精算师《金融数学》精华考点收益率 1．收益率是使得未来资金流入的现值与资金流出的现值相等时的利率，也是使得净现值等于零时的利率。在其他条件相同的前提下，应该选择收益率高或净现值大的项目优先投资。 2．对于投资期限不同的两个项目，在比较它们的收益率时，必须将期限较短项目的再投资利率考虑进去。 3．净现值的大小取决于计算净现值时所选择的利率，利率越高，净现值越小，利率越低，净现值越大。 4．收益率在大多数情况下是唯一的。收益率唯一性的一个简单判断准则是：如果资金净流入只改变过一次符号，收益率将是唯一的。收益率唯一性的另一个判断准则是：如果按收益率计算的资金净流入的累积值始终为负，直至最后一年末才变为零，那么该收益率将是唯一的。 0 t t 6．计算时间加权收益率的一般公式为i (1 j)(1 j ) (1 j) 1，其中j 是第k 1 2 n 1 k 个时间区间的收益率。 7．如果利息收入的再投资利率较低，就会拉低整个投资的收益率。在比较不同项目的收益率时，应该特别注意再投资利率的影响，即计算修正收益率。在计算修正收益率时，对资金流出使用筹集资金的利率计算其现值，而对资金流入使用再投资的利率计算其累积值。 8．在利率上升时期，为了吸引新的投资者加入投资基金，投资基金在收益分配时可以采用投资年度方法。反之，在利率下降时期，按组合利率方法分配收益更能吸引新的投资者。债券和股票 1.债券在息票支付日期的价格和账面值相等，可以用下述四种方法求得：（1）基本公式：P=rFa+Cvn n （3）基价公式：P=G+(C−G)vn （4）Makeham 公式：P=g(C−K)+K i 对于不可赎回的附息债券，债券价格是到期收益率的减函数，到期收益率越高，债券的价格越低。债券价格还是到期收益率的凸函数。到期收益率上升时，债券价格的下降速度是递减的；而当到期收益率下降时，债券价格的上升速度是递增的。当债券的溢价为零时，债券的账面值恒等于偿还值，每期的利息收入就等于息票收入。当债券的溢价不为零时，投资者在每期的利息收入不等于息票收入。息票收入被分解为两部分，一部分是应得利息收入，一部分是对溢价购买债券的补偿。折价可以看做是负的溢价。基价是投资者为了获得与息票收入rF相等的周期性收益所需要的投资额。债券的基价G如果按收益率i投资，每期产生的利息收入将等于债券的息票收入，即iG=rF=gC。 2．债券在相邻两个息票支付日期之间的价格可按下述公式计算： P=(1+i)tP t 0 其中P 是债券在上一个息票支付日期的价格，t是距离上一个息票支付日期的时间。0 3．账面值是债券持有人的实际投资余额。债券在相邻两个息票支付日期之间的账面值可按下述三种方法计算：（1）理论方法：V =(1+i)t xP − t 0 （2）半理论方法：V =(1+i)t xP−trF （3）实践方法：V =(1+ti)P −trF t 0 4．可赎回债券的价格等于在各种可能赎回时点上的最低价格。如果债券的偿还值C在各种可能的赎回时点上保持不变，则当债券的修正息票率大于债券的到期收益率时，债券的期限越短，债券的价格越低；反之，当债券的修正息票率小于债券的到期收益率时，债券的期限越长，债券的价格越低。利率风险 1．久期和凸度都是衡量债券利率风险的指标，有计算公式如下：马考勒久期：D =−P,(δ)= 1ΣtRe−δt马P(δ) P(δ) t t>0 马考勒凸度：C =P,,(δ)= 1Σt2Re−δt 马P(δ) P(δ) t t>0 D 久期：D(m)=−P,(y)=马= 1ΣtR (1+y/m)−mt P(y) 1+y/m P(y) t t>0 凸度：C(m)=P,,(y)= 1Σt(t+1/m)R (1+y/m)−mt−2 P(y) P(y) t t>0 −有效久期：D = 效P (2Δy) 0 (P +P −2P ) 有效凸度：C 0 效= +(Δy2P 0 债券组合的久期：D=ΣnP k D P k k=1 债券组合的凸度：C=ΣnP k C P k k=1 凸度可以用马考勒久期和马考勒凸度表示为： C=(C +D ).(1+i)−2马马 2．资产价格变化的百分比与收益率变化之间的近似关系如下： ΔP —~−久期.(Δy)+0.5.凸度.(Δy)2 P 其中的久期和凸度应该配对使用，如马考勒久期与马考勒凸度配对使用，修正久期与凸度配对使用，或有效久期与有效凸度配对使用。 3．免疫策略的三个条件是：（1）资产的现值等于负债的现值。（2）资产的久期等于负债的久期。（3）资产的凸度大于负债的凸度。 4．完全免疫策略的三个条件是：（1）资产的现值等于负债的现值。（2）资产的久期等于负债的久期。（3）负债的到期时间介于两笔资产的到期时间之内。 5．现金流配比策略就是对每一项在未来到期的债务，安排一项相同到期时间和相同金额的资产与其进行匹配。现金流配比策略的优点是无需不断调整其投资组合，缺陷是限制了投资选择的灵活性。远期、期货和互换远期合约是指双方约定在未来某一个确定的时间，按照某一确定的价格买卖一定数量的某种资产的协议。同意以约定的价格在未来卖出标的资产的一方称作空头，同意以约定的价格在未来买入标的资产的一方称作多头。一个合约的回收是指合约在满期时的价值，不考虑签订该合约时所发生的初始费用。从回收中扣除签订合约所发生的初始费用的终值就是盈亏。期货合约是指协议双方同意在约定的将来某个日期按约定的条件（包括交割价格、交割地点、交割方式等）买入或卖出一定数量的某种标的资产的标准化协议。股票的远期价格如下：无股利：FSerT 离散股利：F=(S−D)erT 连续股利：F=Se(r−δ)T 通过借入款项（相当于出售零息债券）购买股票可以生成一个合成远期的多头，即：远期＝股票－零息债券。互换合约是指买卖双方按照商定的条件，在约定的时间内交换一系列现金流的合约。远期是只有一次付款的互换，而互换是附加有资金借贷协议的一系列远期。在不考虑违约风险的情况下，利率互换可以通过分解成一个债券多头与另一个债券空头的组合来定价，也可以通过分解成一个远期利率协议的组合来定价。 Σ nk*e−riti Σ ne−r iti i=1 期权期权是一种合约，它赋予买方在规定期限内按买卖双方约定的价格购买或出售一定数量某种资产（称为标的资产）的权利。如果标的资产为金融资产，则相应的期权被称作金融期权。期权的盈亏是指在扣除期权费的情况下，期权在满期时的价值。欧式看涨期权与欧式看跌期权之间存在如下的平价关系： C+Ke−rT =P+S 为期权定价的两种常用模型是二叉树模型和Black-Scholes 模型。二叉树模型用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动，单步二叉树模型的期权定价公式为： f =e−rΔtpf u +(1−p)f d 其中，u=eσ Δt ,d=e−σ Δt ,p=erΔt −d u−d 多步二叉树模型通过多次应用单步二叉树模型并逐步递推来为期权定价。在满足Black−Scholes期权定价模型的假设条件时，欧式看涨期权的定价公式为：

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金融数学

金融数学（FinancialMathematics），又称数理金融学、数学金融学、分析金融学，是利用数学工具研究金融，进行数学建模、理论分析、数值计算等定量分析，以求找到金融学内在规律并用以指导实践。金融数学也可以理解为现代数学与计算技术在金融领域的应用，因此，金融数学是一门新兴的交叉学科，发展很快，是目前十分活跃的前沿学科之一。金融数金融数学学是一门新兴学科，是“金融高技术”的重要组成部分。研究金融数学有着重要的意义。金融数学总的研究目标是利用我国数学界某些方面的优势，围绕金融市场的均衡与有价证券定价的数学理论进行深入剖析，建立适合我国国情的数学模型，编写一定的计算机软件，对理论研究结果进行仿真计算，对实际数据进行计量经济分析研究，为实际金融部门提供较深入的技术分析咨询。金融数学是在两次华尔街革命的基础上迅速发展起来的一门数学与金融学相交叉的前沿学科。其核心内容就是研究不确定随机环境下的投资组合的最优选择理论和资

精算师《数学》精华考点

一、知识点1.统计学基础:统计学是精算师工作中最基础的知识点之一。精算师需要掌握概率论、数理统计学、假设检验等统计学中的基本理论和应用方法。2.微积分:微积分是精算师在风险管理、资产负债表管理等方面非常重要的知识点。精算师需要使用微积分的方法来分析金融市场的波动、改变利率结构、计算保险需求等。3.线性代数:线性代数是精算师在金融数学中经常使用的一种数学工具。精算师需要了解矩阵理论和线性方程组解法等常用方法。4.金融数学:金融数学是精算师非常重要的一种数学知识点。其包括计量经济学、时间序列分析、随机过程等。5.资产负债管理:资产负债表管理是精算师日常工作的重要一部分精算师需要使用数学方法来预测保险业务的现金流和资产收益率等。6.金融风险管理:精算师需要了解风险管理的基本理论和方法，包括VaR(价值-at-Risk)、风险分散度、蒙特卡罗模拟、贝叶斯网络等。7.假设检验:精算师需要通过假设检验来分析保险企业的风险和业务情况。其应用方法包括

金融数学教材精算师考试答案

选择题解析二设利息强度为:\delta(t)= \cases {0.09(0 \le t<5)\cr 0.08(5 \le t<10)\cr 0.07(t \ge 10)} 已知在第6年末的积累值为1000元,则其现值为()元。A.580.0 B.583.2 C.585.4 D.588.6 E.590.8 【答案】D@@@ 【解析】由已知得当5 \le t<10 时的折现因子为：v(t)=e^{- \int _{0}^{t}s(x)et}=e^{-(\int _{0}^{t}0.09dx+\int _{t}^{t}0.08dx})A(0)=A(6)v(6)=1000 \times a^{-205-08 \times 6}=588.6(元)。所以121.设某公司在2007年1月1日投资1000元,在2008年1月1日投资2500 元,在2008年7月1日投资3000元。已知年利息强度为常数0.06,计算这些投入在2005年1月1日和2006年3月1日时的价值分别为()元。A.5306.85;5398.89 B.5398.89;5406.85 C.5406.85;5798.89 D.5798.89;5806.85 E.5806.85;5898.89 【答案】C@@@ 【解析】由于折现因子v(t)=e^{-tk}=e^{-0.64t}, 故这些投入在2005年1 月1日的价值为:PV_{1}=1000v(2)+2500v(3)+3000v(3.5)=1000e.a.2+2500e.o.8+3000e-0.21=5406.85(元)；这些投入在2006年3月1日的价值为：PV_{2}=PV_{1}(1+i)_{t}=PV_{1}e^{ \varepsilon t}=5406.85 \times e^{ \widehat {u}(\widehat {u}}=5798.8(元)。122.小李2009年1月1日从银行借款1000元,假设年利率为12%,则分别以单

2011年中国精算师《金融数学》题库

单项选择题(以下1-40题为单项选择题，每题2.5分，共100分。每题选对的给分，选错或者不选的不给分。)1.已知在未来三年中,银行第一年按计息两次的名义年利率10%计息,第二年按计息四次的名义年利率12%计息,第三年的实际年利率为6.5%。某人为了在第三年末得到一笔10000元的款项,第一年年初需要存入银行()元。A.7356B.7367C.7567D.7576E.7657【答案】C【分数】2.5【解析】没有试题分析2.套利定价理论的创始人是()。A.哈里?马克维茨B.威廉?夏普C.道格拉斯D.默顿?米勒E.史蒂夫?罗斯【答案】E【分数】2.5【解析】没有试题分析3.t\mid \overrightarrow {a}_{ \overrightarrow {m}}=x. \frac {y(1+dz)-y(dx^{2}-2x-z)}{(1+iy)(1+dz)}【答案】E【分数】2.5【解析】没有试题分析4.某投资者对未来市场看涨,那么对于市场指数期权,对投资人最有利的投资策略应是()。A.买入一个欧式看涨期权,卖出一个同期限但执行价更高的欧式看涨期权B.买入一个欧式看涨期权,卖出一个同期限但执行价更低的欧式看涨期权C.买入一个欧式看涨期权,卖出一个同期限同执行价的欧式看跌期权D.买入一个欧式看涨期权,买入一个同期限同执行价的欧式看跌期权E.以上均不正确【答案】A【分数】2.5【解析】没有试题分析5.某人在未来15年中每年年初存入银行20000元。前5年的年利率为5. 单项选择题以下130题为单项选择题。120题每题3分,2130题每题4分。每题选对的给分,选错的或不选的不给分1.若风险用方差度量,则下列关于投资组合的风险陈述正确的是()。a.等比例投资于两只股票的组合风险比这两只股票的平均风险小b.一个完全分散化的投资组合可以消除系统风险c.相互独立的单个股票的风险决定了该股票在一个完全分散化的投资组合中的风险贡献程度A.只有a正确B.只有b正确C.只有c正确D.a,c正确E.a，b，c都不正确【答案】A【分数】3【解析】a.设两只股票的收益率为ra和rb,对应的方差为,相关系数为,则等比例投资于两只股票的组合风险为:b.一个完全分散化的投资组合只能消除非系统风险,不能消除系统风险。单项选择题以下130题为单项选择题。120题每题3分,2130题每题4分。每题选对的给分,选错的或不选的不给分1.已知0时刻在基金A中投资一元到T时刻的积累值为1.5t+1,在基金B中投资一元到3t时刻的积累值为9t2-3t+1元,假设在T时刻基金B的利息强度为基金A的利息强度的两倍,则0时刻在基金B中投资10000元,在TT时刻的积累值为()。A.566901B.567902C.569100D.570000E.570292【答案】D【分数】3【解析由可得：，解得T=8/7。所以。2.某永久年金在第一年末支付1,第二年末支付3,第三年末支付5, \dotsc \dotsc ,则该年金的现值为()。单项选择题以下130题为单项选择题。120题每题3分,21-30题每题4分。每题选对的给分，选错的或不选的不给分1.已知\delta _{t}= \frac {2}{t+1},则第10年的d^{(2)}等于()。A.0.1671B.0.1688C.0.1715D.0.1818E.0.1874【答案】D【分数】3【解析】由已知,得:,所以，又，故。2.已知\delta _{t=3}/(15-t),0 \le t \le 15,(\overline {Ia})_{15}1的值为()。A.9.05B.10.15C.11.25D.13.35E.15.35【答案】C【分数】3【解析】由于,所以。3.某年金分20年于每月月初支付30元。单项选择题以下1-30题为单项选择题。1-20题每题3分,21-30题每题4分。每题选对的给分,选错的或不选的不给分1.假定名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%,则1000元在3年末的积累值为()元。A.1065.2B.1089.4C.1137.3D.1195.6E.1220.1【答案】D【分数】3【解析】1000元在3年末的积累值为:2.某年金每个年初支付5000元,共支付10年,各付款利率为年利率6.5%,各付款所得利息的再投资利率为每年4.5%,某投资者希望在0时刻以一次性支付方式获得该年金在第10年末达到的积累值,则该投资者需要支付()。A.32363B.32664C.32921D.

精算师《数学》知识点汇总

概率统计1.随机变量（1）概念：随机变量(randomvariable)表示随机试验各种结果的实值单值函数。随机事件不论与数量是否直接有关，都可以数量化，即都能用数量化的方式表达。（2）性质：不确定性2.概率密度（1）概念：概率指事件随机发生的机率，对于均匀分布函数，概率密度等于一段区间(事件的取值范围)的概率除以该段区间的长度，它的值是非负的，可以很大也可以很小。单纯的讲概率密度没有实际的意义，它必须有确定的有界区间为前提。可以把概率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，而这个面积就是事件在这个区间发生的概率，所有面积的和为1。所以单独分析一个点的概率密度是没有任何意义的，它必须要有区间作为参考和对比。数学分析1.函数极限与连续性（1）函数极限与连续性的存在准则有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。夹逼定理：当xU(Xo,r)(这是Xo的去心邻域，有个符号打不出）时，有g（x)f(x)h(x)成立g(x)>Xo=A,h(x)>Xo=A,那么，f(x)极限存在，且等于A不但能证明极限存在，还可以求极限，主要用放缩法。单调有界准则：单调增加（减少）有上（下)界的数列必定收敛。在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数，并且要满足极限是趋于同一方向，从而证明或求得函数的极限值。数值计算1.数值逼近数值逼近是指利用数值计算方法对某些函数进行逼近的过程。（1）拉格朗日插值法：拉格朗日插值公式是在节点上给出节点基函数，然后做基函数的线性组合，组合系数为节点函数值。拉格朗日插值一种多项式插值，指插值条件中不出现被插函数导数值的插值，过n+1个样点(二，关(i一0,1,""",n)满足插值条件，称为拉格朗日插值多项式，亦称拉格朗日插值公式。（2）牛顿插值法：插值法利用函数f(x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f(x)的近似值。牛顿插值法相对于拉格朗日插值法具有承袭性的优势，即在增加额外的插值点时，可以利用之前的运算结果以降低运算量。线性代数1.矩阵论（1）矩阵的定义：矩阵指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。（2）特殊矩阵：特殊矩阵是假若值相同的元素或者零元素在矩阵中的分布有一定规律，则我们称此类矩阵为特殊矩阵，反之称为稀疏矩阵。（3）对称矩阵：对称矩阵是元素以对角线为对称轴对应相等的矩阵。1855年，埃米特证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。（4）正交矩阵：定义：A是一个n阶方阵，Aт是A的转置。如果有AтA=E(单位阵)，即Aт等于A的逆，则称A是正交矩阵。正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。

《金融数学》复习题集

3、假设期末年金的现值为a，期初年金的现值为b，且这两个年金现金流的时间间隔和期数相同，单期利率为i，那么a和b的等式关系为；4、传统的利率期限结构主要有预期理论、流动性偏好理论和理论；5、按照债券的登记方式分类，可以将债券分为记名债券和债券；6、资本资产定价模型将风险分为系统风险和风险；7、衍生证券中规定买卖的资产称为；8、四大衍生证券中，的违约风险最大；9、在风险中性的假设下，投资者的期望收益率为；10、在BlackScholes期权定价模型中，期权的价格与主观概率关。二、选择题。1、如果年利率为10%，货币价值增加一倍的时间大概是 (A)6年(B)7年(C)8年(D)9年2、现金流（-0.1，0，0.4）的内部收益率为 (A)0(B)0.5(C)1(D)1.53、若即期利率s1=2%、s2=3%，按照动态预期的规律，则远期利率f1,2= (A)2%(B)3%(C)4%(D)5%4、下列衍生证券中权力义务不对称的是 (A)远期(B)期货(C)互换(D)期权5、现有一投资组合：股股票多头和一份以该股票为标的资产的买入期权空头，股票当前价格为30美元，期权中的执

精算师考试《金融数学》真题模拟试卷

（单选题）A.17.5B.12.5C.30D.12.25E.7.5试题答案：C2、如果人们的工资率提高，那么替代效应将使居民单选题）A.增加市场活动，减少非市场活动B.增加非市场活动，减少市场活动C.同时减少市场和非市场活动D.同时增加市场和非市场活动E.同时增加或减少市场和非市场活动试题答案：A3、布雷顿森林体系的致命弱点是单选题）A.美元双挂钩B.特里芬难题C.权利与义务的不对称D.汇率波动缺乏弹性E.运行规则不对称试题答案：B4、假定两个人一天生产了10个零件，三个人一天则能生产12个零件，则单选题）A.劳动的边际产量上升B.边际成本下降C.平均可变成本上升D.平均可变成本下降E.劳动的平均产量上升试题答案：C5、寡头垄断市场上价格决定的方法有多选题）A.价格领先制B.成本加成法C.卡特尔D.托拉斯E.康采恩试题答案：A,B,C6、银行买入外币现钞的价格是单选题）A.买入汇率B.卖出汇率C.中间汇率D.现钞汇率E.外币汇率试题答案：D7、下列关于到期日之前的期权价值的表述正确的是单选题）A.美式看涨期权的最大值

金融数学

维普资讯 http://www.cqvip.com Ⅷ29 N01 Mar 200O 2000年3月弟29卷第1期内蒙古奸土学投自然科学(汉文)柱 Journal of Inner Mongolia Normal University(Natural Science Edition) 金融数学 F2『弓胡永珍 F2 2 (内蒙古师范大学数学糸．内蒙古呼和告特010022) 。摘要：简述现代金融理论的发展和金融数学的诞生、国内外金融数学的教育状况及金融数学在我国的发展前景关键词：现代金融理论中闰分类号：o 29；F 8 垒壁塑兰垒壁三堡；垒壁童矍文献标识码：A 文章编号：1001—8735(2000)01—0018—06 1 现代金融理论的发展和金融数学的诞生 1．1现代金融理论的发展金融作为一门学科，研究的是价值和风险问题金融理论的核心问题是金融资产如何定价．最早对金融理论做出重大贡献的代表人物有：艾文费雪(Irving Fisher，Yale University)，本杰明．格雷厄姆(Beniamin Graham，Columbia University)，戴维．多德(David Dodd，Columbia University)，和弗莱德里克麦考莱(Frederick Macaulay，National Board of Economics Re— search) 费雪于1896年最先确认和梅释了一个基本估值关

《金融数学》精算师培训

利率风险Interest rate risk1马考勒久期（Macaulay duration）假设资产未来的一系列现金流为Rt ，则资产的价格：ttPRiRv1tttt00实际收益率i 也可以用名义收益率i(m)和利息力表示，故：()mtmttii(1)1e m()mtmt1ettiPRRmtt002资产的价格：()mtmt1ettiPRRmtt00为简化表述，用y 表示名义收益率，当m =1时，y就是实际收益率。未来现金流为Rt 的资产的价格可以表示为mtt1ettyPRRmtt003马考勒久期：未来现金流到期时间的加权平均值，权数为每个现金流的现值在总现值中所占的比率，即：mtt1ettytRtRm00ttMacDPP马考勒久期越大，加权到期时间越长，从而资产价格对收益率的敏感性越高，资产的利率风险越大。马考勒久期是一个时间概念，可以用年、月等时间单位计量。4例：一笔贷款的本金为L，期限为n，年实际利率为y，按年等额分期偿还。试求该笔贷款的马考勒久期。解：假设每年末的偿还金额为RntttRytyIa11()nytt|01nttny|MacDaRyy11tt015例：一项15年期按月等额偿还的贷款，每月复利一次的年名义利率为24，试计算这项贷款的马考勒久期。解：应用上例

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