湖南师范大学数学分析选讲答案第一章：极限与连续1. 设f(x)在[a, b]上连续，且f(a)=f(b)，则f(x)在[a, b]上取到最大值和最小值。证明：由于f(x)在[a, b]上连续，所以f(x)在[a, b]上是闭的。又因为f(a)=f(b)，所以由介值定理可知，存在c∈[a, b]，使得f(c)=M。因此，f(x)在[a, b]上取到最大值M。同理可证，f(x)在[a, b]上取到最小值m。2. 设{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若Sn=na1+n(n-1)/2d，则称{an}为等差数列的加法公式。证明：由等差数列的性质可知，Sn=na1+n(n-1)/2d。当n=1时，a1=S1=a1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(na1+n(n-1)/2d)-[(n-1)a1+(n-1)(n-2)/2d]=na1+n(n-1)/2d-[(n-1)a1+(n-1)(n-2)/2d]=nd。因此，对于任意正整数n，都有an=nd成立，即{an}为等差数列的加法公式。3. 设{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若Sn=na1+n(n-1)/2d，则称{an}为等差数列的乘法公式。证明：由等差数列的性质可知，Sn=na1+n(n-1)/2d。当n=1时，a1=S1=a1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(na1+n(n-1)/2d)-[(n-1)a1+(n-1)(n-2)/2d]=na1+n(n-1)/2d-[(n-1)a1+(n-1)(n-2)/2d]=nd。因此，对于任意正整数n，都有an=nd成立，即{an}为等差数列的

一.选择题(每小题3分)1、设函数f(x)的定义域是[0,1] ,Q(x)=12-x1, 则f[Q(x)]的定义域是()A、[0,1] B、[1，3] C、[0，2] D、[1,2] 2、当X \rightarrow \infty 时，\frac { \sin x}{x} 是()A、无穷小量B、极限值为1C、无极限D、无穷大量3、曲线Y= \ln(1+x^{2})的下凸区间是()A、(- \infty ,-1)B、(1,+\infty)C、(-1,1)D、(- \infty ,+\infty)4、设f(x)= \mid x-1 \mid \ln(1+x)则f(x)在x=1处是()A、不连续B、可导C、无定义D、连续但不可导5、\lim _{x \rightarrow \infty } \{ x[ \ln(x+1)- \ln x] \} =()A、+B、0 C、e D、1 6、\lim _{x \rightarrow 0} \frac { \sin x-x}{x \sin x}=()A、1 B、-1 C、0 D、不存在7、y=2^{ \ln 2x}, 则\frac {dy}{dx}=()A、2^{ \ln 2x}(\ln 2)\frac {1}{2x} B、2^{ \ln 2x}(\ln 2)\frac {1}{x} C、2^{ \ln 2x}(\ln 2)2x 2X 8、设\lim _{n \rightarrow \infty } \mid x \mid =a, 则()A.数列\{ x_{n} }收敛B.\lim _{n \rightarrow \infty }x_{n}=-a D.数列\{ x_{n} \} 可能收敛，也可能不收敛9、函数y= \frac { \sqrt {2x-x^{2}}}{ \lg(2x-1)} 的定义域为()。(A)\{ x \mid 0 \le x \le 2 \}(B)\{ x \mid \frac {1}{2}<x<1 \} 20-1- 湖北师范学院数学与统计学院数学分析(一)试题库(C)\cases {x

演讲人院校简介湖南师范大学（Hunan Norma lUniversity），简称“湖南师大”，位于湖南省长沙市，是国家“211工程”重点建设的大学，国家“双一流”建设高校，教育部与湖南省重点共建“双一流”建设高校，教育部普通高等学校本科教学工作水平评估优秀高校，湖南省“世界一流学科建设高校”。湖南师大设有24个学院，现招生本科专业89个，本科和研究生教育覆盖哲学、经济学、法学、教育学、文学、历史学、理学、工学、医学、管理学、艺术学等11大学科门类。学校拥有伦理学、英语语言文学、中国近现代史、发育生物学、理论物理、基础数学等6个国家重点学科，外国语言文学入选国家“世界一流”建设学科，教育学、数学、哲学、中国语言文学、生物学5个学科入选湖南省“国内一流建设学科”。谢谢

湖南师范大学数值分析mooc本课程主要讲述现代科学计算中基本的数值计算方法及其原理。本课程内容分成线上与线下两部分，主要包括：科学计算的背景和意义、插值法、函数逼近与计算、数值积分与数值微分、线性方程组的直接解法与迭代解法、非线性方程的迭代解法、常微分方程的数值解法、矩阵特征值问题计算等。—— 课程团队课程概述二十多年前，著名数学家石钟慈院士曾指出当今科学活动包括三大类方法：实验、理论推导和科学计算。实验方法出现最早，代表性的科学家包括伽利略等。实验结果积累再抽象之后就形成了理论，理论推导逐渐发展起来，代表性的科学家主要有牛顿等。上世纪，冯·诺依曼发明电子计算机，从此，科学计算越发成为解决问题的重要方法。实际上，早在中国古代，计算由于其实用性就是数学的主要研究领域，取得了许重要成果，如：《周髀算经》，《九章算术》等，也出现了一批了不起的算术大家，如：祖冲之、刘辉、秦九韶等。早期科学计算应用于科学发�

诚信参考，考试违纪、舞弊将给予严肃处分！2018-2019学年第一学期湖南师范大学数学与统计学院题《数学分析(三)》课程期末/补考考试试题课程代码:12160008 考核方式：闭卷考核时量：120分钟题号试卷类型：A 二_ 三四五六七八总分应得分合分人复查人15 20 25 24 16 100 实得分得分评卷人复查人一、判断题。(如果你认为正确，在后面括号内打“”，认为不正确打“×”，每题3分，共15分。)邮1、若存在常数M>0, 使得\forall x \in I 有f^{2}(x)\ge M, 那么f(x)在I上无界。()3、若f(x)在[a，b)上连续有界，则f(x)在[a，b)上一致连续。()4、若f(x)在[a，b]上连续，c \in(a,b), f(x)在c点取极值,则f'(c)=0。()5、函数f(x)在[a,b]内严格递增,且在(a,b)内可导,则在(a,b)内必有f'(x)>0。()得分评卷人复查人二、选择题。(在每一小题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每题4分，共20分。)1、设函数f(x)在(- \infty ,+\infty)上有定义，下列函数中必为偶函数的是()y=f^{2}(x)y=x^{2}f(x)y=f(\mid x \mid)y=f[(x+1)^{2}] 2、“对于任意给定的\xi >0, 总存在正整数N,当n \ge N 时

湖南师范大学数学专业考研试题（数学分析）【2009-2018】湖南师范大学2009 数学专业考研试题湖南师范大学2010 数学专业考研试题湖南师范大学2011 数学专业考研试题湖南师范大学2012 数学专业考研试题湖南师范大学2013 数学专业考研试题湖南师范大学2014 数学专业考研试题湖南师范大学2015 数学专业考研试题湖南师范大学2016 数学专业考研试题湖南师范大学2017 数学专业考研试题湖南师范大学2018 数学专业考研试题

试卷结构1)试卷成绩及考试时间本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。2)答题方式：闭卷、笔试3)试卷内容结构数学分析4)题型结构a:填空题，10小题，每小题7分，共70分b:讨论题，3小题，每小题10分，共30分c:解答题(包括证明题)，5小题，每小题10 分，共50分 考试内容与考试要求1、极限论考试内容各种极限的计算； 单调有界收敛原理、致密性定理、确界原理、Cauchy收敛原理等实数基本理论的灵活应用； 连续函数特别是闭区间上连续函数性质的运用； 极限定义的熟练掌握等.考试要求（1）能熟练计算各种极限，包括单变量和多变量情形.（2）能熟练利用六个实数基本定理尤其是单调有界收敛原理、致密性定理、确界原理、Cauchy收敛原理进行各种理论证明．（3）能熟练掌握单变量连续函数特别是闭区间上连续函数的各种性质，并能利用这些性质进行计算和证明；掌握多变量连续函数的性质尤其是有界闭域上连续函数的性质，能利用这些性质进行计算和证明．（4）熟练掌握各种极限的定义，并能用逻辑术语进行理论证明. 参考书目[1]复旦大学数学系编.数学分析.高等教育出版社, 1979[2]华东师范大学数学系编.数学分析高等教育出版社, 2001[3] 张学军、王仙桃等编.数学分析选讲.湖南师范大学出版社，2012

湖南师范大学2022年硕士研究生入学考试初试自命题科目试题册业务课代码：723业务课名称：数学分析满分：150分考试时间：3小时

班级：姓名：湖南师范大学《电路分析》2019-2020学年第二学期期末试卷得分：一、填空题(5小题，共10分)1．当流过一个线性电阻元件的电流不论为何值时，其端电压恒为零，就把它称为_。2．为了减少方程式数目，在电路分析方法中引入了_电流法、_电压法；_定理只适用于线性电路的分析。3．正弦量的三要素是_、_、_。4．串联谐振电路的特性阻抗_，品质因数Q=_。5、直流电路负载上获得最大功率的条件是_等于_。二、单项选择题(10小题，共30分)1．已知接成Y形的三个电阻都是30Ω，则等效形的三个电阻值为 A、全是10ΩB、两个30Ω一个90ΩC、两个90Ω一个30ΩD、全是90Ω2.电流的参考方向为 A、正电荷的移动方向B、负电荷的移动方向C、电流的实际方向D、沿电路任意选定的某一方向3．处于谐振状态的RLC串联电路，当电源频率升高时，电路将呈现出（）A、电阻性B、电感性C、电容性4．符合无损耗、K=1和自感量、互感量均为无穷大，但两者比值是限值条件的变压器是（）A、理想变压器B、全耦合变压器C、空芯变

2、答题时必须使用蓝、黑色墨水笔作答，用其他笔答题不给分。不得使用涂改液。 一、基本填空题(每题7分，共70分)1、求\lim _{n \rightarrow \infty } \sin ^{2}(\pi \sqrt {n^{2}+n})= 2、由y= \sin x,x= \frac { \pi }{2},y=0 围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为_.3、曲面x=y^{2}-2xz 在(1,-1,0)点的切平面方程为_.4、设f的二阶偏导数连续z=f(2x+y^{2}, \frac {1}{x}-3y), 则\frac { \partial ^{2}z}{ \partial x \partial y}=-.5、若广义积分\int _{0}^{1} \mid \ln x \mid ^{p}d x收敛,则实数p变化的最大范围是_.6、实函数项级数\sum _{n=1}^{ \infty }x^{ \ln n} 的收敛点集为_.7、将函数f(x)= \pi -x,x \in [0, \pi ] 展开成正弦级数为_.8、曲线积分\oint(x^{2}-2y)dx+(3x+ye^{y})dy= \ _, 其中l由直线y=0,x+2y=2 和圆弧x^{2}+y^{2}=1(-1 \le x \le 0,0 \le y \le 1)所围成的区域D的边界，取逆时针方向.9、二重积分\iint \limits _{D} \frac { \sin(\pi \sqrt {x^{2}+y^{2}})}{ \sqrt {x^{2}+y^{2}}}dxdy= \ _.其中积分区域为D= \{(x,y)\mid 1 \le x^{2}+y^{2} \le 4 \}.10、两曲面x+2y=1 和x^{2}+2y^{2}+z^{2}=1 交线上与原点距离最近的点为_.第1页,共2

选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．方程x26x+50较小的根为p，方程5x24x10较大的根为q，则p+q等于（ 22.设复数，其中i为虚数单位，则的虚部为（ ）A.-1 B.1 C.- i D.i3．已知命题p：为奇函数；命题q，则下面结论正确的是A.是真命题B.是真命题C.是假命题D.是假命题4．一元二次方程x22x+10的根的情况是（ 有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定5．将抛物线y2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是（）A．y2x2+3 B．y2x23 C．y2（x+3）2 D．y2（x3）26．已知A、B两点均值焦点为F的抛物线上，若，线段AB的中点到直线的距离为1，则p的值为（）A.1 B.1或3 C.2 D.2或67．下列性质中，矩形具有、正方形也具有、但是菱形却不具有的性质是（ 对角线互相垂直B．对角线互相平分C．对角线长度相等D．一组对角线平分一组对角8．对于函数y3x+1，下列结论正确的是（ 它的图象必经过点（1，3）B．它的图象经过第一、二、三象限C．当x时，y0 D．y的值随x值的增大而增大9．如图，抛物线yax2+bx+4交

2、答题时必须使用蓝、黑色墨水笔作答，用其他笔答题不给分。不得使用涂改液。 一、基本填空题(每题7分，共70分)1、若f(x)= \cases { \ln x&$0<x \le 1$ \cr ax-a&$x>1$} 在(0,+\infty)上可导,则常数a= \ _.2、设[x]为x的最大整数部分，则\lim _{x \rightarrow 0}x[ \frac {1}{x}]= \ _.3、不定积分\int e^{ax} \sin xdx= \ _.4、设f(x)= \arctan x, 则f(2n)= \ _.其中n为正整数. 5、幂级数\sum _{n=1}^{ \infty } \frac {x^{n}}{n} 收敛区间是_.6、设q>p 且\int _{0}^{+\infty } \frac {1}{x^{p}+x^{q}} dx收敛,则p和q的取值范围是_.7、极限\lim _{n \rightarrow \infty }(\frac {1}{n+\frac {1^{2}}{n}}+\frac {1}{n+\frac {2^{2}}{n}}+\cdots+\frac {1}{n+\frac {n^{2} 8、二重积分\iint \limits _{x^{2}+y^{2} \le 2x}e^{x^{2}+y^{2}-2x}dxdy= \ _.9、设x=u+v,y=u^{2}+v^{2}(u-v \neq 0), 定义u,v为x,y的函数,则\frac { \partial u}{ \partial x}= \ _.其中L为曲线y= \sqrt {x-x^{2}} 0)到(1,0)那段.二、讨论题(给出结论，并论证判断或给出反例并验证，每题10分，共30分)1、光滑曲面F(x-az,y-bz)=0(a和b为非0常数)上任一点的切平面平行于直线\frac {x}{a}= \frac {y}{b}=z, 其中aF_{1}'+