专题 7 错位 排列 例 1 . 将 数字 1 、 2 、 3 、 4 填 入 标号 为 1 ， 2 ， 3 ， 4 的 四 个 方格 里 ， 每 格 填 一个 数 ， 则 每 个 方格 的 标号 与 所 填 数字 均 不 相同 的 填 法 有 （ ） A ． 6 种 B ． 9 种 C ． 11 种 D ． 23 种 例 2 . 编号 为 1 、 2 、 3 、 4 、 5 的 五 个人 分别 去 坐 编号 为 1 、 2 、 3 、 4 、 5 的 五 个 座位 ， 其中 有 且 只有 两 个 的 编号 与 座位 号 一致 的 坐法 是 （ ） A ． 10 种 B ． 20 种 C ． 30 种 D ． 60 种 例 3 . 同室 4 人 各 写 一张 贺 年 卡 ， 先 集中 起来 ， 然后 每人 从中 拿 一张 别人 送 出 的 贺 年 卡 ， 则 4 张 贺 年 卡 不同 的 分配 方式 共有 ( ) A ． 6 种 B ． 9 种 C ． 11 种 D ． 23 种 例 4 . 五 个人 排 成 一 列 ， 重新 站 队 时 ， 各人 都 不 站 在 原来 的 位置 上 ， 那么 不同 的 站 队 方式 共有 （ ） A ． 60 种 B ． 44 种 C ． 36 种 D ． 24 种 例 5 . 有 五 位 客人 参加 宴会 ， 他们 把 帽子 放在 衣帽 寄放 室内 ， 宴会 结束 后 每人 戴 了 一 顶 帽子 回家 ， 回家 后 ， 他们 的 妻子 都 发现 他们 戴 了 别人 的 帽子 ， 问 5 位 客人 都 不 戴 自己 帽子 的 戴 法 有 多少 种 ？ 例 6 ． 分别 编 有 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 号码 的 人 与 椅 ， 其中 i 号 人 不 坐 i 号 椅 ( 1 i ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ) 的 不同 坐法 有 多少 种 ？ 1 专题 7 错位 排列 例 1 . 将 数字 1 、 2 、 3 、 4 填 入 标号 为 1 ， 2 ， 3 ， 4 的 四 个 方格 里 ， 每 格 填 一个 数 ， 则 每 个 方格 的 标号 与 所 填 数字 均 不 相同 的 填 法 有 （ ） A ． 6 种 B ． 9 种 C ． 11 种 D ． 23 种 【 解析 】 先 把 1 填 入 方格 中 ， 符合 条件 的 有 3 种 方法 ， 第 二 步 把 被 填 入 方格 的 对应 数字 填 入 其它 三 个 方格 ， 又 有 三 种 方法 ； 第 三 步 填 余下 的 两 个 数字 ， 只有 一 种 填 法 ， 共有 3319 种 填 法 ， 选 B ． 例 2 . 编号 为 1 、 2 、 3 、 4 、 5 的 五 个人 分别 去 坐 编号 为 1 、 2 、 3 、 4 、 5 的 五 个 座位 ， 其中 有 且 只有 两 个 的 编号 与 座位 号 一致 的 坐法 是 （ ） A ． 10 种 B ． 20 种 C ． 30 种 D ． 60 种 【 解析 】 先 选择 哪 两 个 编号 一样 有 2C 510 种 ， 剩下 的 三 个 不 能 对应 相同 有 2 种 ， 所以 共有 10220 ， 故 选 B ． 例 3 . 同室 4 人 各 写 一张 贺 年 卡 ， 先 集中 起来 ， 然后 每人 从中 拿 一张 别人 送 出 的 贺 年 卡 ， 则 4 张 贺 年 卡 不同 的 分配 方式 共有 ( ) A ． 6 种 B ． 9 种 C ． 11 种 D ． 23 种 【 解析 】 设 四 个人 分别 为 甲 、 乙 、 丙 、 丁 ， 各自 写 的 贺 年 卡 分别 为 a ， b ， c ， d ． 第 一 步 ， 甲 取 其中 一张 ， 有 3 种 等

排列 组合 1 . 分类 计数 原理 ( 加法 原理 ) 完毕 一 件 事 ， 有 类 措施 ， 在 第 1 类 措施 中 有 种 不 一样 措施 ， 在 第 旳 2 类 措施 中 有 种 不 一样 措施 ， 旳 ， 在 第 类 措施 中 有 种 不 一样 措施 ， 那么 完毕 这 件 事 共有 ： 旳 种 不 一样 措施 ． 旳 2 . 分步 计数 原理 （ 乘法 原理 ） 完毕 一 件 事 ， 需要 提成 个 环节 ， 做 第 1 步 有 种 不 一样 措施 ， 做 第 旳 2 步 有 种 不 一样 旳 措施 ， ， 做 第 步 有 种 不 一样 措施 ， 那么 完毕 这 件 事 共有 ： 旳 种 不 一样 措施 ． 旳 3 . 分类 计数 原理 分步 计数 原理 区别 分类 计数 原理 措施 互相 独立 ， 任何 一 种 措施 都 可以 独立 地 完毕 这 件 事 。 分步 计数 原理 各 步 互相 依存 ， 每 步 中 措施 完毕 事件 一 种 阶段 ， 不 能 完毕 整个 事件 ． 旳 旳 一 . 特殊 元素 和 特殊 位置 优先 方略 例 1 、 . 由 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 可以 构成 多少 个 没有 反复 数字 五 位 奇数 . 解 : 由 分步 计数 原理 得 练习 题 ： 7 种 不 一样 花种 在 排 成 一 列 花盆 里 旳 旳 , 若 两 种 葵花 不 种 在 中间 ， 也 不 种 在 两 端 花盆 里 旳 ， 问 有 多少 不 一样 种法 ？ 旳 二 . 相邻 元素 捆绑 方略 例 2 、 7 人 站 成 一 排 , 其中 甲 乙 相邻 且 丙 丁 相邻 , 共有 多少 种 不 一样 排 法 旳 . 解 ： 规定 某 几 种 元素 必须 排 在 一起 问题 旳 , 可以 用 捆绑 法 来 处理 问题 . 即将 需要 相邻 元素 旳 合并 为 一 种 元素 , 再 与 其他 元素 一起 作 排列 , 同步 要 注意 合并 元素 内部 也 必须 排列 . 练习 题 ： 某人 射击 8 枪 ， 命中 4 枪 ， 4 枪 命中 恰好 有 3 枪 连 在 一起 情形 不 一样 种 数 为 旳 旳 20 三 . 不 相邻 问题 插 空 方略 例 3 . 、 一 种 晚会 节目 有 旳 4 个 舞蹈 , 2 个 相声 , 3 个 独唱 , 舞蹈 节目 不 能 持续 出场 , 则 节目 出场 次序 旳 有 多少 种 ？ 解 元素 相离 问题 可 先 把 没有 位置 规定 元素 进行 排队 再 把 不 相邻 元素 插入 中间 和 两 端 旳 练习 题 ： 某 班 新年 联欢 会 原定 旳 5 个 节目 已 排 成 节目 单 ， 开演 前 又 增长 了 两 个 新 节目 . 假如 将 这 两 个 新 节目 插入 原 节目 单 中 ， 且 两 个 新 节目 不 相邻 ， 那么 不 一样 插 法 种 数 为 旳 30 四 . 定 序 问题 倍 缩 空位 插入 方略 例 4 . 、 7 人 排队 , 其中 甲 乙 丙 3 人次 序 一定 共有 多少 不 一样 排 法 旳 解 : ( 倍 缩 法 ) 对于 某 几 种 元素 次序 一定 排列 问题 旳 , 可 先 把 这 几 种 元素 与 其他 元素 一起 进行 排列 , 然后 用 总 排列 数 除以 这 几 种 元素 之间 全 排列 数 旳 , 则 共有 不 一样 排 法 种 数 是 ： ( 空

专题 10 几何 问题 例 1 ． 从 正方体 六 个 面 的 对 角 线 中 任 取 两 条 作为 一对 ． 其中 所 成 的 角 为 60 的 共有 ( ) A ． 24 对 B ． 30 对 C ． 48 对 D ． 60 对 【 解析 】 正方体 的 面对 角线 共有 12 条 ， 两 条 为 一对 ， 共有 21266 C 对 ， 同 一面 上 的 对 角 线 不 满足 题意 ， 对面 的 面对 角线 也 不 满足 题意 ， 一 组 平行 平面 共有 6 对 不 满足 题意 的 直线 对数 ， 不 满足 题意 的 共有 ： 3618 ． 从 正方体 六 个 面 的 对 角 线 中 任 取 两 条 作为 一对 ． 其中 所 成 的 角 为 60 的 共有 ： 661848 ． 故 选 ： C ． 例 2 ． 四面体 的 一个 顶点 为 A ， 从 其它 顶点 与 各 棱 的 中点 中 取 3 个 点 ， 使 它们 和 点 A 在 同 一 平面 上 ， 不同 的 取 法 有 ( ) A ． 30 种 B ． 33 种 C ． 36 种 D ． 39 种 【 解析 】 根据 题意 ， 如 图 ， 分析 可 得 ， 所 取 的 3 点 在 3 个 侧面 上 时 ， 每 个 侧面 有 53 C 种 取 法 ， 共 353 C30 种 情况 ； 所 取 的 3 点 不 在 侧面 上 时 ， 含 顶点 A 的 三 条 棱 上 各 有 三 个 点 ， 它们 与 所 对 的 棱 的 中点 共 面 ， 共有 3 种 取 法 ； 综合 可 得 ， 共 30333 种 ， 故 选 ： B ． 例 3 ． 从 四面体 的 顶点 及 各 棱 的 中点 这 十 个 点中 ， 任 取 3 个 点 确定 一个 平面 ， 则 不同 平面 个数 为 ( ) A ． 17 B ． 23 C ． 25 D ． 29 【 解析 】 考虑 点 的 选择 ： （ 1 ） 三 个 点 都 是 顶点 ： 一共 有 4 种 ， 就是 四面体 的 四 个 表面 ； （ 2 ） 两 个 顶点 ， 一个 棱 中点 ： 为了 不 和 上面 的 四 个 面 重合 ， 当 两 个 顶点 确定 时 ， 只有 一个 选择 （ 此时 的 面 就是 一 条 棱 和 它 的 对 棱 的 中点 确定 的 面 ） ， 所以 这种 情况 一共 有 6 种 ； （ 3 ） 一个 顶点 ， 两 个 棱 中点 ： 为了 不 和 上面 重合 ， 确定 一个 顶点 后 ， 则 只能 选取 它 的 对面 的 三 个 中点 了 ， 有 3 种 情况 ， 共有 4312 种 ； （ 4 ） 三 个 都 是 棱 中点 ： 可以 在 正 四面体 中 想 ， 这样 的 面 要么 和 外 表面 平行 要么 和 一对 对 棱 平行 ， 所以 有 437 种 ， 综 上 ， 共有 4612729 种 ． 故 选 ： D ． 例 4 ． 四面体 的 顶点 和 各 棱 中点 共 10 个 点 ， 在 其中 取 4 个 不 共 面 的 点 ， 则 不同 的 取 法 共有 ( ) A ． 150 种 B ． 147 种 C ． 144 种 D ． 141 种 【 解析 】 从 10 个 点中 任 取 4 个 点 有 410C 种 取 法 ， 其中 4 点 共 面 的 情况 有 三 类 ． 第 一 类 ， 取出 的 4 个 点 位于 四面体 的 同 一个 面上 ， 有 644 C 种 ； 第 二 类 ， 取 任 一 条 棱 上 的 3 个 点 及 该 棱 对 棱 的 中点 ， 这 4 点 共 面 ， 有 6 种 ； 第 三 类 ， 由 中

2023 届 新 高考 数学 题型 全 归纳 之 排列 组合 专题 2 排列 数 组合 数 类型 一 、 排列 数 组合 数 的 简单 计算 【 例 1 】 对于 满足 13 n ≥ 的 正 整数 n ，           5 6 . . . 12 n n n ( ) 7 8 12 7 12 A n B ． 5 A n A ．  5 An  C ．  5 A n D ．  【 例 2 】 计算  3 7 Α _ _ _ _ _ _ ． 【 例 3 】 计算 3 10 A ， 6 6 A ； 【 例 4 】 计算  2 7 C _ _ _ _ _ _ ，  5 7 C _ _ _ _ _ _ _ ． 【 例 5 】 计算 3 10 C ， 6 8 C ； 【 例 6 】 计算 3 7 A ， 4 10 A ， 3 7 C ， 48 50 C ，  2 3 19 19 C C ． 2 1 140 n n Α Α ， 求 n 的 值 ． 【 例 7 】 已知   4 3 【 例 8 】 解 不等式   2 8 8 6 x x A A 【 例 9 】 证明 ：    9 8 7 8 9 8 7 8 A 9A 8A A ． 【 例 10 】 解 方程  3 2 2 A 100A x x ． 【 例 11 】 解 不等式   2 8 8 A 6A x x ． 1 11 C 24C x x 【 例 12 】 解 方程 ：   3 2 【 例 13 】 解 不等式 ：   1 8 8 C 3C m m ． n n n x ( 1 ) ( 1 ) L ， 5 1 C ) ， 对于 给定 的 ， 定义         x n 4 x x x x ( 1 ) ( 1 ) L 【 例 14 】 设 [ ] x 表示 不 超过 x 的 最大 整数 ( 如  [ 2 ] 2 ，               x ， 时 ， 函数 8 C x 的 值域 是 ( ) 3 3 2       1 x ， ， 则 当        A ．     16 , 28 3 16 , 56 3   B ．       28 4 , 16 28 4 , , 28 U C ．         U    28 , 56 D ．     3 3 3       【 例 15 】 组合 数 Cr n     1

专题 5 分堆 问题 例 1 ． 现 安排 甲 、 乙 、 丙 、 丁 、 戊 5 名 同学 参加 2022 年 杭州 亚运会 志愿 者 服务 活动 ， 有 翻译 、 导游 、 礼仪 、 司机 四 项 工作 可以 安排 ， 以下 说法 正确 的 是 （ ） A ． 每人 都 安排 一 项 工作 的 不同 方法 数 为 54 B ． 每人 都 安排 一 项 工作 ， 每 项 工作 至少 有 一 人 参加 ， 则 不同 的 方法 数 为 4154 ACC ． 如果 司机 工作 不 安排 ， 其余 三 项 工作 至少 安排 一 人 ， 则 这 5 名 同学 全部 被 安排 的 不同 方法 数 为 3122352533 CCCCAD ． 每人 都 安排 一 项 工作 ， 每 项 工作 至少 有 一 人 参加 ， 甲 、 乙 不会 开车 但 能 从事 其他 三 项 工作 ， 丙 、 丁 、 戊 都 能 胜任 四 项 工作 ， 则 不同 安排 方案 的 种 数 是 1232334333 CCACA 例 2 ． 我 省 5 名 医学 专家 驰援 湖北 武汉 抗击 新冠 肺炎 疫情 现 把 专家 全部 分配 到 A ， B ， C 三 个 集中 医疗 点 ， 每 个 医疗 点 至少 要 分配 1 人 ， 其中 甲 专家 不 去 A 医疗 点 ， 则 不同 分配 种 数 为 （ ） A ． 116 B ． 100C ． 124 D ． 90 例 3 ． 现有 6 位 萌 娃 参加 一 项 “ 寻 宝贝 ， 互助 行 ” 的 游戏 活动 ， 宝贝 的 藏匿 地点 有 远 、 近 两 处 ， 其中 亮 亮 的 年龄 比较 小 ， 要么 不 参与 此项 活动 ， 但 同时 必须 有 另 - - 位 萌 娃 留下 陪同 ； 要么 参与 寻找 近处 的 宝贝 . 所有 参与 寻找 宝贝 任务 的 萌 娃 被 平均 分成 两 组 ， 一 组 去 远处 ， 一 组 去 近处 ， 那么 不同 的 寻找 方案 有 （ ） A ． 10 种 B ． 40 种 C ． 70 种 D ． 80 种 例 4 ． 2019 年 4 月 ， 北京 世界 园艺 博览 会 开幕 ， 为了 保障 园艺 博览 会 安全 顺利 地 进行 ， 某 部门 将 5 个 安保 小组 全部 安排 到 指定 的 三 个 不同 区域 内 值勤 ， 则 每 个 区域 至少 有 一个 安保 小组 的 排 法 有 （ ） A ． 150 种 B ． 240 种 C ． 300 种 D ． 360 种 例 5 ． 有 6 本 不同 的 书 ， 按 下列 方式 进行 分配 ， 其中 分配 种 数 正确 的 是 （ ） A ． 分给 甲 乙 丙 三人 ， 每人 各 2 本 ， 有 90 种 分 法 ； 分给 甲 乙 丙 三人 中 ， 一 人 4 本 ， 另 两 人 各 1 本 ， 有 90 种 分 法 ； 分给 甲 乙 每人 各 2 本 ， 分给 丙 丁 每人 各 1 本 ， 有 180 种 分 法 ； 分给 甲 乙 丙 丁 四 人 ， 有 两 人 各 2 本 ， 另 两 人 各 1 本 ， 有 2160 种 分 法 ； 例 6 ． 将 四 个 不同 的 小球 放 入 三 个 分别 标 有 1 、 2 、 3 号 的 盒子 中 ， 不 允许 有空 盒子 的 放 法 有 多少 种 ？ 下列 结论 正确 的 有 A ． 1111321 CCCC 3 B ． 234 CA 3C ． 12234 CCA 2D ． 181 例 7 ． 江夏 一中 高二 年级 计划 假期 开展 历史 类 班级 研

第 56 讲 排列 与 组合 思维 导 图 知识 梳理 1 ． 排列 、 组合 的 定义 按照 一定 的 顺序 排 成 一 列 ， 叫做 从 n 个 不 排列 的 定义 从 n 个 不同 元素 中同 元素 中 取出 m 个 元素 的 一个 排列 取出 m ( mn ) 个 元 合成 一 组 ， 叫做 从 n 个 不同 元素 中 取出 m 组合 的 定义 素 个 元素 的 一个 组合 2 ． 排列 数 、 组合 数 的 定义 、 公式 、 性质 排列 数 组合 数 从 n 个 不同 元素 中 取出 从 n 个 不同 元素 中 取出 m ( mn ， m ， nN * ) 个 元素 定义 m ( mn ， m ， nN * ) 个 元素 的 所有 不同 排列 的 个数 的 所有 不同 组合 的 个数 公式 An ( n1 ) ( n2 ) ( nm 1 ) C 性质 An ！ 1 C1 ， CC ， CCC 题型 归纳 题型 1 排列 问题 【 例 11 】 有 3 名 男生 、 4 名 女生 ， 在 下列 不同 条件 下 ， 求 不同 的 排列 方法 总数 ． ( 1 ) 选 5 人 排 成 一 排 ； ( 2 ) 排 成 前后 两 排 ， 前 排 3 人 ， 后排 4 人 ； ( 3 ) 全体 排 成 一 排 ， 甲 不 站 排头 也 不 站 排尾 ； ( 4 ) 全体 排 成 一 排 ， 女生 必须 站 在 一起 ； ( 5 ) 全体 排 成 一 排 ， 男生 互不 相邻 ． 【 跟踪 训练 11 】 高三 要 安排 毕业 晚会 的 4 个 音乐 节目 ， 2 个 舞蹈 节目 和 1 个 曲艺 节目 的 演出 顺序 ， 要求 2 个 舞蹈 节目 不 连 排 ， 则 不同 排 法 的 种 数 是 ( 1 800 3 600C ． 4 320 D ． 5 040 【 跟踪 训练 12 】 用 数字 0 , 1 , 2 , 3 , 4 组成 没有 重复 数字 且 大于 3 000 的 四 位数 ， 这样 的 四 位数 有 ( 250 个 B ． 249 个 C ． 48 个 D ． 24 个 【 跟踪 训练 13 】 将 7 个人 ( 其中 包括 甲 、 乙 、 丙 、 丁 4 人 ) 排 成 一 排 ， 若 甲 不 能 在 排头 ， 乙 不 能 在 排尾 ， 丙 、 丁 两 人 必须 相邻 ， 则 不同 的 排 法 共有 ( 1 108 种 B ． 1 008 种 C ． 960 种 D ． 504 种 【 名师 指导 】 求解 排列 应用 问题 的 6 种 主要 方法 直接 法 把 符合 条件 的 排列 数 直接 列 式 计算 优先 法 优先 安排 特殊 元素 或 特殊 位置 捆绑 法 把 相邻 元素 看作 一个 整体 与 其他 元素 一起 排列 ， 同时 注意 捆绑 元素 的 内部 排列 对 不 相邻 问题 ， 先 考虑 不 受 限制 的 元素 的 排列 ， 再 将 不 相邻 的 元素 插 在 前面 元 插 空 法 素 排列 的 空档 中 定 序 问题 对于 定 序 问题 ， 可 先 不 考虑 顺序 限制 ， 排列 后 ， 再 除以 定 序 元素 的 全 排列 除 法 处理 间接 法 正 难 则 反 、 等价 转化 的 方法 题型 2 组合 问题 【 例 21 】 某 市 工商 局 对 35 种 商品 进行 抽样 检查 ， 已知 其中 有 15 种 假货 ． 现 从 35 种 商品 中 选取 3 种 ． ( 1 ) 其中 某 一 种 假货 必须 在内 ， 不同 取 法 有 多少 种 ？ ( 2 ) 其中 某 一

2024 年 新 高考 数学 题型 全 归纳 之 排列 组合 专题 19 列举 法 策略 例 1 ． 三人 互相 传球 ， 由 甲 开始 发球 ， 并 作为 第 一 次 传球 ， 经过 5 次 传球 后 ， 球 仍 回到 甲 手 中 ， 则 不同 的 传球 方式 共有 5 种 B ． 10 种 C ． 8 种 D ． 16 种 例 2 ． 设 有 编号 为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的 五 个 球 和 编号 为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的 五 个 盒子 ， 现 将 这 五 个 球 放 入 这 五 个 盒子 内 ， 要求 每 个 盒子 内 放 一个 球 ， 并且 恰好 有 一个 球 的 编号 与 盒子 的 编号 相同 ， 则 这样 的 投放 方法 的 总数 为 45 例 3 ． 工人 在 安装 一个 正 六边形 零件 时 ， 需要 固定 如 图 所 示 的 六 个 位置 的 螺栓 ． 若 按 一定 顺序 将 每 个 螺栓 固定 紧 ， 但 不 能 连续 固定 相邻 的 2 个 螺栓 ． 则 不同 的 固定 螺栓 方式 的 种 数 是 60 例 4 . 有 红 、 黄 、 兰色 的 球 各 5 只 , 分别 标 有 A 、 B 、 C 、 D 、 E 五 个 字母 , 现 从中 取 5 只 , 要求 各 字母 均 有 且 三色 齐备 , 则 共有 多少 种 不同 的 取 法例 5 ． 从 ， 1 ， 2 ， ， 20 中 选取 四元数 组 且 满足 则 这样 的 四元数 组 的 个数 是 例 6 ． 定义 “ 有 增 有 减 ” 数列 如下 ： ， 满足 ， 且 ， 满足 ． 已知 “ 有 增 有 减 ” 数列 共 4 项 ， 若 2 ， 3 ， ， 且 ， 则 数列 共有 64 个 B ． 57 个 C ． 56 个 D ． 54 个例 7 ． 若 一个 三 位数 的 各位 数字 之 和 为 10 ， 则 称 这 个 三 位数 为 “ 十全十美 数 ” ， 如 208 ， 136 都 是 “ 十全十美 数 ” ， 则 这样 的 “ 十全十美 数 ” 共有 32B ． 64 C ． 54 D ． 961 例 8 ． 集合 ， 2 ， 3 ， 4 ， ． 选择 的 两 个 非 空子 集 和 ， 要 使 中 的 最小 数 大于 中 的 最大 数 ， 则 不同 的 选择 方法 有 49 例 9 ． 定义 域 为 集合 ， 2 ， 3 ， ， 上 的 函数 满足 ： （ 1 1 6 ） 、 成 等比 数列 ； 这样 的 不同 函数 的 个数 为 155 例 10 ． 由 海军 、 空军 、 陆军 各 3 名 士兵 组成 一个 有 不同 编号 的 的 小 方阵 ， 要求 同 一 军种 不 在 同 一 行 ， 也 不 在 同 一 列 ， 有 2592 种 排 法 ． 例 11 ． 设 集合 ， 2 ， 3 ， ， 选择 的 两 个 非 空子 集 和 ， 使得 中 最大 的 数 不 大于 中 最小 的 数 ， 则 可 组成 不同 的 子集 对 49 例 12 ． 若 集合 且 且 用 表示 集合 中 的 元素 个数 ， 则 （ E ） 200B ． 150C ． 100D ． 50 例 13 ． 某 城市 街道 的 平面 图 如 图 所 示 ， 若 每 个 路口 仅 能 沿 右 、 左上 、 右 上 三 个 方向 走 ， 从 至 的 路径 条 数 有 条 ： 若 、 两 处 因故 施工 ， 不 能 通行 ， 从 至 的 路径 条 数 有 条 ， 则 ， 分别

2023 届 新 高考 数学 题型 全 归纳 之 排列 组合 专题 专题 20 定 序 问题 例 1 ． 《 数术 记 遗 》 是 《 算 经 十 书 》 中 的 一 部 ， 相传 是 汉 末 徐岳 （ 约 公元 2 世纪 ） 所 著 ， 该 书 主要 记述 了 ： 积 算 （ 即 筹算 ） 太乙 、 两仪 、 三 才 、 五行 、 八卦 、 九 宫 、 运筹 、 了 知 、 成数 、 把头 、 龟 算 、 珠算 计数 14 种 计算 器械 的 使用 方法 某 研究 性 学习 小组 3 人 分工 搜集 整理 14 种 计算 器械 的 相关 资料 ， 其中 一 人 4 种 、 另 两 人 每人 5 种 计算 器械 ， 则 不同 的 分配 方法 有 （ ） 45534552455 C C C AC C C AC C C 45514105314105214105 A ． 14105 C C CAAA 223322 例 2 ． 今年 3 月 10 日 湖北 武汉 某 方舱 医院 “ 关门大吉 ” ， 某省 驰援 湖北 “ 抗 疫 ” 的 9 名 身高 各 不 相同 的 医 护 人员 站 成 一 排 合影 留念 ， 庆祝 圆满 完成 “ 抗 疫 ” 任务 ， 若 恰好 从 中间 往 两 边 看 都 依次 变 低 ， 则 身高 排 第 4 的 医 护 人员 和 最高 的 医 护 人员 相邻 的 概率 为 （ ） A ． 17B ． 29 C ． 5147 例 3 ． 现有 5 名 学生 ： 甲 、 乙 、 丙 、 丁 、 戊 排 成 一 队 照相 ， 要求 甲 与 乙 相邻 ， 且 甲 、 乙 、 丁 的 左右 顺序 固定 ， 站 法 种 数 为 （ ） A ． 36 B ． 24C ． 20D ． 12 例 4 ． 某 次 数学 获奖 的 6 名 高矮 互不 相同 的 同学 站 成 两 排 照相 ， 后排 每 个 人 都 高于 站 在 他 前面 的 同学 ， 则 共有 多少 种 站 法 （ ） A ． 36 B ． 90C ． 360D ． 720 例 5 ． 4 名 护士 和 2 名 医生 站 成 一 排 ， 2 名 医生 顺序 固定 ， 则 不同 的 排 法 种 数 为 （ ） A ． 480 B ． 360 C ． 288 D ． 144 例 6 ． A ， B ， C ， D ， E 五 个 字母 排 成 一 排 ， 字母 A 排 在 字母 B 的 左边 （ 但 不 一定 相邻 ） 的 排 法 种 数 为 A ． 24 B ． 12C ． 60D ． 120 例 7 ． 元宵 节 灯展 后 ， 悬挂 有 8 盏 不同 的 花灯 需要 取 下 ， 如 图 所 示 ， 每次 取 1 盏 ， 则 不同 的 取 法 共有 32 种 B ． 70 种 C ． 90 种 D ． 280 种 例 8 ． 有 6 张 卡片 分别 写 有 数字 1 、 1 、 1 、 2 、 2 、 2 ， 从中 任 取 4 张 ， 可 排 出 的 四 位数 有 _ 个 . 1 例 9 ． 将 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 这 五 个 数字 放在 构成 “ W ” 型 线段 的 5 个 端点 位置 ， 要求 下面 的 两 个 数字 分别 比 和 它 相邻 的 上面 两 个 数字 大 , 这样 的 安排 方法 种 数 为 _ . 例 10 ． 某 活动 中 ， 有 42 人 排 成 6 行 7 列 ， 现 从中 选出 3 人 进行 礼仪 表演 ， 要求 这 3 人 中 的 任意 2 人 不 同行 也 不同 列 ， 则 不同 的 选 法 种 数 为 （ 用

2023 届 新 高考 数学 题型 全 归纳 之 排列 组合 专题 7 错位 排列 例 1 . 将 数字 1 、 2 、 3 、 4 填 入 标号 为 1 ， 2 ， 3 ， 4 的 四 个 方格 里 ， 每 格 填 一个 数 ， 则 每 个 方格 的 标号 与 所 填 数字 均 不 相同 的 填 法 有 （ ） A ． 6 种 B ． 9 种 C ． 11 种 D ． 23 种 例 2 . 编号 为 1 、 2 、 3 、 4 、 5 的 五 个人 分别 去 坐 编号 为 1 、 2 、 3 、 4 、 5 的 五 个 座位 ， 其中 有 且 只有 两 个 的 编号 与 座位 号 一致 的 坐法 是 （ ） A ． 10 种 B ． 20 种 C ． 30 种 D ． 60 种 例 3 . 同室 4 人 各 写 一张 贺 年 卡 ， 先 集中 起来 ， 然后 每人 从中 拿 一张 别人 送 出 的 贺 年 卡 ， 则 4 张 贺 年 卡 不同 的 分配 方式 共有 ( ) A ． 6 种 B ． 9 种 C ． 11 种 D ． 23 种 例 4 . 五 个人 排 成 一 列 ， 重新 站 队 时 ， 各人 都 不 站 在 原来 的 位置 上 ， 那么 不同 的 站 队 方式 共有 （ ） A ． 60 种 B ． 44 种 C ． 36 种 D ． 24 种 例 5 . 有 五 位 客人 参加 宴会 ， 他们 把 帽子 放在 衣帽 寄放 室内 ， 宴会 结束 后 每人 戴 了 一 顶 帽子 回家 ， 回家 后 ， 他们 的 妻子 都 发现 他们 戴 了 别人 的 帽子 ， 问 5 位 客人 都 不 戴 自己 帽子 的 戴 法 有 多少 种 ？ 例 6 ． 分别 编 有 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 号码 的 人 与 椅 ， 其中 i 号 人 不 坐 i 号 椅 ( 1 i ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ) 的 不同 坐法 有 多少 种 ？ 专题 7 错位 排列 例 1 . 将 数字 1 、 2 、 3 、 4 填 入 标号 为 1 ， 2 ， 3 ， 4 的 四 个 方格 里 ， 每 格 填 一个 数 ， 则 每 个 方格 的 标号 与 所 填 数字 均 不 相同 的 填 法 有 （ ） 1A ． 6 种 B ． 9 种 C ． 11 种 D ． 23 种 【 解析 】 先 把 1 填 入 方格 中 ， 符合 条件 的 有 3 种 方法 ， 第 二 步 把 被 填 入 方格 的 对应 数字 填 入 其它 三 个 方格 ， 又 有 三 种 方法 ； 第 三 步 填 余下 的 两 个 数字 ， 只有 一 种 填 法 ， 共有 3319 种 填 法 ， 选 B ． 例 2 . 编号 为 1 、 2 、 3 、 4 、 5 的 五 个人 分别 去 坐 编号 为 1 、 2 、 3 、 4 、 5 的 五 个 座位 ， 其中 有 且 只有 两 个 的 编号 与 座位 号 一致 的 坐法 是 （ ） A ． 10 种 B ． 20 种 C ． 30 种 D ． 60 种 【 解析 】 先 选择 哪 两 个 编号 一样 有 25 C10 种 ， 剩下 的 三 个 不 能 对应 相同 有 2 种 ， 所以 共有 10220 ， 故 选 B ． 例 3 . 同室 4 人 各 写 一张 贺 年 卡 ， 先 集中 起来 ， 然后 每人 从中 拿 一张 别人 送 出 的 贺 年 卡 ， 则 4 张 贺 年 卡 不同 的 分配 方式 共有 ( ) A ． 6 种 B ． 9 种 C ． 11 种 D ． 2

2023 届 新 高考 数学 题型 全 归纳 之 排列 组合 专题 14 分配 问题 例 1 ． 将 18 个 参加 青 少年 科技 创新 大赛 的 名额 分配 给 3 个 学校 ， 要求 每 校 至少 有 一个 名额 且 各 校 分配 的 名额 互不 相等 ， 则 不同 的 分配 方法 种 数 为 ( ) A ． 96 B ． 114 C ． 128 D ． 136 例 2 ． 北京 某 大学 为 第 十 八 届 四中 全会 招募 了 30 名 志愿 者 （ 编号 分别 是 1 ， 2 ， ， 30 号 ） ， 现 从中 任意 选取 6 人 按 编号 大小 分成 两 组 分配 到 江西 厅 、 广电 厅 工作 ， 其中 三 个 编号 较 小 的 人 在 一 组 ， 三 个 编号 较 大 的 在 另 一 组 ， 那么 确保 6 号 、 15 号 与 24 号 同时 入选 并 被 分配 到 同 一 厅 的 选取 种 数 是 （ ） A ． 25B ． 32C ． 60D ． 100 例 3 ． 学校 决定 把 12 个 参观 航天 航空 博 物 馆 的 名额 给 二 （ 1 ） 、 二 （ 2 ） 、 二 （ 3 ） 、 二 （ 4 ） 四 个 班级 . 要求 每 个 班 分得 的 名额 不 比 班级 序号 少 ； 即 二 ( 1 ) 班 至少 1 个 名额 , 二 ( 2 ) 班 至少 2 个 名额 ， ， 则 分配 方案 有 ( ) A ． 10 种 B ． 6 种 C ． 165 种 D ． 495 种 例 4 ． 将 甲 、 乙 、 丙 、 丁 四 位 辅导 老师 分配 到 A 、 B 、 C 、 D 四 个 班级 ， 每 个 班级 一 位 老师 ， 且 甲 不 能 分配 到 A 班 ， 丁 不 能 分配 到 B 班 ， 则 共有 分配 方案 的 种 数 为 （ ） A ． 10B ． 12C ． 14 D ． 24 例 5 ． 3 名 医生 和 6 名 护士 被 分配 到 3 所 学校 为 学生 体检 ， 每 校 分配 1 名 医生 和 2 名 护士 ， 不同 的 分配 方法 共有 （ ） A ． 90 种 B ． 180 种 C ． 270 种 D ． 540 种 例 6 ． 4 名 大学生 被 分配 到 3 所 学校 实习 ， 每 所 学校 至少 分配 一 名 大学生 ， 则 不同 的 分配 方案 有 （ ） A ． 12B ． 24C ． 36 D ． 72 例 7 ． 将 5 名 教师 分配 到 甲 、 乙 、 丙 三 所 学校 任教 ， 其中 甲 校 至少 分配 两 名 教师 ， 其它 两 所 学校 至少 分配 一 名 教师 ， 则 不同 的 分配 方案 共有 几 种 （ ） A ． 60 B ． 80C ． 150D ． 360 例 8 ． 2019 年 10 月 17 日 是 我国 第 6 个 “ 扶贫 日 ” ， 某 医院 开展 扶贫 日 “ 送 医 下乡 ” 医疗 义诊 活动 ， 现有 五 名 医生 被 分配 到 四 所 不同 的 乡镇 医院 中 ， 医生 甲 被 指定 分配 到 医院 A ， 医生 乙 只能 分配 到 医院 A 或 医院 B ， 医生 丙 不 能 分配 到 医生 甲 、 乙 所在 的 医院 ， 其他 两 名 医生 分配 到 哪 所 医院 都 可以 ， 若 每 所 医院 至少 分配 一 名 医生 ， 则 不同 的 分配 方案 共有 ( ) A ． 18 种 B ． 20 种 C ． 22 种 D ． 24 种 例 9 ． 把 3 名 新生 分

2023 届 新 高考 数学 题型 全 归纳 之 排列 组合 专题 4 数字 问题 例 1 ． 由 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 这 6 个 数字 可以 组成 五 位 没有 重复 数字 的 奇数 个数 为 ( ) A ． 288 B ． 360 C ． 480D ． 600 例 2 ． 罗马 数字 是 欧洲 在 阿拉伯 数字 传入 之前 使用 的 一 种 数码 ， 它 的 产生 标志 着 一 种 古代 文明 的 进步 . 罗马 数字 的 表示 法 如下 ： 数字 123456789 形式 其中 “ ” 需要 1 根 火柴 ， “ ” 与 “ X ” 需要 2 根 火柴 ， 若 为 0 ， 则 用 空位 表示 . （ 如 123 表示 为 ， 405 表示 为 ） 如果 把 6 根 火柴 以 适当 的 方式 全部 放 入 下面 的 表格 中 ， 那么 可以 表示 的 不同 的 三 位数 的 个数 为 （ ） A ． 87 B ． 95 C ． 100D ． 103 例 3 ． 用 0 、 1 、 2 、 3 、 4 、 5 这 六 个 数字 ， 组成 数字 不 重复 且 大于 3000 ， 小于 5421 的 四 位数 有 （ ） 个 A ． 175 B ． 174 C ． 180D ． 185 例 4 ． 将 数字 1 、 1 、 2 、 2 、 3 、 3 、 4 、 4 排 成 四 行 两 列 ， 要求 每 行 的 数字 互不 相同 ， 每 列 的 数字 也 互不 相同 ， 则 不同 的 排列 方法 共有 （ ） A ． 216 B ． 72 C ． 266 D ． 274 例 5 ． 从 集合 { A ， B ， C ， D ， E ， F } 和 { 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 } 中 各 任 取 2 个 元素 排 成 一 排 （ 字母 和 数字 均 不 能 重复 ） ． 则 每 排 中 字母 C 和 数字 4 ， 7 至少 出现 两 个 的 不同 排 法 种 数 为 （ ） A ． 85 B ． 95 C ． 2040 D ． 2280 例 6 ． 由 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 组成 没有 重复 数字 的 五 位数 ， 且 是 奇数 ， 其中 恰 有 两 个 数字 是 偶数 ， 则 这样 的 五 位数 的 个数 为 7200 B ． 6480 C ． 4320 D ． 5040 例 7 ． 将 6 个数 2 ， 0 ， 1 ， 9 ， 20 ， 19 将 任意 次序 排 成 一 行 ， 拼 成 一个 8 位数 （ 首 位 不 为 0 ） ， 则 产生 的 不同 的 8 位数 的 个数 是 （ ） 1A ． 546 B ． 498 C ． 516 D ． 534 例 8 ． 2016 里约 奥运 会 期间 ， 小赵 常 看 的 6 个 电视 频道 中 有 2 个 频道 在 转播 奥运 比赛 ， 若 小赵 这时 打开 电视 ， 随机 打开 其中 一个 频道 ， 若 在 转播 奥运 比赛 ， 则 停止 换 台 ， 否则 就 进行 换 台 ， 那么 ， 小赵 所 看到 的 第 三 个 电视 台 恰好 在 转播 奥运 比赛 的 不同 情况 有 （ ） A ． 6 种 B ． 24 种 C ． 36 种 D ． 42 种 例 9 ． 2019 年 10 月 1 日 ， 中华 人民 共和国 成立 70 周年 ， 举国 同庆 . 将 2 ， 0 ， 1 ， 9 ， 10 这 5 个 数字 按照 任意 次序 排 成 一 行 ， 拼 成 一个 6 位数 ， 则 产生 的 不同 的 6 位数 的 个数 为 （ ） A ． 72 B ． 84 C ． 9

2023 届 新 高考 数学 题型 全 归纳 之 排列 组合 专题 19 列举 法 策略 例 1 ． 三人 互相 传球 ， 由 甲 开始 发球 ， 并 作为 第 一 次 传球 ， 经过 5 次 传球 后 ， 球 仍 回到 甲 手 中 ， 则 不同 的 传球 方式 共有 ( ) A ． 5 种 B ． 10 种 C ． 8 种 D ． 16 种 例 2 ． 设 有 编号 为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的 五 个 球 和 编号 为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的 五 个 盒子 ， 现 将 这 五 个 球 放 入 这 五 个 盒子 内 ， 要求 每 个 盒子 内 放 一个 球 ， 并且 恰好 有 一个 球 的 编号 与 盒子 的 编号 相同 ， 则 这样 的 投放 方法 的 总数 为 45 ． 例 3 ． 工人 在 安装 一个 正 六边形 零件 时 ， 需要 固定 如 图 所 示 的 六 个 位置 的 螺栓 ． 若 按 一定 顺序 将 每 个 螺栓 固定 紧 ， 但 不 能 连续 固定 相邻 的 2 个 螺栓 ． 则 不同 的 固定 螺栓 方式 的 种 数 是 60 ． 例 4 . 有 红 、 黄 、 兰色 的 球 各 5 只 , 分别 标 有 A 、 B 、 C 、 D 、 E 五 个 字母 , 现 从中 取 5 只 , 要求 各 字母 均 有 且 三色 齐备 , 则 共有 多少 种 不同 的 取 法例 5 ． 从 ， 1 ， 2 ， 3 ， 20 中 选取 四元数 组 1 ( a ， 2a ， 3a ， 4 ) a ， 且 满足 21 3 aa ， 32 4 aa ， 43 5 aa ， 则 这样 的 四元数 组 1 ( a ， 2a ， 3a ， 4 ) a 的 个数 是 ( ) A ． 48 CB ． 411 CC ． 414 CD ． 416 C 例 6 ． 定义 “ 有 增 有 减 ” 数列 { } na 如下 ： * tN ， 满足 1 ttaa ， 且 * sN ， 满足 1 SSaa ． 已知 “ 有 增 有 减 ” 数列 { } na 共 4 项 ， 若 { iax ， y ， } ( 1 z i ， 2 ， 3 ， 4 ) ， 且 xyz ， 则 数列 { } na 共有 ( ) A ． 64 个 B ． 57 个 C ． 56 个 D ． 54 个例 7 ． 若 一个 三 位数 的 各位 数字 之 和 为 10 ， 则 称 这 个 三 位数 为 “ 十全十美 数 ” ， 如 208 ， 136 都 是 “ 十全十美 数 ” ， 则 这样 的 “ 十全十美 数 ” 共有 ( ) 个 A ． 32B ． 64 C ． 54 D ． 96 例 8 ． 集合 { 1 I ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 } ． 选择 I 的 两 个 非 空子 集 A 和 B ， 要 使 B 中 的 最小 数 大于 A 中 的 最大 数 ， 则 不同 的 选择 方法 有 49 种 ． 1 例 9 ． 定义 域 为 集合 { 1 ， 2 ， 3 ， ， 12 } 上 的 函数 ( ) f x 满足 ： f （ 1 ） 1 ； | ( 1 ) ( ) | 1 ( 1 f xf xx ， 2 ， ， 11 ) ； f （ 1 ） 、 f （ 6 ） 、 ( 12 ) f 成 等比 数列 ； 这样 的 不同 函数 ( ) f x 的 个数 为 155 ． 例 10 ． 由 海军 、 空军 、 陆军 各 3 名 士兵 组成 一个 有 不同 编号 的 3 3 的 小 方阵 ， 要求 同 一 军种 不 在 同 一 行 ， 也 不 在 同 一 列 ， 有 2592 种 排 法 ． 例 11 ． 设 集合 { 1 I ， 2 ， 3 ， 4 } ， 选择 I 的 两 个 非 空子 集 A 和

排列 组合 12 种 题型 归纳 1 ． 排列 与 组合 的 概念 名称 定义 区别 按照 一定 的 顺序 排 成 一 列 排列 从 n 个 不同 元素 中 取出 排列 有序 ， 组合 无序 m ( mn ) 个 元素 组合 合成 一 组 2 . 排列 数 与 组合 数 定义 计算 公式 性质 联系 从 n 个 不同 元素 中 取出 m ( mn ) 个 元素 的 所有 排 Amnn ( n1 ) ( n2 ) ( nm 1 ) ( 1 ) Annn ！ 不同 排列 的 个数 ， 叫做 列 n ！ 从 n 个 不同 元素 中 取出 ( 2 ) 0 ！ ( n ， mN * ， 且 mn ) 数 m 个 元素 的 排列 数 ． 用 符号 “ Amn ” 表示 CmnAmnm ！ 从 n 个 不同 元素 中 取出 ( 1 ) CnnC 0 n1 ； m ( mn ) 个 元素 的 所有 Cmnnn 1 n2 nm 1 组 m ！ 不同 组合 的 个数 ， 叫做 ( 2 ) CmnCnmn ； 从 n 个 不同 元素 中 取出 m ！ ( n ， mN * ， 且 m 数 ( 3 ) Cmn 1 Cmnm 个 元素 的 组合 数 ． 用 符 n ) Cm1 n 号 “ Cmn ” 表示 【 题型 一 】 人 坐 座位 模型 1 ： 捆绑 与 插 空 【 典 例 分析 】 1 . 有 四 男生 ， 三 女生 站 一 排 ， 其中 只有 俩 个 女生 相邻 : 2 . 有 四 男生 ， 4 女生 站 一 排 ， 女生 若 相邻 ， 则 最 多 2 个 女生 相邻 ： 【 变 式 演练 】 1 . 在 某 班 进行 的 歌唱 比赛 中 ， 共有 5 位 选手 参加 ， 其中 3 位 女生 ， 2 位 男生 ． 如果 2 位 男生 不 能 连着 出场 ， 且 女生 甲 不 能 排 在 第 一 个 ， 那么 出场 顺序 的 排 法 种 数 为 A ． 30 B ． 36C ． 60D ． 722 . 某 次 联欢 会 要 安排 3 个 歌舞 类 节目 、 2 个 小品 类 节目 和 1 个 相声 类 节目 的 演出 顺序 ， 则 同类 节目 不 相邻 的 排 法 种 数 是 （ ） A ． 144 B ． 120C ． 72 D ． 483 . 2021 年 4 月 15 日 ， 是 第 六 个 全民 国家 安全 教育 日 ， 教育 厅 组织 宣讲 团 到 某 市 的 六 个 不同 高校 进行 国家 安全 知识 的 宣讲 ， 时间 顺序 要求 是 ： 高校 甲 必须 排 在 第 二 或 第 三 个 ， 且 高校 甲 宣讲 结束 后 需 立即 到 高校 丁 宣讲 ， 高校 乙 高校 丙 的 宣讲 顺序 不 能 相邻 ， 则 不同 的 宣讲 顺序 共有 （ ） A ． 28 种 B ． 32 种 C ． 36 种 D ． 44 种 【 题型 二 】 人 坐 座位 模型 2 ： 染色 （ 平面 ） 【 典 例 分析 】 如 图 为 我国 数学 家 赵爽 （ 约 3 世纪 初 ） 在 为 《 周 髀 算 经 》 作 注 时 验证 勾股 定理 的 示意 图 ， 现在 提供 5 种 颜色 给 其中 5 个 小区 涂色 ， 规定 每 个 区域 只能 涂 一 种 颜色 ， 相邻 区域 颜色 不同 ， 则 A 、 C 区域 颜色 不 相同 的 概率 是 A . 1 / 7 b . 2 / 7 c . 3 / 7D . 4 / 7 【 变 式 演练 】 1 . 正方体 六 个 面上 分别 标 有 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 六 个 字母 ， 现 用 5 种 不同 的 颜色 给 此 正方体 六 个 面 染色 ， 要求 有 公共 棱 的 面 不 能 染 同 一

【 题型 归纳 】 题型 一 计数 原理 的 基本 应用 例 1 某 校 开设 A 类 选修 课 2 门 ， B 类 选修 课 3 门 ， 一 位 同学 从 中选 3 门 ． 若 要求 两 类 课程 中 各 至少 选 一门 ， 则 不同 的 选 法 共有 A ． 3 种 B ． 6 种 C ． 9 种 D ． 18 种 【 答案 】 C . 1 C32 = 6 种 不 【 解析 】 可 分 以下 2 种 情况 ： A 类 选修 课 选 1 门 ， B 类 选修 课 选 2 门 ， 有 C 22 C 31 = 3 种 不同 的 选 法 ． 所以 根据 同 的 选 法 ； A 类 选修 课 选 2 门 ， B 类 选修 课 选 1 门 ， 有 C2 分类 计数 原理 知 不同 的 选 法 共有 6 + 3 = 9 种 ． 故 要求 两 类 课程 中 各 至少 选 一门 ， 则 不同 的 选 法 共有 9 种 ． 故 选 ： C 【 易错 点 】 注意 先 分类 再 分步 【 思维 点拨 】 两 类 课程 中 各 至少 选 一门 ， 包含 两 种 情况 ： A 类 选修 课 选 1 门 ， B 类 选修 课 选 2 门 ； A 类 选修 课 选 2 门 ， B 类 选修 课 选 1 门 ， 写 出 组合 数 ， 根据 分类 计数 原理 得到 结果 . 题型 二 特殊 元素 以及 特殊 位置 例 1 将 A , B , C , D , E , F 六 个 字母 排 成 一 排 ， 且 A , B 均 在 C 的 同 侧 ， 则 不同 的 排 法 有 （ ） 种 . （ 用 数字 作答 ） 【 答案 】 480 【 解析 】 考虑 到 A , B , C 要求 有 顺序 地 排列 ， 所以 将 这 三 个 字母 当作 特殊 元素 对待 。 先 排 D , E , F 三 个 字母 ， 有 A63 = 120 种 排 法 ； 再 考虑 A , B , C 的 情况 ： C 在 最 左 端 有 2 种 排 法 ， 最 右端 也 是 2 种 排 法 ， 所以 答案 是 120 × 4 = 480 种 . 【 易错 点 】 注意 特殊 元素 的 考虑 【 思维 点拨 】 对于 特殊 元素 与 特殊 位置 的 考量 ， 需要 瞻前顾后 ， 分析 清楚 情况 ， 做到 “ 不 重复 不 遗漏 ” ； 如果 情况 过于 复杂 ， 可以 考虑 列举 法 ， 虽然 形式 上 更 细碎 一些 ， 但是 情况 分 的 越 多 越 细微 ， 每 种 情况 越 简单 ， 准确 度 就 越 高 . 题型 三 捆绑 型 问题 以及 不 相邻 问题 1 例 1 由 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 组成 没有 重复 数字 且 1 ， 3 都 不 与 5 相邻 的 六 位 偶数 的 个数 是 （ ） 个 . A ． 72 种 B ． 96 种 C ． 108 种 D ． 144 种 【 答案 】 C 【 解析 】 要求 是 偶数 ， 所以 先 确定 末尾 数字 ， 有 2 ， 4 ， 6 一共 3 种 情况 ； 然后 再 确定 5 这 个 特殊 数字 的 位置 ， 本身 有 5 种 情况 ， 但是 考虑 到 要 与 1 ， 3 不 相邻 ， 所以 根据 5 的 左右 两侧 情况 ， 分为 5 这 个 特殊 数字 在 十 万 位 以及 十 位 （ 只有 1 个 相邻 的 位置 ） ， 以及 其它 的 3 个 位置 ； 1 ( C21 C21 A33 + C31 A22 A2 然后 再 考虑 后面 的 情况 . 分析 清楚 情况 后 ， 答案 就 出来 了 ： C32 ） = 108 种 . 【 易错 点 】

排列 组合 问题 联系 实际 生动 有趣 ， 但 题型 多样 ， 思路 灵活 ， 因此 对于 抽象 思维 能力 要求 较 高 ， 计算 上 也 有 一定 的 技巧 性 。 本文 旨在 帮助 考生 掌握 解决 排列 组合 问题 的 常用 策略 和 方法 ， 总结 出 一些 常见 的 题型 ， 以便 更 好 地 应对 高考 排列 组合 问题 。 一 、 排列 组合 基本 概念 排列 组合 是 组合 学 最 基本 的 概念 。 所谓 排列 ， 就是 指 从 给定 个数 的 元素 中 取出 指定 个数 的 元素 进行 排序 。 组合 则 是 指 从 给定 个数 的 元素 中 仅仅 取出 指定 个数 的 元素 ， 不 考虑 排序 。 二 、 排列 组合 的 公式 排列 组合 的 公式 为 ： 其中 ， \ ( n \ ) 表示 元素 的 总数 ， \ ( m \ ) 表示 要 取出 的 元素 的 个数 。 \ ) 表示 从 \ ( 1 \ ) 到 \ ( n \ ) 的 阶乘 ， \ ( 0 ! \ ) 表示 \ ( 1 \ ) 。 三 、 常见 的 排列 组合 题型 1 . 相邻 问题 捆绑 法 ： 题目 中 规定 相邻 的 几 个 元素 捆绑 成 一个 组 ， 当作 一个 大 元素 参与 排列 。 2 . 不 相邻 问题 插 空 法 ： 元素 不 相邻 的 问题 ， 可 先 把 无 位置 要求 的 几 个 元素 进行 全 排列 ， 再 把 不 相邻 的 元素 插入 到 前面 元素 排列 的 空 当中 。 3 . 多 排 问题 单排 法 ： 把 元素 排 成 几 排 的 问题 ， 可 归结 为 一 排 考虑 ， 再 分 段 处理 。 4 . 重排 问题 求 幂 法 ： 允许 重复 的 排列 问题 ， 根据 排列 数 定义 写 出 对应 阶乘 ， 即可 求解 。 5 . 至少 问题 间接 法 ： 从 总体 中 排除 不 符合 条件 的 方法 数 ， 这 是 一 种 间接 求 法 ， 这种 方法 适合 于 反面 情况 明确 且 易于 计算 的 情况 。 6 . 元素 相同 问题 隔板 法 ： 将 n 个 相同 的 元素 分成 m 份 （ n ， m 为 正 整数 ） ， 每 份 至少 一个 元素 ， 可以 用 m - 1 块 隔板 ， 插入 n 个 元素 排 成 一 排 的 所有 方法 数 。 7 . 正 难 则 反 总体 淘汰 法 ： 如果 直接 考虑 总 的 情况 数 较 复杂 ， 而 它 的 反面 情况 数 较 少 ， 则 在 考虑 总 的 情况 数 时 ， 可 排除 它 的 反面 情况 数 。 8 . 平均 分组 问题 除 法 策略 ： 平均 分成 的 组 ， 不管 它们 的 顺序 如何 ， 都 是 一 种 情况 ， 所以 分组 后 要 一定 要 除以 \ ( A _ { n } ^ { n } \ ) （ \ ( n \ ) 为 组 数 ） 避免 重复 计数 。 9 . 有序 分配 问题 逐 分 法 ： 有序 分配 问题 指 把 元素 分成 若干 组 ， 可用 逐步 下 量 分组 法 。 四 、 结语 排列 组合 是 高考 的 重点 内容 ， 也 是 难点 内容 。 对于 这 部分 知识 ， 同学 们 应该 熟练 掌握 其 基本 概念 和 公式 ， 并且 能够 灵活 运用 这些 概念 和 公式 来 解决 各种 实

高中 数学 排列 与 组合 （ 一 ） 典型 分类 讲解 一 . 特殊 元素 和 特殊 位置 优先 策略 例 1 . 由 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 可以 组成 多少 个 没有 重复 数字 五 位 奇数 . 解 : 由于 末位 和 首 位 有 特殊 要求 , 应该 优先 安排 , 以免 不合 要求 的 元素 占 了 这 两 个 位置 . 先 排 末位 共有 31 C 然后 排 首 位 共有 41 C 最后 排 其它 位置 共有 34A 由 分步 计数 原理 得 113434 CCA 288 练习 题 : 7 种 不同 的 花种 在 排 成 一 列 的 花盆 里 , 若 两 种 葵花 不 种 在 中间 ， 也 不 种 在 两 端 的 花盆 里 ， 问 有 多少 不同 的 种法 ？ 二 . 相邻 元素 捆绑 策略 例 2 . 7 人 站 成 一 排 , 其中 甲 乙 相邻 且 丙 丁 相邻 , 共有 多少 种 不同 的 排 法 . 解 ： 可 先 将 甲 乙 两 元素 捆绑 成 整体 并 看成 一个 复合 元素 ， 同时 丙 丁 也 看成 一个 复合 元素 ， 再 与 其它 元素 进行 排列 ， 同时 对 相邻 元素 内部 进行 自 排 。 由 分步 计数 原理 可 得 共有 522522 AAA 480 种 不同 的 排 法 乙 甲丁 丙 要求 某 几 个 元素 必须 排 在 一起 的 问题 , 可以 用 捆绑 法 来 解决 问题 . 即将 需要 相邻 的 元素 合并 为 一个 元素 , 再 与 其它 元素 一起 作 排列 , 同时 要 注意 合并 元素 内部 也 必须 排列 . 练习 题 : 某人 射击 8 枪 ， 命中 4 枪 ， 4 枪 命中 恰好 有 3 枪 连 在 一起 的 情形 的 不 同种 数 为 20 三 . 不 相邻 问题 插 空 策略 例 3 . 一个 晚会 的 节目 有 4 个 舞蹈 , 2 个 相声 , 3 个 独唱 , 舞蹈 节目 不 能 连续 出场 , 则 节目 的 出场 顺序 有 多少 种 ？ 解 : 分 两 步 进行 第 一 步 排 2 个 相声 和 3 个 独唱 共有 55 A 种 ， 第 二 步 将 4 舞蹈 插入 第 一 步 排 好 的 6 个 元素 中间 包含 首尾 两 个 空位 共有 种 46 A 不同 的 方法 , 由 分步 计数 原理 , 节目 的 不同 顺序 共有 5456 AA 种 元素 相离 问题 可 先 把 没有 位置 要求 的 元素 进行 排队 再 把 不 相邻 元素 插入 中间 和 两 端 练习 题 ： 某 班 新年 联欢 会 原定 的 5 个 节目 已 排 成 节目 单 ， 开演 前 又 增加 了 两 个 新 节目 . 如果 将 这 两 个 新 节目 插入 原 节目 单 中 ， 且 两 个 新 节目 不 相邻 ， 那么 不同 插 法 的 种 数 为 30 四 . 定 序 问题 倍 缩 空位 插入 策略 例 4 . 7 人 排队 , 其中 甲 乙 丙 3 人 顺序 一定 共有 多少 不同 的 排 法 解 : ( 倍 缩 法 ) 对于 某 几 个 元素 顺序 一定 的 排列 问题 , 可 先 把 这 几 个 元素 与 其他 元素 一起 进行 排列 , 然后 用 总 排列 数 除以 这 几 个 元素 之间 的 全 排列 数 , 则 共有 不同 排 法 种 数 是 ： 7373 A / A ( 空位 法 ) 设想 有 7 把 椅子 让 除 甲 乙 丙 以外 的

在 高中 数学 中 ， 排列 组合 是 一个 重要 的 分支 ， 它 研究 的 是 如何 计算 从 给定 的 元素 中 选取 一些 元素 进行 排列 或 组合 的 方法 。 以下 是 一些 常见 的 排列 组合 题型 ： 一 、 排列 组合 的 基本 概念 1 . 排列 ： 从 $ n $ 个 不同 元素 中 取出 $ m ( m \ leq n ) $ 个 元素 ， 按照 一定 的 顺序 排 成 一 列 ， 叫做 从 $ n $ 个 不同 元素 中 取出 $ m $ 个 元素 的 一个 排列 。 2 . 组合 ： 从 $ n $ 个 不同 元素 中 取出 $ m ( m \ leq n ) $ 个 元素 并 成 一 组 ， 叫做 从 $ n $ 个 不同 元素 中 取出 $ m $ 个 元素 的 一个 组合 。 3 . 排列 数 公式 ： 从 $ n $ 个 不同 元素 中 取出 $ m ( m \ leq n ) $ 个 元素 的 所有 排列 的 个数 ， 叫做 从 $ n $ 个 不同 元素 中 取出 $ m $ 个 元素 的 排列 数 ， 用 符号 $ A _ { n } ^ m $ 表示 。 4 . 组合 数 公式 ： 从 $ n $ 个 不同 元素 中 取出 $ m ( m \ leq n ) $ 个 元素 的 所有 组合 的 个数 ， 叫做 从 $ n $ 个 不同 元素 中 取出 $ m $ 个 元素 的 组合 数 ， 用 符号 $ C _ { n } ^ m $ 表示 。 二 、 常见 的 排列 组合 题型 （ 一 ） 特殊 元素 和 特殊 位置 优先 策略 题目 中 有 限制 条件 的 元素 或 位置 称为 特殊 元素 或 特殊 位置 ， 优先 安排 特殊 元素 或 特殊 位置 的 排列 组合 问题 ， 叫做 特殊 元素 或 特殊 位置 优先 策略 。 例如 ， 在 [ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ] 中 取出 三 个 数字 组成 三 位数 ， 要求 三 个 数字 中 既 有 偶数 又 有 奇数 ， 问 有 多少 种 不同 的 排 法 ？ 分析 ： 题目 要求 组成 的 三 位数 中 既 有 偶数 又 有 奇数 ， 因此 优先 安排 特殊 元素 。 0 是 偶数 不是 奇数 ， 因此 ， 0 不 能 在 个 位 。 解 ： 首先 从 1 ， 3 ， 5 中选 两 个 数字 排 在 个 位 和 百 位 ， 有 $ A _ { 3 } ^ 2 $ 种 方法 ； 然后 从 剩下 的 三 个数 中选 一个 排 在 十 位 ， 有 $ A _ { 3 } ^ 1 $ 种 方法 。 根据 乘法 原理 ， 一共 有 $ A _ { 3 } ^ 2 \ times A _ { 3 } ^ 1 = 18 $ 种 不同 的 排 法 。 （ 二 ） 相邻 元素 捆绑 策略 要求 某 几 个 元素 必须 排 在 一起 的 问题 ， 可以 用 捆绑 法 来 解决 。 即将 需要 相邻 的 元素 合并 为 一个 大 元素 ， 再 与 其它 元素 进行 排列 组合 ， 最后 再 将 相邻 的 元素 进行 内部 排列 。 例如 ， 五 人 并排 站 成 一 排 ， 其中 甲 必须 站 在 中间 ， 有 多少 种 不同 的 排 法 ？ 分析 ： 因为 甲 只能 站 在 中间 ， 那么 问题 就 转化 为 其他 四 人 的 排列 问题 。 解 ： 根据 乘法 原理 ， 其他 四 人 的 排列 方法 有 $ A _ { 4 } ^ 4 $ 种 ， 因此 一共 有 $ A _ { 4 } ^ 4 = 24 $ 种 不同 的 排 法 。 （ 三

排列 组合 是 高中 数学 中 的 重要 内容 ， 它 与 我们 的 日常 生活 息息相关 ， 也 是 学习 概率 论 的 基础 。 排列 组合 的 基本 概念 包括 排列 、 组合 、 二 项 式 定理 等 ， 其中 排列 是 指 从 给定 的 $ n $ 个 不同 元素 中 取出 $ m $ 个 元素 ， 按照 一定 的 顺序 排 成 一 列 ， 而 组合 则 是 指 从 给定 的 $ n $ 个 不同 元素 中 取出 $ m $ 个 元素 ， 不 考虑 其 顺序 ， 只 计算 组合 数 。 一 、 排列 组合 的 公式 1 . 排列 公式 ： $ A _ { n } ^ m = \ frac { n ! 2 . 组合 公式 ： $ C _ { n } ^ m = \ frac { n ! 3 . 二 项 式 定理 ： $ ( a + b ) ^ n = \ sum \ limits _ { k = 0 } ^ nC _ { n } ^ ka ^ { n - k } b ^ k $ 二 、 排列 组合 的 应用 1 . 排列 组合 在 生活 中 的 应用 ： 例如 ， 从 甲地 到 乙地 有 3 种 交通 工具 可以 选择 ， 从 乙地 到 丙地 有 2 种 交通 工具 可以 选择 ， 问 从 甲地 经 乙地 到 丙地 一共 有 几 种 不同 的 走 法 。 2 . 排列 组合 在 数学 中 的 应用 ： 例如 ， 从 1 , 2 , 3 , 4 , 5 这 5 个 数字 中 取出 3 个 数字 组成 一个 没有 重复 数字 的 三 位数 ， 有 多少 种 不同 的 取 法 。 三 、 排列 组合 的 解题 方法 1 . 分类 讨论 ： 对于 复杂 的 排列 组合 问题 ， 可以 通过 分类 讨论 的 方法 ， 将 问题 转化 为 若干 个 简单 的 问题 进行 求解 。 2 . 分步 计数 ： 对于 排列 组合 问题 ， 可以 采用 分步 计数 的 方法 ， 即 先 考虑 第 一 步 有 多少 种 可能 ， 再 考虑 第 二 步 有 多少 种 可能 ， 以此类推 ， 最后 将 所有 的 可能 性 相乘 。 3 . 排列 组合 的 性质 ： 排列 组合 的 性质 包括 加法 原理 和 乘法 原理 ， 加法 原理 是 指 完成 一 件 事 有 n 类 方法 ， 第 一 类 方法 中 有 $ m _ 1 $ 种 不同 的 方法 ， 第 二 类 方法 中 有 $ m _ 2 $ 种 不同 的 方法 ， 以此类推 ， 第 n 类 方法 中 有 $ m _ n $ 种 不同 的 方法 ， 那么 完成 这 件 事 共有 $ N = m _ 1 + m _ 2 + m _ 3 + \ cdots + m _ n $ 种 不同 的 方法 。 乘法 原理 是 指 完成 一 件 事 需要 经过 n 个 步骤 ， 第 一 步 有 $ m _ 1 $ 种 不同 的 方法 ， 第 二 步 有 $ m _ 2 $ 种 不同 的 方法 ， 以此类推 ， 第 n 步 有 $ m _ n $ 种 不同 的 方法 ， 那么 完成 这 件 事 共有 $ N = m _ 1 \ times m _ 2 \ times m _ 3 \ times \ cdots \ times m _ n $ 种 不同 的 方法 。 四 、 排列 组合 的 易错 点 1 . 混淆 排列 与 组合 的 概念 ： 排列 与 组合 的 区别 在于 是否 考虑 元素 的 顺序 。 2 . 重复 计算 ： 在 计算 排列 组合 时 ， 容易 出现 重复 计算 的 情况 ， 需要 仔细 检查 。 3 . 遗漏 情况 ： 在 分类 讨论 或

1 排列 组合 1 . 分类 计数 原理 （ 加法 原理 ） 完成 一 件 事 ， 有 n 类 办法 ， 在 第 1 类 办法 中 有 m1 种 不同 的 方法 ， 在 第 2 类 办法 中 有 m2 种 不同 的 方法 ， ， 在 第 n 类 办法 中 有 mn 种 不同 的 方法 ， 那么 完成 这 件 事 共有 ： N m1 m2 L mn 种 不同 的 方法 ． 2 . 分步 计数 原理 （ 乘法 原理 ） 完成 一 件 事 ， 需要 分成 n 个 步骤 ， 做 第 1 步 有 m1 种 不同 的 方法 ， 做 第 2 步 有 m2 种 不同 的 方法 ， ， 做 第 n 步 有 mn 种 不同 的 方法 ， 那么 完成 这 件 事 共有 ： N m1 m2 L mn 种 不同 的 方法 ． 3 . 分类 计数 原理 分步 计数 原理 区别 分类 计数 原理 方法 相互 独立 ， 任何 一 种 方法 都 可以 独立 地 完成 这 件 事 。 分步 计数 原理 各 步 相互 依存 ， 每 步 中 的 方法 完成 事件 的 一个 阶段 ， 不 能 完成 整个 事件 ． 一 . 特殊 元素 和 特殊 位置 优先 策略 例 1 、 . 由 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 可以 组成 多少 个 没有 重复 数字 五 位 奇数 . 解 : 由 分步 计数 原理 得 C 14 C31 A43 288 练习 题 ： 7 种 不同 的 花种 在 排 成 一 列 的 花盆 里 , 若 两 种 葵花 不 种 在 中间 ， 也 不 种 在 两 端 的 花盆 里 ， 问 有 多少 不同 的 种法 ？ 二 . 相邻 元素 捆绑 策略 例 2 、 7 人 站 成 一 排 , 其中 甲 乙 相邻 且 丙 丁 相邻 , 共有 多少 种 不同 的 排 法 . 解 ： A55 A22 A22 480 要求 某 几 个 元素 必须 排 在 一起 的 问题 , 可以 用 捆绑 法 来 解决 问题 . 即将 需要 相邻 的 元素 合并 为 一个 元素 , 再 与 其它 元素 一起 作 排列 , 同时 要 注意 合并 元素 内部 也 必须 排列 . 练习 题 ： 某人 射击 8 枪 ， 命中 4 枪 ， 4 枪 命中 恰好 有 3 枪 连 在 一起 的 情形 的 不 同种 数 为 20 三 . 不 相邻 问题 插 空 策略 例 3 . 、 一个 晚会 的 节目 有 4 个 舞蹈 , 2 个 相声 , 3 个 独唱 , 舞蹈 节目 不 能 连续 出场 , 则 节目 的 出场 顺序 有 多少 种 ？ 元素 相离 问题 可 先 把 没有 位置 要求 的 元素 进行 排队 再 把 不 相邻 元素 插入 中间 和 两 端 练习 题 ： 某 班 新年 联欢 会 原定 的 5 个 节目 已 排 成 节目 单 ， 开演 前 又 增加 了 两 个 新 节目 . 如果 将 这 两 个 新 节目 插入 原 节目 单 中 ， 且 两 个 新 节目 不 相邻 ， 那么 不同 插 法 的 种 数 为 30 四 . 定 序 问题 倍 缩 空位 插入 策略 例 4 . 、 7 人 排队 , 其中 甲 乙 丙 3 人 顺序 一定 共有 多少 不同 的 排 法 解 : （ 倍 缩 法 ） 对于 某 几 个 元素 顺序 一定 的 排列 问题 , 可 先 把 这 几 个 元素 与 其他 元素 一起 进行 排列 , 然后 用 总 排列 数

排列组合常见题型与解题策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客，能重复的元素看作“店，则通过“住店法可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数[例1] 〔1〕有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？〔2〕有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ 〔3〕将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？ [解析]：〔1〕43〔2〕34 〔3〕34 [例2]把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？[解析]：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不