排列组合的常见题型及其解法排列、组合的概念具有广泛的实际意义，解决排列、组合问题，关键要搞清楚是否与元素的顺序有关。复杂的排列、组合问题往往是对元素或位置进行限制，因此掌握一些根本的排列、组合问题的类型与解法对学好这局部知识很重要。一.特殊元素〔位置〕用优先法把有限制条件的元素〔位置〕称为特殊元素〔位置〕，对于这类问题一般采取特殊元素〔位置〕优先安排的方法。例1.6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？分析：解有限制条件的元素〔位置〕这类问题常采取特殊元素〔位置〕优先安排的方法。解法1：〔元素分析法〕因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有种站法故站法共有：480〔种〕解法2：〔位置分析法〕因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有种；第二步再让剩余的4个人〔含甲〕站在中间4个位置，

历年高考数学题型总结高考数学题型全归纳一、三角函数题注意归一公式、诱导公式的正确性转化成同名同角三角函数时，套用归一公式、诱导公式奇变、偶不变;符号看象限时，很容易因为粗心，导致错误!一着不慎，满盘皆输! 二、数列题1、证明一个数列是等差等比数列时，最后下结论时要写上以谁为首项，谁为公差公比的等差等比数列;2、最后一问证明不等式成立时，如果一端是常数，另一端是含有n的式子时，一般考虑用放缩法;如果两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法用数学归纳法时，当n=k+1时，一定利用上n=k时的假设，否则不正确。利用上假设后，如何把当前的式子转化到目标式子，一般进行适当的放缩，这一点是有难度的。简洁的方法是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到目标式子，下结论时一定写上综上：由得证;3、证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性很简单所以要有构造函数的意识。三、立体几何题1、证明线面位置关系，一般不需要去建系，更简单;2、求异面

2.不相邻问题采取“插空法”;【例题1】（2023上·辽宁丹东·高三校联考阶段练习）三个家庭的3位妈妈带着2名女宝和2名男宝共7人踏春，在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；2名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面.则不同的排法种数共有（）A．192种B．288种C．144种D．96种【变式1-1】1.（2023上·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有（）A．1120B．7200C．8640D．14400【变式1-1】2.（2023·全国·高三专题练习）从三个班级，每班随机选派两名学生为代表，这六名同学被随机安排在一个圆桌会议室进行“深度学习与复习”座谈，会议室的圆桌正有好有六个座位，则同一班级的两名同学恰好被安排在一起相邻而坐的概率为（）A．130B．115C．215D．120【变式1-1】3.（多选）（2024·全�

2025新高考数学计算题型精练排列组合数的计算i.计算：(1)4A：+5A；端1.【答案】(1)348(2)1【详解】(1)4A；+5A：=4x4x3+5x5x4x3 = 348A：0A；10x9x8x7! t10! 10!2.计算：A>(2)2 若3A：=2A2+6A；, 求x.【答案】(1)720(2)1(33=5【详解】(1)A：=6x5x4x3x2xl = 720；(2)2J+7卷出文7二6义5k+7*8二7义此一05个4+7义5建一莺8x7x6x5x4x3x2xl-9x8x7x6x5 5x4x3x2xl-9x5(3)由题设3xX1,(X+1 = 2x^^-+6xXI(x-3)! 的值;(2)若15 "=89,求的值.【答案】(1)330(2)«= 15【详解】(1)C；臀$= 330.4x3x2xl(2)A；-A：[(M-5)(M-6)-1]A；“=10A：；(2)^^ = 89；(3)- -= 7^,求Cf.A y M iu5【答案】(1)=8(2)1=15(3)28【详角单】(1)；A：="(一1)(一2)(一加+1), A；" =2"(2一l)(2"-2),A：= H(M-1)(M-2),由A^=10A^,得到：2(2 一1)(2 - 2)= 10](-1)(一2)],又：«eN+,«>3,化简得到：2(2-1)= 5(-2)所以力=8.A 7 - A 5 A 7(2)由；"=89,即8= 90, ，A：=90A：,A：A,又A；=n\，所以得到:(I)!=90n\(w -5)!'SP1=(«-5)(n-6)所以2160 = 0 ，解得：= 15或=一4（舍去），所以= 15.(3).力；n\可化为m\(5-m)\ m!(6 m)l_ 7m! 10x7!ZL化A间-A-为ST ,1(6- m-)=-(-7-----m--)(6-----m---)，即nn冽2.-23冽+42 = 0 ,所c以冽r=21或一加=2八6 60XvmGN+,m<5

排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此对于抽象思维能力要求较高，计算上也有一定的技巧性。本文旨在帮助考生掌握解决排列组合问题的常用策略和方法，总结出一些常见的题型，以便更好地应对高考排列组合问题。 一、排列组合基本概念排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。 二、排列组合的公式排列组合的公式为： 其中，\(n\)表示元素的总数，\(m\)表示要取出的元素的个数。\)表示从\(1\)到\(n\)的阶乘，\(0!\)表示\(1\)。 三、常见的排列组合题型1.相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列。 2.不相邻问题插空法：元素不相邻的问题，可先把无位置要求的几个元素进行全排列，再把不相邻的元素插入到前面元素排列的空当中。 3.多排问题单排法：把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再

排列组合题型及解题方法在排列组合题中，常见的题型包括排列计数、组合计数、二项式定理等。解题的方法可以根据具体情况选择使用排列公式、组合公式、二项式定理等。首先，我们来看排列计数题型。排列计数指的是从给定的对象集合中选取若干个元素按一定的顺序排列，例如从1、2、3、4、5中选取3个数，可以有5×4×3=60种排列方式。当需要计算任意选取的元素按一定顺序排列的数量时，可以使用排列公式：P(n,r)=n!/(n-r)!其中，P(n,r)表示从n个元素中选取r个元素进行排列的数量，n!表示n的阶乘，n!=n×(n-1)×(n-2)× ×2×1。例如，从8个不同的球中选取3个球进行排列，可以使用排列公式得到P(8,3)=8!/(8-3)!=8×7×6=336种排列方式。接下来，我们来看组合计数题型。组合计数指的是从给定的对象集合中选取若干个元素，不考虑排列顺序的情况。例如从1、2、3、4、5中选取3个数，不考虑顺序，可以有C(5,3)=5×4×3/(3×2×1)=10种组合方式。当需要计算任意选取的元素不考虑排列顺序的数量时，可以使用组合公式：C(n,r

【题型归纳】题型一计数原理的基本应用例1 某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有A．3种B．6种C．9种D．18种【答案】C.1C32=6种不【解析】可分以下2种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C22C31=3种不同的选法．所以根据同的选法；A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C2分类计数原理知不同的选法共有6+3=9种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有9种．故选：C【易错点】注意先分类再分步【思维点拨】两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门；A类选修课选2门，B类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果.题型二特殊元素以及特殊位置例1 将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排，且A,B均在C的同侧，则不同的排法有（）种.（用数字作答）【答案】480【解析】考虑到A,B,C要求有顺序地排列，所以将这三个字母当作特殊元素对待。先排D,E,F三个字母，有A63=120种排法；再考虑A,

特殊元素和特殊位置优先策略例1、.由0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由分步计数原理得C_{4}^{1}C_{3}^{1}A_{4}^{3}=288练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法? 相邻元素捆绑策略例2、7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法.解：A_{5}^{5}A_{2}^{2}A_{2}^{2}=480要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.练习题:某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为_20 重排问题求幂策略例5、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素的位置,一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为m^{n}种练习题：1.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目,如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为4222.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法7^{8} 环排问题线排策略例6.、8人围桌而坐,共有多少种坐法?解:围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定一人A_{4}^{4}并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！ABCHEFGHA一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有\frac {1}{n}A_{n}^{m}练习题:6颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈120 小集团问题先整体后局部策略例9.用1.2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,5在两个奇数之间,这样的五位数有多少个?解：共有A_{2}^{2}A_{2}^{2}A_{2}^{2}种排法15243练习题：1、计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,4幅油画,5幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起,并且水彩画不在两端,那么共有陈列方式的种数为A_{2}^{2}A_{5}^{5}A_{4}^{4}2、5男生和5女生站成一排照像，男生相邻，女生也相邻的排法有A，A{种十.元素相同问题隔板策略例10、有10个运动员名额,分给7个班,每班至少一个,有多少种分配方案?班斑班 正难则反总体淘汰策略例11、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数,使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种?解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难，可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有C_{5}^{3},只含有1个偶数的取法有C_{5}^{1}C_{5}^{2}和为偶数的取法共有C_{5}^{1}C_{5}^{2}+C_{5}^{3}。再淘汰和小于10的偶数共9种,符合条件的取法共有C_{5}^{1}C_{5}^{2}+C_{5}^{3}-9有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰. 平均分组问题除法策略例12、6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法?平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以A。(n为均分的组数)避免重复计数。练习题：1、将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队,有多少分法?(C_{13}^{5}C_{8}^{4}C_{4}^{4}/A_{2}^{2})2、10名学生分成3组,其中一组4人,另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法?(1540)3、某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排名2.则不同的安排方案有多少(C_{4}^{2}C_{2}^{2}A 合理分类与分步策略例13、在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有C_{3}^{2}C_{3}^{2}种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员C_{5}^{1}C_{3}^{1}C_{4}^{2}种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有C_{5}^{2}C_{5}^{2}种，由分类计数原理共有C_{3}^{2}C_{3}^{2}+C_{5}^{1}C_{3}^{1}C_{4}^{2}+C_{5}^{2}C_{5}种。 构造模型策略例14、马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种?解:把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有C_{5}^{3}种一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型,如占位填空模型,排队模型,装盒模型等，可使问题直观解决练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种?(120)十 实际操作穷举策略例15、设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法解：从5个球中取出2个与盒子对号有C_{5}^{2}种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球,3,4,5号盒3号球装4号盒时,则4,5号球有只有1种装法,同理3号球装5号盒时，4，5号球有也只有1种装法，由分步计数原理有2C_{5}^{2}种对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式进行运算,往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果练习题:1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？

排列组合是高中数学中的重要内容，它与我们的日常生活息息相关，也是学习概率论的基础。排列组合的基本概念包括排列、组合、二项式定理等，其中排列是指从给定的$n$ 个不同元素中取出$m$ 个元素，按照一定的顺序排成一列，而组合则是指从给定的$n$ 个不同元素中取出$m$ 个元素，不考虑其顺序，只计算组合数。 一、排列组合的公式1.排列公式：$A_{n}^m=\frac{n! 2.组合公式：$C_{n}^m=\frac{n! 3.二项式定理：$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^nC_{n}^ka^{n-k}b^k$ 二、排列组合的应用1.排列组合在生活中的应用：例如，从甲地到乙地有3 种交通工具可以选择，从乙地到丙地有2 种交通工具可以选择，问从甲地经乙地到丙地一共有几种不同的走法。 2.排列组合在数学中的应用：例如，从1,2,3,4,5 这5 个数字中取出3 个数字组成一个没有重复数字的三位数，有多少种不同的取法。 三、排列组合的解题方法1.分类讨论：对于复杂的排列组合问题，可以通过分类讨论的方法，将问题转化为若干个简单的问题进行求解。 2.分步计数：对

直接法1．特殊元素法例1 用1，2，3，4，5，6 这6 个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1 不排在个位和千位（2）数字1 不在个位，数字6 不在千位。分析：（1）个位和千位有5 个数字可供选择，其余2 位有四个可供选择，由乘法原理：=2402．特殊位置法（2）当1 在千位时余下三位有=60，1 不在千位时，千位有种选法，个位有种，余下的有，共有=192 所以总共有192+60=252二．间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法=252例2 有五张卡片，它的正反面分别写0 与1，2 与3，4 与5，6 与7，8 与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？分析：此例正面求解需考虑0 与1 卡片用与不用，且用此卡片又分使用0 与使用1，类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数个，其中0 在百位的有个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数-=432（个）三．插空法当需排元素中有不能相邻的元素

【解析】:(1)3^{4}(2)4^{3}(3)4^{3}(1)3^{4}相邻问题(捆绑法)相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.【例1】A,B,C,D,E五人站成一排,如果A,B必须相邻且B在A的右边,那么不同的排法种数有_【解析】:把A,B视为一人,且B固定在A的右边,则本题相当于4人的全排列,A_{4}^{4}=24种练习:(2012辽宁)一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为_(A)3 \times 3!(B)3 \times(3!)^{3}(C)(3!)^{4}9!【解析】:C相离问题(插空法)元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是_【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为A，种，再用甲乙去插6个空位有A_{6}^{2}种，不同的排法种数是A_{5}^{5}A_{6}^{2}=3600【例2】书架上某层有6本书,新买3本插进去,要保持原有6本书的顺序,有_种不同的插法【解析】:A_{7}^{1}A_{8}^{1}A_{9}^{1}=5(【例3】.马路上有编号为1,2,3 \dotsc ,9九只路灯,现要关掉其中

一、选择题（每小题5 分，共60 分） 1.已知集合$A=\{x\mid x^2-3x+2=0\}$，$B=\{x\mid ax-2=0\}$，若$A\cup B=A$，则实数$a$的值不可能为（） 2.已知$a>0$，$b>0$，$a+b=2$，则$y=\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值是（）A.$\frac{7}{2}$ C.$\frac{9}{2}$ 3.设函数$f(x)=\begin{cases}x+1,x\leqslant0 \\ 2^{x-1},x>0\end{cases}$，则满足$f(x)\leqslant2$的$x$的取值范围是（）A.$[-1,2]$ B.$[0,2]$ C.$\frac{1}{2}$ D.$-\frac{1}{2}$ 5.在等差数列$\{a_n\}$中，已知$a_1+a_4+a_7=39$，$a_3+a_6+a_9=27$，则数列$\{a_n\}$的前9 项和$S_9$等于（）A.66$ B.99$ C.144$ D.297 6.若直线$ax+by=1$与圆$x^2+y^2=1$相交，则点$P(a,b)$的位置是（）A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.以上都有可能 7.若函数$f(x)=\sin\omega x(\omega>0)$在区间$[0,\frac{\pi}{3}]$上单调递增，在区间$[\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}]$上单调递减，则$\omega$等于（） C.$\frac{3}{2}$ D.$\frac{2}{3}$ 8.已知函数$f(x)=\begin{cases}x^2+2x,x\leqslant0 \\ -x^2+2x,x>0\end{cases}$，则不等式$f(x)>x$的解集是（） B.$(-3,1)$ D.$(-1,3)$ 9.设函数$f(x)=\begin{cases}e^{x-1},x<1 \\ x^{\frac{1}{3}},x\geqslant1\end{cases}$，则使得$f(x)\leqslan