湖南师范大学数学分析选讲答案第一章：极限与连续1. 设f(x)在[a, b]上连续，且f(a)=f(b)，则f(x)在[a, b]上取到最大值和最小值。证明：由于f(x)在[a, b]上连续，所以f(x)在[a, b]上是闭的。又因为f(a)=f(b)，所以由介值定理可知，存在c∈[a, b]，使得f(c)=M。因此，f(x)在[a, b]上取到最大值M。同理可证，f(x)在[a, b]上取到最小值m。2. 设{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若Sn=na1+n(n-1)/2d，则称{an}为等差数列的加法公式。证明：由等差数列的性质可知，Sn=na1+n(n-1)/2d。当n=1时，a1=S1=a1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(na1+n(n-1)/2d)-[(n-1)a1+(n-1)(n-2)/2d]=na1+n(n-1)/2d-[(n-1)a1+(n-1)(n-2)/2d]=nd。因此，对于任意正整数n，都有an=nd成立，即{an}为等差数列的加法公式。3. 设{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若Sn=na1+n(n-1)/2d，则称{an}为等差数列的乘法公式。证明：由等差数列的性质可知，Sn=na1+n(n-1)/2d。当n=1时，a1=S1=a1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(na1+n(n-1)/2d)-[(n-1)a1+(n-1)(n-2)/2d]=na1+n(n-1)/2d-[(n-1)a1+(n-1)(n-2)/2d]=nd。因此，对于任意正整数n，都有an=nd成立，即{an}为等差数列的

湖南师范大学数值分析mooc本课程主要讲述现代科学计算中基本的数值计算方法及其原理。本课程内容分成线上与线下两部分，主要包括：科学计算的背景和意义、插值法、函数逼近与计算、数值积分与数值微分、线性方程组的直接解法与迭代解法、非线性方程的迭代解法、常微分方程的数值解法、矩阵特征值问题计算等。—— 课程团队课程概述二十多年前，著名数学家石钟慈院士曾指出当今科学活动包括三大类方法：实验、理论推导和科学计算。实验方法出现最早，代表性的科学家包括伽利略等。实验结果积累再抽象之后就形成了理论，理论推导逐渐发展起来，代表性的科学家主要有牛顿等。上世纪，冯·诺依曼发明电子计算机，从此，科学计算越发成为解决问题的重要方法。实际上，早在中国古代，计算由于其实用性就是数学的主要研究领域，取得了许重要成果，如：《周髀算经》，《九章算术》等，也出现了一批了不起的算术大家，如：祖冲之、刘辉、秦九韶等。早期科学计算应用于科学发�

湖南师范大学数学专业考研试题（数学分析）【2009-2018】湖南师范大学2009 数学专业考研试题湖南师范大学2010 数学专业考研试题湖南师范大学2011 数学专业考研试题湖南师范大学2012 数学专业考研试题湖南师范大学2013 数学专业考研试题湖南师范大学2014 数学专业考研试题湖南师范大学2015 数学专业考研试题湖南师范大学2016 数学专业考研试题湖南师范大学2017 数学专业考研试题湖南师范大学2018 数学专业考研试题

试卷结构1)试卷成绩及考试时间本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。2)答题方式：闭卷、笔试3)试卷内容结构数学分析4)题型结构a:填空题，10小题，每小题7分，共70分b:讨论题，3小题，每小题10分，共30分c:解答题(包括证明题)，5小题，每小题10 分，共50分 考试内容与考试要求1、极限论考试内容各种极限的计算； 单调有界收敛原理、致密性定理、确界原理、Cauchy收敛原理等实数基本理论的灵活应用； 连续函数特别是闭区间上连续函数性质的运用； 极限定义的熟练掌握等.考试要求（1）能熟练计算各种极限，包括单变量和多变量情形.（2）能熟练利用六个实数基本定理尤其是单调有界收敛原理、致密性定理、确界原理、Cauchy收敛原理进行各种理论证明．（3）能熟练掌握单变量连续函数特别是闭区间上连续函数的各种性质，并能利用这些性质进行计算和证明；掌握多变量连续函数的性质尤其是有界闭域上连续函数的性质，能利用这些性质进行计算和证明．（4）熟练掌握各种极限的定义，并能用逻辑术语进行理论证明. 参考书目[1]复旦大学数学系编.数学分析.高等教育出版社, 1979[2]华东师范大学数学系编.数学分析高等教育出版社, 2001[3] 张学军、王仙桃等编.数学分析选讲.湖南师范大学出版社，2012

湖南师范大学2022年硕士研究生入学考试初试自命题科目试题册业务课代码：723业务课名称：数学分析满分：150分考试时间：3小时

1.填空题：a)求得函数f(x)= 2x^3+5x^2 - 3x的导函数为f'(x)= 6x^2+10x -3。b)函数g(x)= sin^2(x)在区间[0, π]上的最小值为0。c)对于函数h(x)= ln(x^2+1)，其定义域为(-,+)。2.选择题：a)在直角三角形ABC中，已知A = 30°，BC = 5cm，AC =8cm，则AB的长度为：A.5 cmB.2 cmC.4 cmD.6 cm答案：Cb)设函数f(x)= x^2+3x+k，在区间[-2, 2]上的最小值是1，则k的值为：A.2B.-1C.0D.1答案：B3.解答题：a)求函数y = x^3 - 3x^2 - 9x+5在区间[-2, 4]上的极大值和极小值。解答：首先求得函数的导函数为y' = 3x^2 - 6x - 9。将导函数的值等于0，得到x = -1和x = 3。再将这两个值代入函数得到的y值为y = 9和y = -19。所以函数在x = -1处取得极大值9，在x = 3处取得极小值-19。b)求曲线y = e^x在点(1, e)处的切线方程。解答：首先求得函数的导函数为y' = e^x。将x = 1代入得到斜率为e。代入点(1, e)得到切线方程为y - e = e(x - 1)。4.应用题：一辆汽车从静止开始，匀加速行驶。已知汽车在t = 2s时的速度为10m/s，在t = 5s时的速度为30m/s。求在6秒内汽车所走的距离。解答：根据匀加速运动的公式v = u+at，

选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．方程x26x+50较小的根为p，方程5x24x10较大的根为q，则p+q等于（ 22.设复数，其中i为虚数单位，则的虚部为（ ）A.-1 B.1 C.- i D.i3．已知命题p：为奇函数；命题q，则下面结论正确的是A.是真命题B.是真命题C.是假命题D.是假命题4．一元二次方程x22x+10的根的情况是（ 有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定5．将抛物线y2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是（）A．y2x2+3 B．y2x23 C．y2（x+3）2 D．y2（x3）26．已知A、B两点均值焦点为F的抛物线上，若，线段AB的中点到直线的距离为1，则p的值为（）A.1 B.1或3 C.2 D.2或67．下列性质中，矩形具有、正方形也具有、但是菱形却不具有的性质是（ 对角线互相垂直B．对角线互相平分C．对角线长度相等D．一组对角线平分一组对角8．对于函数y3x+1，下列结论正确的是（ 它的图象必经过点（1，3）B．它的图象经过第一、二、三象限C．当x时，y0 D．y的值随x值的增大而增大9．如图，抛物线yax2+bx+4交

湖南师范大学2017年研究生入学考试试题数学分析一、基本填空题(每小题7分，共70分)1.设q>p 且\int _{0}^{+\infty } \frac {1}{x^{p}+x^{q}}dx 收敛.则p和q必须满足_.2.曲面x^{2}+z^{2}=10 和y^{2}+z^{2}=10 的交线在(1,1,3)点的法平面方程为_.3.定积分\int _{-1}^{1}(\frac { \sin x}{1+x^{2}}+\sqrt {1- \cos ^{2}2x})dx= \ _.4.幂级数\sum _{n=1}^{ \infty } \frac {(2x-1)^{2n}}{3^{n}} 的收敛半径为_。5.集合\{ \frac {(-1)^{n}}{n}+\sin \frac {n \pi }{3}:n 为所有正整数\} 的下确界为_.6.不定积分\int \frac { \ln(x+\sqrt {x^{2}+1})}{ \sqrt {1+x^{2}}}dx= \ _.7.设平面有界闭域D的边界是光滑闭曲线C，C取正向，D的面积为1，则\oint \limits _{C}x(x+\cos y)dy+(2xy-3y+\sin y)dx= \ _.8.设f的二阶偏导数都连续z=f(x, \frac {x}{y}), 则\frac { \partial ^{2}z}{ \partial x \partial y}= \ _.9.设D:x^{2}+y^{2} \leqslant 1, \iint \limits _{D}e^{x^{2}+y^{2}}dxdy= \ _.10.设f连续g(x)= \int _{0}^{ \infty }yf(x-y)dy, 则g''(x)= \ _.二、讨论题(给出结论，论证或给出反例并验证，每题10分，共30分)1.设f在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,对(a,b)中的任意c, 则存在[a,b] 上的x1和x_{2} 且

诚信参考，考试违纪、舞弊将给予严肃处分！2022-2023学年第一学期湖南师范大学数学与统计学院数学、信息、统计专业2021级《数学分析(三)》课程期末考试试题课程代码:考核方式:闭卷考核时量:90分钟试卷类型:A 题号_ 二三四五六七八总分合分人复查人应得分40 10 30 20 100 实得分得分评卷人复查人一、填空题。(每小题4分，共40分。)1、z= \sqrt { \sin(x^{2}+y^{2})} 的定义域为_。3、若E= \{(x,y)\mid y<x^{2} \} \subset R^{2}, 则E的全体外点所组成的集合为_。4、设u= \ln(x+y^{2}), 则u在(0,1)点处的全微分为_。5、设f为可微函数, f(x-y,y-z,z-x)=0,f_{3}'-f_{2}' \neq 0, 则\frac { \partial z}{ \partial x}+\frac { \partial z}{ \partial y}= 6、曲线x=t,y=t^{2},z=t^{3} 在点(1,1,1)处的切线方程为_。7、设u=x^{2}+2y^{2}+3z^{2}+xy-2x+2y-4z, \overrightarrow {v}=(2,2,-1)贝\frac { \partial u}{ \partial \overrightarrow {v}} \mid _{(0.00)}= \ _。8、设f(x)为连续可导函数且满足f(2)=1,F(t)=2 \int _{2}^{t}dy \int _{y}^{t}f(x)dx, 则F''(2)= \ _。10、\int _{0}^{1} \frac {x^{3}-x}{ \ln x}dx= 20 D 地址甘肃省10 那驶--- 5 2 水平水平然冰

【篇一：历年考研数学一真题及答案(1987-2014)】ss=txt>（经典珍藏版）1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)当x=_时,函数y?2x取得极小值.(2)由曲线y?lnx与两直线y? 0所围成的平面图形的面积是_.1?x(3)与两直线y? 11?1 都平行且过原点的平面方程为_.(4)设l 为取正向的圆周x2?9,则曲线积分? 4x)dy= _.(5)已知三维向量空间的基底为坐标是_.二、(本题满分8分)求正的常数a与b,使等式lim1x2 x? 1成立.三、(本题满分7分)(1)设f、g为连续可微函数,u? x.(2)设矩阵a 和b 满足关系式ab=a?2b,其中? 301? 110?,求矩阵b.? 01? 四、(本题满分8分)求微分方程y? 1的通解,其中常数a?0.五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设lim f(x)? 1,则在x?a处(a)f(x)的导数存在,且f?0(b)f(x)取得极大值(c)f(x)取得极小值(d)f(x)的导数不存在(2)设f(x)为已知连续函数s ,i? t0 f(tx)dx,其中t?0,则i的值(a)依赖于s和t(b)依

12.2 几何概型与随机数t15730p2知识梳理1.几何概型的概念：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例的概率模型.2.几何概型的特点：（1）可能出现的结果有无限多个；（2）每个结果发生的可能性相等.3.几何概型的概率：构成事件A的区域长度（面积或体积）P(A)试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）4.整数随机数：对于某个指定范围内的整数，每次从中有放回随机取出的一个数.5.均匀随机数：X在区间[a，b]上等可能取任意一个值，且X的取值是连续的.6.随机模拟方法：用手工、计算机或计算器模拟试验的方法.拓展延伸1.几何概型与古典概型的共同点是随机试验中每个结果发生的可能性相等，不同点是随机试验中可能出现的结果分别有无限多个和有限多个.2.用计算机或计算器产生的随机数，是依照确定的算法产生的数，具有周期性（周期很长），这些数有类似随机数的性质，但不是真正意义上的随机数，称为伪随机数.3.计算机只能产生[0，1]上的均匀随机数，如果试

班级：姓名：湖南师范大学《电路分析》2019-2020学年第二学期期末试卷得分：一、填空题(5小题，共10分)1．当流过一个线性电阻元件的电流不论为何值时，其端电压恒为零，就把它称为_。2．为了减少方程式数目，在电路分析方法中引入了_电流法、_电压法；_定理只适用于线性电路的分析。3．正弦量的三要素是_、_、_。4．串联谐振电路的特性阻抗_，品质因数Q=_。5、直流电路负载上获得最大功率的条件是_等于_。二、单项选择题(10小题，共30分)1．已知接成Y形的三个电阻都是30Ω，则等效形的三个电阻值为 A、全是10ΩB、两个30Ω一个90ΩC、两个90Ω一个30ΩD、全是90Ω2.电流的参考方向为 A、正电荷的移动方向B、负电荷的移动方向C、电流的实际方向D、沿电路任意选定的某一方向3．处于谐振状态的RLC串联电路，当电源频率升高时，电路将呈现出（）A、电阻性B、电感性C、电容性4．符合无损耗、K=1和自感量、互感量均为无穷大，但两者比值是限值条件的变压器是（）A、理想变压器B、全耦合变压器C、空芯变