考研 数学 : 数学 二 重要 知识 点 及 题 型 科目 大纲 章节 知识 点 题型 重要 度 等级 高等 数学 第 一 章 函数 、 极限 、 持续 等价 无穷小 代换 、 洛 必达 法则 、 泰勒 展开 式 求 函数 极限 旳 ★ ★ ★ ★ ★ 函数 持续 概念 、 函数 间断 点 类型 旳 旳 判断 函数 持续 性 与 间断 点 类型 旳 ★ ★ ★ 第 二 章 一元 函数 微分 学 导 数 定义 、 可 导 与 持续 之间 关系 旳 旳 按 定义 求 一点 处 导 数 旳 , 可 导 与 持续 关系 旳 ★ ★ ★ ★ 函数 单调 性 、 函数 极值 旳 旳 讨论 函数 单调 性 、 极值 旳 ★ ★ ★ ★ 闭 区间 上 持续 函数 性质 、 罗尔 定理 、 拉格朗日 中 值 定理 、 柯西 中 值 定理 和 旳 泰勒 定理 微分 中 值 定理 及其 应用 ★ ★ ★ ★ ★ 第 三 章 一元 函数 积分 学 积分 上限 函数 及其 导 数 旳 变 限 积分 求 导 问题 ★ ★ ★ ★ ★ 有理 函数 、 三角 函数 有理 式 、 简朴 无理 函数 积分 旳 计算 被 积 函数 为 有理 函数 、 三角 函数 有理 式 、 简朴 无理 函数 不定 积分 和 定 旳 积分 ★ ★ 第 四 章 多元 函数 微 积分 学 隐 函数 、 偏 导 数 、 全 微分 存在 性 以及 它们 之间 因果 关系 旳 旳 函数 在 一点 处 极限 存在 性 旳 , 持续 性 , 偏 导 数 存在 性 ， 全 微分 存在 性 与 偏 导 数 旳 持续 性 讨论 与 它们 之间 因果 关系 旳 旳 旳 ★ ★ 二重 积分 概念 、 性质 及 计算 旳 二重 积分 计算 及 应用 旳 ★ ★ ★ ★ ★ 第 五 章 常 微分 方程 一 阶 线性 微分 方程 、 齐 次 方程 , 微分 方程 简朴 应用 旳 用 微分 方程 处理 某些 应用 问题 ★ ★ ★ ★ ★ 线性 代数 第 一 章 行列 式 行列 式 运算 旳 计算 抽象 矩阵 行列 式 旳 ★ ★ 第 二 章 矩阵 矩阵 运算 旳 求 矩阵 高 次 幂 等 ★ ★ ★ 矩阵 初等 变换 、 初等 矩阵 旳 与 初等 变换 有关 命题 旳 ★ ★ ★ ★ ★ 第 三 章 向量 向量 组 线性 有关 及 无关 有关 性质 及 鉴别 法 旳 旳 向量 组 线性 有关 性 旳 ★ ★ ★ ★ ★ 线性 组合 与 线性 表达 鉴定 向量 能否 由 向量 组 线性 表达 ★ ★ ★ 第 四 章 线性 方程 组 齐 次 线性 方程 组 基础 解 系 和通 解 求 法 旳 旳

2022 考研 数学 指导 高数 六 大 必 考题 型 第 一 ： 求 极限 。 无论 数学 一 、 数学 二 还是 数学 三 ， 求 极限 是 高等 数学 的 基本 要求 ， 所以 也 是 每年 必 考 的 内容 。 区别 在于 有时 以 4 分 小 题 形式 出现 ， 题目 简单 ; 有时 以 大 题 出现 ， 需要 使用 的 方法 综合 性 强 。 比如 大 题 可能 需要 用到 等价 无穷小 代换 、 泰勒 展开 式 、 洛比达 法则 、 分离 因子 、 重要 极限 等 中 的 几 种 方法 ， 有时 考生 需要 选择 其中 简单 易 行 的 组合 完成 题目 。 另外 ， 分 段 函数 个别 点 处 的 导 数 ， 函数 图形 的 渐近 线 ， 以 极限 形式 定义 的 函数 的 连续 性 、 可 导 性 的 研究 等 也 需要 使用 极限 手段 达到 目的 ， 须 引起 注意 ! 第 二 ： 利用 中 值 定理 证明 等式 或 不等式 ， 利用 函数 单调 性 证明 不等式 。 证明 题 虽 不 能 说 每年 一定 考 ， 但 也 基本 上 十年 有 九年 都会 涉及 。 等式 的 证明 包括 使用 4 个 微分 中 值 定理 ， 1 个 积分 中 值 定理 ; 不等式 的 证明 有时 既 可 使用 中 值 定理 ， 也 可 使用 函数 单调 性 这里 泰勒 中 值 定理 的 使用 是 一个 难点 ， 但 考查 的 概率 不大 。 第 三 ： 一元 函数 求 导 数 ， 多元 函数 求 偏 导 数 。 求 导 数 问题 主要 考查 基本 公式 及 运算 能力 ， 当然 也 包括 对 函数 关系 的 处理 能力 。 一元 函数 求 导 可能 会 以 参数 方程 求 导 、 变 限 积分 求 导 或 应用 问题 中 涉及 求 导 ， 甚 或 高 阶 导 数 ; 多元 函数 ( 主要 为 二元 函数 ) 的 偏 导 数 基本 上 每年 都会 考查 ， 给 出 的 函数 可能 是 较为 复杂 的 显 函数 ， 也 可能 是 隐 函数 ( 包括 方程 组 确定 的 隐 函数 ) 。 另外 ， 二元 函数 的 极值 与 条件 极值 与 实际 问题 联系 极其 紧密 ， 是 一个 考查 重点 。 极值 的 充分 条件 、 必要 条件 均 涉及 二元 函数 的 ' 偏 导 数 。 1 / 2 第 四 ： 级数 问题 。 常数 项 级数 ( 特别 是 正项 级数 、 交错 级数 ) 敛 散 性 的 判别 ， 条件 收敛 与 绝对 收敛 的 本质 含义 均 是 考查 的 重点 ， 但 常常 以 小 题 形式 出现 。 函数 项 级数 ( 幂 级数 ， 对数 一来 说 还有 傅里叶 级数 ， 但 考查 的 频率 不 高 ) 的 收敛 半径 、 收敛 区间 、 收敛 域 、 和 函数 等 及 函数 在 一点 的 幂 级数 展开 在 考试 中常 占有 较 高 的 分值 。 第 五 ： 积分 的 计算 。 积分 的 计算 包括 不定 积分 、 定 积分 、 反常 积分 的 计算 ， 以及 二重 积分 的 计算 ， 对 数学 考生 来 说 常 主要 是 三 重 积分 、 曲线 积分 、 曲面 积分 的 计算 。 这 是 以

2023 考研 数学 二 题型 介绍 及 备考 指导 2023 考研 数学 二 题型 介绍 及 备考 指导 如今 许多 大三 的 学生 已经 开始 投入 到 根底 复习 中 ， 对 怎样 合理 安排 复习 方案 、 把握 复习 重点 、 复习 使用 的 教材 以及 复习 方法 等 多 方面 的 问题 都 有 诸多 疑惑 。 那么 春季 我们 2023 年 数学 二 考研 的 考生 在 这 个 阶段 首先 是 明白 考研 数学 二 考 什么 ? 一 、 关于 考研 数学 二中 的 高等 数学 ： 同济 六 版 高等 数学 中 除了 第 七 章 微分 方程 考 带 * 号 的 伯努利 方程 外 ， 其余 带 * 号 的 都 不 考 ; 所有 " 近似 " 的 问题 都 不 考 ; 第 四 章 不定 积分 不 考 积分 表 的 使用 ; 不 考 第 八 章 空间 解析 几何 与 向量 代数 ; 第 九 章 第 五 节 不 考 方程 组 的 情形 ; 到 第 十 章 二重 积分 、 重 积分 的 应用 为止 ， 后面 不 考 了 ; 二 、 关于 线性 代数 ， 数学 二 用 的 教材 是 同济 五 版 线性 代数 ， 1 - 5 章 ： 行列 式 、 矩阵 及其 运算 、 矩阵 的 初等 变换 及其 方程 组 、 向量 组 的 线性 相关 性 、 相似 矩阵 及 二次型 ; 三 、 数学 二 不 考 概率 与 数理 统计 根底 不 扎实 的 同学 ， 春季 ， 也 就是 如今 就 可以 投入 复习 了 。 建 议 大家 报 数学 春季 根底 班 ， 可以 初步 树立 自己 的 复习 思路 ， 为 自己 的 复习 起 一个 好头 。 一般来说 复习 分为 四 个 阶段 ： 第 一 个 是 根底 复 习 阶段 ， 这 一 阶段 的 任务 是 主攻 教材 和 课本 ， 到达 根底 知识 的 理解 和 掌握 ; 第 二 个 阶段 是 强化 训练 阶段 ， 顾名思义 这 一 阶段 的 主要 任务 是 全书 阶段 ， 全面 地 掌握 各类 知识 点 ， 并且 详细 地 做 笔记 ， 对 常 考 的 题型 做 大量 的 练习 ; 第 三 个 阶段 是 稳固 进步 阶段 ， 这 一 阶段 是 通过 真题 和 模拟 题 的 训练 和 分析 来 完成 将 数学 的 整体 框架 构造 搭建 起来 ; 最后 一个 阶段 是 冲刺 阶段 ， 这 一 阶段 的 时间 一般 较 短 ， 主要 是 做 一 些 题目 来 到达 稳定 才能 和 程度 的 目的 ， 并且 再次 地 强化 之前 所 记忆 的 知识 点 。 对于 数 二 的 同学 来 说 ， 需要 做 大量 的 试题 。 即使 在 初始 阶段 ， 数 二 的 很 多 同学 都 在 对 典型 题型 进展 研究 ， 问题 在于 你 如何 研究 它 ， 我 认为 应该 对 典型 题型 进展 全 方位 立体 式 的 研究 。 面对 一道 典型 例 题 ， 在 做 这 道 题 以前 你 必须 考虑 ， 它 该 从 哪个 角度 切入 ， 为 什么 要 从 这 个 角度 切入 。 做 题 的 过程 中 ， 必须 考

考研 数学 二 考 哪些 内容 2022 考研 数学 二 考试 内容 数学 二 考试 科目 ： 高等 数学 、 线性 代数 。 高等 数学 ： 同济 六 版 高等 数学 中 除了 第 七 章 微分 方程 考 带 某 的 伯 努力 方程 外 ， 其余 带 某 号 的 都 不 考 ; 所有 ” 近似 “ 的 问题 都 不 考 ; 第 四 章 不定 积分 不 考 积分 表 的 使用 ; 不 考 第 八 章 空间 解析 几何 与 向量 代数 ; 第 九 章 第 五 节 不 考 方程 组 的 情形 ; 到 第 十 章 二重 积分 、 重 积分 的 应用 为止 ， 后面 则 不 考 。 线性 代数 ： 数学 二 用 的 教材 是 同济 五 版 线性 代数 ， 1 - 5 章 ： 行列 式 、 矩阵 及其 运算 ， 矩阵 的 初等 变换 及其 方程 组 、 向量 组 的 线性 相关 性 、 相似 矩阵 及 二次型 。 工学 门类 的 纺织 科学 与 工程 、 轻工 技术 与 工程 、 农业 工程 、 林业 工程 、 食品 科学 与 工程 等 一级 学科 中 所有 的 二 级 学科 、 专业 都 考 的 是 数学 二 。 2022 考研 数学 难度 分析 数学 一 65 . 69 难度 系数 0 . 438 难度 偏 大 数学 二 71 . 87 难度 系数 0 . 479 难度 略 大 数学 三 76 . 80 难度 系数 0 . 512 难度 适中 这里 将 往年 平均 分 一起 作 了 一个 对比 ， 结果 如下 ： 对于 数学 来 说 ， 大 小年 的 难度 很 明显 ： 奇数 年 较 高 ， 偶数 年 较 低 。 15 年 、 17 年 、 19 年 相对 简单 ， 16 年 、 18 年 、 20 年 则 会 相对 难 。 大家 也 可 发现 ， 19 考研 数学 一 和 18 年 持平 ， 数学 一 二 三 难度 有 所 分化 。 数学 一 、 二 、 三 难度 分化 的 原因 是 ， 各 数学 卷子 自己 的 特色 题目 加强 ， 数学 一 高数 下册 、 线 代 的 向量 空间 做 重点 命题 ; 数学 二 高数 上册 做 重点 命题 ， 数学 三 高数 上 下册 选取 数学 一 二 的 公共 部分 做 重点 命题 。 从 往年 数据 来 看 ， 数学 一 和 数学 二 在 2022 考研 中 难度 会 有 所 增大 ， 但 不必 担心 会 难 出 天际 ， 16 年 平均 分 低 出 了 新境界 ， 当时 可是 一 片 骂声 啊 其 难度 估计 也 是 后 无 来者 了 ， 所以 大家 要 辩证 分析 。 数学 三 难度 应 会 略 有 提高 ， 也 不 应 变化 太 大 ， 不必 过于 紧张 。 数学 现在 不论 是 二 刷 还是 启动 一 轮 真题 ， 做 错 还是 做 对 ， 都 不要 在意 得了 多少 分 ， 一定 要 将 做 过 的 题 纳入 自己 的 知识 体系 和 思维 结构 ， 不断 巩固 和 加强 解题 能力 。 记住 ： 20 考研 数学 是 一 场 硬仗 ! ， 必须 潜心 钻研 ! 【 考研 数学 二 考 哪些 内容 2022 - 2022 考研 数学 难度 分析 】

I = \ iint \ limits _ { D } \ frac { \ sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { \ sqrt { 4a ^ { 2 } - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } } d \ sigma = \ int _ { - \ frac { \ pi } { 4 } } ^ 令 r = 2a \ sin t , 当 r = 0 时 t = 0 , r = - 2a \ sin \ theta 时 d = - \ theta , dr = 2a \ cos tdt , 则 I = \ int _ { - \ frac { \ pi } { 4 } } ^ { \ upsilon } d \ theta \ int _ { 0 } ^ { - \ theta } 2a ^ { 2 } ( 1 - \ cos 2t ) dt = 2a ^ { 2 } \ int _ { - \ frac { \ pi } { 4 } } 题型 六 计算 圆 域 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \ le 2 ax + 2 by + c ( a , b > 0 ) 上 的 二重 积分 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \ le 2 ax + 2 by + c ( a , b , c 为 常数 ， 且 a > 0 , b > 0 ) 的 极 坐标 系 下 的 方程 为 r ^ { 2 } \ le 2 ar \ cos \ theta + 2 br \ sin \ theta + c , 即 r \ le 2a \ cos \ theta + 2b \ sin \ theta + c / r . 它 表示 什么 图形 呢 ? 由 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \ le 2 ax + 2 by + c 得到 x ^ { 2 } - 2 ax + a ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 by + b ^ { 2 } \ le a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c , 即 ( x - a ) ^ { 2 } + ( y - b ) ^ { 2 } \ le a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c 此 为 圆心 在 ( a , b ) , 半径 为 \ sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } + c 的 圆 所 围 成 的 圆 坡 D . 即 为 D = \ { ( r , \ theta ) \ mid r \ le 2a \ cos \ theta + 2b \ sin \ theta + c / r , 0 \ le \ theta \ le 2 \ pi \ } = \ { ( x , y ) \ mid x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \ le 2 ax + 2 by + c \ } . 计算 D 上 的 二重 积分 常用 下述 两 种 方法 . 求 法 一 以 圆心 ( a , b ) 为 极点 采用 极 坐标 系 计算 . 这里 该 圆 域 D 可 表示 为 D : 0 \ le r \ le \ sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c } , 0 \ le \ theta \ le 2 \ pi . 则 \ iint \ limits _ { D } f ( x , y ) dxdy = \ int _ { 0 } ^ { 2 \ pi } d \ theta \ int _ { 0 } ^ { \ sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c } } f ( a + r \ cos \ theta , b + r 求 法 二 用 坐标 平 移 法 计算 . 当 圆心 ( a , b ) 不 在 坐标 原点 时 , 作 坐标 平 移 变换 ： u = x - a , v = y - b , 即 x = u + a , y = v + b . 在 此 变换 下 将 xOy 平面 上 的 有 界 闭 区域 D = \ { ( x , y ) \ mid x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \ le 2 ax + 2 by + c \ } 变为 uO ' v 平面 上 的 一个 区域 D ' ( 见 图 1 . 5 . 5 . 6 ) . 在 坐标 平 移 变换 下 区域 D 的 形状 与 面积 保持 不变 . 但 这时 被 积 函数 的 形状 却 发生 了 变化 ： \ iint \ limits _ { D } f ( x , y ) dxdy = \ frac { u = x - a } { v - b } \ iint \ limits _ { D } f ( u + a , v + b ) dudv . 于是 可 根据 uO ' v 平面 上 的 积分 区域 D ' 关于 u 图 1 . 5 . 5 . 6 321 轴 、 v 轴 坐标 的 对称 性 及 被 积 函数 f ( u + a , v + b ) 的 奇偶 性 简化 上 式 右端 积分 的 计算 . 例 6 [ 1994 年 3 ] 计算 二重 积

考研数学复习六大必考题型考研数学复习六大必考题型第一：求极限。无论数学一、数学二还是数学三，求极限是高等数学的基本要求，所以也是每年必考的内容。区别在于有时以4分小题形式出现，题目简单;有时以大题出现，需要使用的方法综合性强。比如大题可能需要用到等价无穷小代换、泰勒展开式、洛比达法则、分离因子、重要极限等中的几种方法，有时考生需要选择其中简单易行的组合完成题目。另外，分段函数个别点处的导数，函数图形的渐近线，以极限形式定义的函数的连续性、可导性的研究等也需要使用极限手段达到目的，须引起注意!第二：利用中值定理证明等式或不等式，利用函数单调性证明不等式。证明题虽不能说每年一定考，但也基本上十年有九年都会涉及。等式的证明包括使用4个微分中值定理，1个积分中值定理;不等式的证明有时既可使用中值定理，也可使用函数单调性。这里泰勒中值定理的使用是一个难点，但考查的概率不大。第三：一元函数求导数，多元函数求偏

考研 数学 二 有 哪些 常 考题 及 基本 考点 考研 数学 二 有 哪些 常 考题 及 基本 考点 汇总 　 　 随着 时间 的 推进 ， 考研 数学 的 基础 累积 阶段 也 渐渐 的 进入 节奏 ， 小 编 为 大家 精心 准备 了 考研 数学 二 常 考题 及 基 本 考点 汇总 的 指南 ， 欢迎 大家 前来 阅读 。 　 　 考研 数学 二 微分 学 六 大 常 考题 及 基本 考点 总结 　 　 （ 一 ） 考试 内容 　 　 导 数 和 微分 的 概念 、 导 数 的 几何 意义 和 物理 意义 、 函 数 的 可 导 性 与 连续 性 之间 的 关系 、 平面 曲线 的 切线 和 法 线 、 导 数 和 微分 的 四 则 运算 、 基本 初等 函数 的 导 数 、 复合 函数 、 反 函数 、 隐 函数 以及 参数 方程 所 确定 的 函数 的 微分 法 、 高 阶 导 数 、 一 阶 微分 形式 的 不变 性 、 微分 中 值 定理 、 洛 必达 法则 、 函数 单调 性 的 判别 、 函数 的 极值 、 函数 图形 的 凹凸 性 、 拐点 及 渐近 线 、 函数 图形 的 描绘 、 函数 的 最大 值 及 最小 值 、 弧 微分 、 曲率 的 概念 、 曲率 圆 与 曲率 半径 。 　 　 （ 二 ） 常 考题 型 　 　 1 、 对 导 数 定义 的 考查 ； 　 　 2 、 导 数 和 微分 的 计算 （ 包括 高 阶 导 数 ） ； 　 　 3 、 切线 与 法 线 的 计算 ； 　 　 4 、 对 函数 单调 性 的 考查 ； 　 　 5 、 求 函数 极值 与 拐点 、 渐近 线 的 问题 ； 　 　 6 、 对 函数 以及 其 导 数 函数 相关 性质 的 考查 。 　 　 考研 数学 高数 冲刺 解决 三 大 基本 问题 及 三 点 建议 　 　 高等 数学 的 学习 要 注重 基本 问题 的 ` 考查 — — 基本 概 念 、 基本 计算 、 基本 逻辑 。 　 　 常 考 的 概念 有 ： 极限 的 存在 性 ， 连续 性 ， 间断 点 ， 可 导 性 ， 微分 ， 极值 定义 ， 渐近 线 ， 定 积分 的 可 积 性 ， 原 函 数 的 存在 性 ， 变 限 积分 的 连续 性 ， 反常 积分 的 敛 散 性 ， 定 积分 的 几何 应用 （ 平面 面积 公式 、 旋转 体 体积 公式 、 数 一 数 二 的 弧长 公式 、 旋转 侧 面积 ） ， 数一数二 考查 的 定 积分 的 物理 应用 （ 功 、 压力 、 引力 等 ） ， 通 解 的 概念 ， 解 的 定 义 ， 线性 微分 方程 解 的 结构 和 性质 ， 数 一 数 三 无穷 级数 涉 及 （ 收敛 级数 的 性质 ， 数 项 级数 敛 散 性 判别 法 ， 阿贝尔 定 理 ） 等等 。 　 　 基本 计算 主要 涉及 三 个 运算 ： 求 极限 、 求 导 数 和 求 积 分 。 极限 会 求 ， 可以 解决 连续 性 、 间断 点 、 渐近 线 、 可 微 等 问题 ， 导 数 会 求 ， 那么

考研 临近 ， 万学 海文 集合 考研 数学 名师 团队 ， 深入 研究 2015 年 数学 考试 大纲 ， 并 结合 考研 数学 的 命题 趋势 及 特点 ， 在 经过 反复 锤炼 之后 ， 分析 总结 知识 要点 ， 为 广大 考研 学子 潜心 搜集 整理 了 最新 信息 和 多 方面 精华 资料 ， 进一步 对 当年 的 考研 数学 命题 进行 预测 ， 帮助 学员 把握 出题 重 中 之 重 。 科目 大纲 章节 知识 点 题型 重要 度 等级 等价 无穷小 代换 、 洛 必达 法 求 函数 的 极限 则 、 泰勒 展开 式 第 一 章 函数 、 极限 、 连续 函数 连续 的 概念 、 函数 间断 点 判断 函数 连续 性 与 间断 点 的 类 的 类型 型 导 数 的 定义 、 可 导 与 连续 之间 按 定义 求 一点 处 的 导 数 ， 可 导 的 关系 与 连续 的 关系 函数 的 单调 性 、 函数 的 极值 讨论 函数 的 单调 性 、 极值 第 二 章 一元 函数 微分 学 闭 区间 上 连续 函数 的 性质 、 罗尔 定理 、 拉格朗日 中 值 定理 、 微分 中 值 定理 及其 应用 柯西 中 值 定理 和 泰勒 定理 高 积分 上限 的 函数 及其 导 数 变 限 积分 求 导 问题 等 计算 被 积 函数 为 有理 函数 、 三 第 三 章 一元 函数 有理 函数 、 三角 函数 有理 式 、 数 积分 学 角 函数 有理 式 、 简单 无理 函数 简单 无理 函数 的 积分 学 的 不定 积分 和 定 积分 函数 在 一点 处 极限 的 存在 性 ， 隐 函数 、 偏 导 数 、 全 微分 的 存 连续 性 ， 偏 导 数 的 存在 性 ， 全 第 四 章 多元 函数 在 性 以及 它们 之间 的 因果 关系 微分 存在 性 与 偏 导 数 的 连续 性 微 积分 学 的 讨论 与 它们 之间 的 因果 关系 二重 积分 的 概念 、 性质 及 计算 二重 积分 的 计算 及 应用 一 阶 线性 微分 方程 、 齐 次方 第 五 章 常 微分 方 用 微分 方程 解决 一些 应用 问题 程程 ， 微分 方程 的 简单 应用 第 一 章 行列 式 行列 式 的 运算 计算 抽象 矩阵 的 行列 式 线性 第 二 章 矩阵 矩阵 的 运算 求 矩阵 高 次 幂 等 代 矩阵 的 初等 变换 、 初等 矩阵 与 初等 变换 有关 的 命题 数 向量 组 的 线性 相关 性 第 三 章 向量 向量 组 的 线性 相关 及 无关 的 有关 性质 及 判别 法 线性 组合 与 线性 表示 判定 向量 能否 由 向量 组 线性 表示 齐 次 线性 方程 组 的 基础 解 系 和 求 齐 次 线性 方程 组 的 基础 解 第 四 章 线性 方程 组 通 解 的 求 法 系 、 通 解 第 五 章 矩阵 的 特 实 对称 矩阵 特征 值 和 特征 向量 有关 实 对称 矩阵 的 问题 征 值 和 特征 向量 的 性质 ， 化为 相似 对 角 阵 的 方法 相似 变换 、 相似 矩阵 的 概念 及 相似 矩阵 的 判定 及 逆 问题 性质 第 六 章 二次型 二次型

2023 考研 数学 二 只 考 高等 数学 和 线性 代数 两 门 课程 ， 考研 数学 二 是 对于 学员 的 基本 计算 、 推理 、 演算 能力 的 测试 。 2023 考研 数学 二 的 考试 范围 1 、 高等 数学 ： 函数 、 极限 、 连续 、 一元 函数 微 积分 学 、 多元 函数 的 微 积分 学 、 常 微分 方程 同济 六 版 高等 数学 中 除了 第 七 章 微分 方程 考 带 * 号 的 伯努利 方程 外 ， 其余 带 * 号 的 都 不 考 ； 所有 “ 近似 ” 的 问题 都 不 考 ； 第 四 章 不定 积分 不 考 积分 表 的 使用 ； 不 考 第 八 章 空间 解析 几何 与 向量 代数 ； 第 九 章 第 五 节 不 考 方程 组 的 情形 ； 到 第 十 章 二重 积分 、 重 积分 的 应用 为止 ， 后面 不 考 了 。 2 、 线性 代数 ： 行列 式 、 矩阵 、 向量 、 线性 方程 组 、 矩阵 的 特征 值 和 特征 向量 、 二次型 。 数学 二 用 的 教材 是 同济 五 版 线性 代数 ， 1 - 5 章 ： 行列 式 、 矩阵 及其 运算 、 矩阵 的 初等 变换 及其 方程 组 、 向量 组 的 线性 相关 性 、 相似 矩阵 及 二次型 。 考研 数学 二 复习 办法 整个 数学 复习 ， 高等 数学 是 占 分值 最大 的 ， 复习 的 时候 ， 要 以 高等 数学 为 主 。 同时 线性 代数 和 概率 为 辅 ， 不管 原来 熟悉 不 熟悉 ， 必须 要 把 线性 代数 和 概率 统计 要 复习 好 。 高等 数学 它 比较 灵活 的 地方 ， 主要 集中 在 几 章 ， 一个 是 所谓 的 未 定式 极限 的 运算 ， 再有 一个 是 微分 总值 定理 ， 还有 积分 的 应用 ， 特别 是 定 积分 在 几何 上 的 应用 ， 高等 数学 的 下 半 部分 多元 函数 微分 法 、 求 偏 导 数 ， 还有 数学 的 线面 积分 ， 这 都 是 我们 特别 应该 注意 的 ， 应该 出 大 题 。 线性 代数 的 大 题 主要 是 参数 问题 ， 第 一 步 是 用 证明 的 方法 求 参数 ， 第 二 步 就 用 书 上 例题 的 基本 办法 来 计算 。 概率 统计 大家 不要 只 依靠 记忆 公式 ， 要 把 公式 定理 和 题目 有机 的 结合 起来 。

　 　 　 　 考研 数学 提 分 要 对症下药 ， 对于 常 考 的 重 难点 题型 需要 多 研究 多 练习 。 小 编 为 大家 精心 准备 了 考研 数学 高数 必 考 的 重点 ， 欢迎 大家 前来 阅读 。 　 　 考研 数学 高数 必 考 的 题型 　 　 1 . 求 幂 指 函数 的 三 种 未 定式 ， 运用 抬 头 法 转为 基本 未 定式 ， 然后 再 利用 罗必达 法则 和 等价 无穷小 量 求 极限 。 　 　 2 . 求 最 值 、 极值 或 证明 不等式 ， 运用 函数 的 导 数 ， 借助 单调 性 研究 问 题 。 　 　 3 . 微 积分 中 值 定理 的 运用 ， 运用 找 原 函数 法 积分 法 、 公式 法 或者 经验 法 等 构造 辅助 函数 证明 。 　 　 4 . 二重 积分 的 计算 ， 运用 “ - 型 先 Y 后 X ， - 型 先 X 后 Y ， - 型 先后 ” 。 　 　 5 . 常 微分 方程 问题 。 可 分离 变量 方程 、 齐 次 方程 、 一 阶 线性 微分 方程 等 的 通 解 、 特 解 及 线性 方程 解 的 性质 和 结构 、 常 系数 线性 方程 求解 问题 。 　 　 6 . 求 抽象 函数 的 二 阶 混合 偏 导 数 ， 运用 复合 函数 的 链式 法则 和 隐 函数 求 导 法则 。 　 　 7 . 多元 函数 的 极值 ， 运用 拉格朗日 函数 乘数 法 。 　 　 8 . 判断 常数 项 级数 的 敛 散 性 及 求和 。 　 　 9 . 求 幂 级数 的 收敛 半径 和 收敛 域 、 和 函数 及 函数 的 幂 级数 展开 、 傅里叶 级数 。 　 　 10 . 曲线 积分 和 曲面 积分 的 计算 。 　 　 考研 数学 拿 高分 的 方法 　 　 1 、 认真 思考 数学 问题 的 习惯 　 　 思考 对于 数学 的 学习 是 最 核心 的 ， 对 做 题 更 甚 。 不 坚持 去 思考 ， 不 仔细 去 联想 ， 类比 ， 总结 只 相当 于 背书 ， 是 学 不 到 数学 的 本质 的 ， 想 考 高分 是 不 可 能 的 。 　 　 举 一个 例子 ： 中 值 定理 那 块 的 ' 证明 题 ， 一 开始 不会 证 ， 我 就 忍 住 不 去 看 答案 ， 自己 去 思考 ， 有 时候 一 晚上 都 在 思考 一个 题 。 这样 思考 ， 我 会 想到 很 多 知识 点 并 加以 整合 ， 会 慢慢 提炼 出 思路 。 以后 解 这 一 类 题 就 会 顺畅 很 多 。 考 研 的 题 肯定 是 自己 没 见 过 的 ， 平常 做 题 时 不会 就 去 看 答案 ， 考场 上 可 没有 现成 的 答案 看 啊 。 　 　 学 数学 的 时候 如果 不 思考 就 不会 发现 数学 的 美 ， 就 不会 感觉 到 原来 数学 这么 有 意思 。 找 不 到 这 感觉 ， 学 数学 简直 是 个 煎熬 ， 或者 虐 心 ! 考 完 研

英雄 者 ， 胸怀 大志 ， 腹 有 良策 ， 有 包藏 宇宙 之 机 ， 吞吐 天地 之 志 者 也 。 — — 《 三国 演义 》 年 全国 硕士 研究 生 招生 考试 考研 《 数学 二 》 真题 及 详解 2025 一 、 选择 题 ： 1 ～ 10 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50 分 。 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选项 中 ， 只有 一个 选项 是 最 符 合 题目 要求 的 ， 请 将 所 选项 前 的 字母 填 在 答题 纸 指定 位置 上 。 的 渐近 线 方程 为 （ ） 。 1 ． 曲线 1 ln 1 y x e x          A ． y ＝ x ＋ e B ． y ＝ x ＋ 1 / e C ． y ＝ x D ． y ＝ x － 1 / e 〖 答案 〗 ： B ， 则 可 得 ： 〖 解析 〗 由 已知 1 ln 1 y x e x          x e y x k e x x x       1 ln 1 1 lim lim limln 1 1 x x x                       b y kx x e x x e x x 1 1 lim lim ln lim ln 1 1 1 x x x                                             1 1 limln 1 lim 1 1 x x ex ex e x x                 所以 斜 渐近 线 方程 为 y ＝ x ＋ 1 / e 。 1 , 0 x 2 fx x 1 2 ． 函数   的 原 函数 为 （ ） 。   x xx 1 cos , 0           2 ln 1 , 0 x x x Fx        A ．       x x xx 1 cos sin , 0      2 ln 1 1 , 0 x x x Fx         B ．       x x xx 1 cos sin , 0      2 ln 1 , 0 x x x Fx        C ．       x x x

题型 一 ： 无穷小 量 （ 高频 考点 ） 2005 - 2014 考查 方式 : 选择 题 为 主 , 仅 有 2008 、 2010 两 年 未 考查 , 两 年 考查 过 解答 题 。 真题 回顾 ： rally 60 ( 2014 - 1 ) 当 x \ rightarrow 0 ^ { + } 时 ， 若 \ ln ^ { \ alpha } ( 1 + 2 x ) , ( 1 - \ cos x ) ^ { \ frac { 1 } { \ alpha } } 均 是 比 x 高 阶 的 无穷小 , 则 a 的 取值 范围 是 [ ] ( A ) ( 2 , + \ infty ) ( B ) ( 1 , 2 ) ( C ) ( \ frac { 1 } { 2 } , 1 ) ( D ) ( 0 , \ frac { 1 } { 2 } ) ( 2013 - 1 ) 设 \ cos x - 1 = x \ sin \ alpha ( x ) , 其中 \ mid \ alpha ( x ) \ mid < \ frac { \ pi } { 2 } , 则 当 x \ rightarrow 0 时 , a ( x ) 是 [ ] ( A ) 比 x 高 阶 的 无穷小 ( B ) 比 x 低 阶 的 无穷小 ( C ) 与 x 同 阶 但 不 等价 的 无穷小 ( D ) 与 x 等价 的 无穷小

数学 二 考试 范围 考研 数学 二 考试 科目 为 高等 数学 、 线性 代数 ， 不 考 概率 论 与 数理 统计 。 数学 二 相对 于 数学 一 和 数学 三 会 比较 容易 一些 ， 其 考试 范围 具体 如下 ： 1 、 高等 数学 ： 函数 、 极限 、 连续 、 一元 函数 微 积分 学 、 多元 函数 的 微 积分 学 、 常 微分 方程 。 同济 六 版 高等 数学 中 除了 第 七 章 微分 方程 考 带 * 号 的 伯努利 方程 外 ， 其余 带 * 号 的 都 不 考 ； 所有 “ 近似 ” 的 问题 都 不 考 ； 第 四 章 不定 积分 不 考 积分 表 的 使用 ； 不 考 第 八 章 空间 解析 几何 与 向量 代数 ； 第 九 章 第 五 节 不 考 方程 组 的 情形 ； 到 第 十 章 二重 积分 、 重 积分 的 应用 为止 ， 后面 不 考 了 。 2 、 线性 代数 ： 行列 式 、 矩阵 、 向量 、 线性 方程 组 、 矩阵 的 特征 值 和 特征 向量 、 二次型 。 数学 二 用 的 教材 是 同济 五 版 线性 代数 ， 1 - 5 章 ： 行列 式 、 矩阵 及其 运算 、 矩阵 的 初等 变换 及其 方程 组 、 向量 组 的 线性 相关 性 、 相似 矩阵 及 二次型 。 数学 二 试卷 结构 及 分值 考研 数学 一 、 二 、 三 在 试卷 中 的 题型 结构 是 一样 的 。 分别 为 ： 单项 选择 题 8 小 题 ， 每 题 4 分 ， 共 32 分 ； 填空 题 6 小 题 ， 每 题 4 分 ， 共 24 分 ； 解答 题 （ 包括 证明 题 ） 9 小 题 ， 共 94 分 。 数学 一 针对 的 是 理工 科 ， 数学 二 针对 的 是 对 数学 要求 低 一些 的 农 、 林 、 地 、 矿 、 油 等 专业 ， 数学 三 针对 的 是 管理 类 。 对于 考生 来 说 ， 数学 一 比 数学 三 难 。 通过 以上 内容 ， 大家 了解 到 了 2023 考研 数学 二 高数 考试 范围 ， 以及 考试 的 相关 情况 。 希望 各位 考生 能 结合 学习 基础 ， 提前 进行 全面 系统 的 复习 备考 ， 并 顺利 通过 考试 。

穷 则 独善其身 ， 达 则 兼善 天下 。 — — 《 孟子 》 考 研 数 学 二 （ 线 性 代 数 ） 历 年 真 题 试 卷 汇 编 7 ( 题 后 含 答 案 及 解 析 ) 题 型 有 ： 1 . 选 择 题 2 . 填 空 题 3 . 解 答 题 选 择 题 下 列 每 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 个 选 项 符 合 题 目 要 求 。 1 ． 设 A 为 n 阶 非 零 矩 阵 ， E 为 n 阶 单 位 矩 阵 。 若 A3 = O ， 则 ( ) A ． E — A 不 可 逆 ， E ＋ A 不 可 逆 。 B ． E — A 不 可 逆 ， E + A 可 逆 。 C ． E — A 可 逆 ， E + A 可 逆 。 D ． E — A 可 逆 ， E + A 不 可 逆 。 正 确 答 案 ： C 解 析 ： 利 用 单 位 矩 阵 E ， 将 A3 = O 变 形 为 E — A3 = E 和 A3 + E = E ， 进 一 步 分 解 为 ( E — A ) ( E ＋ A ＋ A2 ) = E 一 A3 = E ， ( E ＋ A ) ( E — A ＋ A2 ) = E + A3 = E ， 则 E — A ， E + A 均 可 逆 。 2 ． 设 A 为 n ( n ≥ 2 ) 阶 可 逆 矩 阵 ， 交 换 A 的 第 1 行 与 第 2 行 得 矩 阵 B ， A * ， B * 分 别 为 A ， B 的 伴 随 矩 阵 ， 则 ( ) A ． 交 换 A * 的 第 1 列 与 第 2 列 得 B * 。 B ． 交 换 A * 的 第 1 行 与 第 2 行 得 B * 。 C ． 交 换 A * 的 第 1 列 与 第 2 列 得 一 B * 。 D ． 交 换 A * 的 第 1 行 与 第 2 行 得 一 B * 。 正 确 答 案 ： C 解 析 ： 由 题 设 ， 存 在 初 等 矩 阵 E12 ( 交 换 n 阶 单 位 矩 阵 的 第 1 行 与 第 2 行 所 得 ) ， 使 得 E12 A = B ， 由 于 A 可 逆 ， 可 知 B 也 可 逆 ， 故 B * = ( E 12A ) * 一 ｜ E12 A ｜ ( E12 A ) － 1 = 一 ｜ A ｜ A － 1 E12 － 1 = 一 A *

2023 年 全国 硕士 研究 生 统一 入学 考试 考研 真题 试卷 及 答案 科目 代码 : 302 科目 名称 ： 数学 二 一 、 选择 题 ： 1 ~ 10 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50 分 . 下列 每 题 给 出 的 四 个 选项 中 ， 只有 一个 选项 是 符合 题目 要求 的 . 请 将 答案 写 在 答题 纸 指定 位置 上 ( 1 ) 曲线 的 y = x \ ln ( e + \ frac { 1 } { x - 1 } ) . 斜 渐近 线 方程 为 【 】 ( A ) y = x + e . 【 答案 】 B . ( 3 ) 已知 \ { x _ { n } \ } , \ { y _ { n } \ } 满足 x _ { 1 } = y _ { 1 } = \ frac { 1 } { 2 } , x _ { n + 1 } = \ sin x _ { n } , y _ { n + 1 } = y _ { n } ^ { 2 } ( n = 1 , 2 , \ cdots ) , 则 当 n \ rightarrow \ infty 时 ( A ) x _ { n } 是 y _ { n } 的 高 阶 无穷小 . ( B ) y _ { n } 是 x _ { n } 的 高 阶 无穷小 . ( C ) x _ { n } 与 y _ { n } 是 等价 无穷小 . ( D ) x _ { n } 与 y _ { n } 是 同 阶 但 不 等价 的 无穷小 . 【 答案 】 B . 故 y _ { n } 是 x _ { n } 的 高 阶 无穷小 , 选 B . ( 4 ) 若 微分 方程 y " + ay + by = 0 的 解 在 ( - \ infty , + \ infty ) 上 有 界 , 则 【 】 ( A ) a < 0 , b > 0 . ( B ) a > 0 , b > 0 . ( C ) a = 0 , b > 0 . ( D ) a = 0 , b < 0 . 【 答案 】 C . 【 解析 】 二 阶 常 系数 齐 次 线性 微分 方程 y ' ' + ay + by = 0 特征 方程 为 : \ lambda ^ { 2 } + a \ lambda + b = 0 1 \ triangle = a ^ { 2 } - 4b > 0 时 , 设 其 两 不同 特征 值 为 \ lambda _ { 1 } , \ lambda _ { 2 } , 则 其 通 解 结构 为 : y ( x ) = C _ { 1 } e ^ { \ lambda _ { 1 } x } + C _ { 2 } e ^ { \ lambda _ { 2 } x } . 不管 \ lambda _ { 1 } , \ lambda _ { 2 } 的 正负 如何 , 其 在 x \ rightarrow \ infty 时 ， y ( x ) \ rightarrow \ infty , 其 必然 为 无界 函数 . 舍去 . 当 \ triangle = a ^ { 2 } - 4b = 0 时 , 设 其 两 相同 特征 值 为 \ lambda _ { 1 } = \ lambda _ { 2 } , 则 其 通 解 结构 为 y ( x ) = ( C _ { 1 } + C _ { 2 } x ) e ^ { \ lambda _ { 1 } x } . 不管 \ lambda _ { 1 } , \ lambda _ { 2 } 的 正负 如何 ， 其 在 x \ rightarrow \ infty 时 ， y ( x ) \ rightarrow \ infty , 其 必然 为 无界 函数 . 舍去 . 当 \ triangle = a ^ { 2 } - 4b < 0 . 时 , 设 其 两 特征 值 为 \ lambda _ { 1 , 2 } = \ alpha \ pm \ beta i , 则 其 通 解 结构 为 y ( x ) = e ^ { \ alpha x } ( C _ { 1 } \ sin \ beta x + C _ { 2 } \ cos \ beta x ) 若 \ alpha \ neq 0 , 则 x \ rightarrow \ infty 时 ， y ( x ) = e ^ { \ alpha x } ( C _ { 1 } \ sin \ beta x + C _ { 2 } \ cos \ beta x ) 为 无界 函数 , 即 a = 0 当 \ alpha = 0 时 ， y ( x ) = C _ { 1 } \ sin \ beta x + C _ { 2 } \ cos \ beta x 为 有 界 函数 , 满足 题意 \ triangle = a ^ { 2 } - 4b < 0 , 此时 a = 0 , b > 0

太 上 有 立德 ， 其次 有 立功 ， 其次 有 立言 ， 虽 久 不 废 ， 此 谓 不朽 。 — — 《 左传 》 年 考研 高等 数学 二 量子 信息 科学 的 数学 2025 基础 历年 真题 年 考研 即将 到来 ， 对于 选择 高等 数学 二 量子 信息 科学 的 考生 来 2025 说 ， 熟悉 数学 基础 并 掌握 历年 真题 是 非常 重要 的 。 在 本 篇 文章 中 ， 我 们 将 针对 年 考研 高等 数学 二 量子 信息 科学 的 数学 基础 历年 真题 进 2025 行 探讨 与 分析 。 一 、 简答 题 1 . 请 简述 量子 信息 科学 的 基本 概念 及其 应用 领域 。 量子 信息 科学 是 一门 研究 利用 量子 力学 规律 进行 信息 存储 、 传输 和 处理 的 学科 。 其 基本 概念 包括 量子 比特 、 量子 态 、 量子 纠缠 等 。 量子 信息 科学 的 应用 领域 涉及 量子 计算 、 量子 通信 和 量子 密码 等 ， 具有 更 高 的 计算 速度 、 更 高 的 传输 安全 性 等 优势 。 2 . 请 简述 量子 力学 中 的 哈密顿 算符 的 作用 。 在 量子 力学 中 ， 哈密顿 算符 描述 了 系统 的 总 能量 ， 在 薛定谔 方程 中 起 到 关键 作用 。 哈密顿 算符 的 本 征 值 是 能量 的 量子 态 ， 对应 的 本 征 函 数 描述 了 系统 的 量子 态 。 3 . 请 简述 量子 力学 中 的 波 函数 和 算符 的 关系 。 量子 力学 中 ， 波 函数 是 描述 系统 的 态 函数 ， 可以 通过 算符 对 波 函数 进行 操作 得到 测量 结果 。 算符 可以 对 波 函数 进行 线性 变换 ， 从而 得到 该 物理 量 在 该 态 下 的 期望 值 。 天行健 ， 君子 以 自强 不息 。 地势 坤 ， 君子 以 厚德载物 。 — — 《 周易 》 二 、 计算 题 1 . 已知 一个 自 旋 1 / 2 的 粒子 在 量子 态 $ | + \ rangle = \ begin { pmatrix } \ cos \ frac { \ theta } { 2 } \ \ \ sin \ frac { \ theta } { 2 } \ end { pmatrix } $ 与 $ | - \ rangle = \ begin { pmatrix } \ sin \ frac { \ theta } { 2 } \ \ - \ cos \ frac { \ theta } { 2 } \ end { pmatrix } $ 中 ， 求 粒子 自 旋 作为 x 轴 方向 的 分量 的 期望 值 。 首先 ， 我们 计算 算符 $ S _ x $ 的 矩阵 表示 ： $ \ sigma _ x = \ begin { pmatrix } 0 & 1 \ \ 1 & 0 \ end { pmatrix } $ 则 $ S _ x $ 的 矩阵 表示 为 ： $ S _ x = \ frac { \ hbar } { 2 } \ sigma _ x = \ frac { \ hbar } { 2 } \ begin { pmatrix } 0 & 1 \ \ 1 & 0 \ end { pmatrix } $ 根据 量子 力学 中 算符 和 态 的 关系 ， 我们 有 ： $ S _ x | + \ rangle = \ frac { \ hbar } { 2 } \ begin { pmatrix } 0 & 1 \ \ 1 & 0 \ end { pmat

1 . 极 坐标 系 简介 a . 极 坐标 系 定义 b . 极 坐标 系 与 直角 坐标 系 的 转换 c . 极 坐标 系 的 特点 2 . 极 坐标 方程 a . 极 坐标 方程 的 形式 b . 极 坐标 方程 的 求解 方法 c . 极 坐标 方程 的 应用 3 . 极 坐标 图形 a . 极 坐标 图形 的 绘制 方法 b . 极 坐标 图形 的 性质 c . 极 坐标 图形 的 应用 二 、 极 坐标 方程 的 求解 1 . 极 坐标 方程 的 求解 步骤 a . 确定 极 坐标 方程 的 类型 b . 将 极 坐标 方程 转化 为 直角 坐标 系 方程 c . 求解 直角 坐标 系 方程 2 . 极 坐标 方程 的 求解 方法 a . 消 元 法 b . 分离 变量 法 c . 换 元 法 3 . 极 坐标 方程 的 求解 技巧 a . 利用 极 坐标 方程 的 对称 性 b . 利用 极 坐标 方程 的 周期 性 c . 利用 极 坐标 方程 的 奇偶 性 三 、 极 坐标 方程 的 应用 1 . 极 坐标 方程 在 几何 中 的 应用 a . 求解 圆 的 方程 b . 求解 椭圆 的 方程 c . 求解 双 曲线 的 方程 2 . 极 坐标 方程 在 物理 中 的 应用 a . 求解 圆周 运动 的 方程 b . 求解 匀速 圆周 运动 的 方程 c . 求解 匀速 圆周 运动 的 角速度 3 . 极 坐标 方程 在 其他 领域 的 应用 a . 求解 地球 表面 的 经纬 度 b . 求解 天体 运动 的 轨迹 c . 求解 地球 自转 的 角速度 1 . 高等 数学 教材 编写 组 . 高等 数学 [ M ] . 北京 ： 高等 教育 出版 社 ， 2018 . 2 . . 极 坐标 方程 的 求解 与 应用 [ J ] . 数学 杂志 ， 2019 ， 39 （ 2 ） ： 4550 . 3 . . 极 坐标 方程 在 物理 中 的 应用 [ J ] . 物理 学 进展 ， 2020 ， 39 （ 1 ） ： 1218 .

1244 ( ) e ( cossin ) 22 好学 近乎 知 ， 力行 近乎 仁 ， 知 耻 近乎 勇 。 《 中庸 》 22442222 abaabaxxyxCC 若 240 ab ， 则 通 解 为 ； 12 ( ) ee 若 240 ab ， 则 通 解 为 2 axyxCCx . 12 ( ) ( ) e 由于 ( ) yx 在 ( , ) 上 有 界 ， 若 02a ， 则 中 x 时 通 解 无界 ， 若 02a ， 则 中 x 时 通 解 无界 ， 故 0 a . 0 a 时 ， 若 0 b ， 则 12 ( ) ( cossin ) yxCbxCbx ， 在 ( , ) 1 , 2 rbi ， 通 解 为 上 有 界 . 0 a 时 ， 若 0 b ， 则 12 ( ) eebxbxyxCC ， 在 ( , ) 上 无界 . 1 , 2 rb ， 通 解 为 综 上 可 得 0 a ， 0 b . 故 选 D . 2 | | xtt 5 . 设 函数 ( ) yfx 由 参数 方程 确定 ， 则 ( ) . | | sinyttA . ( ) fx 连续 ， ( 0 ) f 不 存在 B . ( 0 ) f 存在 ， ( ) fx 在 0 x 处 不 连续 C . ( ) fx 连续 ， ( 0 ) f 不 存在 D . ( 0 ) f 存在 ， ( ) fx 在 0 x 处 不 连续 【 答案 】 Climlim | | sin 0 ( 0 ) ytty 【 解析 】 ， 故 ( ) fx 在 0 x 连续 . 00 xt 00 . ( ) ( 0 ) | | sin ( 0 ) limlim 02 | | xtfxfttfxttttttsincos , 03 ( ) ( ) 00 ( ) sincos 0 ytfxtxttttt 0 t 时 ， 0 x ； 0 t 时 ， 0 x ； 0 t 时 ， 0 x ， 故 ( ) fx 在 0 x 连续 . ttt , 00 sincos 0 ( ) ( 0 ) 23 ( 0 ) limlim 39 xtfxffxt ( ) ( 0 ) sincos 0 ( 0 ) limlim 2 , 00 xtfxftttfxt 故 ( 0 ) f 不 存在 . 故 选 C . 0 = ( ) 1 ( ) ( ln ) fdxxx 在 0 = 处 取得 最小 值 ， 则 6 . 若 函数 12 非 淡泊 无以 明志 ， 非 宁静 无以 致远 。 少壮 不 努力 ， 老大 徒 伤悲 。 不 义 而 富 且 贵 ， 于 我 如 浮云 。 《 论语 》 333 , 5 , kkRkkRA . B . 410111 , 5 , kkRkkRC . D . 28 【 答案 】 D 【 解析 】 设 11223142 kkkk ， 则 11223142 kkkk 0 ， 对 关于 123 4 kkkk 的 方程 组 的 系数 矩阵 作 初等 变换 化为 最 简 形 ， 12211003 ( 21500101 A ， 121231910011 解 得 TTTT 1234 ( ( 3 , 1 , 1 , 1 ) ( 3 , 1 , 1 , 0 ) ( 33 , 1 , 1 , ) kkkkCCCCC ， 故 11 C ( 33 ) ( 1 ) 5 ( 1 ) 5 , kkCCCkkR . 故 选 D . 1122128 ( 1 ) 8C 二 、 填空 题 ： 11 ~ 16 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 30 分 . 请 将 答案 写 在 答题 纸 指定 位置 上 . 11 ． 当 x0 时 ， 2 ( ) fxaxbxln ( 1 ) x 与 2 ( ) ecosxgxx 是 等价 无穷小 ， 则 ab _ . 【 答案 】 2 【 解析 】 由 题意 可知 ， 222 axbxxxox 2 fxaxbxx 200 x ( ) ln ( 1 ) 1 lim ( ) limecosxxxgxx 02222 xoxxox 1 ( ) 2 lim 11 + ( ) [ 1 ( ) ] 222 axbxox ， x 022 xox ( 1 ) ( 1 ) ( ) 2 lim 3 ( ) 2 于是 1310 , 22 ab ， 即 1 , 2 ab ， 从而 2 ab . 3 dtxyt 12 . 曲线 2 的 孤 长 为 _ . 3 【 答案 】 433 英雄 者 ， 胸怀 大志 ， 腹 有 良策 ， 有 包藏 宇宙 之 机 ， 吞吐 天地 之 志 者 也 。 ( ) 在 L 上 求 一点 ， 使 该 点 的 切线 与 两 坐标 轴 所 围 三角形 面积 最小 ， 并 求 此 最小 面积 . 【 解 】 ( ) 曲线 L 在 点 ( , ) Pxy 处 的 切线 方程 为 ( ) ( ) YyyxXx ， 令 0 X ， 则 切线 在 y轴 上 的 截距 为 ( ) Yyxyx ， 则 ( ) xyxyx ， 即

苏轼Born to win 全国硕士研究生入学统一考试数学二试题详解2025一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸． 指定位置上.（1）当0x时，下列无穷小量中最高阶是（）22（A）1xtedt（B）xln1tdt00sin21cos2（C）xsintdt（D）xsintdt00【答案】（D）【解析】由于选项都是变限积分，所以导数的无穷小量的阶数比较与函数的比较是相同的。222（A）11xtxedtex022（B）ln1ln1xtdtxx0（C）sin222sinsinsinxtdtxx0（D）1cos223xtdtxxx1sinsin(1cos)sin20经比较，选（D）1x（2）函数xexfxex1ln1()(1)(2)的第二类间断点的个数为 A）1（B）2（C）3（D）4 【答案】（C）【解析】由题设，函数的可能间断点有1,0,1,2x，由此11x12ln1lim()limlimln1(1)(2)3(1)exefxxexe；地势坤，君子以厚德载物。《周易》Born to win 1x11x1ln1ln2lim()limlim0; 1x11x1ln1ln2limlim; arcsin1xdx（3）0（）xx1（A）（B）（C）4（D）82428【答案】（A）【解析】令sinxt，则2sinxt，2sincosdxttdt21222000xtdxttdttdttttxxarcsin2sincos22sincos410（4）2ln1,

一 、 试卷 满分 及 考试 时间 试卷 满分 为 150 分 ， 考试 时间 为 180 分钟 . 二 、 答题 方式 答题 方式 为 闭卷 、 笔试 . 三 、 试卷 内容 结构 高等 数学 约 78 % 线性 代数 约 22 % 四 、 试卷 题型 结构 单项 选择 题 8 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 32 分 填空 题 6 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 24 分解 答题 ( 包括 证明 题 ) 9 小 题 ， 共 94 分