ) 16 ( B ) 31 ( C ) 32 ( D ) 前 三 个 答案 都 不对 3 . 整数 列 { 如 } , 以 满足 1 , < 2 = 4 , 且 对 任意 H > 2 有 必 \ triangle - On + JT = 2 " " , 则 < 2020 的 个 位 数字 是 ( A ) 8 ; B ) 4 ( C ) 2 ( D ) 前 三 个 答案 都 不对 4 . 设 必 加 Gd 是 方程 ¥ + 2n + 3 . 2 + 加 + 5 = 。 的 4 个 复根 , 则 紐 + 短 + 育 + 鹄 的 值 为 ( A ) - \ mid ( B ) - \ mid ( C ) 1 前 三 个 答案 都 不对 5 . 设 等 边 三角形 ABC 的 边 K 为 1 , 过 点 C 作 以 AB 为 直径 的 圆 的 切线 交 AB 的 延长 线 与 点 D . AD > " \ xi > , 则 三角形 BCD 的 面积 为 ( A ) 财 辭 3 ， ( B ) 峰 捋 . ( C ) 峰 芯 ( D ) 前 三 个 答案 都 不对 6 . 设 z 均 不 为 ( ( * + * ) ' ' , 其中 k 为 整数 , 已知 \ sin ^ { 2 } + z - x ) , \ sin Cr + z - g ) , \ sin ( 2 > + y - z ) 成 等 差 数列 , 则 依然 成 等 差 数列 的 是 ( A ) sinx , siny , sinz ( B ) cosr , cosj / , cos ? ( C ) tanz , taily , tanz ( D ) 前 三 个 答案 都 不对 7 . 方程 19 / + 93 / / = 4 邛 的 整数 解 个数 为 ( A ) 4 ( B ) 8 ( C ) 16 ( D ) 前 三 个 答案 都 不对 8 . 从 圖 + 俨 = 4 上 的 点 向 桶 圆 C : : 碧 + 矿 = 1 引 切线 , 两 个 切点 同 的 线段 称为 切点 弦 , 则 椭圆 。 内 不 与 任何 切点 弦 相交 的 区域 面积 为 ( A ) f ( B ) f ( C ) f ( D ) 前 三 个 答案 都 不对 9 . 使得 5 / + 12 / m < a ( j - + / / ) 对 所有 正 实数 匕 , 都 成立 的 实数 a 的 最小 俨 为 ( A ) 8 ( B ) 9 ( C ) 1 ( ) ( D ) 前 三 个 答案 都 不对 1 ( ) . 设 P 为 单位 立方 体 ABCD - A ^ { \ circ } C 上 的 一点 ， 则 P8 + PCl 的 最小 值 为 ( A ) \ surd 2 + x / 2 ( B ) \ surd 2 + 2 ^ { 2 } 2 ( C ) 2 - 4 ( D ) 前 三 个 答案 都 不对 11 . 数列 { an } n > i 满足 。 2 = 9 , IL 对 任意 n N 1 有 “ 4 _ { n + } 2 = 4a _ { n + } ] - 3a _ { n } - 20 . 其 前 n 项 和 为 Sn , 则 函数 Sn 的 最大 值 等于 ( A ) 28 ( B ) 35 ( C ) 47 ( D ) 前 三 个 答案 都 不对 12 . 设 直线 t / = 3 . [ + 与 椭圆 松 + 吨 = 1 交 于 / ? 两 点 . 0 为 坐标 原点 , 则 三角形 OAB 面积 的 最大 值 为 ( A ) 8 ( B ) 10 ( C ) 12 ( D ) 前 三 个 答案 都 不对 13 . 正 整数 n > 3 称为 理想 的 , 若 存在 正 整数 左 W “ 一 1 使得 C / , Cf . C * 构成 等 差 数列 . 其中 Cf = 或 昂 为 组合 数 . 则 不 超过 2020 的 理想

2023年清华大学强基计划数学试题1、有六面旗，两面蓝，两面红，两面黄，除颜色外完全相同，从这些旗子中去除若干面（至少一面），从上到下悬挂在同一个旗杆上，可以组成一个信号序列，则不同的信号序列共有多少种？2、已知a，x，kR，ln(x+a)kax=0对任意的aR恒成立，求k的最小值3、11个黑球，9个红球，依次取出，剩下全是一种颜色就结束，求最后只剩下红球的概率。4、三个复数的模分别为1，5，52，且这三个复数实部虚部均为整数，则这三个复数的积有多少个可能值。+2=1，F为左焦点，A，B为椭圆上两点且FA=5，FB=8，5、椭圆243求直线AB的斜率k的范围。6、数列满足1=32，+1=，求使该数列{}有极限的x的最大值。 +9+16=(4+5)(2)有几个正实数解？ 7、4+1+2+38、已知点M(8，1)，过点N(1，0)的直线L上有一个动点P，则||+2||的最小值为（）9、两个人甲和乙，数字为230之间的共29个自然数，现找出两个不同的数，把其和告诉甲，把其和告诉乙。甲说：“虽然我不知道是哪两个数，但是肯定乙也不知道”，再问乙，乙说：

2021年清华大学自强计划考试数学试题2021年6月12日1.若x,y为两个不同的质数,是否存在正偶数n,使(x+y)\mid x^{n}+y^{n}A.存在奇B.存在偶C.不存在奇D不存在奇偶2.已知函数f(x)= \frac { \frac {1}{x}+x}{[x]+[ \frac {1}{x}]+2}([表示不超过x的最大整数),问是否存在x,使得f(x)= \ _.A.\frac {4}{3}B.\frac {4}{3}C.\frac {8}{5}D.\frac {10}{7}3.已知数列\{ a_{n} \}满足a_{n+1}a_{n}-2n^{2}(a_{n+1}-a_{n})+1=0,且a_{1}=1,其前n项和为S_{n},则S_{15}=4.已知数列\{ a_{n} \}满足a_{n}= \sqrt { \frac {2n-1}{4n^{2}+1}},前n项和为S_{n},则离S_{128}-S_{32}最接近的整数为_.5.从集合\{ 1,2,3, \cdots ,12 \}中任取3个数,其和能被3整除的概率为_。6.已知f(x)=(x-1)(x-2)\cdots(x-100),f'(x)=0有99个实数根a_{i}(i=1,2, \cdots ,99),则\sum _{j=1}^{999} \sum _{i=1}^{99}[(a_{i}-a_{j})^{-1}]的值为_.7.已知在\triangle ABC中，D是边BC中点，且\angle DAC=15^{\circ},则\angle ABC的最大值为_.8.已知复数z满足\mid z \mid =1, \mid z^{3}-z+2 \mid的最小值和最大值为m和M,则M-m= \ _.9.在\triangle ABC中，D，E分别为BC，AC的中点，AD=1,BE=2,则S_{ \triangle ABC}的最大值为_.10.已知四棱雉

2022 年 清华 大学 强 基 计划 测试 数学 试题 考试 时间 2022 年 6 月 28 日 1 . x ( yz ) = xy + z , xx = 0 , 求 200020222 . a2 + b2 + c2 + d2 + e2 = 1 , 求 | ab ) + | bc ) + | cd ) + | de ) + | ea ) 的 最大 值 2 ) 的 最大 值 3 . 已知 复数 z 满足 | z ) = 1 , 求 | ( z2 ) ( z + 1 ) 4 . 在 复 平面 内 , 复数 z1 终点 在 1 + i 和 1 + ai 表示 两 点 连成 的 线段 上 移动 , | z2 ) = 1 , 若 z = z1 + z2 在 复 平面 上 表示 的 点 围 成 的 面积 为 π + 4 , 则 a 的 可能 值 为 （ ） 5 . 已知 一个 空间 几何 体 三 视图 如下 , 都 为 中点 最大 边长 为 2 , 求 这 个 几何 体 可能 的 体积 A . 236 B . 133 C . 3D . 46 . 对于 xR , f ( x ) 满足 f ( x ) + f ( 1 x ) = 1 , f ( x ) = 2f ( x5 ) , 且 对于 0 x1 x21 , 恒 有 f ( x1 ) f ( x2 ) 1 , 则 f ( 2022 ) = . 7 . 用 蓝色 和 红色 给 一 排 10 个 方格 染色 , 则 不 超过 ( 忘记 是 不 超过 还是 不 少于 ) 三 个 相邻 块 颜色 相同 的 方法 种 数 为 A . 504 B . 505 第 1 页 共 9 页 C . 506D . 5072 最小 值 为 2 + b2 + c8 . 对于 三 个 正 整数 a , b , c , 有 a + b , b + c , c + a 为 三 个 连续 正 整数 , 则 a . 9 . 已知 a2 ab 的 最大 值 和 最小 值 . 2 + ab + b2 = 3 , 求 a2 + b ( 2 k1 ) π n110 . lim } nnsin 2n = . k = 122 ) 11 . 曲线 C : ( x2 y2 y3 = 16 xA . 曲线 C 仅 过 ( 0 , 0 ) 一个 整点 B . 曲线 C 上 的 点距 原点 最大 距离 为 2C . 曲线 C 围 成 的 图形 面积 大于 4 π D . 曲线 C 为 轴 对称 图形 12 . 任意 四边形 ABCD , AC = a , BD = b , 则 ( AD + BC ) ( AB + DC ) = （ 用 a , b 表示 ) 13 . 已知 ax + by = 1 , ax 2 + by 2 = 2 , ax 3 + by 3 = 7 , ax 4 + by 4 = 18 , 则 ax 5 + by 5 = . 2022 年 清华 大学 强 基 计划 校测 数学 试题 答案 1 . 若 x ( yz ) = xy + z , xx = 0 , 求 20002022 【 解析 】 新 定义 题型 x = 2000 y = 2022 , 于是 有 由于 变量 的 任意 性 , 不妨 带入 { z = 2022 ) 2000 ( 20222022 ) = 20000 = 20002022 + 2022 即 20000 = 20002022 + 20221 . 1 x = 2000 y = 2000 , 则 有 再 代 入 { z = 2000 ) 2000 ( 20002000 ) = 20000 = 20002000 + 2000 = 2000 即 20000 = 20001 . 2 由 1 . 1 , 1 . 2 知 第 2 页 共 9 页 20002022 + 2022 = 2000 因此 , 20002022 = 22 . 2 . a2 + b2 + c2 + d2 + e2 = 1 , 求 | ab ) + | bc ) + | cd ) + | de ) + | ea ) 的 最大 值 . 【 解析 】 不等式 问题 袁逸凡 解答 对于 | ab ) | a ) + | b ) , 其 取 等 条件 为 a 、 b 异 号 或 至少 其中 一个 为 0 , 不妨 设 a0 , 则 b0 , 同理 可 得 | bc ) | b ) + | c ) , | cd ) | c ) + | d ) 当 以上 不等式 都 取 等 时 , 则 有 a0 , b0 , c 0 , d 0 , e 0 令 ae , 于是 有 | ab ) + | bc ) + | cd ) + | de ) + | ea ) = 2a 2b + 2c 2d } 2 a2 + b2 + c2 + d 因为 | a ) + | b ) + | c ) + | d ) 4 , 所以 有 42 ) 42 + b2 + c2 + d2 ( | a ) + | b

2023清华大学强基计划文科试题1.历史题- 在中国历史上，哪一朝代首次确立了科举制度，标志着选官制度的重大变革？A.汉朝B.隋朝C.唐朝D.宋朝2.文学题- 《红楼梦》中，“荣府”的原型被认为是指现实中的哪个家族？A.曹雪芹自家B.清朝皇族C.明朝贵族D.乾隆皇帝的家族3.哲学题- 古希腊哲学家苏格拉底的哲学方法，主要通过何种方式来探求真理？A.冥想B.辩论C.写作D.实验4.语言学题- 汉语中的四声分别是平声、上声、去声和什么？A.入声B.阳平C.阴平D.轻声5.艺术史题- 哪位艺术家的作品被认为是西方美术史上的转折点，开创了文艺复兴时期的新风格？A.米开朗基罗B.达芬奇C.拉斐尔D.乔托6.文学批评题- “新批评”学派在20世纪初兴起，其主要关注点是文学作品的什么？A.社会背景B.作者生平C.内部结构与语言D.政治影响7.历史地理题- 在古代丝绸之路的贸易中，中国向西方输出的主要商品是什么？A.香料B.瓷器C.丝绸D.茶叶8.哲学题- 亚里士多德认为，幸福是人类追求的终极目标，他在哪一部著作中详细阐述了这一

2023 年 中国 科学 技术 大学 强 基 计划 数学 试题 6 月 11 日 考试 时 长 90 分钟 本次 考试 一共 8 道 试题 , 4 道 填空 题 , 4 道 解答 题 , 满分 100 分 . 一 、 填空 题 ( 20 分 ) 1 . 二元 函数 f ( x , y ) = ( x + \ cos y ) ^ { 2 } + ( 2 x + 3 + \ sin y ) ^ { 2 } 的 值域 为 _ . 2 . 设 复数 z 满足 \ mid z \ mid = 1 , 且 \ omega = \ frac { z + 1 } { z - 1 } , \ mid \ frac { 1 } { \ omega ^ { 2 } } + 4 \ omega ^ { 2 } \ mid 的 最小 值 为 _ . 3 . 使得 ( 1 + 2 x ) ^ { 2023 } 展开 式 中 x ^ { n } 的 系数 最大 , 则 正 整数 n 的 值 为 _ . 4 . 已知 四 条 抛物 线 y = x ^ { 2 } + a , y = x ^ { 2 } - a , x = y ^ { 2 } + a , x = - y ^ { 2 } - a 相邻 两 条 都 相切 , 则 它们 围 成 的 封闭 图形 面积 为 _ . 二 、 解答 题 ( 每 题 20 分 ， 共 80 分 ) 1 . 已知 实 系数 函数 f ( x ) = x ^ { 3 } + bx ^ { 2 } + cx + d , - 1 \ le x \ le 1 时 ， f ( x ) \ le x + 1 恒 成立 , 证明 ： f ( x ) = 0 的 三 个 根 全部 为 实数 。 2 . 已知 正 整数 数列 \ { a _ { n } \ } , \ { b _ { n } \ } 满足 a _ { 1 } = b _ { 1 } = 1 , 且 \ { a _ { n } \ } 是 等 差 数列 ， \ { b _ { n } \ } 是 等比 数列 。 数列 \ { c _ { n } \ } 满足 ： c _ { n } = a _ { n } + b _ { n } , 若 存在 正 整数 k 满足 c _ { k } = 37 , c _ { k + 2 } = 307 , 求 数列 \ { c _ { n } \ } 的 通 项 公式 ， 3 . 一个 箱子 里 有 m 个 黑球 和 n 个 白 球 ( m < n ) , 从 箱子 中 不 放 回 的 每次 抽取 一个 球 , 直到 取 完 。 记 P ( m , n ) 为 在 整个 取 球 过程 中 , 黑球 个数 始终 小于 白 球 个数 的 概率 , 求 : ( 1 ) P ( 2 , 4 ) 的 概率 值 ; ( 2 ) P ( m , n ) 的 表达 式 。 4 . 证明 : \ sum _ { i = 1 } ^ { n } \ frac { i ^ { 2 } } { i ^ { 2 } + n ^ { 2 } } \ le \ frac { n ^ { 2 } + 2n } { 4 n + 2 } 12023 年 中国 科学 技术 大学 强 基 计划 数学 试题 解析 、 填空 题 1 . [ 0 , \ frac { 14 + 6 \ sqrt { 5 } } { 5 } ] 解析 ： 原 式 可以 看作 点 P ( x , 2 x + 3 ) 和 Q ( - \ cos y , - \ sin y ) 的 距离 平方 , 数 形 结合 得到 f ( x , y ) _ { \ max } = ( 1 + \ frac { 3 } { \ sqrt { 5 } } ) ^ { 2 } = \ frac { 14 + 6 \ sqrt { 5 } } { 5 } , f ( x , y ) _ { \ max } = 02 . 答案 为 4 解析 ： 设 z = a + bi ( a , b \ in R ) ， 那么 由 已知 可 得 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 1 , 以及 \ omega = \ frac { z + 1 } { z - 1 } = \ frac { ( z + 1 ) ( z - 1 ) } { ( z - 1 ) ( z - 1 ) } = \ frac { b } { a - 1 } i = ti , 其中 t = \ frac { b } { a - 1 } ; \ omega ^ { 2 } = - ( \ frac { b } { a - 1 } ) ^ { 2 } , 所以 \ omega ^ { 2 } = - ( \ frac { b } { a - 1 } ) ^ { 2 } \ mid \ frac { 1 } { \ omega ^ { 2 } } + 4 \ omega ^ { 2 } \ mid = \ mid \ frac { 1 } { t ^ { 2 } } + 4t ^ { 2 } \

2020 年清华大学强基计划招生考试数学试题金石为开教研部整理1.已知x2+y2 <1 ，求x2+xy 一y2 的最值.2.非等边三角形ABC 中，BC = AC ，O, P 分别为ΔABC 的外心和内心，D 在BC上OD BP ，下列选项正确的是 A.BODP 四点共圆B.OD // ACC.OD // AB D.DP // AC3.A, B, C均为{1,2,3 2020}子集，且A 坚C ，B 坚C ，问有序的(A, B, C)共有多少？20 a.4.a = 0 ，a = a+1，令A = Σ0 i+1 i kk=1A.A 可以等于0 B.A 可以等于2C.A可以等于10 D.A可以等于12y2 5.P 为椭圆x2+= 1 上一点，A(1,0), B(1,1)，求PA+PB 的最值是？436.ΔABC 三边均为整数，且面积为有理数，则边长a 可以为A.1 B.2 C.3 D.427.P 为双曲线一y2 = 1 上一点，A(一2,0), B(2,0)，令经PAB = a ，经PBA = β,4 下列为定值的是 A.tanatan βB.tan - -C.S tan(a+β)D.S cos(a+β)ΔPAB ΔPAB8.甲乙丙做一道题，甲：我做错了，乙：甲做对了，丙：我做错了，老师：仅1一人做对且一人说错，问以下正确的是 A.甲对B.对C.丙对D.以上说法均不对9.RtΔABC 中，经ABC = 90。，AB = 3 ，BC = 1，PA PB PC++= 0 ，以下PA PB PC说法正确的是 A.经APB = 120。 B.经BPC = 120。 C.2BP = PC D

清华 大学 2020 年 强 基 计划 数学 试题 解析 Penny 阿不 1 . 已知 实数 x , y 满足 x2 y 21 , 则 x2 xyy 2 的 最大 值 为 ( ) A . 1 B . 5D . 22 C . 103 答案 . B . 简析 1 . 由 AM - GM 不等式 , 得 xx 2 x2 - y 25252 yx 2 - y 225 x + y 25 . y 2222252521 时 取 等号 . 上 式 当 x1 ， y 10451045 即 原 式 的 最大 值 为 5 . 2 简析 2 . 设 xrcos , yrsin , 其中 r1 , R , 则 222 r 215 . xxyy = rcos 2 sin 2 cos 2 sin 22221 时 取 等号 . ， sin 1 上 式 当 r = 1 , cos 10451045 即 原 式 的 最大 值 为 5 . 22 . 设 a , b , c 为 正 实数 , 若 一元 二 次 方程 ax 2 bxc 0 有 实 根 , 则 ( ) A . maxa , b , c ( abc ) B . maxa , b , c ( abc ) 1249 C . maxa , b , c ( abc ) 14 D . maxa , b , c1 ( abc ) 3 答案 . BCD . 简析 . 依 题意 , 有 b 24 ac . 由 齐 次 性 不妨 设 abc 1 . 首先 证明 : maxa , b , c ( abc ) . 14 由 对称 性 不妨 设 ac . 则 b 24 ac 4 c 2 b2c . 故 1 ab + cc 2cc 4 cc . 14 当 ac , b 时 , 符合 题意 . 1412 即 命题 得 证 . 又 注意 到 , 则 选项 CD 均 成立 . 1413 其次 证明 : maxa , b , c ( abc ) . 49 若 b , 则 命题 得 证 . 49 当 b = c , a 时 , 符合 题意 . 4919 若 b , 则 ac 1 b . 4959 又 注意 到 b 24 ac , 则 16145144 ac 4 aaaa 0 a0 8199999 若 a , , 则 命题 得 证 . 49154 若 a0 , , 此时 ca , 则 命题 得 证 . 999 又 注意 到 , 则 选项 A 不 成立 . 12493 . 已知 平面 向量 a , b , c 满足 a2 , b1 , a2 bca 2b , 则 对 所有 可能 的 c , c 的 ( ) A . 最大 值 为 42B . 最大 值 为 26 C . 最小 值 为 0 D . 最小 值 为 2 答案 . AC . 简析 . 当 ab 时 , 有 a2 ba 2b . 令 c 0 , 得 c = 0 . 由 三角 不等式 , 得 a2 ba 2 bcca 2 bca 2 ba 2b . 再 由 Cauchy 不等式 , 得 ca 2 ba 2 b2 a2 ba 2b 22224 a 216 b 32c 422 当 ab ， a2 b2 ， 且 c = a + 2b 时 取 等号 . 综 上 , c 的 最小 值 为 0 , 最大 值 为 42 . 4 . 在 ABC 中 , AC = 1 , BC = 3 , AB = 2 , 设 M 为 AB 中点 , 现 将 ABC 沿 CM 折 起 , 使 2 , 则 折 起 后 AB 的 长度 可能 为 ( ) 得 四面体 B - ACM 的 体积 为 12A . 1 B . 2C . 3D . 2 答案 . BC . 简析 . 设 点 B 在 底面 的 射影 为 点 D , 则 11326 . VBACMSACM · BDBDBD 334123 注意 到 BD 3 , 因此 满足 题意 的 点 B 有 两 个 . 2 二面角 B - MC - A 的 平面 角 为 钝角 . 由 勾股 定理 , 得 DMBM 2 BD 2321 , CDBC 2 BD 2 . 33 在 DMC 中 , 由 余弦 定理 , 得 DM 2 MC 2 CD 23 cosDMCDMC 150 . 2 DM ? MC 2 则 AMD = 180 ° - AMC - DMC = 150 ° . 在 DMA 中 , 由 余弦 定理 , 得 7 AD 2 MA 2 MD 2 - 2 ? MA · MD · cos 150 = . 3 再 由 勾股 定理 , 得 ABAD 2 BD 23 . 二面角 B - MC - A 的 平面 角 为 锐角 . 同理 , 得 AB 2 . 综 上 , AB 可以 等于 2 或 3 . x2 y5 . 已知 Р 为 椭圆 1 上 的 动 点 , 且 A ( 1 ， 1 ) , Q ( 1 , 0 ) , 则 | PA | + | PQ | 的 ( ) 43 A . 最大 值 为 43 B . 最大 值 为 45 C . 最小 值 为 43 D . 最小 值 为 45 答案 . BD . 简析 .

本 试卷 共 35 题 , 每 一道 题 均 为 不定 项 1 . 甲 乙 丙 丁 四 人 共同 参加 4 项 体育 比赛 , 每 项 比赛 第 一 名 到 第 四 名 的 分数 依次 为 4 、 3 、 2 、 1 分 . 比赛 结束 甲 获得 14 分 第 一 名 , 乙 获得 13 分 第 二 名 , 则 ( ) . A . 第 三 名 不 超过 9 分 B . 第 三 名 可能 获得 其中 一 场 比赛 的 第 一 名 C . 最后 一 名 不 超过 6 分 D . 第 四 名 可能 一 项 比赛 拿 到 3 分 2 . 定义 x * y = \ frac { x + y } { 1 + xy } , 则 ( \ dotsc ( ( 2 * 3 ) * 4 ) \ dotsc ) * 21 = ( ) . 13 . 已知 \ omega = \ cos \ frac { \ pi } { 5 } + i \ sin \ frac { \ pi } { 5 } , 则 ( ) . A . x ^ { 4 } + x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + x + 1 = ( x - \ omega ) ( x - \ omega ^ { 3 } ) ( x - \ omega ^ { 7 } ) ( x - \ omega ^ { 9 } ) B . x ^ { 4 } - x ^ { 3 } + x ^ { 2 } - x + 1 = ( x - \ omega ) ( x - \ omega ^ { 3 } ) ( x - \ omega ^ { 7 } ) ( x - \ omega ^ { 9 } ) C . x ^ { 4 } - x ^ { 3 } - x ^ { 2 } + x + 1 = ( x - \ omega ) ( x - \ omega ^ { 3 } ) ( x - \ omega ^ { 7 } ) ( x - \ omega ^ { 9 } ) D . x ^ { 4 } + x ^ { 3 } + x ^ { 2 } - x - 1 = ( x - \ omega ) ( x - \ omega ^ { 3 } ) ( x - \ omega ^ { 7 } ) ( x - \ omega ^ { 9 } ) C . ( \ frac { 3 \ sqrt { 2 } } { 2 } ) D . ( - \ infty , \ frac { 3 \ sqrt { 2 } } { 2 } ) 5 . 已知 [ x ] 为 高斯 函数 , [ \ frac { x } { 2 } ] + [ \ frac { x } { 3 } ] + [ \ frac { x } { 5 } ] = x 解 的 组 数 为 ( ) . A . 30C . 50D . 606 . 已知 m , n 最大 公 约数 为 10 ! , 最小 公 倍数 为 501 , 数 对 ( m , n ) 的 组 数 为 ( ) . A . 2 ^ { 9 } B . 2 ^ { 15 } C . 2 ^ { 21 } D . 2 ^ { 18 } 7 . 设 a 为 常数 , f ( 0 ) = \ frac { 1 } { 2 } , f ( x + y ) = f ( x ) f ( a - y ) + f ( y ) f ( a - x ) , 则 ( ) A.f ( a ) = \ frac { 1 } { 2 } B . f ( x ) = \ frac { 1 } { 2 } 恒 成立 C . f ( x + y ) = 2f ( x ) f ( y ) D . 满足 条件 的 f ( x ) 不止 一个 428 . 已知 四面体 D - ABC 中 ， AC = BC = AD = BD = 1 , 则 D - ABC 体积 的 最大 值 为 ( ) . A . \ frac { 4 \ sqrt { 2 } } { 27 } B . \ frac { 3 \ sqrt { 2 } } { 8 } C . \ frac { 2 \ sqrt { 3 } } { 27 } D . \ frac { \ sqrt { 3 } } { 18 } 9 . 在 \ triangle ABC 中 , D 为 BC 的 中点 , \ angle CAD = 15 ^ { \ circ } , 则 \ angle ABC 的 最大 值 为 ( ) . A . 120 ^ { \ circ } B . 105 ^ { \ circ } C . 90 ^ { \ circ } D . 60 ^ { \ circ } 10 . 已知 非 负 实数 a , b , c 满足 a + b + c = 1 , a ^ { 2 } ( b - c ) + b ^ { 2 } ( c - a ) + c ^ { 2 } ( a - b ) 的 最大 值 为 ( ) . 11 . 已知 A _ { 1 } , A _ { 2 } , \ cdots , A _ { 10 } 十 等 分 圆周 , 则 在 其中 取 四 点 构成 凸 四边形 为 梯形 个数 为 ( ) . A . 60 B . 45 C . 40D . 5012 . 已知 f ( x ) = \ sin x \ cos x + \ sin x + \ frac { 2 } { 5 } \ cos x , x \ in [ 0 , \ frac {

清华 大学 ； 强 基 计划 ； 数学 测试 ; 抽象 函数 文章 编号 ： 1008 - 0333 ( 2023 ) 04 - 0040 - 06 中图 分类 号 : G632 文献 标识 码 : A 2022 年 清华 大学 强 基 计划 数学 测试 已 于 2022 题 1 若 运算 “ & ” 满足 x & ( y & z ) x & y + z , x & x 年 6 月 28 日 举行 ， 试题 共 35 道 ， 全部 是 不定 项 选择 0 , 则 2000 & 2002 . 解法 1 在 题 设 中 令 x y z 2000 , 可 得 题 . 本文 回忆 出 了 其中 的 12 道 题 （ 并且 大 部分 题 的 2000 & ( 2000 & 2000 ) 2000 & 2000 + 2000 0 + 选项 也 不 完整 ） ， 还给 出 了 其 详细 解答 . 2000 2000 , 按 本文 列 出 的 顺序 : 第 1 , 6 题 均 是 抽象 函数 问题 ; 第 2 , 9 题 均 是 不等式 问题 , 其中 第 2 题 涉及 柯西 2000 & ( 2000 & 2000 ) 2000 & 0 . 所以 2000 & 0 2000 . 不等式 与 均值 不等式 ; 第 3 , 4 题 均 是 复数 问题 ; 第 5 , 7 , 8 , 10 , 11 , 12 题 分别 是 立体 几何 中 的 三 视图 问 在 题 设 中 令 x 2000 , y z 2022 ， 可 得 题 、 排列 组合 问题 、 初等 数论 问题 、 考查 定 积分 的 定 2000 & ( 2022 & 2022 ) 2000 & 2022 + 2022 , 义 、 平面 解析 几何 中 的 四 叶 玫瑰 线 问题 、 平面 向量 问 2000 & ( 2022 & 2022 ) 2000 & 0 2000 . 所以 2000 & 2022 2000 - 2022 - 22 . 题 中 的 数量 积 其中 第 2 , 3 , 6 题 在 全国 高中 数学 联 解法 2 在 题 设 中 令 y z x , 可 得 赛 预赛 试题 （ 下 简称 预赛 试题 ） 中 均 出现 过 类 题 ; 第 x & ( x & x ) x & x + x 0 + x x , 6 题 在 预赛 试题 中 还 出现 过 两 次 类 题 ， 但 这 三 道 题 x & ( x & x ) x & 0 . 中 的 抽象 函数 均 不 存在 （ 即 都 是 错题 ） . 相对 于 高考 数 所以 x & 0 x . 学 试题 ， 这 份 强 基 计划 数学 试题 新颖 ， 整体 难度 适中 . 收 稿 日期 ： 2022 - 11 - 05 作者 简介 : 甘志国 （ 1971 - ） ， 男 ， 湖北 省 竹溪 人 ， 硕士 ， 中学 正 高级 教师 ， 从事 高中 数学 教学 研究 . 基金 项目 ： 北京 市 教育 学会 “ 十 三 五 ” 教育 科研 滚动 立项 课题 “ 数学 文化 与 高考 研究 ” （ 项目 编号 : FT 2017 G D 003 ） . 40 2023 年 第 04 期 总 第 569 期 数 理 化 解题 研究 ( 1 x I a I + 1 x I b I + 1 x I e I + 1 x I d I ) 2 W ( 12 + 在 题 设 中 令 z = 7 , 可 得 12 + 12 + 12 ) ( I a I 2 + I b I 2 + I e I 2 + I d I 2 ) W4 ( a2 + b2 x & ( 7 & 7 ) = x & 7 + 7 , + e2 + d2 + e2 ) = 4 . x & ( 7 & 7 ) = x & 0 = x . 所以 I a I + I b I + I e I + I d I W2 , 当 且 仅 当 I a I = 所以 x & 7 = x - 7 . I b I = I e I = I dI , e = 0 时 取 等号 . 还 可 验证 x & 7 = x - 7 满足 题 设 . 所以 I a - b I + I b - e I + I e -

4 月 , 考生 网上 报名 ; 6 月 , 考生 参加 统一 高考 ; 6 月 25 日 前 ， 各 省 ( 区 、 市 ) 提供 高考 成绩 ； 6 月 26 日 前 , 高校 确定 参加 考核 的 考生 名单 ; 7 月 4 日 前 , 高校 组织 考核 ; 7 月 5 日 前 , 高校 根据 考生 的 高考 成绩 、 高校 综合 考核 结果 及 综合 素质 评价 等 折合 成 综合 成绩 , 择优 录取 . 2020 年 北京 大学 强 基 计划 数学 试题 共 20 道 选择 题 , 在 每 题 的 四 个 选项 中 , 只有 一个 选项 符合 题目 要求 , 选 对 得 5 分 ， 选 错 或 不 选 得 0 分 . 1 . 已知 x , y , z , w 均 为 正 实数 , 且 满足 xyx \ ge y \ ge w 和 x + y \ le 2 ( z + w ) , 则 \ frac { w } { x } + \ frac { z } { y } 的 最小 值 等于 ( ) A . \ frac { 3 } { 4 } B . \ frac { 7 } { 8 } C . 1D . 前 三 个 答案 都 不对 2 . 在 ( 2019 \ times 2020 ) ^ { 2021 } 的 全体 正 因数 中 选出 若干 个 ， 使得 其中 任意 两 个 的 乘积 都 不是 平方 数 , 则 最 多可 选 因数 的 个数 为 ( ) . A . 16B . 31 C . 32 D . 前 三 个 答案 都 不对 3 . 已知 整数 列 \ { a _ { n } \ } ( n \ ge 1 ) 满足 a _ { 1 } = 1 , a _ { 2 } = 4 , 且 对 任意 n \ ge 2 有 a _ { n } ^ { 2 } - a _ { n + 1 } a _ { n - 1 } = 2 ^ { n - 1 } , 则 a _ { 2020 } 的 个 位 数字 是 ( ) . A . 8B . 4C . 2D . 前 三 个 答案 都 不对 4 . 设 a ， b ， c ， d 是 方程 x ^ { 4 } + 2 x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } + 4 x + 5 = 0 的 4 个 复根 , 则 \ frac { a - 1 } { a + 2 } + \ frac { b - 1 } { b + 2 } + \ frac { c - 1 } { c + 2 } + \ frac { d - 1 } { d + 2 } 的 值 为 ( ) . A . - \ frac { 4 } { 3 } B . - \ frac { 2 } { 3 } C . \ frac { 2 } { 3 } D . 前 三 个 答案 都 不对 5 . 设 等 边 \ triangle ABC 的 边长 为 1 ， 过 点 C 作 以 AB 为 直径 的 圆 的 切线 ， 交 AB 的 延长 线 于 点 D ， AD > BD , 则 \ triangle BCD 的 面积 为 ( ) . A . \ frac { 6 \ sqrt { 2 } - 3 \ sqrt { 3 } } { 16 } B . \ frac { 4 \ sqrt { 2 } - 3 \ sqrt { 3 } } { 16 } C . \ frac { 3 \ sqrt { 2 } - 2 \ sqrt { 3 } } { 16 } D . 前 三 个 答案 都 不对 6 . 设 x ， y ， z 均 不 为 ( k + \ frac { 1 } { 2 } ) \ pi , 其中 k 为 整数 ， 已知 \ sin ( y + z - x ) , \ sin ( x + z - y ) , \ sin ( x + y - z ) 成 等 差 数列 , 则 依然 成 等 差 数列 的 是 ( ) . A . sinx , siny , sinzB . cosx ， cosy ， coszC . tanx ， tany ， tanzD . 前 三 个 答案 都 不对 7 . 方程 19 x + 93 y = 4 xy 的 整数 解 个数 为 ( ) . A . 4B . 8C . 16D . 前 三 个 答案 都 不对 8 . 从 圆 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4 上 的 点 向 椭圆 C \ frac { x ^ { 2 } } { 2 } + y ^ { 2 } = 1 引 切线 , 两 个 切点 间 的 线段 称为 切点 弦 , 则 椭圆 C 内 不 与 任何 切点 弦 相交 的 区域 面积 为 ( ) . A . \ frac { \ pi } { 2 } B . C . D . 前