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2024年江苏省南京大学强基计划数学学科笔试试题含答案
2024年江苏省南京大学强基计划数学学科笔试试题含答案
2024年南京大学强基计划数学笔试试题 考试时间：6月16日14：00-15：30 数学共12道题，满分100分. 1. 在,,,,2121czbzazABCz=+==∆则1zz为______数。 222. 双曲线1222=−byax，过左右焦点作平行于y轴的直线交双曲线于ABCD,,,，若ABCD为正方形，求双曲线的离心率为______。 3. 已知函数)()(2acbbxaxfx>++=，对于∀x∈R，0)()fx≥恒成立，求cbaab++−的最大值是______。 4. 过点P(4,4)作抛物线xy2=4的切线交y轴于点Q，焦点为F，则四边形OFPQ的面积为______。 5. 四面体棱长为20,22,28t,,7,4，t∈Z，求t的最小值是______。 6. 存在集合{,10},2,1A=的一簇子集两两交集非空，那么这簇子集最多有_____个。 7. cbaabcabc1114,0,,++=>，判断1)1)(1(1caba++是否存在最大值和最小值，若存在，请求解出最大值和最小值。 8. 满足05)3(2=−+f的非零有理系数多项式f的最低次数为______。 1002)1003(axxkx，{}ka的最大项是______。 9. 已知∑==+k010. 已知{}{2468}9,7,3,1，，，，∈∈ba，x为ba的个位数，求E(x)=______。 为奇数11. 已知,1)(，若)(4,1202400fanaankk==+∑=满足ka=0的最小k为______。 −=偶数
中科大强基2024数学解析
中科大强基2024数学解析
1.(1+\sqrt {2})^{2024}的小数点后第100位是参考答案:9凑一个共轭形式,简单放缩即可。猜也肯定是猜9f(x)=x^{2}+\sqrt {x^{4}-3x^{2}+2x+}5的值域参考答案：2到正无穷，抛物线数形结合3.AUBLC=X集合X有2024个元素。集合A有2000个元素,集合B有1978个元素,集合C有1958个元素,则集合ABC最少有多少个元素参考答案：最少是1888，经典的问题4.有一个六面体骰子,每个面分别标有数字11,2,3,4,5,6,投出点数之和为6的整数倍即停止,求投掷次数的均值参考答案:6,可以期望递推计算,在任意状态启动,都是1/6的概率在下一次停止3^{ \sqrt {10}}10 \sqrt {10}参考答案:和21年甲卷压轴题相同,取对数,前者大6.正整数a<c满足10a+11b+12c=123,则这样的数组(a,b,c)为参考答案：(3，3，5)，不等式解不定方程，求出范围列一下即可。7.8和x^{2}+y^{2}+z^{2} \le 1,求x^{2}+2y-2z+3的取值范围参考答案:三角换元可做,2020清华强基考过几乎一样的题,[3-2 \sqrt {2},3+2 \sqrt {2}]8.已知a为x+1/x=1L的两复数根,求多项式(p(x)=(x- \alpha ^{4})(x- \beta ^{4})的展开式参考答案：韦达定理，这个偏易，x^{2}+x+19.
2024年中国科学技术大学强基计划数学学科笔试试题
2024年中国科学技术大学强基计划数学学科笔试试题
2024年中国科学技术大学强基计划数学笔试试题考试时间：6月12日8：30-12：00 数学共15道试题，其中填空题14道，每题6分，解答题1道，16分，共计100分。一、填空题（本体共14小题，每小题6分，共84分）1.已知正整数abc,,满足123121110=++cba，则( abc的组数是_。2.若函数2)(3++=axxfx有一个二重零点，则a的所有可能取值是_。3.全集U有2024个元素，若1958,1978,2000,===CBA，则=CminBA_。4.已知α,β是方程1=1x+x的两个复数根，则=))((44βαxx_。6.已知1222++zyx，则3222++zyx的取值范围是_。7.2)20241(+的小数点后第100位数字是_。 8.投掷一个质地均匀的正方体（各面标有1,2,3,4,5,6），当各次所得数字之和为6的整数倍时停止，则投掷次数的数学期望是_。9.数列{}*,Nann，则命题",,0"*AaNnAn<>的否定是_。10.在数字310和1010中，更大的数字是_。 11.已知圆锥的高为1，底面直径AB=2，则一蚂蚁从点A沿着侧面爬到点B，爬行距离的最小值是_。12.函数RRf:满足yffxfyRfxxy+=+(())())( 且2024()fx=，则f(2024)=_。13.直线与双曲线的交点个数是_。 14.已知[]xyyeyxexx3,3,3,0=，则y的
2024年清华大学强基计划数学学科笔试试题含答案
2024年清华大学强基计划数学学科笔试试题含答案
清华大学2024年强基计划数学学科试题考试时间2024年6月28日8:00-12:00 1.已知{}{θ}θθθθθcos,cos2,cos3sin,sin2,sin3=，则θ=_.2.已知4ln=+=+bbaea,则下列选项中正确的有（）A.1lnln>+abaB.1lnln=+abaC.ab<4D.ab>e3.某城市内有若干街道，所有街道都是正东西或南北向，某人站在某段正中央开始走，每个点至多经过一次，最终回到出发点.已知向左转了100次，则可能向右转了（）次。A.96 B.98 C.104 D.102 4.在平面直角坐标系内，()1,21,8,)200(22AyxxyM+，若OMA的面积不超过3，则满足条件的整点M个数为_.6.已知2111,1nnnaaaa+==+，下列选项中正确的有 D.[]a900=30A.333lim=B.[]a400=20C.2lim=nn+nan+nan7.正整数{,100},2,1,,abc，且cbbaca>>=+2,11，满足这样条件的(abc 的组数为 A.60 B.90 C.75 D.86 8.从棱长为1个单位长度的正方体的底面一顶点A出发，每次均随机沿一条棱行走一个单位长度，下列选项中正确的有 +4A.进行4次这样的操作回到A的概率为3)11(21B.进行2次这样的操作回到A的概率为95 学科网（北京）股份有限公司4C.进行4次这样的操作回到A的概率为3)11(21D.进行2次这样的操作
2024年厦门大学强基计划数学笔试试题（解析版）
2024年厦门大学强基计划数学笔试试题（解析版）
2024年厦门大学强基计划数学笔试试题1.对于[],,abc0,2，( fabcabbcca=++的最大值为（）A.3 B.22+C.32 D.以上全错【答案】B 【解析】【分析】不妨设abc，由重要不等式得2()2()abbcabbcac++=，再根据,,abc[0,2]得2ac即可.【详解】不妨设abc，则||||||abbccaabbcac++=++因为2()2()abbcabbcac++=，当且仅当abbc=取等号.所以||||||abbccaabbcac++=++2()(21)22abbcacac++=++.当且仅当2,1,0abc===时等号成立.所以( fabc的最大值为22+.故选：B.2.对于命题p，q，以下逻辑正确的有（）A.如果p真，则q真B.如果p真，则q真，那么q假，则p假C.如果p真且q真，则p真D.如果p真，则p或q真【答案】D 【解析】【分析】举反例可以排除A、B选项，逻辑推理可以排除C.【详解】对A选项，令命题p：正方形是平行四边形，命题q：2>3，命题p为真命题，但命题q为假命题，故A错误；对B选项，令命题p：正方形是平行四边形，命题q：2<3，满足p真，则q真，所以q假为假命题，则第1页/共11页p假也是假命题，令命题m：“q为假命题”是一个假命题，命题n：“p为假命题”是一个假命题，那么“若q假
强基计划笔试原题
强基计划笔试原题
则六只蚂蚁走过的总路程长度为_2.两块非常长的光滑挡板围成一个夹角为10°的三角形区域，一小球沿着角平分线方向的初速度入射，设球与挡板间的碰撞是弹性的，则球与挡板一共会发生_次碰撞。【答案】17【详解】如图所示小球第一次碰撞后与角的另一边的夹角为15°，如下图所示，第二次碰后与角的另一边夹角为25°，可得每一次碰撞后下一次碰与角的一边的夹角为增示加10°，碰撞第8次和第9次，如下图所可得第9次后与角的边的夹角为85°，第10次碰后如下图所示可得碰后与角的边的夹角为75°，每碰撞一次，角度减少10°，当碰撞16次后，如下图所示小碰撞第17次后，路径沿水平向右，不会再发生碰撞，所以则球与挡板一共会发生17次碰撞。3.初始时刻，由轻质刚性杆连接的质量相等的A、B两个小球静止于光滑的水平面上，杆平行于y轴，整个体系处于平行于x轴的均强电场中，如果小球A、B带电量均为q，稳定状态下体系的总能量和总动量分别为E1，P1；若小球A带电量为2q，小球B不带电，则稳定状态下体
清华大学2024年强基计划数学试题（原卷）
清华大学2024年强基计划数学试题（原卷）
求满足的整点的个数.2.均为正数，则的最大，最小值是否存在？是多少？3.点集且，则由中的点可以组成多少个不同的三角形？4.抛物线，焦点为．过焦点的直线交于两点．过作平行于点切线的直线交于点，交轴于点．设，则（）A.．B.的最大值为16．C.D.5.非负，则的最大值和最小值是否存在？是多少？ 则（）A.若有两个解，则．B.若有最小值，则．C.若有最小值，则．D.若有两个解，则．的7.圆上7点所成线段中任取两条，这两条线段无公共点概率为？8.复方程的所有复数根的平方和为？9.已知，则可以是（）第1页/共4页学科网（北京）股份有限公司A.B.C.D.10.在有解，则可能的取值为？11.在内有三个不等实根，则的取值范围？12.，则（）A.B.C.D.13.已知复数满足，，则的最小值为？14.四面体中，.求与所成角余弦的最值．15.正四面体中，棱长为．点满足，则的（）为A.最小值．B.最大值为C.最小值为D.最大值为16.已知正方体，初始时与重合，每一步都等可能得移动到相邻顶点，记移动步后仍在面上的概率为，则
2023年南京大学强基计划数学试题
2023年南京大学强基计划数学试题
南京大学强基--20231.平分圆x^{2}-2x+y^{2}-4y=0的直线不经过第四象限,则斜率的范围是_.2.已知x,y \in [0,1],则x^{2}+y^{2} \le 1且(x-1)^{2}+(y-1)^{2} \le 1的概率是_.3.在1,2,3,4,5中,有放回地取数字三次,则最小的数字为2的概率是_.4.已知 \frac { \sin ^{4} \beta }{ \sin ^{2} \alpha }+\frac { \cos ^{4} \beta }{ \cos ^{2} \alpha }=-.5.满足不定方程\frac {1}{x}+\frac {1}{y}= \frac {1}{30}x \le y 的正整数解的组数是_.6.已知实系数二次方程ax^{2}+bx+c=0的两根为α和 且满足α是虚数, \frac { \alpha ^{2}}{ \beta }是实数， \frac { \alpha }{ \beta }= \ _.7.已知a>0,b>0,x+y=c,则\sqrt {x^{2}+a^{2}}+\sqrt {y^{2}+b^{2}}的最小值为_.8.已知f(n)= \sum _{k=1}^{n}(k^{2}+3k+2,n),则f(100)= \ _.9.已知\triangle ABC的三边为a,b,c,满足a^{2}+b^{2}+c^{2}=a,a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}= \beta ,则\triangle ABC的面积为_.10.记 表示n在三进制下的各数字之和,例如a_{7}=3,a_{9}=1,记S= \{ a_{n} \mid a_{n}=5,1 \le n \le 2023 \}则
2024年厦门大学强基计划数学笔试试题含答案
2024年厦门大学强基计划数学笔试试题含答案
若100200<x<，则x是否唯一确定？若200300<x<，则x是否唯一确定 A.若x<100，则x是唯一.确认；其他均不唯一B.若100200<x<，则x是唯一确认；其他均不唯一C.若200300<x<，则x是唯一确认；其他均不唯一D.三个都唯一19.已判断自然数集与以下哪些数集等势（）A.实数集B.整数集C.无理数集D.以上均是20.已知定义在I内的函数()fx满足()0fx>，若0fx，对于a，bI，比较()()2fa+fb与abfafbf的大小关系（）1()()462+++fafbabfafbf.A()()1()()4262++>++fafbabfafbfB.()()1()()4262++<++fafbabfafbfC.()()1()()4262++++fafbabfafbfD.()()1()()4262++++第3页/共3页学科网（北京）股份有限公司2024年厦门大学强基计划数学笔试试题1.对于[],,abc0,2，( fabcabbcca=++的最大值为（）A.3 B.22+C.32 D.以上全错【答案】B 【解析】【分析】不妨设abc，由重要不等式得2()2()abbcabbcac++=，再根据,,abc[0,2]得2ac即可.【详解】不妨设abc，则||||||abbccaabbcac++=++因为2()2()abbcabbcac++=，当且仅当abbc=取等号.所以||||||abbccaabbcac++=++2()(21)22abbcacac++=++.当且仅当2,1,0abc===时等号成立.所以( fabc的最大值为22+.故选：B.2.对于命题p，q
北京大学2024年强基计划笔试数学试题
北京大学2024年强基计划笔试数学试题
考试时间2024年6月30日上午9：00-11：00 以下为理科数学试题，共20题.19 1.求 20 2024 =1模7 的余数.2.求sin36sin3114+sin3126.3.求1,2,,8 的排列的个数,使得排列中没有出现连续的12,23,,78.4.已知数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4, ,求第2024 项模5 的余数.5.求四元组(1,2,3,4)的个数,使得{1,2,3} ,且10<1234< 20.6.求(0,2] 上方程2cos=sin 的解的个数.7.求 上方程411+(1)(41)=0 的解的个数.8.求 上方程213[]+11=0 的解的个数.1 9.在体积为1 的正方体内取一个点, 过这个点作三个平行于正方体面的平面,将正方体分为8 个长方体,求这些小长方体中体积不大于8 的长方体个数的最小值.10.在离心率为32 的椭圆中, 1,2 是两个焦点, 是椭圆上一点,且12= 3,|1||2|=3 ,求12.11.用()表示正整数 的数码和,求满足(+1)与()均为5 的倍数的 的最小值. 12.称正整数 为好数,当它各位数字均不相同,且对于所有正整数 满足10>0 , 都有 10 ,求最大的好数的范围.(选项为(0,1000),(1000,2000),(2000,3000 13.在 中,求coscoscos 的最小值.(+)2 14.在 中,若 边上的高为3 ,求 的范围. 15.在 中,若=2,=2,=22, 在 上,比较2 与2×的大小.
清华大学2024年强基计划数学试题（解析）
清华大学2024年强基计划数学试题（解析）
求满足的整点的个数.【答案】65【解析】【分析】设，直线的方程为，，设，则，把，代入，讨论可得答案.【详解】设，直线的方程为，即，，设，则，代入，化简得，当时 有5个整点；当时 有5个整点；当时 有5个整点；当时 有5个整点；当时 有5个整点；当时 有5个整点；当时 有5个整点；根据对称性，当时，也分别有5个整点，所以共有65个整点.2.均为正数，则的最大，最小值是否存在？是多少？第1页/共31页学科网（北京）股份有限公司【答案】存在，的最大值为3，最小值为.【解析】【分析】根据已知条件进行化简，构造函数利用函数导数判断函数的单调性，解出最值，再根据条件限制范围；【详解】由题意知，，令则，且令，则，令，则递增，递减；所以，此时，因此所以的最大，最小值存在，的最大值为3，最小值为.3.点集且，则由中的点可以组成多少个不同的三角形？【答案】1056【解析】【分析】利用组合数的知识结合图象分析即可.【详解】总共有种,第2页/共31页学科网（北京）股份有限
强基计划答案江苏
一、填空题（每小题6分，共60分）1.如图，在ABC中，AD是高线，BE是中线，AB=10，BD =6，tanC =2，则tanEBC的值为．第1题图第5题图2.若ab7，则37aba3b3．3.已知二次函数yax2x1(a0)，若有且仅有两个整数x使得y0，则a的取值范围为．4.若实数x，y满足2xy3，则(x24)(412y)的最大值为4．5.如图，在正方形ABCD中，AB4，E是BC边上的中点，连结DE，现有两点P、Q，点P从点D出发，以每秒5个单位长度向点E运动，点Q从点B出发，以1个单位长度每秒的速度向点A出发，点P运动到点E时二点停止运动，则在运动过程中，PQ的中点T经过的路程是．6.已知一元二次方程x2axb0的两根为x1，x2，若1x1x21，则设b2a22b的最大值为M，最小值为N，则MN．7.如图，在四边形ABCD中，ABC90，DEAB于点E，BDCADE，BD2BC，CD2DA，若BCD的面积为10，则四边形ABCD的面积为．第7题图第8题图第9题图8.如图，射线AB，AC是圆O的切线，B，C为切点，BAC60，点P是圆O上一动PA2PD点，点D是射线AB上一动点，则的最小值为OP．9.如图，在平面直角坐标系中，过第一象限一点C的反比例函数yk(k0)与一
北京大学2024年强基计划笔试数学试题含答案
北京大学2024年强基计划笔试数学试题含答案
北京大学2024年强基计划笔试数学试题考试时间2024年6月30日上午9：00-11：00 以下为理科数学试题，共20题.1.求 19 20 2024 =1模7 的余数.2.求sin36sin3114+sin3126.3.求1,2,,8 的排列的个数,使得排列中没有出现连续的12,23,,78.4.已知数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4, ,求第2024 项模5 的余数.5.求四元组(1,2,3,4)的个数,使得{1,2,3} ,且10<1234< 20.6.求(0,2] 上方程2cos=sin 的解的个数.7.求 上方程411+(1)(41)=0 的解的个数.8.求 上方程213[]+11=0 的解的个数.9.在体积为1 的正方体内取一个点, 过这个点作三个平行于正方体面的平面,将正方体分为8 个长方体,求这些小长方体中体积不大于1 8 的长方体个数的最小值.10.在离心率为32 的椭圆中, 1,2 是两个焦点, 是椭圆上一点,且12= 3,|1||2|=3 ,求12.11.用()表示正整数 的数码和,求满足(+1)与()均为5 的倍数的 的最小值. 学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司12.称正整数 为好数,当它各位数字均不相同,且对于所有正整数 满足 10>0 , 都有 10 ,求最大的好数的范围.(选项为(0,1000),(1000,2000),(2000,3000 13.在 中,求cos
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