湖南师范大学数学分析选讲答案第一章：极限与连续1. 设f(x)在[a, b]上连续，且f(a)=f(b)，则f(x)在[a, b]上取到最大值和最小值。证明：由于f(x)在[a, b]上连续，所以f(x)在[a, b]上是闭的。又因为f(a)=f(b)，所以由介值定理可知，存在c∈[a, b]，使得f(c)=M。因此，f(x)在[a, b]上取到最大值M。同理可证，f(x)在[a, b]上取到最小值m。2. 设{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若Sn=na1+n(n-1)/2d，则称{an}为等差数列的加法公式。证明：由等差数列的性质可知，Sn=na1+n(n-1)/2d。当n=1时，a1=S1=a1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(na1+n(n-1)/2d)-[(n-1)a1+(n-1)(n-2)/2d]=na1+n(n-1)/2d-[(n-1)a1+(n-1)(n-2)/2d]=nd。因此，对于任意正整数n，都有an=nd成立，即{an}为等差数列的加法公式。3. 设{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若Sn=na1+n(n-1)/2d，则称{an}为等差数列的乘法公式。证明：由等差数列的性质可知，Sn=na1+n(n-1)/2d。当n=1时，a1=S1=a1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(na1+n(n-1)/2d)-[(n-1)a1+(n-1)(n-2)/2d]=na1+n(n-1)/2d-[(n-1)a1+(n-1)(n-2)/2d]=nd。因此，对于任意正整数n，都有an=nd成立，即{an}为等差数列的

一、(40分，每小题10分)(1)\lim _{x \rightarrow 0} \frac { \sin x- \arctan x}{ \tan x- \arcsin x};D= \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2} \le \sqrt {3},x \ge 0,y \ge 0 \} ,[1+x^{2}+y^{2}]表示不超过1+x^{2}+y^{2} 最大整数，计算二重积分\iint _{D}xy[1+x^{2}+y^{2}]dxdy;(4)设S_{n}= \frac {1}{ \sqrt {n}}(1+\frac {1}{ \sqrt {2}}+\cdots+\frac {1}{ \sqrt {n}})求\lim _{n \rightarrow+\infty }S_{n}二、(10分)论证是否存在定义在R上的连续函数使得f(f(x))=e^{-x}.三、(15分)讨论函数项级数\sum _{n=1}^{+\infty } \frac { \sqrt {n+1}- \sqrt {n}}{n^{2}}的收敛性与一致收敛性.四、(15分)设f(x),g(x), \phi(x)[a,b]上的连续函数,且g(x)为单调递增的,\phi(x)\ge 0,同时对于任意x \in [a,b],有f(x)\le g(x)+\int _{a}^{x} \varphi(t)f(t)dt.证明：对于任意的x \in [a,b],都有f(x)\le g(x)e^{ \int _{a}^{x} \varphi(x)dx}.五、(5分)(i\lim _{x \rightarrow \infty } \int _{0}^{ \frac { \pi }{2}} \sin ^{n}xdx=0;(10分)(i\lim _{x \rightarrow - \infty } \int _{0}^{ \frac { \pi }{2}} \sin x^{n}dx=0六、(1)(5分)构造一个在闭区间[-1,1]上处处可微的函数，使得它的导函数在[-1,1]上无界；(if)(15分)设函数f(x)在(a,b)内可导,证明

演讲人院校简介湖南师范大学（Hunan Norma lUniversity），简称“湖南师大”，位于湖南省长沙市，是国家“211工程”重点建设的大学，国家“双一流”建设高校，教育部与湖南省重点共建“双一流”建设高校，教育部普通高等学校本科教学工作水平评估优秀高校，湖南省“世界一流学科建设高校”。湖南师大设有24个学院，现招生本科专业89个，本科和研究生教育覆盖哲学、经济学、法学、教育学、文学、历史学、理学、工学、医学、管理学、艺术学等11大学科门类。学校拥有伦理学、英语语言文学、中国近现代史、发育生物学、理论物理、基础数学等6个国家重点学科，外国语言文学入选国家“世界一流”建设学科，教育学、数学、哲学、中国语言文学、生物学5个学科入选湖南省“国内一流建设学科”。谢谢

湖南师范大学数值分析mooc本课程主要讲述现代科学计算中基本的数值计算方法及其原理。本课程内容分成线上与线下两部分，主要包括：科学计算的背景和意义、插值法、函数逼近与计算、数值积分与数值微分、线性方程组的直接解法与迭代解法、非线性方程的迭代解法、常微分方程的数值解法、矩阵特征值问题计算等。—— 课程团队课程概述二十多年前，著名数学家石钟慈院士曾指出当今科学活动包括三大类方法：实验、理论推导和科学计算。实验方法出现最早，代表性的科学家包括伽利略等。实验结果积累再抽象之后就形成了理论，理论推导逐渐发展起来，代表性的科学家主要有牛顿等。上世纪，冯·诺依曼发明电子计算机，从此，科学计算越发成为解决问题的重要方法。实际上，早在中国古代，计算由于其实用性就是数学的主要研究领域，取得了许重要成果，如：《周髀算经》，《九章算术》等，也出现了一批了不起的算术大家，如：祖冲之、刘辉、秦九韶等。早期科学计算应用于科学发�

湖南师范大学数学专业考研试题（数学分析）【2009-2018】湖南师范大学2009 数学专业考研试题湖南师范大学2010 数学专业考研试题湖南师范大学2011 数学专业考研试题湖南师范大学2012 数学专业考研试题湖南师范大学2013 数学专业考研试题湖南师范大学2014 数学专业考研试题湖南师范大学2015 数学专业考研试题湖南师范大学2016 数学专业考研试题湖南师范大学2017 数学专业考研试题湖南师范大学2018 数学专业考研试题

试卷结构1)试卷成绩及考试时间本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。2)答题方式：闭卷、笔试3)试卷内容结构数学分析4)题型结构a:填空题，10小题，每小题7分，共70分b:讨论题，3小题，每小题10分，共30分c:解答题(包括证明题)，5小题，每小题10 分，共50分 考试内容与考试要求1、极限论考试内容各种极限的计算； 单调有界收敛原理、致密性定理、确界原理、Cauchy收敛原理等实数基本理论的灵活应用； 连续函数特别是闭区间上连续函数性质的运用； 极限定义的熟练掌握等.考试要求（1）能熟练计算各种极限，包括单变量和多变量情形.（2）能熟练利用六个实数基本定理尤其是单调有界收敛原理、致密性定理、确界原理、Cauchy收敛原理进行各种理论证明．（3）能熟练掌握单变量连续函数特别是闭区间上连续函数的各种性质，并能利用这些性质进行计算和证明；掌握多变量连续函数的性质尤其是有界闭域上连续函数的性质，能利用这些性质进行计算和证明．（4）熟练掌握各种极限的定义，并能用逻辑术语进行理论证明. 参考书目[1]复旦大学数学系编.数学分析.高等教育出版社, 1979[2]华东师范大学数学系编.数学分析高等教育出版社, 2001[3] 张学军、王仙桃等编.数学分析选讲.湖南师范大学出版社，2012

(2)函数列{f,(x)}在[0,1]上一致有界.(华东理工大学2004年)2.设{f,(x)}是定义在(- \infty ,+\infty)上的可导函数列,且存在常数M>0,对所有的n和x \in(- \infty ,+\infty)有\mid f_{n}^{'}(x)\mid \le M,假设对任意x \in(- \infty ,+\infty)有\lim _{n \rightarrow \infty }f_{n}(x)=g(x),则g(x)在(- \infty ,+\infty)上连续.证明:对任意x_{0} \in(- \infty ,+\infty)有\mid g(x)-g(x_{0})\mid \le f_{n}(x)-g(x)\mid+\mid f_{n}(x)-f_{n}(x_{0})\mid+\mid f_{n}(x_对任意ε>0,由于对任意x \in(- \infty ,+\infty),有\lim _{n \rightarrow \infty }f_{n}(x)=g(x),所以存在正整数N,当n>N时,有\mid f_{n}(x)-g(x)\mid < \frac { \xi }{3}, \mid f_{n}(x_{0})-g(x_{0})\mid < \frac { \xi }{3},由微分中值定理,\mid f_{n}(x)-f_{n}(x_{0})\mid = \mid f_{n}'(\xi)\mid \mid x-x_{0} \mid \le M \mid x-x_{0} \mid其中ε在x与xo之间,故取\delta = \frac { \xi }{3M},x-x_{0} \mid <8时,有1f_{n}(x)-f_{n}(x_{0})k< \frac { \xi }{3},故当\mid x-x_{0} \mid < \delta\mid g(x)-g(x_{0})\mid < \xi.即f(x)在x_{0}连续,由x_{0}的任意性,知f(x)在(- \infty ,+\infty)上连续.寸三.连续性1.设I为一区间,f(x)在I上一致连续,若对任意x \in I,f(x)\ge 0,试证：\sqrt {

班级：姓名：湖南师范大学《电路分析》2019-2020学年第二学期期末试卷得分：一、填空题(5小题，共10分)1．当流过一个线性电阻元件的电流不论为何值时，其端电压恒为零，就把它称为_。2．为了减少方程式数目，在电路分析方法中引入了_电流法、_电压法；_定理只适用于线性电路的分析。3．正弦量的三要素是_、_、_。4．串联谐振电路的特性阻抗_，品质因数Q=_。5、直流电路负载上获得最大功率的条件是_等于_。二、单项选择题(10小题，共30分)1．已知接成Y形的三个电阻都是30Ω，则等效形的三个电阻值为 A、全是10ΩB、两个30Ω一个90ΩC、两个90Ω一个30ΩD、全是90Ω2.电流的参考方向为 A、正电荷的移动方向B、负电荷的移动方向C、电流的实际方向D、沿电路任意选定的某一方向3．处于谐振状态的RLC串联电路，当电源频率升高时，电路将呈现出（）A、电阻性B、电感性C、电容性4．符合无损耗、K=1和自感量、互感量均为无穷大，但两者比值是限值条件的变压器是（）A、理想变压器B、全耦合变压器C、空芯变

2、答题时必须使用蓝、黑色墨水笔作答，用其他笔答题不给分。不得使用涂改液。 一、基本填空题(每题7分，共70分)1、求\lim _{n \rightarrow \infty } \sin ^{2}(\pi \sqrt {n^{2}+n})= 2、由y= \sin x,x= \frac { \pi }{2},y=0 围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为_.3、曲面x=y^{2}-2xz 在(1,-1,0)点的切平面方程为_.4、设f的二阶偏导数连续z=f(2x+y^{2}, \frac {1}{x}-3y), 则\frac { \partial ^{2}z}{ \partial x \partial y}=-.5、若广义积分\int _{0}^{1} \mid \ln x \mid ^{p}d x收敛,则实数p变化的最大范围是_.6、实函数项级数\sum _{n=1}^{ \infty }x^{ \ln n} 的收敛点集为_.7、将函数f(x)= \pi -x,x \in [0, \pi ] 展开成正弦级数为_.8、曲线积分\oint(x^{2}-2y)dx+(3x+ye^{y})dy= \ _, 其中l由直线y=0,x+2y=2 和圆弧x^{2}+y^{2}=1(-1 \le x \le 0,0 \le y \le 1)所围成的区域D的边界，取逆时针方向.9、二重积分\iint \limits _{D} \frac { \sin(\pi \sqrt {x^{2}+y^{2}})}{ \sqrt {x^{2}+y^{2}}}dxdy= \ _.其中积分区域为D= \{(x,y)\mid 1 \le x^{2}+y^{2} \le 4 \}.10、两曲面x+2y=1 和x^{2}+2y^{2}+z^{2}=1 交线上与原点距离最近的点为_.第1页,共2

院(系)_班级_学号_姓名_题号一二三四总分得分批阅人一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）b1、设函数()fx在[a,b]上可积，且()0afxdx，则（）A.()fx在[a,b]上恒正B.()fx在[a,b]上至少有一点大于零C.()fx在[a,b]上恒负自觉遵守考场纪律如考试作弊此答卷无效D.()fx在[a,b]ÉÏÖÁÉÙÓÐÒ»µãСÓÚÁãn´ð°¸£º¡£ÊÔÌâý**21**£ºº¯ÊBf(x)=\frac{x^2+3}{x^2-3}的间断点是（）密封线A.3x和3xB.0xC.3xD.3x2、求函数cossinyxx在区间[0,2]上的最大值 A.2B.1C.2D.03、计算不定积分21x1dx的值是多少 A.arctanxCB.arcsinxCC.ln(21)xCD.1ln(21)2xC4、已知向量a(1,2)，b(2,1)，则向量a与b的夹角为（）第1页，共4页A.6B.4C.3D.215、级数534nnn1的和为（）53A.49603653B.49603653C.496036自觉遵守考场纪律如考试作弊此答卷无效53D.4960366、求曲线y=ln(x+1)在点(0,0)处的曲率 密封线A.1/2B.1/2C.1/22D.1/337、设函数()arcsin()2xfx，则f(1)的值是多少 A.1B.2C.1D.235538、已知向量a=(1,2,3)，向量b=(2,-1,1)，求向量a与向量b的夹角（）A.arccos

2、答题时必须使用蓝、黑色墨水笔作答，用其他笔答题不给分。不得使用涂改液。 一、基本填空题(每题7分，共70分)1、若f(x)= \cases { \ln x&$0<x \le 1$ \cr ax-a&$x>1$} 在(0,+\infty)上可导,则常数a= \ _.2、设[x]为x的最大整数部分，则\lim _{x \rightarrow 0}x[ \frac {1}{x}]= \ _.3、不定积分\int e^{ax} \sin xdx= \ _.4、设f(x)= \arctan x, 则f(2n)= \ _.其中n为正整数. 5、幂级数\sum _{n=1}^{ \infty } \frac {x^{n}}{n} 收敛区间是_.6、设q>p 且\int _{0}^{+\infty } \frac {1}{x^{p}+x^{q}} dx收敛,则p和q的取值范围是_.7、极限\lim _{n \rightarrow \infty }(\frac {1}{n+\frac {1^{2}}{n}}+\frac {1}{n+\frac {2^{2}}{n}}+\cdots+\frac {1}{n+\frac {n^{2} 8、二重积分\iint \limits _{x^{2}+y^{2} \le 2x}e^{x^{2}+y^{2}-2x}dxdy= \ _.9、设x=u+v,y=u^{2}+v^{2}(u-v \neq 0), 定义u,v为x,y的函数,则\frac { \partial u}{ \partial x}= \ _.其中L为曲线y= \sqrt {x-x^{2}} 0)到(1,0)那段.二、讨论题(给出结论，并论证判断或给出反例并验证，每题10分，共30分)1、光滑曲面F(x-az,y-bz)=0(a和b为非0常数)上任一点的切平面平行于直线\frac {x}{a}= \frac {y}{b}=z, 其中aF_{1}'+

湖南师范大学《分析化学》2023-2024 第一学期期末试卷一、单项选择题（20 分，每题2 分）1.在以EDTA 为滴定剂的络合滴定中，都能降低主反应能力的一组副反应系数为 A.αY(H), αY(N), αMY B.αY(H), αMY, αM(L)C.αY(N), αMY, αM(L)D.αY(H), αM(L), αMY 2.在EDTA 络合滴定中，使滴定突跃增大的一组因素是 A.CM 大，αY(H)小, αMY 大，KM(L)小B.CM 大，αM(L)小，KM 大，αY(H)小C.CM 大，αY(H)大, KM 小，αMY 小D.αY(H)小，αM(L)大，KM 大，CM 小3.以EDTA 为滴定剂，下列叙述错误的是 A.在酸度较高的溶液中，可形成MHY 络合物。 B.在碱性较高的溶液中，可形成MOHY 络合物。 C.不论形成MHY 或MOHY，滴定反应进行的程度都将增大。D.不论溶液pH 值的大小，只形成MY 一种形式络合物。4.在络合滴定中，有时出现指示剂的“封闭”现象，其原因为 M：待测离子；N：干扰离子；In：指示剂）A.KMY > KNY B.KMY < KNY C.KMIn > KNIn D.KMIn < KNIn 5.在用EDTA 测定Ca²、Mg²的含量时，消除少量Fe³、Al³干扰的下述方法中，哪一种是正确的 A.于pH=10 的氨性缓冲溶液中直接加入三乙