摘要 ： 文章 给 出 了 2021 年 清华 大学 强 基 计划 数学 试题 的 回忆 版 及其 详解 * 关键 词 ： 强 基 计划 ； 数学 试题 ; 详解 ; 初等 数论 中图 分类 号 ： G632 文献 标识 码 : A 文章 编号 ： 1008 - 0333 （ 2022 ） 04 - 0084 - 09 全 卷 共 35 道 不定 项 选择 题 * 以下 试题 是 回忆 版 解析 关于 x 的 方程 x2 - 丄 二 a 有 唯一 实 根 * x （ 只有 21 道 ， 差 14 道 ， 有的 试题 还 差 选项 , 题目 顺序 设 f （ x ） _ x2 - ' （ x ） _ 2 x + 4 二 2 x ： 1 , 可 得 及 试题 内容 也 可能 不 准确 ） ， 其 解答 详尽 * x x 2 x 2 试题 涉及 函数 与 方程 （ 第 1 , 8 , 10 , 14 题 ） ； 集合 / （ x ） 在 （ - o , - £ 一 占 , 0 0 , + o ） 上 分别 单 及 计数 原理 （ 第 2 , 13 题 ） ； 整数 性质 （ 第 3 题 ） ； 平面 调 递减 、 单调 递增 、 单调 递增 . 再 由 lim / （ x ） _ + o , xH - o 解析 几何 （ 第 4 , 11 题 ） ； 数列 （ 第 5 题 ） ； 定 积分 （ 第 6 题 ） ； 平面 几何 （ 第 7 题 ） ； 平面 向量 与 线性 规划 f ( _ - 33 ? , lim / ( x ) _ + o , lim / ( x ) _ - o , 2 xh 0 - xh 0 + （ 第 9 题 ） ； 概率 （ 第 12 题 ） ； 三角 （ 第 15 , 20 题 ） ； 组合 数学 （ 第 16 题 ） ； 复数 （ 第 17 题 ） ； 立体 几何 （ 第 18 lim / （ x ） _ + o 可 作出 函数 / （ x ） 的 图象 如 图 1 * 题 ） ； 代数 运算 （ 第 19 题 ） ； 不等式 （ 第 21 题 ） * 其中 第 9 , 10 均 是 往年 的 高考 题 ， 第 17 道 是 往年 的 高中 数学 联赛 一 试 试题 * 题 1 若 恰 有 一个 实数 x 使得 x3 - ax - 1 _ 0 成立 , 则 常数 a 的 取值 范围 是 （ ） * A * ( - o , 2 ) 图 1 C . ( 3 ? 2 , + o ) 进而 可 得 所 求 a 的 取值 范围 是 （ - o , 2 ） * 题 2 若 集合 U _ { 0 , 1 , 2 , , 2021 } , S C ” , 且 收 稿 日期 ： 2021 - 11 - 05 作者 简介 : 甘志国 （ 1971 - ） ， 男 ， 湖北 省 竹溪 人 ， 硕士 ， 中学 正 高级 教师 ， 特级 教师 ， 从事 数学 教学 研究 * 基金 项目 ： 北京 市 教育 学会 “ 十 三 五 ” 教育 科研 滚动 立项 课题 “ 数学 文化 与 高考 研究 ” （ 项目 编号 : FT 2017 G D 003 ） * 84 2022 年 第 04 期 总 第 533 期 数 理 化 解题 研究 集合 S 中 的 任意 两 个 元素 之 和 均 不是 5 的 倍数 ， 则 B . ( x + 1 ) 2 + ( y - 1 ) 2 _ 13 集合 S 元素 个数 的 最大 值 是 . C . ( x + f ) 2 + ( y - * ) 2 略 解析 集合 U 中 元素 ( 共 2022 个 ) 分 5 类 ： ( 1 ) ( 共 405 个 ) 5 x0 , 5 x1 , 5 x2 , - , 5 x 404 ； ) 2 + ( y 一 1 ) 2 二 7 ( 2 ) ( 共 405 个 ) 5 x0 + 1 , 5 x 1 + 1 , 5 x2 + 1 , 解析 如 图 2 所 示 ， 可 设 切线 方程 是 y - 3 _ ， 5 x

清华 大学 2024 年 强 基 计划 笔试 1 . 点 A \ in \ { ( x , y ) \ mid \ frac { x ^ { 2 } } { 200 } + \ frac { y ^ { 2 } } { 8 } \ le 1 \ } , M ( 2 , 1 ) 求 满足 S _ { \ triangle OAM } \ le 3 的 整点 的 个数 . 2 . 5a - 3c \ le b \ le 4a - c , c \ ln b \ ge a + c \ ln c , abc 均 为 正数 , 则 \ frac { b } { a } 的 最大 ， 最小 值 是否 存在 ? 是 多少 ? 3 . 点 集 S = \ { ( x , y ) \ mid x \ le 5 , y \ le 4 且 x , y \ in N ^ { * } \ } , 则 由 _ { S } 中 的 点 可以 组成 多少 个 不同 的 三角形 ? 4 . 抛物 线 C : x ^ { 2 } = 4 y , 焦点 为 F . 过 焦点 F 的 直线 l 交 C 于 A , B 两 点 . 过 A 作 平行 于 B 点 切线 的 直线 交 C 于 点 P , 交 y轴 于 点 D . 设 A ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , B ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) , P ( x _ { 3 } , y _ { 3 } ) , 则 ( ) A . y _ { 1 } y _ { 2 } = 4 . B.S _ { \ triangle ABP } 的 最大 值 为 16 . C . \ mid DF \ mid = \ mid AF \ midD . x _ { 1 } + x _ { 3 } = 2 x _ { 2 } 5 . f ( a , b , c ) = \ sqrt { \ frac { a } { b + c } } + \ sqrt { \ frac { b } { a + c } } + \ sqrt { \ frac { c } { a + b } } ( a , b , c ) 非 负 ) , 则 f ( a , b , c ) 的 最大 值 和 最小 值 是否 存在 ? 是 多少 ? 6 . f ( x ) = \ frac { x - 1 } { e ^ { x } } . 则 ( ) A . 若 f ( x ) = a 有 两 个 解 , 则 0 < a < \ frac { 1 } { e ^ { 2 } } . B . 若 \ mid f ( x ) + m \ mid 有 最小 值 ， 则 m \ le - \ frac { 1 } { 2 e ^ { 2 } } . C . 若 \ mid f ( x ) + m \ mid 有 最小 值 ， 则 m < - \ frac { 1 } { 2 e ^ { 2 } } . D . 若 f ( x ) = a 有 两 个 解 x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 1 } + x _ { 2 } > 4 . 7 . 圆 上 7 点 所 成 线段 中 任 取 两 条 ， 这 两 条 线段 无 公共 点 的 概率 为 ? 8 . 复 方程 ( z ^ { 3 } + z ) ^ { 2 } + 9 z ^ { 3 } - 72 z = 0 的 所有 复数 根 的 平方 和 为 ? 9 . 已知 \ { \ cos \ alpha , \ cos 2 \ alpha , \ cos 3 \ alpha \ } = \ { \ sin \ alpha , \ sin 2 \ alpha , \ sin 3 \ alpha \ } , 则 α 可以 是 ( ) A . \ frac { \ pi } { 8 } B . - \ frac { 3 \ pi } { 8 } C . - \ frac { 2 \ pi } { 7 } D . - \ frac { \ pi } { 14 } 10 . x ^ { 3 } + px ^ { 2 } + q = 02 ) 有 解 , 则 p + q 可能 的 取值 为 ? 11 . x ^ { 3 } + px ^ { 2 } + qx + r = 02 ) 内 有 三 个 不等 实 根 , 则 p + q+ r 的 取值 范围 ? 12 . a + e ^ { a } = b + \ ln b = 4 , 则 ( ) A . a \ ln b + b \ ln a > 1 B . a \ ln b + b \ ln a = 1 C . ab < 4D . ab > e13 . 已知 复数 z 满足 \ mid z \ mid = 1 , z ^ { n } = z + \ sqrt { 2 } , 则 n 的 最小 值 为 ? 14 . 四面体 V - ABC 中 ， VA = VB = 2 \ sqrt { 2 } , VC = 3 , CA = CB = 4 求 CA 与 VB 所 成 角 余弦 的 最 值 . 15 . 正 四面体 ABCD 中 ， 棱 长 为 2 \ sqrt { 2 } . 点 P 满足 \ mid \

清华 大学 ； 强 基 计划 ； 数学 测试 ; 抽象 函数 文章 编号 ： 1008 - 0333 ( 2023 ) 04 - 0040 - 06 中图 分类 号 : G632 文献 标识 码 : A 2022 年 清华 大学 强 基 计划 数学 测试 已 于 2022 题 1 若 运算 “ & ” 满足 x & ( y & z ) x & y + z , x & x 年 6 月 28 日 举行 ， 试题 共 35 道 ， 全部 是 不定 项 选择 0 , 则 2000 & 2002 . 解法 1 在 题 设 中 令 x y z 2000 , 可 得 题 . 本文 回忆 出 了 其中 的 12 道 题 （ 并且 大 部分 题 的 2000 & ( 2000 & 2000 ) 2000 & 2000 + 2000 0 + 选项 也 不 完整 ） ， 还给 出 了 其 详细 解答 . 2000 2000 , 按 本文 列 出 的 顺序 : 第 1 , 6 题 均 是 抽象 函数 问题 ; 第 2 , 9 题 均 是 不等式 问题 , 其中 第 2 题 涉及 柯西 2000 & ( 2000 & 2000 ) 2000 & 0 . 所以 2000 & 0 2000 . 不等式 与 均值 不等式 ; 第 3 , 4 题 均 是 复数 问题 ; 第 5 , 7 , 8 , 10 , 11 , 12 题 分别 是 立体 几何 中 的 三 视图 问 在 题 设 中 令 x 2000 , y z 2022 ， 可 得 题 、 排列 组合 问题 、 初等 数论 问题 、 考查 定 积分 的 定 2000 & ( 2022 & 2022 ) 2000 & 2022 + 2022 , 义 、 平面 解析 几何 中 的 四 叶 玫瑰 线 问题 、 平面 向量 问 2000 & ( 2022 & 2022 ) 2000 & 0 2000 . 所以 2000 & 2022 2000 - 2022 - 22 . 题 中 的 数量 积 其中 第 2 , 3 , 6 题 在 全国 高中 数学 联 解法 2 在 题 设 中 令 y z x , 可 得 赛 预赛 试题 （ 下 简称 预赛 试题 ） 中 均 出现 过 类 题 ; 第 x & ( x & x ) x & x + x 0 + x x , 6 题 在 预赛 试题 中 还 出现 过 两 次 类 题 ， 但 这 三 道 题 x & ( x & x ) x & 0 . 中 的 抽象 函数 均 不 存在 （ 即 都 是 错题 ） . 相对 于 高考 数 所以 x & 0 x . 学 试题 ， 这 份 强 基 计划 数学 试题 新颖 ， 整体 难度 适中 . 收 稿 日期 ： 2022 - 11 - 05 作者 简介 : 甘志国 （ 1971 - ） ， 男 ， 湖北 省 竹溪 人 ， 硕士 ， 中学 正 高级 教师 ， 从事 高中 数学 教学 研究 . 基金 项目 ： 北京 市 教育 学会 “ 十 三 五 ” 教育 科研 滚动 立项 课题 “ 数学 文化 与 高考 研究 ” （ 项目 编号 : FT 2017 G D 003 ） . 40 2023 年 第 04 期 总 第 569 期 数 理 化 解题 研究 ( 1 x I a I + 1 x I b I + 1 x I e I + 1 x I d I ) 2 W ( 12 + 在 题 设 中 令 z = 7 , 可 得 12 + 12 + 12 ) ( I a I 2 + I b I 2 + I e I 2 + I d I 2 ) W4 ( a2 + b2 x & ( 7 & 7 ) = x & 7 + 7 , + e2 + d2 + e2 ) = 4 . x & ( 7 & 7 ) = x & 0 = x . 所以 I a I + I b I + I e I + I d I W2 , 当 且 仅 当 I a I = 所以 x & 7 = x - 7 . I b I = I e I = I dI , e = 0 时 取 等号 . 还 可 验证 x & 7 = x - 7 满足 题 设 . 所以 I a - b I + I b - e I + I e -

( 部分 ) 考试 时间 2022 年 6 月 28 日 数学 一共 35 道 题目 , 均 为 不定 项 选择 , 目前 只有 12 道 题目 1 . x8 ( y 8 z ) = x8 y + z , x8 x = 0 , 求 200082022 2 . a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } + d ^ { 2 } + e ^ { 2 } = 1 , 求 | a - b | + | b - c | + | c - d | + | d - e \ mid + \ mid e - al 的 最大 值 3 . 已知 复数 z 满足 | z | = 1 ， 求 ( z - 2 ) ( z + 1 ) ² ) 的 最大 值 4 . 在 复 平面 内 , 复数 zi 终点 在 1 + i 和 1 + ai 表示 两 点 连成 的 线段 上 移动 ， \ mid z _ { 2 } \ mid = 1 , 若 z = z _ { 1 } + z _ { 2 } 在 复 平面 上 表示 的 点 围 成 的 面积 为 5 \ pi + 4 , 则 a 的 可能 值 为 ( ) 5 . 已知 一个 空间 几何 体 三 视图 如下 , 都 为 中点 最大 边长 为 2 , 求 这 个 几何 体 可能 的 体积 6 . 对于 xR , f ( x ) + f ( 1 - x ) = 1 , f ( x ) = 2f ( \ frac { x } { 5 } ) , 且 对于 0 \ le x _ { 1 } \ le x _ { 2 } \ le 1 , 对于 恒 有 f ( x1 ) f ( x2 ) , 则 f ( \ frac { 1 } { 2022 } ) = 7 . 用 蓝色 和 红色 给 一 排 10 个 方格 染色 , 则 不 超过 ( 忘记 是 不 超过 还是 不 少于 ) 三 个 相邻 块 颜色 相同 的 方法 种 数 为 ( ) A . 504 B . 505 C . 506 D . 507 8 . 对于 三 个 正 整数 \ sqrt { a + b } , \ sqrt { b + c } , \ sqrt { c + a } 为 三 个 连续 正 整数 , 则 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } 最小 值 为 已知 a ^ { 2 } + ab + b ^ { 2 } = 3 , 求 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - abb 的 最大 值 和 最小 值 10 . \ lim _ { n \ rightarrow \ infty } \ sum _ { k = 1 } ^ { n } \ frac { 1 } { n } \ sin \ frac { ( 2k - 1 ) \ pi } { 2n } = \ _ . 11 . 曲线 ( : ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) ^ { 3 } = 16x ^ { 2 } y ^ { 2 } A . 曲线 C 仅 过 ( 0 , 0 ) 一个 整点 B . 曲线 C 上 的 点距 原点 最大 距离 为 2C . 曲线 C 围 成 的 图形 面积 大于 4 π D . 曲线 C 为 轴 对称 图形 12 . 任意 四边形 ABC

清华 大学 2024 年 强 基 计划 数学 学科 试题 考试 时间 2024 年 6 月 28 日 8 : 00 - 12 : 00 1 . 已知 { } { θ } θ θ θ θ θ cos , cos 2 , cos 3 sin , sin 2 , sin 3 = ， 则 θ = _ . 2 . 已知 4 ln = + = + bbaea , 则 下列 选项 中 正确 的 有 （ ） A . 1 lnln > + abaB . 1 lnln = + abaC . ab < 4D . ab > e3 . 某 城市 内 有 若干 街道 ， 所有 街道 都 是 正 东西 或 南北 向 ， 某人 站 在 某 段 正 中央 开始 走 ， 每 个 点 至多 经过 一次 ， 最终 回到 出发 点 . 已知 向 左 转 了 100 次 ， 则 可能 向 右 转 了 （ ） 次 。 A . 96 B . 98 C . 104 D . 102 4 . 在 平面 直角 坐标 系 内 ， ( ) 1 , 21 , 8 , ) 200 ( 22 AyxxyM + ， 若 OMA 的 面积 不 超过 3 ， 则 满足 条件 的 整点 M 个数 为 _ . 6 . 已知 2111 , 1 nnnaaaa + = = + ， 下列 选项 中 正确 的 有 D . [ ] a900 = 30A . 333 lim = B . [ ] a400 = 20C . 2 lim = nn + nan + nan 7 . 正 整数 { , 100 } , 2 , 1 , , abc ， 且 cbbaca > > = + 2 , 11 ， 满足 这样 条件 的 ( abc 的 组 数 为 A . 60 B . 90 C . 75 D . 86 8 . 从 棱 长 为 1 个 单位 长度 的 正方体 的 底面 一 顶点 A 出发 ， 每次 均 随机 沿 一 条 棱 行走 一个 单位 长度 ， 下列 选项 中 正确 的 有 + 4A . 进行 4 次 这样 的 操作 回到 A 的 概率 为 3 ) 11 ( 21 B . 进行 2 次 这样 的 操作 回到 A 的 概率 为 95 学科 网 （ 北京 ） 股份 有限 公司 4C . 进行 4 次 这样 的 操作 回到 A 的 概率 为 3 ) 11 ( 21 D . 进行 2 次 这样 的 操作 回到 A 的 概率 为 31 9 . 圆周 上 721 , , AAA 七 个 点 两两 相连 ， 任选 两 条 线段 ， 则 这 两 条 线段 无 公告 点 的 概率 是 A . 73 B . 21 C . 72 D . 31 10 . 1021 , , aaa 是 一个 , 10 , 3 , 2 , 1 的 排列 ， 要求 ia 1 和 ia + 1 一定 有 一个 大于 ia （ 9 , , 3 , 2 i = ） ， 则 满足 的 排列 的 总数 为 _ . 112211 ( ( , 0 : ， 下列 选项 中 正确 的 有 11 . 直线 cbyaxcbyaxxyQxpxycbylax + + + + = = + + 22A . 若 x > 1 ， 则 l 与 射线 PQ 相交 B . 若 x = 1 ， 则 l 与 射线 PQ 平行 C . 若 x = 1 ， 则 l 与 射线 PQ 垂直 D . 若 x 存在 ， 则 Q 在 l 上 12 . 在 ABC 中 ， CAPBAPA = = 60 , , P 在 ABC 内部 ， 延长 BP 交 AC 于 Q ， 且 PQCPBP 111 = + ， 则 BPC = A . 140 B . 130 C . 110 D . 12013 . 几 个人 讨论 某个 比赛 的 成绩 ， 讨论 内容 如下 ： 张 三 ： 甲 是 第 4 名 ； 李 四 ： 乙 不是 第 2 或 第 4 名 ； 王五 ： 丙 排 在 乙 前面 ； 刘六 ： 丁 是 第 1 名 已知 只有 一个 人 说 假话 ， 下列 正确 的 是 A . 丙 是 第 1 名 B . 丁 是 第 2 名 C . 乙 是 第 3 名 D . 甲 是 第 4 名 14 . = + + + + 12 ) arctan 22 arctan 2 tan ( arctan 222 _ . 15 . 已知 2024 , , * + baNab ， 使得 baabbab + + + + 227 的 解 的 组 数 有 （ ） 组 . 学科

求 满足 的 整点 的 个数 . 【 答案 】 65 【 解析 】 【 分析 】 设 ， 直线 的 方程 为 ， ， 设 ， 则 ， 把 ， 代 入 ， 讨论 可 得 答案 . 【 详解 】 设 ， 直线 的 方程 为 ， 即 ， ， 设 ， 则 ， 代 入 ， 化 简 得 ， 当时 有 5 个 整点 ； 当时 有 5 个 整点 ； 当时 有 5 个 整点 ； 当时 有 5 个 整点 ； 当时 有 5 个 整点 ； 当时 有 5 个 整点 ； 当时 有 5 个 整点 ； 根据 对称 性 ， 当时 ， 也 分别 有 5 个 整点 ， 所以 共有 65 个 整点 . 2 . 均 为 正数 ， 则 的 最大 ， 最小 值 是否 存在 ？ 是 多少 ？ 第 1 页 / 共 31 页 学科 网 （ 北京 ） 股份 有限 公司 【 答案 】 存在 ， 的 最大 值 为 3 ， 最小 值 为 . 【 解析 】 【 分析 】 根据 已知 条件 进行 化 简 ， 构造 函数 利用 函数 导 数 判断 函数 的 单调 性 ， 解 出 最 值 ， 再 根据 条件 限制 范围 ； 【 详解 】 由 题意 知 ， ， 令 则 ， 且 令 ， 则 ， 令 ， 则 递增 ， 递减 ； 所以 ， 此时 ， 因此 所以 的 最大 ， 最小 值 存在 ， 的 最大 值 为 3 ， 最小 值 为 . 3 . 点 集 且 ， 则 由 中 的 点 可以 组成 多少 个 不同 的 三角形 ？ 【 答案 】 1056 【 解析 】 【 分析 】 利用 组合 数 的 知识 结合 图象 分析 即可 . 【 详解 】 总共 有 种 , 第 2 页 / 共 31 页 学科 网 （ 北京 ） 股份 有限 公司 如 图 ， 三 点 共 线 （ 粗 虚线 ） 有 8 组 ， 四 点 共 线 有 9 组 （ 图 中 实线 加上 5 条 竖线 ） ， 五 点 共 线 有 4 组 ， 于是 一共 能 组成 种 . 故 答案 为 ： 1056 . 4 . 抛物 线 ， 焦点 为 ． 过 焦点 的 直线 交 于 两 点 ． 过 作 平行 于 点 切线 的 直线 交 于 点 ， 交 轴 于 点 ． 设 ， 则 （ ） A . ． B . 的 最大 值 为 16 ． C . D . 【 答案 】 CD 【 解析 】 【 分析 】 对于 ， 设 直线 的 方程 为 ， 联立 抛物 线 方程 用 韦达 定理 即可 判断 ； 对于 ， 求 导 得 ， 则 直线 的 斜率 为 ， 进而 可 得 直线 的 方程 ， 联立 抛物 线 方程 用 韦达 定理 即可 判断 ； 对于 ， 过 作 轴 平行 线 交 于 ， 结合 选项 知 ， 的 面积 等于 的 2 倍 ， 根据 直线 的 方程 可 得 ， 可 求 ， 进一步 可 求得 ， 利用 基本 不等式 结合 即可 判断 ． 对于 ， 由 直线 的 方程 可 得 坐标 ， 进一步 可 得 ， 即可 判断 ； 【 详解 】 第 3 页 / 共 31 页 学科 网 （ 北京 ） 股份 有限 公司 如 图 所 示 ， 切线 记 为 ， 记 为 ． 对于 ， 直线 的 斜率 存在 ， 故 设 直线 的 方程 为 ， 联立 ， 消去 得 ， ， 所以 ， 故 ， 故 错误 ； 对于 ， 因为 ， 所以 ， 则 直线 的 斜率 为 ， 故 直线 的 方程 为 ， 即 ， 联立 ， 消去 得 ， 故 ，

清华 大学 强 基 计划 2021 年 清华 大学 强 基 计划 笔试 数学 试题 本 试卷 , 每 一道 题 均 为 不定 项 1 . 甲 乙 丙 丁 四 人 共同 参加 4 项 体育 比赛 ， 每 项 比赛 第 一 名 到 第 四 名 的 分数 依次 为 4 、 3 、 2 、 1 分 . 比赛 结束 甲 获得 14 分 第 一 名 , 乙 获得 13 分 第 二 名 , 则 ( ) . A . 第 三 名 不 超过 9 分 B . 第 三 名 可能 获得 其中 一 场 比赛 的 第 一 名 C . 最后 一 名 不 超过 6 分 D . 第 四 名 可能 一 项 比赛 拿 到 3 分 答案 ： ACD 解 ： ( 1 ) 所有 分数 之 和 为 4 \ times ( 4 + 3 + 2 + 2 ) = 40 , 甲 乙 总分 之 和 为 14 + 13 = 27 , 所以 第 三 名 和 第 四 名 总 分数 为 13 分 , 第 四 名 的 分数 不 超过 6 分 , C 正确 , 第 四 名 至少 得 4 分 ， A 正确 . ( 2 ) 所有 项目 的 第 一 名 和 第 二 名 分数 之 和 为 4 \ times ( 4 + 3 ) = 28 分 , 只 比 甲 乙 两 人 总 分数 高一 分 , 说明 只有 一 种 情况 , 甲 乙 包揽 所有 项目 第 一 名 , 总共 拿 到 3 个 第 二 名 和 1 个 第 三 名 . B 错误 . ( 3 ) D 正确 的 一 种 情形 : IIIIIIIIII 甲 4442 乙 3334 内 2221 丁 11132 . 定义 x * y = \ frac { x + y } { 1 + xy } , 则 ( \ dotsc ( ( 2 * 3 ) * 4 ) \ cdots ) * 21 = ( ) . 答案 \ frac { 116 } { 115 } 1 第 1 页 , 共 10 页 清华 大学 强 基 计划 解 ： 令 x = \ frac { \ lambda - 1 } { \ lambda + 1 } , y = \ frac { \ mu - 1 } { \ mu + 1 } , 则 x * y = \ frac { \ frac { \ lambda - 1 } { \ lambda + 1 } + \ frac { \ mu - 1 } { \ mu + 1 } } { 1 + \ frac { \ lambda - 1 } { \ lambda + 1 } \ cdot \ frac { \ mu - 1 } { \ mu + 1 } } = \ frac { \ lambda \ mu - 1 其中 \ lambda = - \ frac { x + 1 } { x - 1 } , \ mu = - \ frac { y + 1 } { y - 1 } . 容易 得到 , 若 设 z = \ frac { \ nu - 1 } { \ nu + 1 } , 即 \ nu = - \ frac { z + 1 } { z - 1 } , 则 ( x * y ) * z = \ frac { \ lambda \ mu \ nu - 1 } { \ lambda \ mu \ nu + 1 } , 即 * 运算 满足 : ( 1 ) x * y = y * x ( 2 ) ( x * y ) * z = x * ( y * z ) 进而 可 得 ( · \ cdots ( ( 2 * 3 ) * 4 ) \ cdots ) * 21 = \ frac { ( - \ frac { 3 } { 1 } ) ( - \ frac { 4 } { 20 } ) \ cdots ( - \ frac { 22 } { 20 } ) - 1 } { ( - \ frac { 3 } { 1 补充 说明 ： 看到 \ frac { x + y } { 1 + xy } , 联想 到 \ tanh x = \ frac { e ^ { 2 x } - 1 } { e ^ { 2 x } + 1 } , 于是 做 一个 x = \ frac { \ lambda - 1 } { \ lambda + 1 } 的 换 元 准 没 错 . 3 . 已知 \ omega = \ cos \ frac { \ pi } { 5 } + i \ sin \ frac { \ pi } { 5 } , 则 ( ) . A . x ^ { 4 } + x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + x + 1 = ( x - \ omega ) ( x - \ omega ^ { 3 } ) ( x - \ omega ^ { 7 } ) ( x - \ omega ^ { 9 } ) B . x ^ { 4 } - x ^ { 3 } + x ^ { 2 } - x + 1 = ( x - \ omega ) ( x - \ om

强 基 计划 数学 模拟 试题 1 本 卷 共 6 大 题 ， 限时 80 分钟 、 每 个 题目 25 分 、 总分 150 分 1 、 让 n 名 男生 和 n 名 女生 站 成 一 行 ， 对于 每 个 学生 X ， X 有 一些 糖果 ， 糖果 的 树木 恰 等于 数 对 ( a , b ) 的 数目 ， 其中 ， 数 对 ( a , b ) 表示 a ， b 是 与 X 不同 性别 的 且 X 是 站 在 a ， b 中间 的 。 证明 ： n 名 男生 和 n 名 女生 手 中 的 糖果 数目 不 超过 n ( n ² - 1 ) / 3 。 2 、 已知 开口 向上 的 抛物 线 y = ax ² 交 双 曲线 xy = 1 于 点 T ， 两 条 曲线 的 公 切线 分别 切 抛物 线 、 双 曲线 于 点 P ， Q 。 下面 我们 研究 PQT 。 ( 1 ) 找到 PQT 的 某 两 条 中线 ， 其 夹角 为 定 值 ， 并 求 出 这 个 夹角 。 ( 2 ) 求 PQT 的 面积 。 3 、 已知 圆 内 接 四边形 ABCD , CB 与 DA 的 延长 线 交 于 点 P , 延长 BP 到点 Q , 使得 PQ = BP , 且 四边形 CAQR 及 四边形 DBCS 均 为 平行 四边形 . 证明 : C 、 R 、 Q 、 S 四 点 共 圆 . 4 、 已知 数列 { an } 满足 证明 ， 对 任何 正 整数 n 都 有 2 an + 17 an 5 、 对于 整数 n ( n3 ) , 设 f ( n ) 是 平面 上 无 三 点 共 线 的 n 个 点中 能够 组成 的 等 腰 三角形 的 数目 的 最大 值 . 证明 : 存在 正数 a 、 b , 使得 对于 所有 的 n 有 an ² < f ( n ) < bn ² . 6 、 设 n 为 正 整数 . 证明 : 若 n 的 所有 正 因子 之 和 为 2 的 整数 次 幂 , 则 这些 正 因子 的 个数 也 为 2 的 整数 次 幂 . 强 基 计划 数学 模拟 试题 1 参考 答案 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、

1 . 关于 方程 ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { 3 } = 16x ^ { 2 } y ^ { 2 } 在 平面 直角 坐标 系 中 所 确定 的 曲线 , 下列 说法 正确 的 有 ( ) . A . 曲线 关于 坐标 轴 轴 对称 , 也 关于 原点 中心 对称 B . 曲线 只 过 ( 0 , 0 ) 一个 整点 C . 曲线 上 的 动 点 与 原点 的 距离 不 超过 2D . 曲线 所 围 区域 的 面积 大于 4 π 2 . 已知 a ^ { 2 } + ab + b ^ { 2 } = 3 , 求 a ^ { 2 } - ab + b ^ { 2 } 的 最大 值 和 最小 值 分别 为 ( ) A . 9 , \ frac { 1 } { 2 } B . 9 , 1 C . 10 , \ frac { 1 } { 2 } D . 10 , 13 . 定义 x * y 为 一个 由 x , y 确定 的 二元 函数 , 且 对 任意 实数 x , y , z 成立 x ^ { * } x = 0 , x ^ { * } ( y * z ) = x ^ { * } y + z , 则 2000 ^ { * } 2022 = ( ) A . 20B . 22 C . - 20D . - 224 . 已知 一个 正 整数 x 在 十进制 表示 下 的 数 位 个数 为 n , x ^ { 3 } 的 数 位 个数 为 m , 求 m + n 可能 为 ( ) A . 2020 B . 2021 C . 2022 D . 20235 . 已知 实数 a , b , c , d , e 满足 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } + d ^ { 2 } + e ^ { 2 } = 1 , 则 \ mid a - b \ mid + \ mid b - c \ mid + \ mid c - d \ mid + \ mid d - e \ mid + \ mid e - a \ mid 的 最大 值 为 ( ) . A . 2B . 3C . 4D . 2 \ sqrt { 5 } 6 . 圆 上 有 一个 十边形 , 任意 两 点 连成 线段 , 求 从中 任 取 两 条 线段 , 没有 交点 的 概率 为 ( ) A . \ frac { 14 } { 45 } B . \ frac { 7 } { 45 } C . \ frac { 14 } { 33 } D . \ frac { 5 } { 11 } 9 . M = \ { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 \ } , N = \ { ( A , B ) \ mid A \ subseteq M , B \ subseteq M , A \ neq B , A \ cap B = \ phi \ } , 则 M 所在 的 区间 为 ( ) . A . ( 350 , 450 ] B . ( 450 , 550 ] C . ( 550 , 650 ] D . ( 650 , 750 ] 10 . 已知 抛物 线 y = \ frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } + 4 , P ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) 为 抛物 线 外 一点 , PA 、 PB 与 抛物 线 相切 且 A 、 B 为 切点 , 则 下列 说法 中 正确 的 有 ( ) . A . 若 AB 的 方程 为 y = 9 , 则 x _ { 0 } = y _ { 0 } = 0 B . 若 P 坐标 为 ( 1 ， 1 ) ， 则 AB 的 方程 为 x - 2 y + 16 = 0 C . 若 x _ { 0 } ^ { 2 } + y _ { 0 } ^ { 2 } = 1 , 则 S _ { \ triangle ABP } 的 最小 值 为 12 \ sqrt { 3 } D . 若 x _ { 0 } ^ { 2 } + y _ { 0 } ^ { 2 } = 1 , 则 S _ { \ triangle ABP } 的 最大 值 为 20 \ sqrt { 5 } 11 . \ triangle ABC 中 ， \ angle BAC = 30 ^ { \ circ } , BE 平分 \ angle ABC 交 AC 于 E , AD 平分 \ angle BAC 交 BC 于 D , 已知 BE + AE = AB + BD , 则 \ angle ABC = \ _ . BDACEA . 100 ^ { \ circ } B . 110 ^ { \ circ } C . 120 ^ { \ circ } D . 130 ^ { \ circ } 12 . 求 \ lim _ { n \ rightarrow + \ infty } \ sum _ { k = 1 } ^ { n } \ frac { 1 } { n } \ sin \ frac { ( 2k - 1 ) } { 2n } \ pi = 13 . a , b , c 为 正 整数 , 一 \ sqrt { a + b } , \ sqrt { b + c } , \ sqrt { a + c } 为 三 个 连续 自然数 时 ， a ^ { 2

强 基 　 竞赛 ２０２２ 年 清华 大学 强 基 计划 测试 数学 第 １３ 题 的 解答 与 推广 吴 　 康 ( 华南 师范 大学 ) 令 ax 　 　 题目 　 ( ２０２２ 年 清华 大学 强 基 计划 测试 数学 第 n ＋ by n ＝ Sn ( n ∈ Z ) , x ＋ y ＝ u , xy ＝ １３ 题 ) 已知 ax ＋ by ＝ １ , ax ２ ＋ by ２ ＝ ２ , ax ３ ＋ by ３ ＝ ７ , v , 则 Sn ＋ ２ ＝ uSn ＋ １ － vSn ( n ∈ Z ) ． ax ４ ＋ by ４ ＝ １８ , 则 ax ５ ＋ by ５ ＝ ． 将 n ＝ ３ , ４ 代 入 , 可 得 据 学生 回忆 , ２０２０ 年 清华 大学 强 基 计划 测试 数学 ( １ － ２ ) u － ２ v ＝ ２ － ３２ , u ＝ ２ － ２ , 试题 共 ２０ 道 选择 题 , ２０２１ 年 情况 类似 ． 本 题 也 是 学生 ( ２ － ３２ ) u － ( １ － ２ ) v ＝ １２ － ９２ { ⇒ v ＝ ２ , { 回忆 版 , 真实 情况 待定 ． 如果 懂得 广义 二 阶 幂 和 式 的 故 S７ ＝ ( ２ － ２ ) ( １２ － ９２ ) － ２ ( ２ － ３２ ) ＝ ４８ － 递推 性质 , 可 在 ３ 分钟 内 解决 ． 以下 给 出 解答 与 推广 ． 令 ax ３２２ , S８ ＝ ( ２ － ２ ) ( ４８ － ３２２ ) － ２ ( １２ － ９２ ) ＝ n ＋ by n ＝ Sn ( n ∈ Z ) , x ＋ y ＝ u , xy ＝ １７８ － １２４２ , 则 S８ － S７ ＝ １３０ － ９２２ ． v , 则 Sn ＋ ２ ＝ uSn ＋ １ － vSn ( n ∈ Z ) ． 本 题 旨在 说明 当 起点 为 n ＝ ３ 时 解题 方法 也 n [ x ( 证明 : Sn ＋ ２ － uSn ＋ １ ＋ vSn ＝ ax ２ － x ( x ＋ 类似 ． n [ y y ) ＋ xy ] ＋ by ２ － y ( x ＋ y ) ＋ xy ] ＝ ０ ． ) 变 式 ３ 　 已知 a ＋ b ＝ － １ , ax ２ ＋ by ２ ＝ １ , ax ３ ＋ 将 n ＝ １ , ２ 代 入 , 可 得 by ì ３ ＝ ５ , ax ４ ＋ by ４ ＝ １７ , 则 ax ５ ＋ by ５ ＝ ． ï ï ï 令 ax u ＝ ４ n ＋ by n ＝ Sn ( n ∈ Z ) , x ＋ y ＝ u , xy ＝ ２u － v ＝ ７ , ３ , í v , 则 Sn ＋ ２ ＝ uSn ＋ １ － vSn ( n ∈ Z ) ． ７ u － ２ v ＝ １８ { ⇒ ï ï î v ＝ － １３ ３ , 将 n ＝ ０ , １ , ２ 代 入 , 可 得 关于 u , v , S１ 的 三元 二 次 方程 组 故 S５ ＝ uS ４ － vS３ ＝ ４ ì ３ × １８ － ( － １３ ３ ) × ７ ＝ １６３ ３ ． 本 题 有 多种 推广 方法 , 以下 自 编 问题 均 为 填 u ＝ ５１ ì ì １３ , 空 题 , 难度 中等 , 计算 量 适中 至 稍 大 , 可 供 类 uS １ ＋ v ＝ １ , u ＝ ３ , ï ï ï ï 或 í ï ï í í ï ï u － vS １ ＝ ５ , ⇒ v

1 、 有 六 面 旗 ， 两面 蓝 ， 两面 红 ， 两面 黄 ， 除 颜色 外 完全 相同 ， 从 这些 旗子 中 去除 若干 面 （ 至少 一面 ） ， 从 上 到 下 悬挂 在 同 一个 旗杆 上 ， 可以 组成 一个 信号 序列 ， 则 不同 的 信号 序列 共有 多少 种 ？ 2 、 已知 a ， x ， kR ， ln ( x + a ) kax = 0 对 任意 的 aR 恒 成立 ， 求 k 的 最小 值 3 、 11 个 黑球 ， 9 个 红 球 ， 依次 取出 ， 剩下 全 是 一 种 颜色 就 结束 ， 求 最后 只 剩下 红 球 的 概率 。 4 、 三 个 复数 的 模 分别 为 1 ， 5 ， 52 ， 且 这 三 个 复数 实 部 虚部 均 为 整数 ， 则 这 三 个 复数 的 积 有 多少 个 可能 值 。 225 、 椭圆 x4 + y3 = 1 ， F 为 左 焦点 ， A ， B 为 椭圆 上 两 点 且 FA = 5 ， FB = 8 ， 求 直线 AB 的 斜率 k 的 范围 。 an ， 求 使 该 数列 { an } 有 极限 的 x 的 最大 值 。 6 、 数列 an 满足 a1 = 32 ， an + 1 = x7 、 4 x + 1 + 9 x + 2 + 16x + 3 = ( 4 x + 5 ) ( 2 x ) 有 几 个 正 实数 解 ？ 8 、 已知 点 M ( 8 ， 1 ) ， 过 点 N ( 1 ， 0 ) 的 直线 L 上 有 一个 动 点 P ， 则 第 1 页 共 3 页 | PN | + 2 | PM | 的 最小 值 为 （ ） 9 、 两 个 人 甲 和 乙 ， 数字 为 230 之间 的 共 29 个 自然数 ， 现 找 出 两 个 不同 的 数 ， 把 其 和 告诉 甲 ， 把 其 和 告诉 乙 。 甲 说 ： “ 虽然 我 不 知道 是 哪 两 个数 ， 但是 肯定 乙 也 不 知道 ” ， 再 问 乙 ， 乙 说 ： “ 本来 我 不 知道 ， 但是 听到 甲 说 这 句 话 ， 现在 为 我 知道 了 ” ， 甲 听到 乙 说 他 知道 了 ， 然后 就 说 ： “ 现在 我 也 知道 了 ” ， 那么 这 两 个数 是 多少 ？ 10 、 p ， q 都 为 质数 ， p 整除 7 p + 1 ， q 整除 7 p + 1 ， 有 多少 组 p ， q11 、 正 整数 a ， b ， c ， x ， y ， z 满足 ： ax = b + c ， by = c + a ， cz = a + b ， 则 xyz 的 可能 值 有 （ ） 第 2 页 共 3 页

{ x3 } 的 可能 取值 为 0 ， 13 ； { x5 } 的 可能 取值 为 0 ， 15 ， 25 ， 35 ， 35 ， 因此 x30 的 可能 取值 有 2 × 3 × 5 = 30 种 可能 性 . 2 + b3 + c5 考虑 30a = 15a + 10b + 6c ， 其中 a , b , cZ . 因为 2 ， 3 ， 5 两两 互质 ， 容易 得到 15a + 10b + 6 ca ( mod 2 ) ， 15a + 10b + 6 cb ( mod 3 ) ， 15a + 10b + 6 cc ( mod 5 ) . 因此 方程 解 的 组 数 为 30 . 6 . 已知 m ， n 最大 公 约数 为 10 ! ， 最小 公 倍数 为 50 ! ， 数 对 ( m , n ) 的 组 数 为 ( ) . A . 29 B . 215C . 221 D . 218 答案 ： B . 解 ： 设 m = 10 ! × a ， n = 10 !

2022 年 清华 大学 强 基 计划 测试 数学 试题 考试 时间 2022 年 6 月 28 日 1 . x ( yz ) = xy + z , xx = 0 , 求 200020222 . a2 + b2 + c2 + d2 + e2 = 1 , 求 | ab ) + | bc ) + | cd ) + | de ) + | ea ) 的 最大 值 2 ) 的 最大 值 3 . 已知 复数 z 满足 | z ) = 1 , 求 | ( z2 ) ( z + 1 ) 4 . 在 复 平面 内 , 复数 z1 终点 在 1 + i 和 1 + ai 表示 两 点 连成 的 线段 上 移动 , | z2 ) = 1 , 若 z = z1 + z2 在 复 平面 上 表示 的 点 围 成 的 面积 为 π + 4 , 则 a 的 可能 值 为 （ ） 5 . 已知 一个 空间 几何 体 三 视图 如下 , 都 为 中点 最大 边长 为 2 , 求 这 个 几何 体 可能 的 体积 A . 236 B . 133 C . 3D . 46 . 对于 xR , f ( x ) 满足 f ( x ) + f ( 1 x ) = 1 , f ( x ) = 2f ( x5 ) , 且 对于 0 x1 x21 , 恒 有 f ( x1 ) f ( x2 ) 1 , 则 f ( 2022 ) = . 7 . 用 蓝色 和 红色 给 一 排 10 个 方格 染色 , 则 不 超过 ( 忘记 是 不 超过 还是 不 少于 ) 三 个 相邻 块 颜色 相同 的 方法 种 数 为 A . 504 B . 505 第 1 页 共 9 页 C . 506D . 5072 最小 值 为 2 + b2 + c8 . 对于 三 个 正 整数 a , b , c , 有 a + b , b + c , c + a 为 三 个 连续 正 整数 , 则 a . 9 . 已知 a2 ab 的 最大 值 和 最小 值 . 2 + ab + b2 = 3 , 求 a2 + b ( 2 k1 ) π n110 . lim } nnsin 2n = . k = 122 ) 11 . 曲线 C : ( x2 y2 y3 = 16 xA . 曲线 C 仅 过 ( 0 , 0 ) 一个 整点 B . 曲线 C 上 的 点距 原点 最大 距离 为 2C . 曲线 C 围 成 的 图形 面积 大于 4 π D . 曲线 C 为 轴 对称 图形 12 . 任意 四边形 ABCD , AC = a , BD = b , 则 ( AD + BC ) ( AB + DC ) = （ 用 a , b 表示 ) 13 . 已知 ax + by = 1 , ax 2 + by 2 = 2 , ax 3 + by 3 = 7 , ax 4 + by 4 = 18 , 则 ax 5 + by 5 = . 2022 年 清华 大学 强 基 计划 校测 数学 试题 答案 1 . 若 x ( yz ) = xy + z , xx = 0 , 求 20002022 【 解析 】 新 定义 题型 x = 2000 y = 2022 , 于是 有 由于 变量 的 任意 性 , 不妨 带入 { z = 2022 ) 2000 ( 20222022 ) = 20000 = 20002022 + 2022 即 20000 = 20002022 + 20221 . 1 x = 2000 y = 2000 , 则 有 再 代 入 { z = 2000 ) 2000 ( 20002000 ) = 20000 = 20002000 + 2000 = 2000 即 20000 = 20001 . 2 由 1 . 1 , 1 . 2 知 第 2 页 共 9 页 20002022 + 2022 = 2000 因此 , 20002022 = 22 . 2 . a2 + b2 + c2 + d2 + e2 = 1 , 求 | ab ) + | bc ) + | cd ) + | de ) + | ea ) 的 最大 值 . 【 解析 】 不等式 问题 袁逸凡 解答 对于 | ab ) | a ) + | b ) , 其 取 等 条件 为 a 、 b 异 号 或 至少 其中 一个 为 0 , 不妨 设 a0 , 则 b0 , 同理 可 得 | bc ) | b ) + | c ) , | cd ) | c ) + | d ) 当 以上 不等式 都 取 等 时 , 则 有 a0 , b0 , c 0 , d 0 , e 0 令 ae , 于是 有 | ab ) + | bc ) + | cd ) + | de ) + | ea ) = 2a 2b + 2c 2d } 2 a2 + b2 + c2 + d 因为 | a ) + | b ) + | c ) + | d ) 4 , 所以 有 42 ) 42 + b2 + c2 + d2 ( | a ) + | b

求 满足 的 整点 的 个数 . 2 . 均 为 正数 ， 则 的 最大 ， 最小 值 是否 存在 ？ 是 多少 ？ 3 . 点 集 且 ， 则 由 中 的 点 可以 组成 多少 个 不同 的 三角形 ？ 4 . 抛物 线 ， 焦点 为 ． 过 焦点 的 直线 交 于 两 点 ． 过 作 平行 于 点 切线 的 直线 交 于 点 ， 交 轴 于 点 ． 设 ， 则 （ ） A . ． B . 的 最大 值 为 16 ． C . D . 5 . 非 负 ， 则 的 最大 值 和 最小 值 是否 存在 ？ 是 多少 ？ 则 （ ） A . 若 有 两 个 解 ， 则 ． B . 若 有 最小 值 ， 则 ． C . 若 有 最小 值 ， 则 ． D . 若 有 两 个 解 ， 则 ． 的 7 . 圆 上 7 点 所 成 线段 中 任 取 两 条 ， 这 两 条 线段 无 公共 点 概率 为 ？ 8 . 复 方程 的 所有 复数 根 的 平方 和 为 ？ 9 . 已知 ， 则 可以 是 （ ） 第 1 页 / 共 4 页 学科 网 （ 北京 ） 股份 有限 公司 A . B . C . D . 10 . 在 有 解 ， 则 可能 的 取值 为 ？ 11 . 在内 有 三 个 不等 实 根 ， 则 的 取值 范围 ？ 12 . ， 则 （ ） A . B . C . D . 13 . 已知 复数 满足 ， ， 则 的 最小 值 为 ？ 14 . 四面体 中 ， . 求 与 所 成 角 余弦 的 最 值 ． 15 . 正 四面体 中 ， 棱 长 为 ． 点 满足 ， 则 的 （ ） 为 A . 最小 值 ． B . 最大 值 为 C . 最小 值 为 D . 最大 值 为 16 . 已知 正方体 ， 初始 时 与 重合 ， 每 一步 都 等 可能 得 移动 到 相邻 顶点 ， 记 移动 步 后 仍 在 面上 的 概率 为 ， 则 （ ） A . 移动 步 后 ， 仍 在 点 的 概率 为 第 2 页 / 共 4 页 学科 网 （ 北京 ） 股份 有限 公司 B . C . D . 与 的 递推 式 为 17 则 （ ） A . B . C . D . 18 . 复数 列 ， 且 ， 则 的 最大 值 是 _ ． 19 . 某 区域 仅 有 东西 向 或 南北 向 道路 ， 某人 从 区域 中心 出发 后 又 回到 起点 ， 且 路途 中 不 经过 重复 区域 ， 已知 此 人 左 转 次 ， 则 其 右 转 次数 可以 是 （ ） A . B . C . D . 20 . 正 整数 均 不 大于 ， 且 满足 ． 求 满足 这样 条件 的 的 组 数 ． 21 . 的 所有 极值 点 依次 为 的 ， 则 _ ． 22 . 有 零点 ， 则 的 最小 值 为 多少 . 第 3 页 / 共 4 页 学科 网 （ 北京 ） 股份 有限 公司 23 . 1 . 是 在 上 的 连续 函数 , 设 , 则 A . B . C . D . . 24 . 双 曲线 ， 斜率 为 的 直线 与 交 于 两 点 ， 点 在 上 ， 且 ， 的 外心 为 ， 的 重心 为 ， 的 重心 为 ， ， 则 的 离心 率 _ ． 25 . ， 使得 的 解 的 组 数 有 _ 组 ． 26 . ， 则 等于 多少 ？ 比较 与 . 第 4 页 / 共 4 页 学科 网 （ 北京 ） 股份 有限 公司

清华 大学 2020 年 强 基 计划 数学 试题 解析 Penny 阿不 1 . 已知 实数 x , y 满足 x2 y 21 , 则 x2 xyy 2 的 最大 值 为 ( ) A . 1 B . 5D . 22 C . 103 答案 . B . 简析 1 . 由 AM - GM 不等式 , 得 xx 2 x2 - y 25252 yx 2 - y 225 x + y 25 . y 2222252521 时 取 等号 . 上 式 当 x1 ， y 10451045 即 原 式 的 最大 值 为 5 . 2 简析 2 . 设 xrcos , yrsin , 其中 r1 , R , 则 222 r 215 . xxyy = rcos 2 sin 2 cos 2 sin 22221 时 取 等号 . ， sin 1 上 式 当 r = 1 , cos 10451045 即 原 式 的 最大 值 为 5 . 22 . 设 a , b , c 为 正 实数 , 若 一元 二 次 方程 ax 2 bxc 0 有 实 根 , 则 ( ) A . maxa , b , c ( abc ) B . maxa , b , c ( abc ) 1249 C . maxa , b , c ( abc ) 14 D . maxa , b , c1 ( abc ) 3 答案 . BCD . 简析 . 依 题意 , 有 b 24 ac . 由 齐 次 性 不妨 设 abc 1 . 首先 证明 : maxa , b , c ( abc ) . 14 由 对称 性 不妨 设 ac . 则 b 24 ac 4 c 2 b2c . 故 1 ab + cc 2cc 4 cc . 14 当 ac , b 时 , 符合 题意 . 1412 即 命题 得 证 . 又 注意 到 , 则 选项 CD 均 成立 . 1413 其次 证明 : maxa , b , c ( abc ) . 49 若 b , 则 命题 得 证 . 49 当 b = c , a 时 , 符合 题意 . 4919 若 b , 则 ac 1 b . 4959 又 注意 到 b 24 ac , 则 16145144 ac 4 aaaa 0 a0 8199999 若 a , , 则 命题 得 证 . 49154 若 a0 , , 此时 ca , 则 命题 得 证 . 999 又 注意 到 , 则 选项 A 不 成立 . 12493 . 已知 平面 向量 a , b , c 满足 a2 , b1 , a2 bca 2b , 则 对 所有 可能 的 c , c 的 ( ) A . 最大 值 为 42B . 最大 值 为 26 C . 最小 值 为 0 D . 最小 值 为 2 答案 . AC . 简析 . 当 ab 时 , 有 a2 ba 2b . 令 c 0 , 得 c = 0 . 由 三角 不等式 , 得 a2 ba 2 bcca 2 bca 2 ba 2b . 再 由 Cauchy 不等式 , 得 ca 2 ba 2 b2 a2 ba 2b 22224 a 216 b 32c 422 当 ab ， a2 b2 ， 且 c = a + 2b 时 取 等号 . 综 上 , c 的 最小 值 为 0 , 最大 值 为 42 . 4 . 在 ABC 中 , AC = 1 , BC = 3 , AB = 2 , 设 M 为 AB 中点 , 现 将 ABC 沿 CM 折 起 , 使 2 , 则 折 起 后 AB 的 长度 可能 为 ( ) 得 四面体 B - ACM 的 体积 为 12A . 1 B . 2C . 3D . 2 答案 . BC . 简析 . 设 点 B 在 底面 的 射影 为 点 D , 则 11326 . VBACMSACM · BDBDBD 334123 注意 到 BD 3 , 因此 满足 题意 的 点 B 有 两 个 . 2 二面角 B - MC - A 的 平面 角 为 钝角 . 由 勾股 定理 , 得 DMBM 2 BD 2321 , CDBC 2 BD 2 . 33 在 DMC 中 , 由 余弦 定理 , 得 DM 2 MC 2 CD 23 cosDMCDMC 150 . 2 DM ? MC 2 则 AMD = 180 ° - AMC - DMC = 150 ° . 在 DMA 中 , 由 余弦 定理 , 得 7 AD 2 MA 2 MD 2 - 2 ? MA · MD · cos 150 = . 3 再 由 勾股 定理 , 得 ABAD 2 BD 23 . 二面角 B - MC - A 的 平面 角 为 锐角 . 同理 , 得 AB 2 . 综 上 , AB 可以 等于 2 或 3 . x2 y5 . 已知 Р 为 椭圆 1 上 的 动 点 , 且 A ( 1 ， 1 ) , Q ( 1 , 0 ) , 则 | PA | + | PQ | 的 ( ) 43 A . 最大 值 为 43 B . 最大 值 为 45 C . 最小 值 为 43 D . 最小 值 为 45 答案 . BD . 简析 .

本 试卷 共 35 题 , 每 一道 题 均 为 不定 项 1 . 甲 乙 丙 丁 四 人 共同 参加 4 项 体育 比赛 , 每 项 比赛 第 一 名 到 第 四 名 的 分数 依次 为 4 、 3 、 2 、 1 分 . 比赛 结束 甲 获得 14 分 第 一 名 , 乙 获得 13 分 第 二 名 , 则 ( ) . A . 第 三 名 不 超过 9 分 B . 第 三 名 可能 获得 其中 一 场 比赛 的 第 一 名 C . 最后 一 名 不 超过 6 分 D . 第 四 名 可能 一 项 比赛 拿 到 3 分 2 . 定义 x * y = \ frac { x + y } { 1 + xy } , 则 ( \ dotsc ( ( 2 * 3 ) * 4 ) \ dotsc ) * 21 = ( ) . 13 . 已知 \ omega = \ cos \ frac { \ pi } { 5 } + i \ sin \ frac { \ pi } { 5 } , 则 ( ) . A . x ^ { 4 } + x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + x + 1 = ( x - \ omega ) ( x - \ omega ^ { 3 } ) ( x - \ omega ^ { 7 } ) ( x - \ omega ^ { 9 } ) B . x ^ { 4 } - x ^ { 3 } + x ^ { 2 } - x + 1 = ( x - \ omega ) ( x - \ omega ^ { 3 } ) ( x - \ omega ^ { 7 } ) ( x - \ omega ^ { 9 } ) C . x ^ { 4 } - x ^ { 3 } - x ^ { 2 } + x + 1 = ( x - \ omega ) ( x - \ omega ^ { 3 } ) ( x - \ omega ^ { 7 } ) ( x - \ omega ^ { 9 } ) D . x ^ { 4 } + x ^ { 3 } + x ^ { 2 } - x - 1 = ( x - \ omega ) ( x - \ omega ^ { 3 } ) ( x - \ omega ^ { 7 } ) ( x - \ omega ^ { 9 } ) C . ( \ frac { 3 \ sqrt { 2 } } { 2 } ) D . ( - \ infty , \ frac { 3 \ sqrt { 2 } } { 2 } ) 5 . 已知 [ x ] 为 高斯 函数 , [ \ frac { x } { 2 } ] + [ \ frac { x } { 3 } ] + [ \ frac { x } { 5 } ] = x 解 的 组 数 为 ( ) . A . 30C . 50D . 606 . 已知 m , n 最大 公 约数 为 10 ! , 最小 公 倍数 为 501 , 数 对 ( m , n ) 的 组 数 为 ( ) . A . 2 ^ { 9 } B . 2 ^ { 15 } C . 2 ^ { 21 } D . 2 ^ { 18 } 7 . 设 a 为 常数 , f ( 0 ) = \ frac { 1 } { 2 } , f ( x + y ) = f ( x ) f ( a - y ) + f ( y ) f ( a - x ) , 则 ( ) A.f ( a ) = \ frac { 1 } { 2 } B . f ( x ) = \ frac { 1 } { 2 } 恒 成立 C . f ( x + y ) = 2f ( x ) f ( y ) D . 满足 条件 的 f ( x ) 不止 一个 428 . 已知 四面体 D - ABC 中 ， AC = BC = AD = BD = 1 , 则 D - ABC 体积 的 最大 值 为 ( ) . A . \ frac { 4 \ sqrt { 2 } } { 27 } B . \ frac { 3 \ sqrt { 2 } } { 8 } C . \ frac { 2 \ sqrt { 3 } } { 27 } D . \ frac { \ sqrt { 3 } } { 18 } 9 . 在 \ triangle ABC 中 , D 为 BC 的 中点 , \ angle CAD = 15 ^ { \ circ } , 则 \ angle ABC 的 最大 值 为 ( ) . A . 120 ^ { \ circ } B . 105 ^ { \ circ } C . 90 ^ { \ circ } D . 60 ^ { \ circ } 10 . 已知 非 负 实数 a , b , c 满足 a + b + c = 1 , a ^ { 2 } ( b - c ) + b ^ { 2 } ( c - a ) + c ^ { 2 } ( a - b ) 的 最大 值 为 ( ) . 11 . 已知 A _ { 1 } , A _ { 2 } , \ cdots , A _ { 10 } 十 等 分 圆周 , 则 在 其中 取 四 点 构成 凸 四边形 为 梯形 个数 为 ( ) . A . 60 B . 45 C . 40D . 5012 . 已知 f ( x ) = \ sin x \ cos x + \ sin x + \ frac { 2 } { 5 } \ cos x , x \ in [ 0 , \ frac {

2020 年 清华 大学 强 基 计划 数学 试题 共 35 道 选择 题 ， 为 不定 项 选择 题 ． 1 ． 若 ， 则 的 取值 范围 是 设 ， ， 为 正 实数 ， 若 一元 二 次 方程 有 实 根 ， 则 （ ） A ． 3 . 在 非 等 边 中 ， ， 若 和 分别 为 的 外心 和 内心 ， 在线 段 上 ， 且 满足 ， 则 下列 选项 正确 的 是 四 点 共 圆 B ． 已知 集合 ， 且 ， 则 有序 集合 组 的 个数 是 已知 数列 满足 ， ， 则 的 值 可能 是 10D ． 126 ． 已知 点 在 椭圆 上 则 的 最大 值 是 67 ． 已知 为 双 曲线 上 一点 （ 非 顶点 令 ， ， 下列 表达 式 为 定 值 的 是 甲 、 乙 、 丙 三 位 同学 讨论 同 一道 数学 竞赛 题 ， 甲 说 ： “ 我 做 错 了 ． ” 乙 说 ： “ 甲 做 对 了 ． ” 丙 说 ： “ 我 做 错 了 ． ” 老师 看 过 他们 的 答案 并 听 了 他们 的 上述 对话 后 说 ： “ 你们 仅 有 一 人 做 对 且 仅 有 一 人 说谎 了 ” ， 则 根据 以上 信息 可以 推断 甲 做 对 了 B ． 乙 做 对 了 C ． 丙 做 对 了 D ． 无法 确定 谁 做 对 了 9 ． 在 中 则 下列 说法 正确 的 是 10 ． 求 值 11 ． 从 0 到 9 这 十 个数 中 任 取 五 个数 组成 一个 五 位数 （ 可以 等于 0 ） ， 则 的 概率 为 12 ． 随机 变量 ， ， 满足 ， 且 ， 则 13 ． 已知 向量 ， ， 满足 则 下列 说法 正确 的 是 的 最大 值 为 B ． 最大 值 为 C ． 的 最小 值 为 0 D ． 的 最小 值 为 214 ． 若 存在 ， ， 使得 与 均 为 完全 平方 数 ， 则 正 整数 可能 取值 为 615 ． 116 ． 已知 正 四 棱锥 中 ， 相邻 两 侧面 构成 的 二面角 为 ， 侧 棱 与 底面 夹角 为 ， 则 17 ． 已知 函数 ， 则 的 最大 值 与 最小 值 的 和 是 418 ． 已知 函数 的 图像 如 图 所 示 ， 的 图像 与 直线 ， ， 轴 围 成 图形 的 面积 为 ， 则 下列 说法 正确 的 是 19 ． 我们 称 数列 为 “ 好 数列 ” ， 若 对 任意 存在 ， 使得 ， 其中 则 下列 说法 正确 的 是 若 ， 则 数列 为 “ 好 数列 ” B ． 若 （ 为 常数 ） ， 则 数列 为 “ 好 数列 ” C ． 若 ， 均 为 “ 好 数列 ” ， 则 为 等 差 数列 D ． 对 任意 等 差 数列 ， 存在 “ 好 数列 使 20 ． 21 . 在 中 设 为 中点 ， 现 将 沿 折 起 ， 使得 四面体 的 体积 为 ， 则 折 起 后 的 长度 可能 为 （ ） A ． 222 ． 设 复数 ， 在 复 平面 内 对应 的 点 分别 为 ， ， 为 坐标 原点 ， 若 ， ， 则 的 面积 为 （ ） A ． 23 ． 使得 成立 的 最小 正 整数 等于 （ ） A ． 624 ． 已知 实数 ， ， 满足 ， 则 （ ） A ． 有 1 组 B ． 有 4 组 C 均 为 有理数 D 均 为 无理 数 25 ． 设 实数 满足 ， 则 的 最大

的 个数 为 _ . x _ { 0 } 2 . 设 y _ { n } = 122 \ cdots 21 . 若 10 ^ { 9 } - 1 \ mid y _ { n } , 则 n 的 最小 值 为 _ . 8 . 已知 a 、 b 、 c 是 三 个 不 全 相等 的 实数 且 满足 a = ab + c 、 b = bc + a 、 c = ca + b . 则 a + b + c = \ _ . 9 . 如 图 ， AD 为 \ triangle ABC 中 A 的 平分 线 . 过 A 作 AD 的 垂线 AH , 过 C 作 CE / / AD 交 AH 于 点 E . 若 BE 与 AD 交 于 点 F ， 且 AB = 6 , AC = 8 , BC = 7 . 则 CF = \ _ . BD ， FCEG 10 . 如果 一个 十 位数 F 的 各位 数字 之 和 为 81 , 则 称 F 是 一个 “ 小 猿 数 ” . 则 小 猿 数 的 个数 为 _ . 11 . 设 a _ { n } 是 与 \ sqrt { \ frac { n } { 2 } } 的 差 的 绝对 值 最小 的 整数 ， bb _ { n } 是 与 \ sqrt { 2n } 的 差 的 绝对 值 3 最小 的 整数 . 记 \ { \ frac { 1 } { a _ { n } } \ } 的 前 n 项 和 为 S _ { n } , \ { \ frac { 1 } { b _ { n } } \ } 的 前 n 项 和 为 T ， . 则 2T _ { 100 } - S _ { 100 } 的 值 为 _ . 12 . 设 正 整数 n \ le 2021 , 且 n ^ { 5 } - 5 n ^ { 3 } + 4 n + 7 是 完全 平方 数 . 则 可能 的 n 的 个数 为 _ . 13 . 方程 x ^ { 2 } - 2 xy + 3 y ^ { 2 } - 4 x + 5 = 0 的 整数 解 的 组 数 为 _ . 14 . 现有 7 把 钥匙 和 7 把 锁 . 用 这些 钥匙 随机 开锁 , 则 D _ { 1 } , D _ { 2 } , D _ { 3 } 这 三 把 钥匙 不 能 打开 对应 的 锁 的 概率 是 _ . 15 . 设 正 整数 m ， n 均 不 大于 2021 ， 且 \ frac { m } { n + 1 } < \ sqrt { 2 } < \ frac { m + 1 } { n } . 则 这样 的 数 组 ( m ， n ) 个数 为 _ 。 对于 一 杆 ， 长 3m ， 放 于 x \ in [ - 1 , 2 ] 间 ， 且 线 密度 满足 \ beta = 2 + x , 则 质心 位于 ( ) . A . \ frac { 2 } { 15 } B . \ frac { 2 } { 5 } C . \ frac { 3 } { 5 } D . \ frac { 4 } { 5 } 1121 . 有限 项 等 差 数列 公差 为 4 , 第 二 项 起 各项 的 和 加 首 项 的 平方 小于 100 , 则 该 数列 最 多可 有 _ 项 . 2021 复旦 大学 强 基 计划 数学 试题 1 . ( 微 信 公众 号 ： 乐 思 数学 研究 ) 命题 p : “ \ triangle ABC 的 内心 与 外心 重合 ” 是 命题 q : “ \ triangle ABC 是 正 三角形 ” 的 什么 条件 ? 122 . 已知 f ( x ) 周期 为 1 ， 则 命题 p : “ f ( x ) + f ( x + \ sqrt { 3 } ) = 2 ” 是 命题 q : “ f ( x ) 恒 为 1 " 的 什么 条件 ? 3 . AD 是 \ triangle ABC 的 角 平分 线 ， AB = 3 , AC = 8 , BC = 7 , 求 AD 的 长 . 4 . 求 ( x ^ { 2 } + \ frac { 1 } { xy } + y ^ { 4 } + \ frac { 1 } { y ^ { 2 } } ) ^ { 8 } 的 常数 项 . 5 . 已知 0 \ le n \ le 18 , 19 m + n = 2021 ^ { 2022 } , 则 n = \ _ . 6 . 已知 F _ { 1 } , F _ { 2 } 分别 是 椭圆 的 左右 焦点 , B 为 椭圆 上 一点 , 延长 F , B 到 F _ { 2 } B 点 A ， 满足 BF _ { 1 } = BA , AF _ { 1 } 的 中点 为 H ， 则 下列 两 AB 个 结论 是否 正确 ： # ' > 结论 1 ： AF _ { 1 } \ bot B

一 、 解答 题 ( 其中 第 9 题 包含 解题 视频 ， 可 扫描 页眉 二维 码 ， 点击 对应 试题 进行 查看 ) 1 . x \ le ( y \ le z ) = x \ le y + z , x \ le x = 0 , 求 200082022 . 2 . a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } + d ^ { 2 } + e ^ { 2 } = 1 , 求 \ mid a - b \ mid + \ mid b - c \ mid + \ mid c - d \ mid + \ mid d - e \ mid + \ mid e - a \ mid 的 最大 值 . 第 1 页 / 共 12 页 3 . 已知 复数 z 满足 | z | = 1 , 求 \ mid ( z - 2 ) ( z + 1 ) ^ { 2 } \ mid 的 最大 值 . 4 . 在 复 平面 内 ， 复数 z 终点 在 1 + i 和 1 + ai 表示 两 点 连成 的 线段 上 移动 , \ mid z _ { 2 } \ mid = 1 , z = z _ { 1 } + z _ { 2 } 在 复 平面 上 表示 的 点 围 成 的 面积 为 \ pi + 4 , 则 a 的 可能 值 为 _ . 第 2 页 / 共 12 页 5 . 已知 一个 空间 几何 体 三 视图 如 图 ， 都 为 中点 最大 边长 为 2 ， 求 这 个 几何 体 可能 的 体积 ( ) A . \ frac { 23 } { 6 } B . \ frac { 13 } { 3 } C . 3D . 46 . 对于 xR , f ( x ) 满足 f ( x ) + f ( 1 - x ) = 1 , f ( x ) = 2f ( \ frac { x } { 5 } ) , 且 对于 0 \ le x _ { 1 } \ le x _ { 2 } \ le 1 , 恒 有 f ( x _ { 1 } ) \ le f ( x _ { 2 } ) , 则 f ( \ frac { 1 } { 2022 } ) = \ _ . 第 3 页 / 共 12 页 7 . 用 蓝色 和 红色 给 一 排 10 个 方格 染色 , 则 至多 2 个 蓝色 相邻 的 方法 数 为 _ . 8 . 对于 三 个 正 整数 a , b , c , 有 \ sqrt { a + b } , \ sqrt { b + c } , \ sqrt { c + a } 为 三 个 连续 正 整数 , a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } 最小 值 为 _ 。 9 . 已知 a ^ { 2 } + ab + b ^ { 2 } = 3 , 水 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - ab 的 的 最大 值 和 最小 值 . 第 4 页 / 共 12 页 × JYECO 10 . n \ rightarrow \ infty \ sum _ { k = 1 } ^ { n } \ frac { 1 } { n } \ sin \ frac { ( 2k - 1 ) \ pi } { 2n } = \ _ . 11 . 曲线 CC : ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { 3 } = 16x ^ { 2 } y ^ { 2 } ( ) A . 曲线 C 仅 过 ( 0 , 0 ) 一个 整点 B . 曲线 C 上 的 点距 原点 最大 距离 为 2C . 曲线 C 围 成 的 图形 面积 大于 4 π D . 曲线 C 为 轴 对称 图形 第 5 页 / 共 12 页 × JYECO 12 . 任意 四边形 AB \ overrightarrow { AC } = \ overrightarrow { a } , \ overrightarrow { BD } = \ overrightarrow { b } , 则 ( ( AD + BC ) ( AB + DC ) = \ overrightarrow { a } , \ overrightarrow { b } 示 ) . 13 . 已知 ax + by = 1 , ax ^ { 2 } + by ^ { 2 } = 2 , ax ^ { 3 } + by ^ { 3 } = 7 , ax ^ { 4 } + by ^ { 4 } = 18 则 ax ^ { 5 } + by ^ { 5 } = \ _ . 第 6 页 / 共 12 页 2022 年 北京 市 清华 大学 强 基 校测 数学 试卷 ( 答案 6 解析 ) 一 、 解答 题 ( 其中 第 9 题 包含 解题 视频 ， 可 扫描 页眉 二维 码 ， 点击 对应 试题 进行 查看 ) 1 . 解 : \ because x \ le ( y6 z ) = x6 y + z , x8 x = 0 , 由 变量 的 任意 性 , 代 \ cases { x = 2000 \ cr y = 2022 \ cr z

2020 年 清华 大学 强 基 计划 数学 试题 ( 1 ~ 10 ) 解析 1 . 若 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \ le 1 , 则 x ^ { 2 } + xy - y ^ { 2 } 的 取值 范围 是 A . [ - \ frac { \ sqrt { 3 } } { 2 } , \ frac { \ sqrt { 3 } } { 2 } ] B . [ - 1 , 1 ] C . [ - \ frac { \ sqrt { 5 } } { 2 } , \ frac { \ sqrt { 5 } } { 2 } ] D . [ - 2 , 2 ] 【 答案 】 C 【 解析 】 令 x = r \ cos \ alpha , y = r \ sin \ alpha , 0 \ le r \ le 1 则 x ^ { 2 } + xy - y ^ { 2 } = r ^ { 2 } ( \ cos 2 \ alpha + \ frac { 1 } { 2 } \ sin 2 \ alpha ) = \ frac { \ sqrt { 5 } } { 2 } r \ sin ( 2 \ alpha + \ varphi ) \ in 2 . 在 非 等 边 三角形 ABC 中 ， CA = CB , 若 O 、 P 分别 为 \ triangle ABC 的 外心 和 内心 , 点 D 在线 段 BC 上 ， 且 满足 OD \ perp BP , 则 下列 说法 正确 的 是 A . BDOP 四 点 共 圆 B . OD / / AC C . OD / IAB D . PD / / AC C 2 O H ~ ? P 2 2 【 答案 】 AD 【 解析 】 由 \ angle HOP = \ angle ABP = \ angle PBD ) 得 BDOP 四 点 共 圆 ， 故 A 正确 ； 由于 三角形 不等 边 ， 故 AC 与 BP 不 垂直 ， 而 OD \ perp BP , 所以 OD 与 AC 不 平行 ， 因此 B 错误 ； C 显然 不对 由 A 中 四 点 共 圆 知 : \ angle BDP = \ angle BOP = \ angle BCO + \ angle OBC = 2 \ angle BCO = \ angle BCA 故 PDIIAC , 即 D 正确 .