排列组合一、两个原理. 1.乘法原理、加法原理. 2.可．以．有．重．复．元．素．的排列.从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第上选取元素的方法都是，n位 m个所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m·m·…m = mn.. 例：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？（解：m 种）n 二、排列. 1.基本概念。 ⑴对排列定义的理解. 定义：从n m(m≤n)个不同的元素中任取元素，按照一定顺序排成一列，．．．．．．叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号A 表示. m n ⑷排列数公式： n ! Am n n (1)(n m1) ( mn n m , ,N ) ( n m )! n n !( nn注意：规定0!=1 A mA mA C mm1A mmA m1 n1 n m n n n A n mnA n m   1 1 规定Cn n C 0 n1 2.含．有．可．重．元．素．的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a 1， a为n 且n=n 2,…...a n其中限重1、n 2……n k，1+n 2+……n k ,则S的n !排列个数等于n __________ . n ! n 1 2 !n..!.k 1( 2)!例如：已知数字3、2、2，求其排列个______数n  3又例如：数字5、5、5、1 2! ! 求其排列个数？其排列个数1 n 3 !. 3! 三、组合. 1.⑴组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. ⑵组合数公式： A m n ( n1)( nm 1) n ! C m nC m n A m m ! n m ! ( nm )! m ⑶两个公式： ① C n C m nm ; n ② C m n 1C m nC n m 1 ①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合. （或者从n+1个编号不同的小球中，n个白球一个红球，任取m个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有C m 1C 1 C m 1一类是不含红球的n 1 n 选法有C ）m n ②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有C m 1如果不取这一元素，则n ， C m  n 1C m nC n m 1 . ⑷排列与组合的联系与区别. 联系：都是从n个不同元素中取出m个元素. 区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ⑸几个合数公式 C 0C 1C 2n2 n n n n n C 0C 2C 4C 1 C 3 C 52 n1 n n n n n n C m C m C mC m C m 1 n m 1 m 2 m n m n 1 kC knC k1 n n1 1 1 C kC k1 k1 n n 1 n1 四、例题分析例1设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共不同方法．（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，小组至多有一名学生参加，有种不同方法．点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都理进行计算．例2判断下列问题是排列问题还是组合问题？（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二年级数学课外小组共①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）．（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积．（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．五、知识点、能力点提示 (一)加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据. 例1 5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种? 解： 5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有 3×3×3×3×3=35(种) (二)排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查. 例2 由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有( ) A.60个 B.48个 C.36 个D.24个解因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P1小于50000的五位2；数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P1首末两位数排定后，3;在中间3个位数的排法有P3得P1 36(个) 3，3P3 3P1 2＝由此可知此题应选C. 例3将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种? 解：将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即2143，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为3P1 ). 3=9(种（三)组合、组合数公式、组合数的两个性质说明历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查. 例4从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有( ) A.140种 B.84种 C.70种 D.35种解：抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C1；甲型2台4·C2 5种乙型1台的取法有C2 根据加法原理可得总的取法有4·C1 5种 C2 )可知此题应选C. 4·C2 5+C2 4·C1 5=40+30=70(种例5甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包 1项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式? 解：甲公司从8项工程中选出3项工程的方式C3；8种乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C1；5种丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C2；4种丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C2 . 2种根据乘法原理可得承包方式的种数有C38×C1 ). 5×C2 4×C2 2=×1=1680(种例6 2名医生和4名护士被分配到2所学校为每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有( )

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排列组合数学公式

两个原理.1.乘法原理、加法原理.2.可．以有．．重复．．元素．．的排列.从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第排列.1.基本概念。对排列定义的理解.定义：从n个不同的元素中任取m(mn)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.相同排列.如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.排列数.从n个不同元素中取出m(mn)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号mnA表示.排列数公式：!1)1)((Nnnmm ()!(mnnnmnnAm注意：1 (nnnn规定0!=111mm1nmAAACAAmnmmnmnnmmnnAA规定10nnnCC11mn2.含有．．可重．．元素．．的排列问题. 例题分析例1设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法．点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．例2判断下列问题是排列问题还是组合问题？（1）高三年级学生会有11人：每两人互通一封信，共通了多少封信？每两人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二年级数学课外小组共10人：从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？知识点、能力点提示(一)加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.例15位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种?解：5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35(种)(二)排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有()A. 加强练习1．4名男歌手和2名女歌手联合举行一场音乐会，出场顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，共有出场方案的种数是（）4A．6A3B．3A3C．2A3D．A2A1A3332442．编号为1，2，3，4，5，6的六个人分别去坐编号为1，2，3，4，5，6的六个座位，其中有且只有两个人的编号与座位编号一致的坐法有（）A．15种B.90种C．135种D．150种3．从6位男学生和3位女学生中选出4名代表，代表中必须有女学生，则不同的选法有（）A．168B．45C．60D．1114．氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一，某肽链由7种不同的氨基酸构成，若只改变其中3种氨基酸的位置，其他4种不变解答题（本大题满分74分.）17．（12分）某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种多少种？18．（12分）一些棋手进行单循环制的围棋比赛，即每个棋手均要与其它棋手各赛一场，现有两名棋手各比赛3场后退出了比赛，且这两名棋手之间未进行比赛，最后比赛共进行了72场，问一开始共有多少人参加比赛？19．（12分）用红、黄、蓝、绿、黑5种颜色给如图的a、b、c、d四个区域染色，若相邻的区域不能用相同的颜色，试问：不同的染色方法的种数是多少？20．（12分）7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？选择题1．D2．C3．D4．C5．C6．C7．A8．B9．B10．B11．D12．D5解：233212434204CC863/2280CCCC8解：339解：11232212.CCA 填空题13解：542542AAA72.14解：12121232222333()()1()17.CCCCCCC15解：2016.16解：22442115.CC 解答题17解：设还需准备不同的素菜x种,x是自然数，则200CC2x25，即xN,x2x400，得7x.18解：设这两名棋手之外有n名棋手，他们之间互相赛了72-2×3=66场，66C2n，解得：n=12.故一开始共有14人参加比赛．19解：18020解：（1）4343144;AA（2）1112228;AAA（3）6376CC33C=140．21(1)解法固定法：从元素着眼，把受限制的元素先固定下来．)教师先坐中间，有22A种方法；)学生再坐其余位置，有44A种方法．共有22A·44A48种坐法．解法排斥法：从位置着眼，把受限制的元素予先排斥掉．)学生坐中间以外的位置：44A；)教师坐中间位置

2022年高考数学知识点：排列组合公式