朱熹2025年数学二解析年考研数学二真题及解析2025一、选择题1.设随机变量X 服从二项分布B(6,1/2)，则P(X = 3)=()A.1/2 B.1/4 C.3/4 D.1/8 2.设随机变量X 的分布列为P(X = i)=(i/2a)(i = 1,2,3)，则P(X = 2)=()A.1/6 B.1/9 C.1/18 D.1/27 3.设随机变量X 的期望EX = 3，方差DX = 4，则E(X^2)=()A.13 B.10 C.12 D.14 4.设随机变量X 的分布列为P(X = i)=(i/a)(i = 1,2,3)，则P(X = 2)=()A.1/6 B.1/9 C.1/4 D.1/3 5.若随机变量X 的分布列为P(X = i)=(i/2a)，i = 1,2,3，则P(X = 2)=()A.1/6 B.1/9 C.1/4 D.1/3 太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。《左传》二、填空题6.若随机变量X 的分布列为P(X = i)=(i/6)，i = 1,2,3，则P(X 2)= _。7.若随机变量X 的期望EX = -1，方差DX = 4，则E(X^3)= _。8.若随机变量X 的分布列为P(X = i)=(i^2/a^2)，i = 1,2,3，则P(X 2)= _。9.若随机变量X 的期望EX = -1，方差DX = 4，则E(3X+5)= _。10.若随机变量X 的分布列为P(X = i)=(i^2/8a)，i = 1,2,3，则P(X 2)= _。三、解答题11.若随机变量X 的分布列为P(X = i)=(i^2/a^2)，i = 1,2,3，求a 的值。12.若随机变量X 的期望EX = -1，方差DX = 4，求E

[基础知识] 因式分解公式：-=(-b)(1+2b++2+1)(n 为正偶数时)-=(+b)(1-2b++2-1)(n 为正奇数时)+=(+b)(1-2b+-2+1)二项式定理：(+)==0不等式：(1)a,b 位实数，则1 |ab| 2+2；2 | ±| ||+||；3 || ||| |.(2 >0, 则1 1+2++12 取整函数：x-1[x]x 三角函数和差化积;积化和差(7)：sinα+sinβ=2(sin+2)(cos2)sinαcosβ=12(sin+2+cos2)sinα-sinβ=2(cos+2)(sin2)cosαcosβ=12(cos+2+cos2)cosα+cosβ=2(cos+2)(co2)sinαsinβ=-12(cos+2 -cos2)cosα-cosβ=2(sin+2)(sin2)重要三角公式1+2 =2 1+2 =2 2 = 2 2=2 -2 =1-22 =22 -1 tan(±)=±1 tan cot(±)=1cot cotcot+cot tan2=1 =1+=±1 1+ cot2=1=1+=±1+1 万能公式：= 2(< <)，则 =21+2， =121+2 函数图像sec(x)csc(x)cot(x)arcsin(x)arccos(x)arctan(x)arc cot(x)[极限] 定义函数极限x：（6）0()=A:>0,>0,当0<|x- x0|< 时，恒有|f(x)-A|<.0+()=A:>0,>0,当0<(x- x0)< 时，恒有|f(x)-A|<.0()=A:>0,>0,当0<(x0- x)< 时，恒有|f(x)-A|<. ()=A:>0, X>0,当|x|>X 时,恒有|f(x)-A|<.+()=A:>0, X>0,当x>X 时,恒有|f(x)-A|<. ()=A:>0, X>0,当-x>X 时,恒有|f(x)-A|<.数列极限n：lim()=A:>0, N>0,当n>N 时,恒有|Xn-A|<.性质(1)唯一性:设limx0()=A，limx0()=B，则A=B.(2)局部有界性：若limx0()存在，则存在

基础数学1.数学分析（上、下）作者：侯维恒出版社：高等教育出版社该书是数学分析学科的经典教材，涵盖了基础的微积分理论和重要的数学分析定理，对于考研生来说是必备书目。2.高等代数作者：周民强出版社：高等教育出版社该书主要介绍了线性代数、群论、域论等内容，是了解代数学科基础知识的重要教材。 概率论与数理统计1.概率论与数理统计作者：朱启骥博观而约取，厚积而薄发。苏轼出版社：高等教育出版社该书是概率论与数理统计学科的标准教材，内容详实，理论严谨，适合初学者学习。2.数理统计学作者：戈登出版社：机械工业出版社该书是一本深入介绍数理统计学概念和方法的教材，主要涵盖了参数估计、假设检验、方差分析等内容。 运筹学与优化方法1.运筹学与管理决策作者：杨光明出版社：高等教育出版社该书介绍了运筹学的一些基本概念和方法，包括线性规划、整数规划、动态规划、网络优化等内容。2.优化方法与算法作者：Dimitris Bertsimas, John N.Tsitsiklis 出版社：电子工业出版社该书主要讲述了优化问题的基本方法、途径和算法，是优化领域的重要参考书籍。志不强者智不达，言不信者行不果。墨翟 应用数学1.数值计算方法作者：谷士达出版社：高等教育出版社该书主要介绍了数值计算方法的基础理论、算法和应用，对于希望深入了解数值计算方法的考研生来说非常有帮助。2.偏微分方程初步作者：Fritz John 出版社：科学出版社该书是一本重要的偏微分方程教材，涵盖了偏微分方程的定理、解法和基本应用。以上是2023年数学与应用数学专业考研书目，这些都是常规或经典的教材或参考书，如果能够深入研读和掌握，应该能够帮助大家顺利通过考试。

数二近年考研题型与范围2006年-2016年第一部分高等数学第一章函数、极限、连续1.数列极限性存在性的判定/两个存在准则06-18(I);07-6;08-5;10-6(II);11-19(II);12-3;12-21(II);13-20(II);15-14;2.无穷小量的阶数与比较06-15;07-1;09-2;11-1;12-15(11);13-1;13-15;14-1;16-1;3.待定型的极限\circled {8}06-2;06-18(11);07-2;07-11;08-15;11-9;12-15;13-9;14-5;14-15;14-20;15-2;15-3;16-155；4.连续的判定06-2;06-8;15-3;5.间断点的分类07-2;08-4;09-1;10-1;15-2;6.函数性质的判定与证明(奇偶、周期、单调、有界)：一般结合其他知识点考察。06-8;12-5;14-10;7.渐近线06-1;07-5;10-10;14-2;16-9;8.极限的逆问题07-4;09-9;11-15;12-1;13-15;第二章一元函数微分学1.导数与微分的定义与判定06-7;07-4;07-7;11-2;12-2;13-2;15-3;2.反函数的导数13-10;3.复合函数求导、幂指函数求导与高阶导数06-9;07-13;07-20;09-13;10-11;15-10;16-12;4.隐函数、参数方程的导数故06-5;06-21(1,11);07-12;07-20;08-10;09-A;09-12;10-17;11-16;12-9;13-12;14-4;14-12;15-9;5.函数的极值点、拐点的判定与求解08-11;11-5;11-17;15-4;16-4(数形结合)；6.单调区间、凹凸区间的定义与判定06-21(

考研数学必背的内容Chl函数极限连续(8~18)定义域值域(- \infty ,+\infty)sin x[-1,1]cosx(- \infty ,+\infty)[-1,1]x \neq k \pi+\frac { \pi }{2}tan x(- \infty ,+\infty)cot xx \neq k \pi(- \infty ,+\infty)[- \frac { \pi }{2}, \frac { \pi }{2}]arcsinx[-1，1]arccos.x[-1，1](- \frac { \pi }{2}, \frac { \pi }{2})(- \infty ,+\infty)arctan x(- \infty ,+\infty)arccotx(0,π)如f(x)以T为周期,则\int _{a}^{a+nT}f(x)dx=n \int _{0}^{T}f(x)dx=n \int _{- \frac {T}{2}}^{ \frac {T}{2}}f(x)(偶)=奇,(高)'=得;偶函数的原函数不一定是奇数,但奇函数的原函数是偶函数;奇士奇=奇(不等),偶+偶=偶,奇+偶不定奇·奇=偶,偶·偶=偶，奇·偶=奇(偶0)1分段函数:注：1^{0} \mid f(x)\mid与\sqrt [n]{f(x)},分段点f(x)=0:2^{0}sgnf(x)= \cases {1&f(x)>0 \cr 0&f(x)=0;\cr -1&f(x)<0}3^{0}max(f(x),g(x))= \frac {f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|}{2},分段点f(x)=g(x);4^{0}[f(x)]f(x)=整数的点5^{0}函数的极限问题\lim _{x \rightarrow 0^{+}}a^{ \frac {1}{x}}= \cases { \infty &a>1 \cr 1&a=1 \cr 0&a<1}, \lim _{x \rightarrow 0^{-}}a^{ \frac {1}{x2、\lim _{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A存在5\lim _{n \rightarrow \infty }f(x_{n})=A,x_{n}为任何以x_{0}为极限的数列

高数概念[基础知识] 因式分解公式:a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})(n为正偶数时(a^{n}-b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}-b^{n-1})(n为正奇数时)a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\cdots -ab^{n-2}+b^{n-1})二项式定理:(a+b)^{n}= \sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{k}b^{n-k} 不等式：(1)a，b位实数，则\Phi 2|ab| \le a^{2}+b^{2};\varnothing |a \pm b| \le |a|+|b|;\circled {3}|a|-|b| \le |a-b|.(2)a_{1},a_{2}, \cdots ,a_{n}>0, 则 \frac {a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n} \ge \sqrt [n]{a_{1}a_{2} \cdots a_{n}} 取整函数:x-1<[x] \le x 三角函数和差化积；积化和差(7)：\sin \alpha+\sin \beta =2(\sin \frac { \alpha+\beta }{2})(\cos \frac { \alpha - \beta }{2})\sin \alpha \cos \beta = \frac {1}{2}(\sin \frac { \alpha+\beta }{2}+\cos \frac { \alpha - \beta }{2})\sin \alpha - \sin \beta =2(\cos \frac { \alpha+\beta }{2})(\sin \frac { \alpha - \beta }{2})\cos \alpha \cos \beta = \frac {1}{2}(\cos \frac { \alpha+\beta }{2}+\cos \frac { \alpha - \beta }{2})\cos \alpha+\cos \beta =2(\cos \frac { \alpha+\beta }{2})(\cos \frac { \alpha - \beta }{2})\sin \alpha \sin \beta =- \frac {1}{2}(\cos \frac { \alpha+\beta }{2}- \cos \frac { \al

xx年研究生数学考试已经圆满结束，出guo考研频道紧密关注xx考研真题及答案，并在考后第一时间为大家公布xx考研数学二真题考点总结，建议您收藏本网站(ctrl+D收藏即可)。更多考研信息请关注的更新!(1)等价无穷小替换、无穷小比较(2)原函数的概念(3)反常积分敛散性的判断(4)极值以及拐点的充分条件(5)曲率的概念以及函数的单调性(6)偏导数的计算(7)相似的概念以及性质(8)惯性指数的定义以及等价条件(9)渐近线的计算(10)极限的计算(11)微分方程解的性质(12)高阶导数的计算(13)导数的物理意义(14)矩阵等价的充分必要条件(15)极限的计算(16)积分变限函数求导以及最值的求解(17)二元函数的无条件极值(18)二重积分的计算(19)微分方程的求解以及导数的计算(20)定积分的应用-旋转体体积以及外表积(21)定积分的计算以及根的个数确实定(22)线性方程组解的判定以及求解(23)矩阵相似对角化最后，出guo考研祝各位考生取得优异的成绩。

考研数学参照书目及复习计划必备参照书：（背面星号是推举星号），下面打算使用如下参照书，可以用类似书替代。 1、李永乐李正元《数学复习全书（经济类）》*****，同样效用有陈**《数学复习指南（经济类）》****，不过他重技巧，精髓在微积分，永乐重根底，并且从近三年考试来看，全书愈加适合考研，有局部内容超纲。假如已经买了复习指南，剧烈推举再买本永乐《线性代数辅导讲义》*****，由于永乐线代深入浅出，尤其好，可以弥补线代那局部缺乏。想考更高分战友可以两本都选（个人认为全书是必备）；2、数学根底过关660题（经济类）*****，不是必备，不过在前期作为打根底练习尤其不错。 3、历年真题。有两个版本，一种是永乐《历年试题解析》（数学四）*****，好处在于按章节分类，题目背面尚有评注，历年试卷放前面可以自测；另一种西安交大武忠祥《历年数学考研试题讨论（数学四）》****，好处在于按章节分类，尚有考试考点分析和分类记录。每章背面有同步练习。假如买不

高数第一章函数、极限、连续等价无穷小代换、洛必达法则、泰勒展开式求函数的极限函数连续的概念、函数间断点的类型判断函数连续性与间断点的类型第二章一元函数微分学导数的定义、可导与连续之间的关系按定义求一点处的导数，可导与连续的关系函数的单调性、函数的极值讨论函数的单调性、极值闭区间上连续函数的性质、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理微分中值定理及其应用第三章一元函数积分学积分上限的函数及其导数变限积分求导问题有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的积分计算被积函数为有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的不定积分和定积分第四章多元函数微积分学隐函数、偏导数、全微分的存在性以及它们之间的因果关系函数在一点处极限的存在性，连续性，偏导数的存在性，全微分存在性与偏导数的连续性的讨论与它们之间的因果关系二重积分的概念、性质及计算二重积分的计算及应用第五章常微分方程一阶线性微分方程、齐次

函数、极限、连续1.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性2.复合函数、反函数、分段函数和隐函数3.基本初等函数的性质及其图形4.数列极限与函数极限的定义及其性质5.函数的左极限和右极限6.无穷小量和无穷大量的概念及其关系7.无穷小量的性质及无穷小量的比较8.极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则9.两个重要极限10.函数连续的概念11.函数间断点的类型12.闭区间上连续函数的性质 一元函数微分学1.导数和微分的概念2.函数的可导性与连续性之间的关系3.平面曲线的切线和法线方程4.导数和微分的四则运算5.基本初等函数的导数6.复合函数、反函数、隐函数数的微分法7.高阶导数一阶微分形式的不变性8.微分中值定理9.洛必达(LHospital)法则10.函数单调性、极值11.函数图形的凹凸性、拐点及渐近线12.函数的最大值与最小值 一元函数积分学1.原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质2.基本积分公式3.定积分的概念和基本性质，定积分中值定理4.积分上限的函数及其导数5.牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式6.不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法7.反常(广义)积分8.定积分的几何应用(平面图形的面积、旋转体的体积) 多元函数微积分学1.二元函数的极限与连续的概念2.多元函数的偏导数和全微分，全微分存在的必要条件和充分条件3.多元复合函数、隐函数的求导法4.二阶偏导数5.多元函数的极值和条件极值6.多元函数的最大值、最小值及其简单应用7.二重积分的概念、性质、计算 无穷级数1.常数项级数的收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念2.级数收敛的基本性质与收敛的必要条件3.几何级数与级数及其收敛性4.正项级数收敛性的判别法5.交错级数与莱布尼茨定理6.任意项级数的绝对收敛与条件收敛7.幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域8.幂级数在其收敛区间内的基本性质9.简单幂级数的和函数的求法10.初等函数的幂级数展开式 常微分方程与差分方程1.变量可分离的微分方程2.齐次微分方程3.一阶线性微分方程4.线性微分方程解的性质及解的结构定理5.二阶常系数齐次线性微分方程6.简单的二阶常系数非齐次线性微分方程7.差分方程的通解与特解8.一阶常系数线性差分方程

函数、极限、持续 考试内容 函数概念及表达法函数有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数性质及其图形初等函数函数关系建立数列极限与函数极限定义及其性质函数左极限与右极限无穷小量和无穷大量概念及其关系无穷小量性质及无穷小量比较极限四则运算极限存在两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限:函数持续概念函数间断点类型初等函数持续性闭区间上持续函数性质考试规定 1.理解函数概念，掌握函数表达法，会建立应用问题函数关系.2.理解函数有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.理解复合函数及分段函数概念，理解反函数及隐函数概1 / 14念.4.掌握基本初等函数性质及其图形，理解初等函数概念. 一元函数微分学 考试内容 导数和微分概念导数几何意义和物理意义函数可导性与持续性之间关系平面曲线切线和法线导数和微分四则运算基本初等函数导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定函数微分法高阶导数一阶微分形式不变性微分中值定理洛必达(LHospital)法则函数单调性鉴别函数极值函数图形凹凸性、拐点及渐近线函数图形描绘函数最大值和最小值弧微分曲率概念曲率圆与曲率半径考试规定 1.理解导数和微分概念，理解导数与微分关系，理解导数几何意义，会求平面曲线切线方程和法线方程，理解导数物理意义，会用导数描述某些物理量，理解函数可导性与持续性之间关系.2.掌握导数四则运算法则和复合函数求导法则，掌握基本2 / 14初等函数导数公式. 一元函数积分学 考试内容 原函数和不定积分概念不定积分基本性质基本积分公式定积分概念和基本性质定积分中值定理积分上限函数及其导数牛顿一莱布尼茨(NewtonLeibniz)公式不定积分和定积分换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数有理式和简单无理函数积分反常(广义)积分定积分应用考试规定 1.理解原函数概念，理解不定积分和定积分概念.2.掌握不定积分基本公式，掌握不定积分和定积分性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法.3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数积分.4.理解积分上限函数，会求它导数，掌握牛顿莱布尼茨公式.3 / 14 5.理解反常积分概念，会计算反常积分.6.掌 向量代数和空间解析几何考试内容 向量概念向量线性运算向量数量积和向量积向量混合积两向量垂直、平行条件两向量夹角向量坐标体现式及其运算单位向量方向数与方向余弦曲面方程和空间曲线方程概念平面方程、直线方程平面与平面、平面与直线、直线与直线夹角以及平行、垂直条件点到平面和点到直线距离球面柱面旋转曲面常用二次曲面方程及其图形空间曲线参数方程和一般方程空间曲线在坐标面上投影曲线方程考试规定 1.理解空间直角坐标系，理解向量概念及其表达.2.掌握向量运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，理解两个向量垂直、平行条件.3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量坐标体现式，掌握用坐标体现式进行向量运算措施.4. 多元函数微分学 考试内容 多元函数概念二元函数几何意义二元函数极限与持续概念有界闭区域上多元持续函数性质多元函数偏导数和全微分全微分存在必要条件和充足条件多元复合函数、隐函数求导法二阶偏导数方向导数和梯度空间曲线切线和法平面曲面切平面和法线二元函数二阶泰勒公式多元函数极值和条件极值多元函数最大值、最小值及其简单应用考试规定 1.理解多元函数概念，理解二元函数几何意义.2.理解二元函数极限与持续概念以及有界闭区域上持续函数性质.3.理解多元函数偏导数和全微分概念，会求全微分，理解全微分存在必要条件和充足条件，理解全微分形式不变性.4.理解方向导数与梯度概念，并掌握其计算措施.5.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数求法. 多元函数积分学 考试内容 二重积分与三重积分概念、性质、计算和应用两类曲线积分概念、性质及计算两类曲线积分关系格林(Green)公式平面曲线积分与途径无关条件二元函数全微分原函数两类曲面积5 / 14分概念、性质及计算两类曲面积分关系高斯(Gauss)公式斯托克斯(Stokes)公式散度、旋度概念及计算曲线积分和曲面积分应用考试规定 1.理解二重积分、三重积分概念，理解重积分性质，理解二重积分中值定理.2.掌握二重积分计算措施(直角坐标、极坐标)，会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).3.理解两类曲线积分概念，理解两类曲线积分性质及两类曲线积分关系.4.掌握计算两类曲线积分措施.5. 无穷级数 考试内容 常数项级数收敛与发散概念收敛级数和概念级数基本性质与收敛必要条件几何级数与级数及其收敛性正项级数收敛性鉴别法交错级数与莱布尼茨定理任意项级数绝对收敛与条件收敛函数项级数收敛域与和函数概念幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域幂级数和函数幂级数在其收敛区间内基本性质简单幂级数和函数求法初等函数幂级数展开式函数傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数狄利克雷(Dirichlet)定理函6 / 14数在上傅里叶级数函数在上正弦级数和余弦级数考试规定 1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数和概念，掌握级数基本性质及收敛必要条件.2.掌握几何级数与级数收敛与发散条件.3. 常微分方程 考试内容 常微分方程基本概念变量可分离微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程伯努利(Bernoulli)方程全微分方程可用简单变量代换求解某些微分方程可降阶高阶微分方程线性微分方程解性质及解构造定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶某些常系数齐次线性微分方程简单二阶常系数非齐次线性微7 / 14分方程欧拉(Euler)方程微分方程简单应用考试规定 1.理解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2.掌握变量可分离微分方程及一阶线性微分方程解法.3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单变量代换解某些微分方程.4.会用降阶法解下列形式微分方程：.5.理解线性微分方程解性质及解构造. 行列式 考试内容 行列式概念和基本性质行列式按行(列)展开定理考试规定： 1.理解行列式概念，掌握行列式性质.2.会应用行列式性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式. 矩阵 考试内容 矩阵概念矩阵线性运算矩阵乘法方阵幂方阵乘积行列式矩阵转置逆矩阵概念和性质矩阵可逆充足必要条件伴随矩阵矩阵初等变换初等矩阵矩阵秩矩阵等价分块矩阵及其运算考试规定8 / 14 1.理解矩阵概念，理解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，以及它们性质.2.掌握矩阵线性运算、乘法、转置以及它们运算规律，理解方阵幂与方阵乘积行列式性质.3.理解逆矩阵概念，掌握逆矩阵性质，以及矩阵可逆充足必要条件，理解伴随矩阵概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.理解矩阵初等变换概念，理解初等矩阵性质和矩阵等价概念，理解矩阵秩概念，掌握用初等变换求矩阵秩和逆矩阵措施.5.理解分块矩阵及其运算.

来源:文都图书鉴于17年考研数学二的大纲还没有发布,目前我们只能参照16年的考研数学二大纲,进行复习和学习,对于考研数学二大纲中出现的重要章节和知识点,我们要仔细研究并学习,下面总结了考研数学（二）考察的题型及其一些经常考察的知识点,同学们要认真学习哦。我们下面介绍的内容将会按照科目、大纲章节、知识点、题型及其重要度等级来进行排列，同学们要认真学习，抓住考察重点，提高学习效率。高等数学第一章函数、极限、连续等价无穷小代换、洛必达法则、泰勒展开式求函数的极限函数连续的概念、函数间断点的类型判断函数连续性与间断点的类型第二章一元函数微分学导数的定义、可导与连续之间的关系按定义求一点处的导数，可导与连续的关系函数的单调性、函数的极值讨论函数的单调性、极值闭区间上连续函数的性质、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理微分中值定理及其应用第三章一元函数积分学积分上限的函数及其导数变限积分求导问题有理函数