2020 年 清华 大学 强 基 计划 数学 试题 ( 1 ~ 10 ) 解析 1 . 若 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \ le 1 , 则 x ^ { 2 } + xy - y ^ { 2 } 的 取值 范围 是 A . [ - \ frac { \ sqrt { 3 } } { 2 } , \ frac { \ sqrt { 3 } } { 2 } ] B . [ - 1 , 1 ] C . [ - \ frac { \ sqrt { 5 } } { 2 } , \ frac { \ sqrt { 5 } } { 2 } ] D . [ - 2 , 2 ] 【 答案 】 C 【 解析 】 令 x = r \ cos \ alpha , y = r \ sin \ alpha , 0 \ le r \ le 1 则 x ^ { 2 } + xy - y ^ { 2 } = r ^ { 2 } ( \ cos 2 \ alpha + \ frac { 1 } { 2 } \ sin 2 \ alpha ) = \ frac { \ sqrt { 5 } } { 2 } r \ sin ( 2 \ alpha + \ varphi ) \ in 2 . 在 非 等 边 三角形 ABC 中 ， CA = CB , 若 O 、 P 分别 为 \ triangle ABC 的 外心 和 内心 , 点 D 在线 段 BC 上 ， 且 满足 OD \ perp BP , 则 下列 说法 正确 的 是 A . BDOP 四 点 共 圆 B . ODIIACC . OD / IABD . PD / IACCD 0 H . ? PA 3 【 答案 】 AD 【 解析 】 由 \ angle HOP = \ angle ABP = \ angle PBD 得 BDOP 四 点 共 圆 , 故 A 正确 ； 由于 三角形 不等 边 ， 故 AC 与 BP 不 垂直 ， 而 OD \ perp BP , 所以 OD 与 AC 不 平行 ， 因此 B 错误 ； C 显然 不对 由 A 中 四 点 共 圆 知 ： \ angle BDP = \ angle BOP = \ angle BCO + \ angle OBC = 2 \ angle BCO = \ angle BCA 故 PD \ | AC , 即 D 正确 . 3 . 已知 集合 A , B , C \ subseteq \ { 1 , 2 , 3 , \ cdots , 2020 \ } , 且 A \ subseteq C , B \ subseteq C , 则 有序 集合 组 ( A ， B ， C ) 的 个数 是 A . 2 ^ { 2020 } B . 3 ^ { 2020 } C . 4 ^ { 2020 } D . 5 ^ { 2020 } 【 答案 】 D 【 解析 】 由 题意 ， 等价 于 将 1 ~ 2020 填 入 下 图 五 个 互不 相交 的 区域 ： I ， II ， III ， IV , V , 则 由 乘法 原理 知 , 共有 5 ^ { 2020 } 种 填 法 ， 即 为 有序 集合 组 的 个数 . CBA 1 IIIIIIVV 4 . 已知 数列 \ { a _ { n } \ } 满足 a _ { 0 } = 0 , \ mid a _ { i + 1 } \ mid = \ mid a _ { i } + 1 \ mid ( i \ in N ) , 则 A = | \ sum _ { k = 1 } ^ { 20 } a _ { k } 的 值 可能 是 A . 0 B . 2C . 10D . 12 【 答案 】 BC 【 解析 】 摆动 数列 ( 从 第 一 项 开始 ) : - 1 , 0 , - 1 , 0 , \ dotsc 符合 题意 , 故 C 为 可能 值 ; 数列 ( 从 第 一 项 开始 ) ： - 1 , 0 , - 1 , 0 , \ dotsc , 1 , 2 , 3 , 44 符合 题意 , 故 B 为 可能 值 ; 观察 树状 图 ， 数列 从 第 一 项 开始 ， 每 四 项 和 的 绝对 值 在 模 4 意义 之 下 均 为 2 ， 从 第 一 项 到 第 二 十 项 和 的 绝对 值 在 模 4 意义 下 也 为 2 , 故 AD 均 不 可能 . 5 . 已知 点 P 在 椭圆 \ frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \ frac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1A ( 1 , 0 ) , B ( 1 , 1 ) , 则 \ mid PA \ mid + \ mid PB \ mid 的 最大 值 是 A . 4B . 4 + \ sqrt { 3 } C . 4 + \ sqrt { 5 } D . 6 【 答案 】 C 【 解析 】 点 A 为 右 焦点 ,

清华 大学 2020 年 强 基 计划 数学 试题 解析 Penny 阿不 1 . 已知 实数 x , y 满足 x2 y 21 , 则 x2 xyy 2 的 最大 值 为 ( ) A . 1 B . 5D . 22 C . 103 答案 . B . 简析 1 . 由 AM - GM 不等式 , 得 xx 2 x2 - y 25252 yx 2 - y 225 x + y 25 . y 2222252521 时 取 等号 . 上 式 当 x1 ， y 10451045 即 原 式 的 最大 值 为 5 . 2 简析 2 . 设 xrcos , yrsin , 其中 r1 , R , 则 222 r 215 . xxyy = rcos 2 sin 2 cos 2 sin 22221 时 取 等号 . ， sin 1 上 式 当 r = 1 , cos 10451045 即 原 式 的 最大 值 为 5 . 22 . 设 a , b , c 为 正 实数 , 若 一元 二 次 方程 ax 2 bxc 0 有 实 根 , 则 ( ) A . maxa , b , c ( abc ) B . maxa , b , c ( abc ) 1249 C . maxa , b , c ( abc ) 14 D . maxa , b , c1 ( abc ) 3 答案 . BCD . 简析 . 依 题意 , 有 b 24 ac . 由 齐 次 性 不妨 设 abc 1 . 首先 证明 : maxa , b , c ( abc ) . 14 由 对称 性 不妨 设 ac . 则 b 24 ac 4 c 2 b2c . 故 1 ab + cc 2cc 4 cc . 14 当 ac , b 时 , 符合 题意 . 1412 即 命题 得 证 . 又 注意 到 , 则 选项 CD 均 成立 . 1413 其次 证明 : maxa , b , c ( abc ) . 49 若 b , 则 命题 得 证 . 49 当 b = c , a 时 , 符合 题意 . 4919 若 b , 则 ac 1 b . 4959 又 注意 到 b 24 ac , 则 16145144 ac 4 aaaa 0 a0 8199999 若 a , , 则 命题 得 证 . 49154 若 a0 , , 此时 ca , 则 命题 得 证 . 999 又 注意 到 , 则 选项 A 不 成立 . 12493 . 已知 平面 向量 a , b , c 满足 a2 , b1 , a2 bca 2b , 则 对 所有 可能 的 c , c 的 ( ) A . 最大 值 为 42B . 最大 值 为 26 C . 最小 值 为 0 D . 最小 值 为 2 答案 . AC . 简析 . 当 ab 时 , 有 a2 ba 2b . 令 c 0 , 得 c = 0 . 由 三角 不等式 , 得 a2 ba 2 bcca 2 bca 2 ba 2b . 再 由 Cauchy 不等式 , 得 ca 2 ba 2 b2 a2 ba 2b 22224 a 216 b 32c 422 当 ab ， a2 b2 ， 且 c = a + 2b 时 取 等号 . 综 上 , c 的 最小 值 为 0 , 最大 值 为 42 . 4 . 在 ABC 中 , AC = 1 , BC = 3 , AB = 2 , 设 M 为 AB 中点 , 现 将 ABC 沿 CM 折 起 , 使 2 , 则 折 起 后 AB 的 长度 可能 为 ( ) 得 四面体 B - ACM 的 体积 为 12A . 1 B . 2C . 3D . 2 答案 . BC . 简析 . 设 点 B 在 底面 的 射影 为 点 D , 则 11326 . VBACMSACM · BDBDBD 334123 注意 到 BD 3 , 因此 满足 题意 的 点 B 有 两 个 . 2 二面角 B - MC - A 的 平面 角 为 钝角 . 由 勾股 定理 , 得 DMBM 2 BD 2321 , CDBC 2 BD 2 . 33 在 DMC 中 , 由 余弦 定理 , 得 DM 2 MC 2 CD 23 cosDMCDMC 150 . 2 DM ? MC 2 则 AMD = 180 ° - AMC - DMC = 150 ° . 在 DMA 中 , 由 余弦 定理 , 得 7 AD 2 MA 2 MD 2 - 2 ? MA · MD · cos 150 = . 3 再 由 勾股 定理 , 得 ABAD 2 BD 23 . 二面角 B - MC - A 的 平面 角 为 锐角 . 同理 , 得 AB 2 . 综 上 , AB 可以 等于 2 或 3 . x2 y5 . 已知 Р 为 椭圆 1 上 的 动 点 , 且 A ( 1 ， 1 ) , Q ( 1 , 0 ) , 则 | PA | + | PQ | 的 ( ) 43 A . 最大 值 为 43 B . 最大 值 为 45 C . 最小 值 为 43 D . 最小 值 为 45 答案 . BD . 简析 .

关键 词 : 清华 大学 强 基 计划 ꎻ 数学 试题 ꎻ 不定 项 选择 题 ꎻ 详细 解答 中图 分类 号 : 文献 标识 码 : 文章 编号 : ( ) 收 稿 日期 : 作者 简介 : 甘志国 ( ) ꎬ 男 ꎬ 湖北 省 竹溪 人 ꎬ 硕士 ꎬ 中学 正 高级 教师 ꎬ 特级 教师 ꎬ 从事 高中 数学 教学 研究 . 基金 项目 : 北京 市 教育 学会 “ 十 三 五 ” 教育 科研 滚动 立项 课题 “ 数学 文化 与 高考 研究 ” ( 课题 编号 : ) 全 卷 共 道 不定 项 选择 题 . 以下 试题 是 回忆 版 ꎬ 但 对 准备 参加 重点 大学 强 基 计划 考试 的 读者 仍 有 重要 参考 作用 . 该 试题 较 其他 年 重点 大学 强 基 计划 的 数学 试题 难度 都 要 大 . 针对 下面 的 试题 题号 按 难度 渐 升 的 顺序 叙述 如下 : 第 题 是 简易 逻辑 问题 ꎻ 第 题 是 立体 几何 中 的 空间 角 问题 ꎻ 第 题 是 求 二元 函数 的 最 值 ꎻ 第 题 考查 函数 的 奇偶 性 ꎻ 第 ꎬ 题 是 平面 解析 几何 问题 ( 后 者 是 双 曲线 与 三角 函数 的 综合 ) ꎻ 第 题 是 反 三角 函数 问题 ꎻ 第 题 是 平面 几何 问题 ꎻ 第 题 是 平面 向量 问题 ꎻ 第 题 是 空间 向量 问题 ꎻ 第 题 是 求 期望 ( 但 涉及 无穷 递 缩 等比 数列 各项 的 和 ) ꎻ 第 题 涉及 定 积分 与 导 数 ꎻ 第 题 是 关于 数列 前 项 和 的 新 定义 问题 ꎻ 第 题 是 求 极限 ( 涉及 反 三角 函数 及 不易 想到 的 裂 项 法 求 数列 前 项 和 ) ꎻ 第 题 是 集合 与 排列 组合 的 综合 ꎻ 第 题 是 递推 数列 问题 ꎻ 第 ꎬ 题 是 初等 数论 中 的 整数 性质 问题 ꎻ 第 题 是 概率 与 整数 性质 的 综合 问题 ( 用 枚举 法 求解 时 情况 较 多 ) ꎻ 第 题 是 定 积分 . 一 、 试题 呈现 . 若 ( ꎬ ) ꎬ 则 的 取值 范围 是 ( . [ ꎬ ] . ꎬ [ ] . [ ꎬ ] . 在 非 等 边 Δ 中 ꎬ ꎬ 点 ꎬ 分别 是 Δ 的 外心 与 内心 . 若 点 在 边 上 且 ꎬ 则 下列 选项 正确 的 是 ( ꎬ ꎬ ꎬ 四 点 共 圆 若 ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ { } ꎬ ꎬ ꎬ 则 有序 集合 组 ( ꎬ ꎬ ) 的 组 数 是 ( . . 若 ꎬ ( ) ꎬ 则 的 值 可以 是 ( . . 已知 点 ( ꎬ ) ꎬ ( ꎬ ) . 若 为 椭圆 上 的 动 点 ꎬ 则 的 最大 值 与 最小 值 分别 是 ( . ꎬ . ꎬ . ꎬ . 若 一个 三角形 的 各 边长 均 为 整数 且 其 面积 为 有理数 ꎬ 则 该 三角形 某 一边 的 长 可以 是 ( . . 已知 两 点 ( ꎬ ) ꎬ ( ꎬ ) ꎬ 为 双 曲线 上 不是 顶点 的 动 点 . 若 α ꎬ β ꎬ 则 下列 各 式 中为 定 值 的 是 ( . α β . ( α β ) . ( α β ) . 甲 、 乙 、 丙 三人 做 同 一道 题 . 甲 说 “ 我 做 错 了 ” ꎬ 乙 说 “ 甲 做 对 了 ” ꎬ 丙 说 “ 我 做

2020 年 北京 市 清华 大学 强 基 计划 数学 试卷 一 、 解答 题 1 . 已知 拾 分 W1 , 求 , + 耳 ， - [ 2 的 最 值 . 二 、 选择 题 2 . 非 等 边 三角形 一 18c 中 ， BC = ACf 0 , P 分别 为 的 外心 和 内心 ， D / £ 仇 ? 上 且 0 D 工 " 下列 选项 正确 的 是 （ ） A . BODP 四 点 共 圆 B . OD / / ACC . OD / / ABD . DP / / AC 三 、 解答 题 3 . ArB , C 均 为 1 , 2 , 3 , ， 2020 子集 ， 且 2 UC , 83 问 有序 的 （ 2 , B , 。 共有 多少 ？ 四 、 选择 题 4 . ao = 0 , | a 汁 i | 二 | a 】 + I 令 / = & 舄 a A . 彳 可以 等于 0 B . 彳 可以 等于 2C . 4 可以 等于 10D . 4 可以 等于 12 送 y 25P 为 椭圆 一 十 一二 1 上 一点 （ b0 ） , 8 （ 1 , 1 ） , 求 吕 t | + | PQ 的 最 值 436 . 他 C 三 边 均 为 整数 ， 且 而 积 为 有理数 ， 则 边长 a 可以 为 （ ） A - 1 B . 2C - 3D 4 , 27 . P 为 双 曲线 一一 二 1 上 一点 （ - 2 , 0 ） , B ( 2 , 0 ) , 令 ZEIB 二 a , ZPBJ = 0 , 下列 4 为 定 值 的 是 （ ） aBA . taiiatanpB - tantallyCSz . B15 tan （ a + 0 ） DSAEIBCOS ( a + 0 ) 8 . 甲 、 乙 、 丙 做 一道 题 ， 甲 ： 我 做 错 了 ， 乙 ： 甲 做 对 了 ， 丙 ： 我 做 错 了 ， 老师 ： 仅 一 人 做 对 且 一 人 说 错 ， 问 以下 正确 的 是 （ ) A . 甲 对 B . 乙 对 C . 丙 对 D . 以上 说法 均 不对 9 . RxAABC + , ZABC = 90 ° , 78 = V3 , LPAPBPCtBC = 1 , = - + = + = - = 0 , 以下 正确 的 是 （ ） AZAPS = 120 ° BZ 5 PC = 120 ° C . 2 BP = PCD 肿 二 2 PC 210 . Iimarctan = ( ) 33 n7 nA - TTR . nnnA 22 五 . 填空 题 11 . 从 0 - 9 共 10 个数 中 任 取 5 个 组成 一个 5 位 或 4 位 ( 0 在 首 位 ) 数 ， 则 该 数 被 396 整除 概率 为 - 12 . 随机 变量 X 等于 上 的 概率 为 0 ( x = k ) = * 丫 为 * 除以 3 的 余数 ， 求 Y 的 数学 期望 £ ( Y ) . 六 、 选择 题 13 . G | W1 , 血 £ 1 , + 2 屏 刁 二 点 一 2 币 ， 则 向 的 最 值 为 ( ) A . 最大 值 为 4 运 B , 最大 值 为 2 曲 C , 最小 值 为 0 D , 最小 值 为 214 . x , > N 十 ， 下列 说法 正确 的 是 ( ) A . Q+ 2 y 与 异 + 2 x 可以 均 为 完全 平方 数 B . , + 4 歹 与 异 + 徐 可以 均 为 完全 平方 数 C . , + 5 歹 与 异 + 5 x 可以 均 为 完全 平方 数 D . Q+ 6 J , 与 y ? + 6 x 可以 均 为 完全 平方 数 z 3 . 1 . 15 sin ( arctaiil + arccosnz = + arcsm ) 二 \ / 1016 . 已知 函数 / ( x ) 二 实 a + sinx , 则 / ( 乂 ) 在 - 2 , 2 上 的 最大 值 与 最小 值 之 和 为 17 . / ( X ) 的 图象 如 图 所 示 ， / ( X ) 与 直线 x 二 ex 二 f , x轴 币 成 图形 的 而 积 为 S ( ) ， 问 S ( r ) 的 最大 值 为 , f ( x ) 的 最大 值 为 y 4 解答 题 1 . 二 、 选择 题 2 . D ； 三 . 解答 题 3 . : 四 . 选择 题 4 . C ； 5 : 6 CD ； 7 . A ： 8A ： 9 . ABCD ； 10 . 五 、 填空 题 211 . ： 12 . : _ 945 六 、 选择 题 13 . BC

共 35 道 选择 题 ， 为 不定 项 选择 题 ． 1 ． 若 ， 则 的 取值 范围 是 设 ， ， 为 正 实数 ， 若 一元 二 次 方程 有 实 根 ， 则 （ ） A ． 3 . 在 非 等 边 中 ， ， 若 和 分别 为 的 外心 和 内心 ， 在线 段 上 ， 且 满足 ， 则 下列 选项 正确 的 是 四 点 共 圆 B ． 已知 集合 ， 且 ， 则 有序 集合 组 的 个数 是 已知 数列 满足 ， ， 则 的 值 可能 是 10D ． 126 ． 已知 点 在 椭圆 上 则 的 最大 值 是 67 ． 已知 为 双 曲线 上 一点 （ 非 顶点 令 ， ， 下列 表达 式 为 定 值 的 是 甲 、 乙 、 丙 三 位 同学 讨论 同 一道 数学 竞赛 题 ， 甲 说 ： “ 我 做 错 了 ． ” 乙 说 ： “ 甲 做 对 了 ． ” 丙 说 ： “ 我 做 错 了 ． ” 老师 看 过 他们 的 答案 并 听 了 他们 的 上述 对话 后 说 ： “ 你们 仅 有 一 人 做 对 且 仅 有 一 人 说谎 了 ” ， 则 根据 以上 信息 可以 推断 甲 做 对 了 B ． 乙 做 对 了 C ． 丙 做 对 了 D ． 无法 确定 谁 做 对 了 9 ． 在 中 则 下列 说法 正确 的 是 10 ． 求 值 11 ． 从 0 到 9 这 十 个数 中 任 取 五 个数 组成 一个 五 位数 （ 可以 等于 0 ） ， 则 的 概率 为 12 ． 随机 变量 ， ， 满足 ， 且 ， 则 13 ． 已知 向量 ， ， 满足 则 下列 说法 正确 的 是 的 最大 值 为 B ． 最大 值 为 C ． 的 最小 值 为 0 D ． 的 最小 值 为 214 ． 若 存在 ， ， 使得 与 均 为 完全 平方 数 ， 则 正 整数 可能 取值 为 615 ． 116 ． 已知 正 四 棱锥 中 ， 相邻 两 侧面 构成 的 二面角 为 ， 侧 棱 与 底面 夹角 为 ， 则 17 ． 已知 函数 ， 则 的 最大 值 与 最小 值 的 和 是 418 ． 已知 函数 的 图像 如 图 所 示 ， 的 图像 与 直线 ， ， 轴 围 成 图形 的 面积 为 ， 则 下列 说法 正确 的 是 19 ． 我们 称 数列 为 “ 好 数列 ” ， 若 对 任意 存在 ， 使得 ， 其中 则 下列 说法 正确 的 是 若 ， 则 数列 为 “ 好 数列 ” B ． 若 （ 为 常数 ） ， 则 数列 为 “ 好 数列 ” C ． 若 ， 均 为 “ 好 数列 ” ， 则 为 等 差 数列 D ． 对 任意 等 差 数列 ， 存在 “ 好 数列 使 20 ． 21 . 在 中 设 为 中点 ， 现 将 沿 折 起 ， 使得 四面体 的 体积 为 ， 则 折 起 后 的 长度 可能 为 （ ） A ． 222 ． 设 复数 ， 在 复 平面 内 对应 的 点 分别 为 ， ， 为 坐标 原点 ， 若 ， ， 则 的 面积 为 （ ） A ． 23 ． 使得 成立 的 最小 正 整数 等于 （ ） A ． 624 ． 已知 实数 ， ， 满足 ， 则 （ ） A ． 有 1 组 B ． 有 4 组 C 均 为 有理数 D 均 为 无理 数 25 ． 设 实数 满足 ， 则 的 最大 值 为 （ ） A ． 110B ． 120C ． 220 D ． 240

2020 年 清华 大学 强 基 计划 招生 考试 数学 试题 金石为开 教研 部 整理 1 . 已知 x2 + y2 < 1 ， 求 x2 + xy 一 y2 的 最 值 . 2 . 非 等 边 三角形 ABC 中 ， BC = AC ， O , P 分别 为 Δ ABC 的 外心 和 内心 ， D 在 BC 上 OD BP ， 下列 选项 正确 的 是 A . BODP 四 点 共 圆 B . OD / / ACC . OD / / AB D . DP / / AC 3 . A , B , C 均 为 { 1 , 2 , 3 2020 } 子集 ， 且 A 坚 C ， B 坚 C ， 问 有序 的 ( A , B , C ) 共有 多少 ？ 20 a . 4 . a = 0 ， a = a + 1 ， 令 A = Σ 0 i + 1 i kk = 1A . A 可以 等于 0 B . A 可以 等于 2C . A 可以 等于 10 D . A 可以 等于 12 y2 5 . P 为 椭圆 x2 + = 1 上 一点 ， A ( 1 , 0 ) , B ( 1 , 1 ) ， 求 PA + PB 的 最 值 是 ？ 436 . Δ ABC 三 边 均 为 整数 ， 且 面积 为 有理数 ， 则 边长 a 可以 为 A . 1 B . 2 C . 3 D . 427 . P 为 双 曲线 一 y2 = 1 上 一点 ， A ( 一 2 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) ， 令 经 PAB = a ， 经 PBA = β , 4 下列 为 定 值 的 是 A . tanatan β B . tan - - C . S tan ( a + β ) D . S cos ( a + β ) Δ PAB Δ PAB 8 . 甲 乙 丙 做 一道 题 ， 甲 ： 我 做 错 了 ， 乙 ： 甲 做 对 了 ， 丙 ： 我 做 错 了 ， 老师 ： 仅 1 一 人 做 对 且 一 人 说 错 ， 问 以下 正确 的 是 A . 甲 对 B . 对 C . 丙 对 D . 以上 说法 均 不对 9 . Rt Δ ABC 中 ， 经 ABC = 90 。 ， AB = 3 ， BC = 1 ， PA PB PC + + = 0 ， 以下 PA PB PC 说法 正确 的 是 A . 经 APB = 120 。 B . 经 BPC = 120 。 C . 2 BP = PC D . AP = 2 PCn 210 . lim Σ arctan = n 喻 父 k 2k = 13 3 π 7 π A . π B . π C . D . 4 2 311 . 从 0 - 9 共 10 个数 中 任 取 5 个 组成 一个 5 位 或 4 位 （ 0 在 首 位 ） 数 ， 则 该 数 被 396 整除 概率 为 . 1 12 . 随机 变量 X 等于 k 的 概率 为 P ( x = k ) = ， Y 为 除以 3 的 余数 ， 求 Y 的 数学 期 2k 望 E ( Y ) . 13 . a < 1 ， b < 1 ， a + 2b + c = a - 2b ， 则 c 的 最 值 为 A . 最大 值 为 4 2 B . 最大 值 为 2 5 C . 最小 值 为 0 D . 最小 值 为 214 . x , yeN + ， 下列 说法 正确 的 是 A . x2 + 2 y 与 y2 + 2 x 可以 均 为 完全 平方 数 B . x2 + 4 y 与 y2 + 4 x 可以 均 为 完全 平方 数 C . x2 + 5 y 与 y2 + 5 x 可以 均 为 完全 平方 数 D . x2 + 6 y 与 y2 + 6 x 可以 均 为 完全 平方 数 15 . sin ( | arctan 1 + arccos 3 + arcsin 1 ) | = . （ 10 5 ) 216 . 正 四 棱锥 中 ， 相邻 两 侧面 夹角 为 a ， 侧 棱 与 底面 夹角 为 β , 问 一个 tan β 与 cosa 的 关系 ， 设 高 为 h ， 底面 边长 为 a ， 余弦 定理 刻画 cosa 即可 . 17 . f ( x ) = 2 ex + sin x

1 . 若 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \ le 1 , 则 x ^ { 2 } + xy - y ^ { 2 } 的 取值 范围 是 A . [ - \ frac { \ sqrt { 3 } } { 2 } , \ frac { \ sqrt { 3 } } { 2 } ] B . [ - 1 , 1 ] C . [ - \ frac { \ sqrt { 5 } } { 2 } , \ frac { \ sqrt { 5 } } { 2 } ] D . [ - 2 , 2 ] 2 . 在 非 等 边 三角形 ABC 中 ， CA = CB , 若 O , P 分别 为 \ triangle ABC 的 外心 和 内心 , 点 D 在线 段 BC 上 , 且 满足 OD \ perp BP , 则 下列 说法 正确 的 是 A . OCP 三 点 共 线 B . OD \ | ACC . BDOP 四 点 共 圆 D . PD \ | AC 3 . 已知 集合 A , B , C \ subseteq \ { 1 , 2 , 3 , \ cdots , 2020 \ } , 且 A \ subseteq C , B \ subseteq C , 则 有序 集合 组 ( A ， B ， C ) 的 个数 是 A . 2 ^ { 2020 } B . 3 ^ { 2020 } C . 4 ^ { 2020 } D . 5 ^ { 2020 } 4 . 已知 数列 \ { a _ { n } \ } 满足 a _ { 0 } = 1 , \ mid a _ { i + 1 } \ mid = \ mid a _ { i } + 1 \ mid ( i \ in N ) , 则 A = \ mid \ sum _ { k = 1 } ^ { 20 } a _ { k } \ mid 的 值 可能 是 A . 0 B . 2C . 10D . 125 . 已知 P 在 椭圆 \ frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \ frac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1A ( 1 , 0 ) , B ( 1 , 1 ) , 则 \ mid PA \ mid + \ mid PB \ mid 的 最大 值 是 A . 4B . 4 + \ sqrt { 3 } C . 4 + \ sqrt { 5 } D . 66 . 已知 \ triangle ABC 的 三 条 边长 均 为 整数 ， 且 面积 为 有理数 ， 则 \ mid AB \ mid 的 可能 值 有 A . 1 B . 2C . 3D . 47 . 已知 P 为 双 曲线 \ frac { x ^ { 2 } } { 4 } - y ^ { 2 } = 1 一点 ， A ( - 2 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , 令 \ angle PAB = \ alpha , \ angle PBA = \ beta , \ triangle PAB 的 面积 为 S ， 则 下列 表达 式 为 定 值 的 是 A . \ tan \ alpha \ tan \ betaB . \ tan \ frac { \ alpha } { 2 } \ tan \ frac { \ beta } { 2 } C . S \ tan ( \ alpha + \ beta ) D . S \ cot ( \ alpha + \ beta ) 8 . 甲 、 乙 、 丙 三人 一起 做 同 一道 题 ， 甲 说 ： “ 我 做 错 了 乙 说 ： “ 甲 做 对 了 丙 说 ： “ 我 做 错 了 而 事实 上 仅 有 一 人 做 对 题目 且 仅 有 一 人 说谎 了 , 那么 谁 可能 做 对 了 题目 A . 甲 B . 乙 C . 丙 D . 没有 人 9 . 在 直角 \ triangle ABC 中 ， \ angle ABC = 90 ^ { \ circ } , AB = \ sqrt { 3 } , BC = 1 , \ frac { \ overrightarrow { PA } } { \ mid \ overrightarrow { PA } \ mid } + \ frac { \ overrightarrow { PB } } { \ mid \ overrightarrow { PB } \ mid } + \ frac { \ overrightarrow { PC } } { \ mid \ overrightarrow { PC } \ mid } = 0 , 则 下列 说法 正确 的 是 A . \ angle APB = 120 ^ { \ circ } B . \ angle BPC = 120 ^ { \ circ } C . PC = 2 PBD . PA = 2 PC 10 . 求 值 : \ lim _ { n \ rightarrow \ infty } ( \ sum _ { k = 1 } ^ { n } \ arctan \ frac { 2 } { k ^ { 2 } } ) = A . \ frac { \ pi } { 2 } B . \ frac { 3 \ pi } { 4 } C . \ fra

一 、 解答 题 ( 其中 第 1 题 包含 解题 视频 ， 可 扫描 页眉 二维 码 ， 点击 对应 试题 进行 查看 ) 1 . 已知 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \ le 1 , 求 x ^ { 2 } + xy - y ^ { 2 } 的 最 值 二 、 选择 题 1 . 非 等 边 三角形 ABC 中 ， BC = AC , O ， P 分别 为 \ triangle ABC 的 外心 和 内心 , D 在 BC 上 且 OD \ perp BP , 下列 选项 正确 的 是 ( ) A . BODP 四 点 共 圆 B . OD | | ACC . OD | ABD . DP \ | AC 三 、 解答 题 1 . A , B , C 均 为 { 1 , 2 , 3 , , 2020 } 子集 , 且 A \ subseteq C , B \ subseteq C , 问 有序 的 ( A ， B ， C ) 共有 多少 ? 第 1 页 / 共 12 页 × JYECO 四 、 选择 题 ( 其中 第 2 题 包含 解题 视频 ， 可 扫描 页眉 二维 码 ， 点击 对应 试题 进行 查看 ) 1 . a _ { 0 } = 0 , \ mid a _ { i + 1 } \ mid = \ mid a _ { i } + 1 \ mid , \ iff A = \ mid \ sum _ { k = 1 } ^ { 20 } a _ { k } \ mid ( ) A . A 可以 等于 0 B . A 可以 等于 2C . A 可以 等于 10D . A 可以 等于 122 . P 为 椭圆 \ frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \ frac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1 点 , A ( 1 , 0 ) , B ( 1 , 1 ) , 求 | PA | + | PB | 的 最 值 . 3 . \ triangle ABC 三 边 均 为 整数 ， 且 面积 为 有理数 ， 则 边长 a 可以 为 ( ) A . 1 B . 2C . 3D . 44 . P 为 双 曲线 \ frac { x ^ { 2 } } { 4 } - y ^ { 2 } = 1 \ bot - 点 , A ( - 2 , 0 ) ， B ( 2 ， 0 ) ， 令 \ angle PAB = \ alpha , \ angle PBA = \ beta , 下列 为 定 值 的 是 ( ) A . \ tan \ alpha \ tan \ betaB . \ tan \ frac { \ alpha } { 2 } \ tan \ frac { \ beta } { 2 } C . S _ { \ triangle PAB } \ tan ( \ alpha + \ beta ) D . S _ { \ triangle PAB } \ cos ( \ alpha + \ beta ) 5 . 甲 、 乙 、 丙 做 一道 题 ， 甲 ： 我 做 错 了 ， 乙 ： 甲 做 对 了 ， 丙 ： 我 做 错 了 ， 老师 ： 仅 一 人 做 对 且 一 人 说 错 ， 问 以下 正确 的 是 ( ) A . 甲 对 B . 乙 对 C . 丙 对 D . 以上 说法 均 不对 第 2 页 / 共 12 页 6 . Rt \ triangle ABC 中 ， \ angle ABC = 90 ^ { \ circ } , AB = \ sqrt { 3 } , BC = 1 , \ frac { \ overrightarrow { PA } } { | \ overrightarrow { PA } | } + \ frac { \ overrightarrow { PB } } { | \ overrightarrow { PB } | } + \ frac { \ overrightarrow { PC 下 正确 的 是 ( ) A . \ angle APB = 120 ^ { \ circ } B . \ angle BPC = 120 ^ { \ circ } C . 2 BP = PCD . AP = 2 PC 7 . n \ rightarrow \ infty \ sum _ { k = 1 } ^ { n } \ arctan \ frac { 2 } { k ^ { 2 } } = ( ) A . \ frac { 3 } { 4 } \ piB . \ piC . \ frac { 3 \ pi } { 2 } D . \ frac { 7 \ pi } { 3 } 五 、 填空 题 1 . 从 0 - 9 共 10 个数 中 任 取 5 个 组成 一个 5 位 或 4 位 ( 0 在 首 位 ) 数 ， 则 该 数 被 396 整除 概率 为 _ 。 2 . 随机 变量 X 等于 k 的 概率 为 P ( X = k ) = \ frac { 1 } { 2 ^ { k } } , 为

2020 年 3 月份 强 基 模拟 考试 2020 年 3 月份 强 基 模拟 考试 1 . 已知 0 < x < 1 , 则 a = \ frac { \ arctan x } { x } , b = \ frac { \ arcsin x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } , c = ( \ frac { \ arctan x } { x } ) ^ { 2 } . 则 a , b , c 的 大小 关系 是 _ . 解析 b < a < c . f ( x ) 在 ( 0 , 1 ) 上 单调 递增 , 且 函数 值 大于 1 . 2 . 椭圆 \ frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1 内 接 四边形 面积 最大 值 为 _ . 解析 4 . 设 椭圆 上 四 点 依次 为 A ( 2 \ cos \ alpha , \ sin \ alpha ) , ( 2 \ cos \ beta , \ sin \ beta ) , C ( 2 \ cos \ gamma , \ sin \ gamma ) , D ( 2 \ cos \ theta , \ sin \ theta ) 则 \ overrightarrow { AC } = ( 2 ( \ cos \ gamma - \ cos \ alpha ) , \ sin \ gamma - \ sin \ alpha ) , \ overrightarrow { BD } = ( 2 ( \ cos \ theta - \ cos \ beta ) , \ sin \ theta - \ sin \ beta ) 则 这 个 四边形 的 面积 为 \ frac { 1 } { 2 } | 2 ( \ cos \ gamma - \ cos \ alpha ) ( \ sin \ theta - \ sin \ beta ) - 2 ( \ sin \ gamma - \ sin \ alpha ) ( \ cos \ theta - \ cos \ beta ) | = | \ sin ( \ theta - \ gamma ) + \ sin ( \ beta - \ alpha ) + \ sin ( \ alpha - \ theta ) + \ sin ( \ gamma - \ theta ) | \ leqslant 43 . 已知 分数 \ frac { 1 } { n } 写 成 十进制 小数 为 纯 循环 小数 , 且 最 短 循环 节 长度 为 4 , 则 正 整数 n 的 个数 为 _ . 解析 6 . 9999 = 3 ^ { 2 } \ times 11 \ times 101 其中 n 的 可能 值 为 101 , 303 , 909 , 1111 , 3333 , 99994 . 将 不 超过 2020 的 正 整数 排 成 一个 大 数字 A = 1234 \ dotsc 2020 , 将 A 的 各位 数字 相加 得到 B ， B 的 各位 数字 相加 得到 C , C 的 各位 数字 相加 得到 D , D 的 各位 数字 之 和 为 E , 则 E 的 个 位 是 _ , 解析 1 . B < 47000 , C < 3 + 9 + 9 + 9 + 9 = 39 , D < 3 + 8 = 11 . E \ leqslant 9 另 一 方面 D \ equiv C \ equiv B \ equiv A ( mod 9 ) . 又 A \ equiv 1 + 2 + 3 \ dotsc + 2020 \ equiv 1010 \ times 2021 \ equiv 1 ( mod 9 ) . 5 . 正 2020 边 形 , 取 其中 若干 个 顶点 构成 正 多边形 , 取 法 的 种类 为 _ . 解析 1254 . 2020 = 2 ^ { 2 } \ times 5 \ times 101 , 正 多边形 的 边 数 情况 有 12 - 2 = 10 种 情况 , 正 多边形 总数 即 相当 于 求 2020 所有 正 约数 的 和 减去 ” 正 一边 形 正 二 边 形 ” 的 个数 . ( 1 + 2 + 2 ^ { 2 } ) ( 1 + 5 ) ( 1 + 101 ) - 2020 - 1010 = 12546 . 若 ( 1 + x + x ^ { 2 } ) ^ { 2020 } 的 展开 式 为 a _ { 0 } + a _ { 1 } x + a _ { 2 } x ^ { 2 } + \ cdots + a _ { 4040 } x ^ { 4040 } , 则 a _ { 0 } + a _ { 4 } + a _ { 8 } + a _ { 12 } + \ cdots + a _ { 4040 } 的 值 是 _ 解析 \ frac { 3 ^ { 2020 } + 3 } { 4 } . 设 f ( x ) = ( 1 + x + x ^ { 2 } ) ^ { 2020 } , a _ { 0 } + a _ { 4 } + a _ { 8 } + a _ { 12 } + \ cdots + a _ {

4 月 , 考生 网上 报名 ; 6 月 , 考生 参加 统一 高考 ; 6 月 25 日 前 ， 各 省 ( 区 、 市 ) 提供 高考 成绩 ； 6 月 26 日 前 , 高校 确定 参加 考核 的 考生 名单 ; 7 月 4 日 前 , 高校 组织 考核 ; 7 月 5 日 前 , 高校 根据 考生 的 高考 成绩 、 高校 综合 考核 结果 及 综合 素质 评价 等 折合 成 综合 成绩 , 择优 录取 . 2020 年 北京 大学 强 基 计划 数学 试题 共 20 道 选择 题 , 在 每 题 的 四 个 选项 中 , 只有 一个 选项 符合 题目 要求 , 选 对 得 5 分 ， 选 错 或 不 选 得 0 分 . 1 . 已知 x , y , z , w 均 为 正 实数 , 且 满足 xyx \ ge y \ ge w 和 x + y \ le 2 ( z + w ) , 则 \ frac { w } { x } + \ frac { z } { y } 的 最小 值 等于 ( ) A . \ frac { 3 } { 4 } B . \ frac { 7 } { 8 } C . 1D . 前 三 个 答案 都 不对 2 . 在 ( 2019 \ times 2020 ) ^ { 2021 } 的 全体 正 因数 中 选出 若干 个 ， 使得 其中 任意 两 个 的 乘积 都 不是 平方 数 , 则 最 多可 选 因数 的 个数 为 ( ) . A . 16B . 31 C . 32 D . 前 三 个 答案 都 不对 3 . 已知 整数 列 \ { a _ { n } \ } ( n \ ge 1 ) 满足 a _ { 1 } = 1 , a _ { 2 } = 4 , 且 对 任意 n \ ge 2 有 a _ { n } ^ { 2 } - a _ { n + 1 } a _ { n - 1 } = 2 ^ { n - 1 } , 则 a _ { 2020 } 的 个 位 数字 是 ( ) . A . 8B . 4C . 2D . 前 三 个 答案 都 不对 4 . 设 a ， b ， c ， d 是 方程 x ^ { 4 } + 2 x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } + 4 x + 5 = 0 的 4 个 复根 , 则 \ frac { a - 1 } { a + 2 } + \ frac { b - 1 } { b + 2 } + \ frac { c - 1 } { c + 2 } + \ frac { d - 1 } { d + 2 } 的 值 为 ( ) . A . - \ frac { 4 } { 3 } B . - \ frac { 2 } { 3 } C . \ frac { 2 } { 3 } D . 前 三 个 答案 都 不对 5 . 设 等 边 \ triangle ABC 的 边长 为 1 ， 过 点 C 作 以 AB 为 直径 的 圆 的 切线 ， 交 AB 的 延长 线 于 点 D ， AD > BD , 则 \ triangle BCD 的 面积 为 ( ) . A . \ frac { 6 \ sqrt { 2 } - 3 \ sqrt { 3 } } { 16 } B . \ frac { 4 \ sqrt { 2 } - 3 \ sqrt { 3 } } { 16 } C . \ frac { 3 \ sqrt { 2 } - 2 \ sqrt { 3 } } { 16 } D . 前 三 个 答案 都 不对 6 . 设 x ， y ， z 均 不 为 ( k + \ frac { 1 } { 2 } ) \ pi , 其中 k 为 整数 ， 已知 \ sin ( y + z - x ) , \ sin ( x + z - y ) , \ sin ( x + y - z ) 成 等 差 数列 , 则 依然 成 等 差 数列 的 是 ( ) . A . sinx , siny , sinzB . cosx ， cosy ， coszC . tanx ， tany ， tanzD . 前 三 个 答案 都 不对 7 . 方程 19 x + 93 y = 4 xy 的 整数 解 个数 为 ( ) . A . 4B . 8C . 16D . 前 三 个 答案 都 不对 8 . 从 圆 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4 上 的 点 向 椭圆 C \ frac { x ^ { 2 } } { 2 } + y ^ { 2 } = 1 引 切线 , 两 个 切点 间 的 线段 称为 切点 弦 , 则 椭圆 C 内 不 与 任何 切点 弦 相交 的 区域 面积 为 ( ) . A . \ frac { \ pi } { 2 } B . C . D . 前

( 部分 ) 考试 时间 2022 年 6 月 28 日 数学 一共 35 道 题目 , 均 为 不定 项 选择 , 目前 只有 12 道 题目 1 . x8 ( y 8 z ) = x8 y + z , x8 x = 0 , 求 200082022 2 . a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } + d ^ { 2 } + e ^ { 2 } = 1 , 求 | a - b | + | b - c | + | c - d | + | d - e \ mid + \ mid e - al 的 最大 值 3 . 已知 复数 z 满足 | z | = 1 ， 求 ( z - 2 ) ( z + 1 ) ² ) 的 最大 值 4 . 在 复 平面 内 , 复数 zi 终点 在 1 + i 和 1 + ai 表示 两 点 连成 的 线段 上 移动 ， \ mid z _ { 2 } \ mid = 1 , 若 z = z _ { 1 } + z _ { 2 } 在 复 平面 上 表示 的 点 围 成 的 面积 为 5 \ pi + 4 , 则 a 的 可能 值 为 ( ) 5 . 已知 一个 空间 几何 体 三 视图 如下 , 都 为 中点 最大 边长 为 2 , 求 这 个 几何 体 可能 的 体积 6 . 对于 xR , f ( x ) + f ( 1 - x ) = 1 , f ( x ) = 2f ( \ frac { x } { 5 } ) , 且 对于 0 \ le x _ { 1 } \ le x _ { 2 } \ le 1 , 对于 恒 有 f ( x1 ) f ( x2 ) , 则 f ( \ frac { 1 } { 2022 } ) = 7 . 用 蓝色 和 红色 给 一 排 10 个 方格 染色 , 则 不 超过 ( 忘记 是 不 超过 还是 不 少于 ) 三 个 相邻 块 颜色 相同 的 方法 种 数 为 ( ) A . 504 B . 505 C . 506 D . 507 8 . 对于 三 个 正 整数 \ sqrt { a + b } , \ sqrt { b + c } , \ sqrt { c + a } 为 三 个 连续 正 整数 , 则 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } 最小 值 为 已知 a ^ { 2 } + ab + b ^ { 2 } = 3 , 求 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - abb 的 最大 值 和 最小 值 10 . \ lim _ { n \ rightarrow \ infty } \ sum _ { k = 1 } ^ { n } \ frac { 1 } { n } \ sin \ frac { ( 2k - 1 ) \ pi } { 2n } = \ _ . 11 . 曲线 ( : ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) ^ { 3 } = 16x ^ { 2 } y ^ { 2 } A . 曲线 C 仅 过 ( 0 , 0 ) 一个 整点 B . 曲线 C 上 的 点距 原点 最大 距离 为 2C . 曲线 C 围 成 的 图形 面积 大于 4 π D . 曲线 C 为 轴 对称 图形 12 . 任意 四边形 ABC

强 基 数学 是 指 针对 基础 数学 的 教育 和 培训 ， 旨在 提高 学生 的 数学 素养 和 能力 ， 为 后期 深入 学习 打下 坚实 的 基础 。 一 、 强 基 数学 的 定义 强 基 数学 是 指 在 基础 教育 阶段 ， 通过 系统 的 数学 课程 学习 和 实践 活动 ， 使 学生 掌握 数学 基础 知识 、 基本 技能 和 基本 思想 方法 ， 形成 良好 的 数学 思维 习惯 和 解决 问题 的 能力 ， 为 后期 深入 学习 打下 坚实 的 基础 。 二 、 强 基 数学 的 意义 1 . 提高 学生 的 数学 素养 和 能力 强 基 数学 教育 能够 全面 提高 学生 的 数学 素养 和 能力 ， 使 他们 掌握 数学 基础 知识 、 基本 技能 和 基本 思想 方法 ， 形成 良好 的 数学 思维 习惯 和 解决 问题 的 能力 。 2 . 为 后期 深入 学习 打下 坚实 的 基础 强 基 数学 教育 能够 为 后期 深入 学习 打下 坚实 的 基础 ， 使 学生 能够 顺利 地 进入 更 高 层次 的 数学 学习 ， 为 从事 相关 职业 和 继续 深造 提供 保障 。 3 . 培养 学生 的 创新 精神 和 实践 能力 强 基 数学 教育 注重 培养 学生 的 创新 精神 和 实践 能力 ， 通过 探究 性 学习 和 实践 活动 ， 使 学生 能够 主动 发现 问题 、 分析 问题 、 解决 问题 ， 培养 他们 的 创新 思维 和 实践 能力 。 三 、 强 基 数学 的 内容 1 . 数学 基础 知识 数学 基础 知识 包括 数学 符号 、 运算 、 公式 、 图形 、 方程 、 函数 、 数据 与 概率 等 内容 ， 学生 需要 掌握 这些 基础 知识 ， 形成 自己 的 数学 知识 体系 。 2 . 数学 基本 技能 数学 基本 技能 包括 计算 、 证明 、 分析 、 推理 、 建模 等 内容 ， 学生 需要 掌握 这些 技能 ， 形成 自己 的 数学 思维 习惯 和 方法 。 3 . 数学 基本 思想 方法 数学 基本 思想 方法 包括 归纳 、 演绎 、 抽象 、 概括 、 比较 、 分类 、 综合 、 归纳 等 ， 学生 需要 掌握 这些 思想 方法 ， 形成 自己 的 数学 思维 方式 。 四 、 强 基 数学 的 实施 方法 1 . 课堂 教学 课堂 教学 是 强 基 数学 教育 的 主要 途径 ， 教师 需要 根据 学生 的 实际 情况 ， 制定 合理 的 教学 计划 和 教学 策略 ， 使 学生 能够 掌握 数学 基础 知识 、 基本 技能 和 基本 思想 方法 。 2 . 探究 性 学习 探究 性 学习 是 强 基 数学 教育 的 重要 方式 ， 学生 可以 通过 自主 探究 、 小组 合作 等 方式 ， 发现 问题 、 分析 问题 、 解决 问题 ， 培养 自己 的 创新 精神 和 实践 能力 。 3 . 实践 活动 实践 活动 是 强 基 数学 教育 的 有益 补充 ， 学生 可以 通过 数学 建模 、 数据 分析 、 数学 游戏 等 方式 ， 运用 数学 知识 解决 实际 问题 ， 提高 自己 的

最小值为C.最大值为22一解设x = rcos θ, y = rsinθ,其中θe[0,2π)，re[0,1].所以x2+xy 一y2 = r2 cos2θ+1 r2 sin 2θ= 5 r2 sin(2θ+Φ)2 2，因为一1 < sin(2θ+Φ)< 1 ，所以一5 < x2+xy 一y2 < 5 ，故选C.2 22.非等边ΔABC 中，BC = AC ，O, P 分别为ΔABC 的外心和内心，D 在BC 上且ODBP ，下列选项正确的是()A.BODP 四点共圆B.OD AC C.OD AB D.DP ACCCDDOOEEPPF BAB A答案：AD解DO 与BP 交于E ，F 为AB 的中点，则经OEP = 经CFB = 90 ,所以O, E, F , B 四点共圆.所以经CBP = 经EBF = 经EOP ,所以BODP 四点共圆.由于BODP 四点共圆,所以经PDB = 经POB = 经FOB = 2经OCB = 经ACB ，故DP AC.3.A, B, C 均为{1,2,3, ,2020} 的子集，且A 坚C, B 坚C ，问有序的三元组(A, B, C)的个数为()A.32020 B.42020 C.52020 D.20203答案：C解方法1 设U = {1,2, ,2020} ，如图所示UCA B对于U 中的每个元素，均有5 种填法，因此总共有52020 种方式.方法2 若C 已确定，则(A, B)有4s 中方法，其中s 为集合C 元素的个数.因此有序三元组的个数为2Σ020 Cs 4s =(1+4)2020 = 52020.s=02020s=04.a = 0,| a |=| a+1| ，令A = Σ20 a ,则0 i+1 i kk =1A.A 可以等于0 B.A 可以等于2 C.A 可

清华 大学 2024 年 强 基 计划 笔试 1 . 点 A \ in \ { ( x , y ) \ mid \ frac { x ^ { 2 } } { 200 } + \ frac { y ^ { 2 } } { 8 } \ le 1 \ } , M ( 2 , 1 ) 求 满足 S _ { \ triangle OAM } \ le 3 的 整点 的 个数 . 2 . 5a - 3c \ le b \ le 4a - c , c \ ln b \ ge a + c \ ln c , abc 均 为 正数 , 则 \ frac { b } { a } 的 最大 ， 最小 值 是否 存在 ? 是 多少 ? 3 . 点 集 S = \ { ( x , y ) \ mid x \ le 5 , y \ le 4 且 x , y \ in N ^ { * } \ } , 则 由 _ { S } 中 的 点 可以 组成 多少 个 不同 的 三角形 ? 4 . 抛物 线 C : x ^ { 2 } = 4 y , 焦点 为 F . 过 焦点 F 的 直线 l 交 C 于 A , B 两 点 . 过 A 作 平行 于 B 点 切线 的 直线 交 C 于 点 P , 交 y轴 于 点 D . 设 A ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , B ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) , P ( x _ { 3 } , y _ { 3 } ) , 则 ( ) A . y _ { 1 } y _ { 2 } = 4 . B.S _ { \ triangle ABP } 的 最大 值 为 16 . C . \ mid DF \ mid = \ mid AF \ midD . x _ { 1 } + x _ { 3 } = 2 x _ { 2 } 5 . f ( a , b , c ) = \ sqrt { \ frac { a } { b + c } } + \ sqrt { \ frac { b } { a + c } } + \ sqrt { \ frac { c } { a + b } } ( a , b , c ) 非 负 ) , 则 f ( a , b , c ) 的 最大 值 和 最小 值 是否 存在 ? 是 多少 ? 6 . f ( x ) = \ frac { x - 1 } { e ^ { x } } . 则 ( ) A . 若 f ( x ) = a 有 两 个 解 , 则 0 < a < \ frac { 1 } { e ^ { 2 } } . B . 若 \ mid f ( x ) + m \ mid 有 最小 值 ， 则 m \ le - \ frac { 1 } { 2 e ^ { 2 } } . C . 若 \ mid f ( x ) + m \ mid 有 最小 值 ， 则 m < - \ frac { 1 } { 2 e ^ { 2 } } . D . 若 f ( x ) = a 有 两 个 解 x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 1 } + x _ { 2 } > 4 . 7 . 圆 上 7 点 所 成 线段 中 任 取 两 条 ， 这 两 条 线段 无 公共 点 的 概率 为 ? 8 . 复 方程 ( z ^ { 3 } + z ) ^ { 2 } + 9 z ^ { 3 } - 72 z = 0 的 所有 复数 根 的 平方 和 为 ? 9 . 已知 \ { \ cos \ alpha , \ cos 2 \ alpha , \ cos 3 \ alpha \ } = \ { \ sin \ alpha , \ sin 2 \ alpha , \ sin 3 \ alpha \ } , 则 α 可以 是 ( ) A . \ frac { \ pi } { 8 } B . - \ frac { 3 \ pi } { 8 } C . - \ frac { 2 \ pi } { 7 } D . - \ frac { \ pi } { 14 } 10 . x ^ { 3 } + px ^ { 2 } + q = 02 ) 有 解 , 则 p + q 可能 的 取值 为 ? 11 . x ^ { 3 } + px ^ { 2 } + qx + r = 02 ) 内 有 三 个 不等 实 根 , 则 p + q+ r 的 取值 范围 ? 12 . a + e ^ { a } = b + \ ln b = 4 , 则 ( ) A . a \ ln b + b \ ln a > 1 B . a \ ln b + b \ ln a = 1 C . ab < 4D . ab > e13 . 已知 复数 z 满足 \ mid z \ mid = 1 , z ^ { n } = z + \ sqrt { 2 } , 则 n 的 最小 值 为 ? 14 . 四面体 V - ABC 中 ， VA = VB = 2 \ sqrt { 2 } , VC = 3 , CA = CB = 4 求 CA 与 VB 所 成 角 余弦 的 最 值 . 15 . 正 四面体 ABCD 中 ， 棱 长 为 2 \ sqrt { 2 } . 点 P 满足 \ mid \

强 基 计划 数学 模拟 试题 1 本 卷 共 6 大 题 ， 限时 80 分钟 、 每 个 题目 25 分 、 总分 150 分 1 、 让 n 名 男生 和 n 名 女生 站 成 一 行 ， 对于 每 个 学生 X ， X 有 一些 糖果 ， 糖果 的 树木 恰 等于 数 对 ( a , b ) 的 数目 ， 其中 ， 数 对 ( a , b ) 表示 a ， b 是 与 X 不同 性别 的 且 X 是 站 在 a ， b 中间 的 。 证明 ： n 名 男生 和 n 名 女生 手 中 的 糖果 数目 不 超过 n ( n ² - 1 ) / 3 。 2 、 已知 开口 向上 的 抛物 线 y = ax ² 交 双 曲线 xy = 1 于 点 T ， 两 条 曲线 的 公 切线 分别 切 抛物 线 、 双 曲线 于 点 P ， Q 。 下面 我们 研究 PQT 。 ( 1 ) 找到 PQT 的 某 两 条 中线 ， 其 夹角 为 定 值 ， 并 求 出 这 个 夹角 。 ( 2 ) 求 PQT 的 面积 。 3 、 已知 圆 内 接 四边形 ABCD , CB 与 DA 的 延长 线 交 于 点 P , 延长 BP 到点 Q , 使得 PQ = BP , 且 四边形 CAQR 及 四边形 DBCS 均 为 平行 四边形 . 证明 : C 、 R 、 Q 、 S 四 点 共 圆 . 4 、 已知 数列 { an } 满足 证明 ， 对 任何 正 整数 n 都 有 2 an + 17 an 5 、 对于 整数 n ( n3 ) , 设 f ( n ) 是 平面 上 无 三 点 共 线 的 n 个 点中 能够 组成 的 等 腰 三角形 的 数目 的 最大 值 . 证明 : 存在 正数 a 、 b , 使得 对于 所有 的 n 有 an ² < f ( n ) < bn ² . 6 、 设 n 为 正 整数 . 证明 : 若 n 的 所有 正 因子 之 和 为 2 的 整数 次 幂 , 则 这些 正 因子 的 个数 也 为 2 的 整数 次 幂 . 强 基 计划 数学 模拟 试题 1 参考 答案 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、

清华大学2024年强基计划数学学科试题考试时间2024年6月28日8:00-12:00 1.已知{}{θ}θθθθθcos,cos2,cos3sin,sin2,sin3=，则θ=_.2.已知4ln=+=+bbaea,则下列选项中正确的有（）A.1lnln>+abaB.1lnln=+abaC.ab<4D.ab>e3.某城市内有若干街道，所有街道都是正东西或南北向，某人站在某段正中央开始走，每个点至多经过一次，最终回到出发点.已知向左转了100次，则可能向右转了（）次。A.96 B.98 C.104 D.102 4.在平面直角坐标系内，()1,21,8,)200(22AyxxyM+，若OMA的面积不超过3，则满足条件的整点M个数为_.6.已知2111,1nnnaaaa+==+，下列选项中正确的有 D.[]a900=30A.333lim=B.[]a400=20C.2lim=nn+nan+nan7.正整数{,100},2,1,,abc，且cbbaca>>=+2,11，满足这样条件的(abc 的组数为 A.60 B.90 C.75 D.86 8.从棱长为1个单位长度的正方体的底面一顶点A出发，每次均随机沿一条棱行走一个单位长度，下列选项中正确的有 +4A.进行4次这样的操作回到A的概率为3)11(21B.进行2次这样的操作回到A的概率为95 学科网（北京）股份有限公司4C.进行4次这样的操作回到A的概率为3)11(21D.进行2次这样的操作

以下试题为参加强基校考考生回忆版。一、北京大学(一)考试模式北大的强基笔试共考三门:数学、物理和化学。数学有20道题目,物理和化学有40道题目,所有题目都以单选题的形式出现。时间各1个小时，满分各100分。笔试采用机考方式进行,在各省设立考点。笔试时间为7月30日9点-12点,共3小时。传统高考省份:组和医学组测试内容为数学、物理、化学。组测试内容为语文、历史、政治。高考综合改革省份:组和医学组测试内容为数学、物理,组测试内容为语文、历史。不少学生表示,此次北大强基校考笔试中数学难度较大,部分达到数学联赛一试的水平。高中知识的同学做题速度相较有竞赛背景的同学来说可能会比较慢,部分同学甚至没有做完题目。(二)数学1.考察乘法原理2.考察整除的不定方程3.考察圆上动点所导致的一条动直线所扫过的面积北大的数学试题会运用到很多高中知识没有讲解到的技巧,仅有高中知识的同学在面对这样大题量的试题,做题速度相较有竞赛背景的同学来说会较慢,部分同学甚至没有做

清华 大学 强 基 计划 2021 年 清华 大学 强 基 计划 笔试 数学 试题 本 试卷 , 每 一道 题 均 为 不定 项 1 . 甲 乙 丙 丁 四 人 共同 参加 4 项 体育 比赛 ， 每 项 比赛 第 一 名 到 第 四 名 的 分数 依次 为 4 、 3 、 2 、 1 分 . 比赛 结束 甲 获得 14 分 第 一 名 , 乙 获得 13 分 第 二 名 , 则 ( ) . A . 第 三 名 不 超过 9 分 B . 第 三 名 可能 获得 其中 一 场 比赛 的 第 一 名 C . 最后 一 名 不 超过 6 分 D . 第 四 名 可能 一 项 比赛 拿 到 3 分 答案 ： ACD 解 ： ( 1 ) 所有 分数 之 和 为 4 \ times ( 4 + 3 + 2 + 2 ) = 40 , 甲 乙 总分 之 和 为 14 + 13 = 27 , 所以 第 三 名 和 第 四 名 总 分数 为 13 分 , 第 四 名 的 分数 不 超过 6 分 , C 正确 , 第 四 名 至少 得 4 分 ， A 正确 . ( 2 ) 所有 项目 的 第 一 名 和 第 二 名 分数 之 和 为 4 \ times ( 4 + 3 ) = 28 分 , 只 比 甲 乙 两 人 总 分数 高一 分 , 说明 只有 一 种 情况 , 甲 乙 包揽 所有 项目 第 一 名 , 总共 拿 到 3 个 第 二 名 和 1 个 第 三 名 . B 错误 . ( 3 ) D 正确 的 一 种 情形 : IIIIIIIIII 甲 4442 乙 3334 内 2221 丁 11132 . 定义 x * y = \ frac { x + y } { 1 + xy } , 则 ( \ dotsc ( ( 2 * 3 ) * 4 ) \ cdots ) * 21 = ( ) . 答案 \ frac { 116 } { 115 } 1 第 1 页 , 共 10 页 清华 大学 强 基 计划 解 ： 令 x = \ frac { \ lambda - 1 } { \ lambda + 1 } , y = \ frac { \ mu - 1 } { \ mu + 1 } , 则 x * y = \ frac { \ frac { \ lambda - 1 } { \ lambda + 1 } + \ frac { \ mu - 1 } { \ mu + 1 } } { 1 + \ frac { \ lambda - 1 } { \ lambda + 1 } \ cdot \ frac { \ mu - 1 } { \ mu + 1 } } = \ frac { \ lambda \ mu - 1 其中 \ lambda = - \ frac { x + 1 } { x - 1 } , \ mu = - \ frac { y + 1 } { y - 1 } . 容易 得到 , 若 设 z = \ frac { \ nu - 1 } { \ nu + 1 } , 即 \ nu = - \ frac { z + 1 } { z - 1 } , 则 ( x * y ) * z = \ frac { \ lambda \ mu \ nu - 1 } { \ lambda \ mu \ nu + 1 } , 即 * 运算 满足 : ( 1 ) x * y = y * x ( 2 ) ( x * y ) * z = x * ( y * z ) 进而 可 得 ( · \ cdots ( ( 2 * 3 ) * 4 ) \ cdots ) * 21 = \ frac { ( - \ frac { 3 } { 1 } ) ( - \ frac { 4 } { 20 } ) \ cdots ( - \ frac { 22 } { 20 } ) - 1 } { ( - \ frac { 3 } { 1 补充 说明 ： 看到 \ frac { x + y } { 1 + xy } , 联想 到 \ tanh x = \ frac { e ^ { 2 x } - 1 } { e ^ { 2 x } + 1 } , 于是 做 一个 x = \ frac { \ lambda - 1 } { \ lambda + 1 } 的 换 元 准 没 错 . 3 . 已知 \ omega = \ cos \ frac { \ pi } { 5 } + i \ sin \ frac { \ pi } { 5 } , 则 ( ) . A . x ^ { 4 } + x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + x + 1 = ( x - \ omega ) ( x - \ omega ^ { 3 } ) ( x - \ omega ^ { 7 } ) ( x - \ omega ^ { 9 } ) B . x ^ { 4 } - x ^ { 3 } + x ^ { 2 } - x + 1 = ( x - \ omega ) ( x - \ om

2022 年 清华 大学 强 基 计划 测试 数学 试题 考试 时间 2022 年 6 月 28 日 1 . x ( yz ) = xy + z , xx = 0 , 求 200020222 . a2 + b2 + c2 + d2 + e2 = 1 , 求 | ab ) + | bc ) + | cd ) + | de ) + | ea ) 的 最大 值 2 ) 的 最大 值 3 . 已知 复数 z 满足 | z ) = 1 , 求 | ( z2 ) ( z + 1 ) 4 . 在 复 平面 内 , 复数 z1 终点 在 1 + i 和 1 + ai 表示 两 点 连成 的 线段 上 移动 , | z2 ) = 1 , 若 z = z1 + z2 在 复 平面 上 表示 的 点 围 成 的 面积 为 π + 4 , 则 a 的 可能 值 为 （ ） 5 . 已知 一个 空间 几何 体 三 视图 如下 , 都 为 中点 最大 边长 为 2 , 求 这 个 几何 体 可能 的 体积 A . 236 B . 133 C . 3D . 46 . 对于 xR , f ( x ) 满足 f ( x ) + f ( 1 x ) = 1 , f ( x ) = 2f ( x5 ) , 且 对于 0 x1 x21 , 恒 有 f ( x1 ) f ( x2 ) 1 , 则 f ( 2022 ) = . 7 . 用 蓝色 和 红色 给 一 排 10 个 方格 染色 , 则 不 超过 ( 忘记 是 不 超过 还是 不 少于 ) 三 个 相邻 块 颜色 相同 的 方法 种 数 为 A . 504 B . 505 第 1 页 共 9 页 C . 506D . 5072 最小 值 为 2 + b2 + c8 . 对于 三 个 正 整数 a , b , c , 有 a + b , b + c , c + a 为 三 个 连续 正 整数 , 则 a . 9 . 已知 a2 ab 的 最大 值 和 最小 值 . 2 + ab + b2 = 3 , 求 a2 + b ( 2 k1 ) π n110 . lim } nnsin 2n = . k = 122 ) 11 . 曲线 C : ( x2 y2 y3 = 16 xA . 曲线 C 仅 过 ( 0 , 0 ) 一个 整点 B . 曲线 C 上 的 点距 原点 最大 距离 为 2C . 曲线 C 围 成 的 图形 面积 大于 4 π D . 曲线 C 为 轴 对称 图形 12 . 任意 四边形 ABCD , AC = a , BD = b , 则 ( AD + BC ) ( AB + DC ) = （ 用 a , b 表示 ) 13 . 已知 ax + by = 1 , ax 2 + by 2 = 2 , ax 3 + by 3 = 7 , ax 4 + by 4 = 18 , 则 ax 5 + by 5 = . 2022 年 清华 大学 强 基 计划 校测 数学 试题 答案 1 . 若 x ( yz ) = xy + z , xx = 0 , 求 20002022 【 解析 】 新 定义 题型 x = 2000 y = 2022 , 于是 有 由于 变量 的 任意 性 , 不妨 带入 { z = 2022 ) 2000 ( 20222022 ) = 20000 = 20002022 + 2022 即 20000 = 20002022 + 20221 . 1 x = 2000 y = 2000 , 则 有 再 代 入 { z = 2000 ) 2000 ( 20002000 ) = 20000 = 20002000 + 2000 = 2000 即 20000 = 20001 . 2 由 1 . 1 , 1 . 2 知 第 2 页 共 9 页 20002022 + 2022 = 2000 因此 , 20002022 = 22 . 2 . a2 + b2 + c2 + d2 + e2 = 1 , 求 | ab ) + | bc ) + | cd ) + | de ) + | ea ) 的 最大 值 . 【 解析 】 不等式 问题 袁逸凡 解答 对于 | ab ) | a ) + | b ) , 其 取 等 条件 为 a 、 b 异 号 或 至少 其中 一个 为 0 , 不妨 设 a0 , 则 b0 , 同理 可 得 | bc ) | b ) + | c ) , | cd ) | c ) + | d ) 当 以上 不等式 都 取 等 时 , 则 有 a0 , b0 , c 0 , d 0 , e 0 令 ae , 于是 有 | ab ) + | bc ) + | cd ) + | de ) + | ea ) = 2a 2b + 2c 2d } 2 a2 + b2 + c2 + d 因为 | a ) + | b ) + | c ) + | d ) 4 , 所以 有 42 ) 42 + b2 + c2 + d2 ( | a ) + | b

清华 大学 ； 强 基 计划 ； 数学 测试 ; 抽象 函数 文章 编号 ： 1008 - 0333 ( 2023 ) 04 - 0040 - 06 中图 分类 号 : G632 文献 标识 码 : A 2022 年 清华 大学 强 基 计划 数学 测试 已 于 2022 题 1 若 运算 “ & ” 满足 x & ( y & z ) x & y + z , x & x 年 6 月 28 日 举行 ， 试题 共 35 道 ， 全部 是 不定 项 选择 0 , 则 2000 & 2002 . 解法 1 在 题 设 中 令 x y z 2000 , 可 得 题 . 本文 回忆 出 了 其中 的 12 道 题 （ 并且 大 部分 题 的 2000 & ( 2000 & 2000 ) 2000 & 2000 + 2000 0 + 选项 也 不 完整 ） ， 还给 出 了 其 详细 解答 . 2000 2000 , 按 本文 列 出 的 顺序 : 第 1 , 6 题 均 是 抽象 函数 问题 ; 第 2 , 9 题 均 是 不等式 问题 , 其中 第 2 题 涉及 柯西 2000 & ( 2000 & 2000 ) 2000 & 0 . 所以 2000 & 0 2000 . 不等式 与 均值 不等式 ; 第 3 , 4 题 均 是 复数 问题 ; 第 5 , 7 , 8 , 10 , 11 , 12 题 分别 是 立体 几何 中 的 三 视图 问 在 题 设 中 令 x 2000 , y z 2022 ， 可 得 题 、 排列 组合 问题 、 初等 数论 问题 、 考查 定 积分 的 定 2000 & ( 2022 & 2022 ) 2000 & 2022 + 2022 , 义 、 平面 解析 几何 中 的 四 叶 玫瑰 线 问题 、 平面 向量 问 2000 & ( 2022 & 2022 ) 2000 & 0 2000 . 所以 2000 & 2022 2000 - 2022 - 22 . 题 中 的 数量 积 其中 第 2 , 3 , 6 题 在 全国 高中 数学 联 解法 2 在 题 设 中 令 y z x , 可 得 赛 预赛 试题 （ 下 简称 预赛 试题 ） 中 均 出现 过 类 题 ; 第 x & ( x & x ) x & x + x 0 + x x , 6 题 在 预赛 试题 中 还 出现 过 两 次 类 题 ， 但 这 三 道 题 x & ( x & x ) x & 0 . 中 的 抽象 函数 均 不 存在 （ 即 都 是 错题 ） . 相对 于 高考 数 所以 x & 0 x . 学 试题 ， 这 份 强 基 计划 数学 试题 新颖 ， 整体 难度 适中 . 收 稿 日期 ： 2022 - 11 - 05 作者 简介 : 甘志国 （ 1971 - ） ， 男 ， 湖北 省 竹溪 人 ， 硕士 ， 中学 正 高级 教师 ， 从事 高中 数学 教学 研究 . 基金 项目 ： 北京 市 教育 学会 “ 十 三 五 ” 教育 科研 滚动 立项 课题 “ 数学 文化 与 高考 研究 ” （ 项目 编号 : FT 2017 G D 003 ） . 40 2023 年 第 04 期 总 第 569 期 数 理 化 解题 研究 ( 1 x I a I + 1 x I b I + 1 x I e I + 1 x I d I ) 2 W ( 12 + 在 题 设 中 令 z = 7 , 可 得 12 + 12 + 12 ) ( I a I 2 + I b I 2 + I e I 2 + I d I 2 ) W4 ( a2 + b2 x & ( 7 & 7 ) = x & 7 + 7 , + e2 + d2 + e2 ) = 4 . x & ( 7 & 7 ) = x & 0 = x . 所以 I a I + I b I + I e I + I d I W2 , 当 且 仅 当 I a I = 所以 x & 7 = x - 7 . I b I = I e I = I dI , e = 0 时 取 等号 . 还 可 验证 x & 7 = x - 7 满足 题 设 . 所以 I a - b I + I b - e I + I e -