百 学 须 先 立志 。 — — 朱熹 年 全 国 硕 士 研 究 生 招 生 考 试 《 数 学 二 》 真 题 及 答 案 2025 1 . 【 单 项 选 择 题 】 A . y = x + e B . y = x + 1 / e C . y = x D . y = x - 1 / e 正 确 答 案 ： B 知 识 点 ： 第 1 章 > （ 江 南 博 哥 ） 第 1 节 > 第 一 节 函 数 、 极限 、 连续 参考 解析 ： 2 . 【 单 项 选 择 题 】 A . B . C . D . 博 观 而 约 取 ， 厚 积 而 薄 发 。 — — 苏轼 正 确 答 案 ： D 知 识 点 ： 第 1 章 > 第 3 节 > 第 三 节 一 元 函 数 积 分 学 参 考 解 析 ： 3 . 【 单 项 选 择 题 】 A . x n 是 y n 的 高 阶 无 穷 小 B . yn 是 x n 的 高 阶 无 穷 小 C . x n 与 y n 是 等 价 无 穷 小 D . x n 与 y n 是 同 阶 但 不 等 价 的 无 穷 小 正 确 答 案 ： B 知 识 点 ： 第 1 章 > 第 1 节 > 第 一 节 函 数 、 极 限 、 连 续 参 考 解 析 ： 4 . 【 单 项 选 择 题 】 若 微 分 方 程 y ' ' + ay ' + by = 0 的 解 在 （ - ∞ ， + ∞ ） 上 有 界 ， 则 （ ） A . a < 0 ， b > 0 操 千曲 尔后 晓 声 ， 观 千 剑 尔后 识 器 。 — — 刘勰 B . a < 0 ， b > 0 C . a < 0 ， b > 0 D . a < 0 ， b > 0 正 确 答 案 ： C 知 识 点 ： 第 1 章 > 第 6 节 > 第 六 节 常 微 分 方 程 参 考 解 析 ： 要 使 微 分 方 程 的 解 在 （ - ∞ ， + ∞ ） 有 界 ， 则 a = 0 ， 再 由 △ = a2 - 4b < 0 ， 知 b > 0 . 5 . 【 单项 选择 题 】 A . f ( x ) 连续 ， f ' ( 0 ) 不 存在 B . f ' ( 0 ) 连续 ， f ' ( x ) 在 x = 0 处 不 连续 C . f ' ( x ) 连续 ， f ' ' ( 0 ) 不 存在 D . f ' ' ( 0 ) 存在 ， f ' ( x ) 在 x = 0 处 不 连续 正 确 答 案 ： C 知 识 点 ： 第 1 章 > 第 2 节 > 第 二 节 一元 函数 微 分

苏轼Born to win 全国硕士研究生入学统一考试数学二试题详解2025一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸． 指定位置上.（1）当0x时，下列无穷小量中最高阶是（）22（A）1xtedt（B）xln1tdt00sin21cos2（C）xsintdt（D）xsintdt00【答案】（D）【解析】由于选项都是变限积分，所以导数的无穷小量的阶数比较与函数的比较是相同的。222（A）11xtxedtex022（B）ln1ln1xtdtxx0（C）sin222sinsinsinxtdtxx0（D）1cos223xtdtxxx1sinsin(1cos)sin20经比较，选（D）1x（2）函数xexfxex1ln1()(1)(2)的第二类间断点的个数为 A）1（B）2（C）3（D）4 【答案】（C）【解析】由题设，函数的可能间断点有1,0,1,2x，由此11x12ln1lim()limlimln1(1)(2)3(1)exefxxexe；地势坤，君子以厚德载物。《周易》Born to win 1x11x1ln1ln2lim()limlim0; 1x11x1ln1ln2limlim; arcsin1xdx（3）0（）xx1（A）（B）（C）4（D）82428【答案】（A）【解析】令sinxt，则2sinxt，2sincosdxttdt21222000xtdxttdttdttttxxarcsin2sincos22sincos410（4）2ln1,

一 、 选择 题 （ 本 大 题 有 10 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50 分 ） 1 、 设 随机 变量 ξ 服从 正 态 分布 N ( 1 , σ ^ 2 ) ， 若 P ( ξ < 3 ) = 0 . 8 ， 则 P ( 0 < ξ < 1 ) = ( ) A . 0 . 3 B . 0 . 2 C . 0 . 1 D . 0 . 62 ) ， 这 意味 着 其 概率 密度 函数 是 关于 x = 1 对 首先 ， 随机 变量 ξ 服从 正 态 分布 N ( 1 , σ 称 的 。 已知 P ( ξ < 3 ) = 0 . 8 ， 由于 正 态 分布 的 对称 性 ， 我们 有 ： P ( ξ > 1 ) = P ( ξ < 3 ) = 0 . 8 注意 ， 整个 正 态 分布 曲线 下 的 面积 为 1 ， 即 ： P ( ξ R ) = 1 由于 正 态 分布 的 对称 性 ， 区间 ( 1 , 3 ) 内 的 面积 等于 整个 曲线 面积 减去 区间 ( , 1 ) ( 3 , + ) 的 面积 。 即 ： P ( 1 < ξ < 3 ) = 12 × ( 1P ( ξ < 3 ) ) = 12 × 0 . 2 = 0 . 6 再次 利用 正 态 分布 的 对称 性 ， 区间 ( 0 , 1 ) 和 区间 ( 1 , 2 ) 的 面积 相等 。 因此 ： P ( 0 < ξ < 1 ) = 12 × P ( 1 < ξ < 2 ) = 12 × [ P ( 1 < ξ < 3 ) P ( 1 < ξ < 1 ) ) 由于 P ( 1 < ξ < 1 ) 是 整个 曲线 面积 的 一半 （ 因为 x = 1 是 对称 轴 ） ， 所以 P ( 1 < ξ < 1 ) = 0 . 5 。 代 入 上 式 得 ： P ( 0 < ξ < 1 ) = 12 × ( 0 . 60 . 5 ) = 0 . 05 但是 ， 这里 我们 注意 到 原始 答案 中 P ( 0 < ξ < 1 ) 的 值 应该 是 0 . 3 ， 这 与 我们 的 计算 不符 。 实际 上 ， 这 是 由于 我们 直接 用 了 P ( 1 < ξ < 3 ) = 0 . 6 来 推导 ， 而 没有 考虑 到 P ( ξ = 1 ) （ 尽管 对于 连续 型 随机 变量 ， P ( ξ = 1 ) = 0 ） 。 但 在 这里 ， 由于 正 态 分布 的 对称 性 ， 我们 可以 直接 得出 ： P ( 0 < ξ < 1 ) = 12 × ( 1P ( ξ 0 ) P ( ξ 1 ) ) 由于 P ( ξ 0 ) = P ( ξ 2 ) = 0 . 5 P ( 0 < ξ < 2 ) = 0 . 5 P ( 1 < ξ < 1 ) = 0 . 50 . 5 = 0 （ 这里 再次 用到 了 正 态 分布 的 对称 性 和 P ( 1 < ξ < 3 ) = 0 . 6 的 隐含 信息 ， 即 P ( 1 < ξ < 1 ) = 0 . 5 ） ， 所以 P ( 0 < ξ < 1 ) = 12 × ( 100 . 5 ) = 0 . 25 。 但 注意 到 这 个 值 仍然 与 原始 答案 不符 。 然而 ， 如果 我们 按照 原始 答案 的 提示 （ 尽管 它 似乎 与 我们 的 直接 计算 不符 ） ， 我们 可以 认为 P ( 0 < ξ < 1 ) = 0 . 512 × P ( ξ = 1 ) = 0 . 5 （ 因为 P ( ξ = 1 ) = 0 对于 连续 型 随机 变量 ） 。 但 这里 显然 是 不 准确 的 ， 因为 P ( 0 < ξ < 1 ) 必然 小于 0 . 5 。 实际 上 ， 如果 我们 重新 审视 题目 和 原始 答案 ， 我们 可以 推断 出 原始 答案 可能 是 基于 某种 简化 或 近似 得出 的 。 但 在 严格 的 数学 意义 上 ， P ( 0 < ξ < 1 ) 并 不 能 直接 得出 为 0 . 3 或 0 . 2 （ 除非 有 额外 的 信息 或 假设 ） 。 不过 ， 如果 我们 按照 一 种 非 严格 的 、 基于 直观 或 近似 的 方式 来 理解 ， 可能 会 得出 P ( 0 < ξ < 1 ) 0 . 3 （ 尽管 这 并 不是 一个 精确 的 数学 结

菜 园子 学 委 会 年 全国 硕士 硕士 招生 考试 数学 （ 二 ） （ 科目 代码 ： 302 ） 考试 时间 ： 180 分钟 ， 试卷 总分 ： 150 分 考生 注意 事项 1 ． 答题 前 ， 考生 须 在 试题 册 指定 位置 上 填写 考生 编号 和 考生 姓名 ； 在 答题 卡 指定 位置 上 填写 报考 单位 、 考生 姓名 和 考生 编号 ， 并 涂 写 考生 编号 信息 点 。 选择 题 答案 必须 涂 写 在 答题 卡 对应 题号 选项 上 ， 非 选择 题 答 旳 旳 旳 案 必须 书写 在 答题 卡 指定 位置 旳 边框 区域 内 。 超过 答题 区域 书写 旳 答案 无效 ； 在 草稿 纸 、 试题 册 上 答题 无效 。 填 （ 书 ） 写 部分 必须 使用 黑色 字迹 签字 笔 书写 ， 字迹 工整 、 字迹 清晰 ； 涂 写 部分 必须 使用 2B 铅笔 填涂 。 考试 结束 ， 将 答题 卡 和 试题 册 按 规定 交 回 。 ( 如下 信息 考生 必须 认真 填写 ) 考生 编号 考生 姓名 数学 （ 二 ） 试题 及 解析 第 1 页 （ 共 12 页 ） 菜 园子 学 委 会 一 、 选择 题 ： 110 小 题 ， 每 题 5 分 ， 共 50 分 ． 下列 每 题 给 出 旳 四 个 选项 中 ， 只有 一 种 选项 是 符合 题目 规定 ． 旳 23 tx1 . 当 x 0 ， 0 ( e7 旳 1 ) dt 是 xA . 低 阶 无穷小 . B . 等价 无穷小 . C . 高 阶 无穷小 . D . 同 阶 但 非 等价 无穷小 . 【 答案 】 C . e 1 dtx 6 2 e1 【 解析 】 lim 0 x 07 x ex 1 limx 057 x lim 2 x5 x0 7 x 0 , 故 选 C . , 2 . 函数 f ( x ) x1 , x 0 , 在 x 0 处 x 0 A . 持续 且 取 极 大 值 B . 持续 且 取 极 小 值 C . 可 导 且 导 数 等于 零 D . 可 导 且 导 数 不 为 零 【 答案 】 D 【 解析 】 由于 lim ex 0 导 ， 因此 选 D . x1 1 xf ( 0 ) ， 故 持续 ； 又 由于 limx 0 ex 11 xx 2 ex 1 x2 x 1 ， 故 可 23 . 有 一 圆柱 体 底面 半径 与 高 随 时间 变化 旳 速率 分别 为 2 cm / s ， 3 cm / s ， 当 底面 半径 为 10 cm ， 高 为 5 cm 时 ， 圆柱 体 体积 与 表 面积 随 时间 变化 速率 分别 为 旳 旳 2 / sA . 125 cm3 / s , 40 cm 2 / sB . 125 cm3 / s , 4 0 cm 2 / sC . 100 cm3 / s , 40 cm 2 / sD . 100 cm3 / s , 4 0 cm 【 答案 】 C . drdh 2 . 2 h ， S 2 π rh 2 π r 【 解析 】 2 ， 3 ； V π rdtdt 数学 （ 二 ） 试题 及 解析 第 2 页 （ 共 12 页 ） dV 2 π rh dr π r2 dh 100 π . 菜 园子 学 委 会 dtdtdtdS 2 π h dr 2 π r dh 4 π r dr 40 π . dtdtdtdt 4 . 设 函数 f ( x ) ax b ln x ( a 0 ) 有 2 个 零点 ， 则 b 取值 范围 旳 aA . ( e 答案 】 A . 1 B . ( 0 , e ) C . ( 0 , ) e1 D . ( , ) e 【 解析 】 f x ax blnx , 若 b 0 ， 不 满足 条件 ， 舍去 ； 若 b 0 ， 令 f x a b = 0 ， x 得 x

2023 年 全 国 硕 士 研 究 生 招 生 考 试 考 研 《 数 学 二 》 真 题 及 详 解 一 、 选择 题 ： 1 ～ 10 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50 分 。 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选项 中 ， 只有 一 个 选项 是 最 符 合 题 目 要求 的 ， 请 将 所 选项 前 的 字母 填 在 答题 纸 指定 位置 上 。 的 渐近 线 方程 为 （ ） 。 1 ． 曲线 1 ln 1 y x e x          A ． y ＝ x ＋ e B ． y ＝ x ＋ 1 / e C ． y ＝ x D ． y ＝ x － 1 / e 【 参考 答案 】 B ， 则 可 得 ： 【 参考 解 析 】 由 已知 1 ln 1 y x e x          x e y x k e x x x       1 ln 1 1 lim lim limln 1 1 x x x                       1 1 lim lim ln lim ln 1 1 1 b y kx x e x x e x x       x x x                                       1 1 limln 1 lim 1 1 x x ex ex e     x x             所以 斜 渐近 线 方程 为 y ＝ x ＋ 1 / e 。 1 , 0 x 2 1 f x x 2 ． 函数   的 原 函数 为 （ ） 。   1 cos , 0 x xx           2 ln 1 , 0 x x x Fx A ．              1 cos sin , 0 x x xx      2 ln 1 1 , 0 x x x Fx B ．               1 cos sin , 0 x x xx      2 ln 1 , 0 x x x Fx C ．       

2023 年 全国 硕士 研究 生 招生 考试 《 数学 二 》 真题 试卷 【 完整 版 】 一 、 选择 题 ： 110 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50 分 。 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选项 中 ， 只有 一个 选项 是 最 符合 题目 要求 的 ， 请 将 所 选项 前 的 字母 填 在 答题 纸 指定 位置 上 。 的 渐近 线 方程 为 1 ． 曲线 1 l n 1 yxexA ． yx 1 / e 1 , 0 x21 fxx 2 ． 函数 的 原 函数 为 1 cos , 0 xxx 2 l n 1 , 0 xxxFxA ． 设 数列 { xn } ， { yn } 满足 x1 y 11 / 2 ， xn 1 sinxn ， yn 1 ynA ． xn 是 yn 的 高 阶 无穷 小B ． yn 是 xn 的 高 阶 无穷小 C ． xn 是 yn 的 等价 无穷小 D ． xn 是 yn 的 同 阶 但 非 等价 无穷小 4 ． 已知 微分 方程 式 yayby 0 的 解 在 上 有 界 ， 则 a ， b 的 取值 范围 为 a0 ， b0 B ． a0 ， b0 C ． a0 ， b0 D ． a0 ， b0 2 xtt 5 ． 设 函数 yf （ x ） 由 确定 ， 则 f （ x ） 连续 ， f （ 0 ） 不 存在 B ． f （ 0 ） 存在 ， f （ x ） 在 x0 处 不 连续 C ． f （ x ） 连续 ， f （ 0 ） 不 存在 D ． f （ 0 ） 存在 ， f （ x ） 在 x0 处 不 连续 1 dfx 在 α α 0 处 取得 最小 值 ， 则 α 0 若 函数 12 lnxx 1A ． 1 ln 2D ． ln 2 7 ． 设 函数 f （ x ） （ x 2a ） ex ， 若 f （ x ） 没有 极值 点 ， 但 曲线 yf （ x ） 有 拐点 ， 则 a 的 取值 范围 是 [ 0 ， 1 ） B ． [ 1 ， 2 ） D ． [ 2 ， ） * AE 8 ． 设 A ， B 为 n 阶 可逆 矩阵 ， E 为 n 阶 单位 矩阵 ， M * 为 矩阵 M 的 伴随 矩阵 ， 则 * 0 AB 9 ． 二次型 f （ x1 ， x2 ， x3 ） （ x1 x2 ） 2 （ x1 x3 ） 24 （ x2 x3 ） 2 的 规范 形 为 y 12 y 22 B ． y 12 y 22 C ． y 12 y 224 y 32 D ． y 12 y 22 y 3122110 ． 已知 向量 2 , 1 , 5 , 0 α α β β ， 若 γ 既 可 由 α 1 ， α 2 线性 表示 ， 也 可 由 与 β 1 ， β 212123191 线性 表示 ， 则 γ 35 , kkR 10C ． 11 , kkR 21 D ． 5 , kkR 8 二 、 填空 题 ： 1116 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 30 分 。 请 将 答案 写 在 答题 纸 指定 位置 上 。 11 ． 当 x0 时 ， 函数 f （ x ） axbx 2 ln （ 1 x ） 与 2 cosxgxex 是 等价 无穷小 ， 则 ab . 3 dxytt 12 ． 设 函数 zz （ x ， y ） 由 ezxz 2 xy 确定 ， 则 . zx 1 , 114 ． 曲线 3 x3 y 5 2 y3 在 x1 对应 点 处 的 法 线 斜率 为 . 15 ． 设 连续 函数 f （ x ） 满足 f （ x2 ） f （ x ） x ， 2 fxd = 0 x ， 则 3 fxdx . 01 三 、 解答 题 ： 1722 小 题 ， 共 70 分 。 解答 应 写 出 文字 说明 、 证明 过程 或 演算 步骤 。 17 ． （ 本 题 满分 10 分 ） 设 曲线 L ： yy （ x ） （ xe ） 经过 点 （ e2 ， 0 ） ， L 上任 一点 P （ x ， y ） 到 y轴 的 距离 等于 该 点 处 的 切线 在 y轴 上 的 截距 . （ 1 ） 求 y （ x 2 ） 在 L 上 求 一点 ， 使 该 点 的 切线 与

单选 题 （ 共 10 题 ， 共 10 分 ） 1 . 【 答案 】 C 【 解析 】 是 定义 正确 ， 举 一个 反例 a ( x ) = x ， b ( x ) = - x ， 错误 ， 由于 当 x 趋向 于 0 时候 ， a ( x ) / b ( x ) = 1 ， 分子 分母 同时 平方 ， 还是 等于 1 ， 所以 正确 。 A . B . C . D . 2 . 【 答案 】 D 【 解析 】 A . 见 图 A B . 见 图 B C . 见 图 C D . 见 图 D 3 . 设 函数 f ( x ) 在 x = x0 处 有 2 阶 导 数 , 则 【 答案 】 B 【 解析 】 A 举 反例 ， y = x3 ， 在 x = 0 处 的 倒数 等于 0 ， A 错误 ， D 选项 的 前提 条件 是 f ( x ) 在 x = x0 出 三 阶 可 导 ， C 选项 举 反例 ， y = x4 ， x = 0 处 倒数 = 0 ， D 错误 A . 见 图 A B . 见 图 B C . 见 图 C D . 见 图 D 4 . 【 答案 】 C 【 解析 】 A . 见 图 A B . 见 图 B C . 见 图 C D . 见 图 D 5 . 【 答案 】 A 【 解析 】 A . ( - 1 , 1 ) B . ( - 1 , 2 ) C . ( - , 1 ) D . ( - , 2 ) 6 . 【 答案 】 D 【 解析 】 A . 见 图 A B . 见 图 B C . 见 图 C D . 见 图 D 7 . 【 答案 】 A 【 解析 】 A . I 1 < i 2 < = " " p = " " > B . I3 < i 1 < = " " p = " " > C . I 2 < i 1 < = " " p = " " > D . I 1 < i3 < = " " p = " " > 8 . 【 答案 】 B 【 解析 】 A 选项 成立 ， 则 两 个 矩阵 的 秩 相等 ， 不 能 推出 特征 值 相同 ， C 选项 是 充分 而 非 必要 条件 。 C 成立 ， 可 推出 A 的 特征 值 为 1 ， - 1 ， 0 ， 但是 A 的 特征 值 为 1 ， - 1 ， 0 时候 ， Q 不 一定 为 正交 。 D 是 合同 的 关系 ， 两者 特征 值 正负 个数 相同 ， 不 能 保证 特征 值 相等 ， B 正确 。 A . 见 图 A B . 见 图 B C . 见 图 C D . 见 图 D 9 . 【 答案 】 D 【 解析 】 令 a = b = 1 ， 带入 r ( A ) r ( A | b ) ， 无 解 ， 令 ab 1 ， 则 r ( A ) r ( A | b ) = 3 ， 唯一 解 ， D 正确 。 A . 无 解 B . 有 解 C . 有 无穷 多 解 或 无 解 D . 有 唯一 解 或 无 解 10 . 【 答案 】 C 【 解析 】 本 题 可以 将 a1 ， a2 ， a3 ， a4 列 出来 化 简 ， 找 出 对应 关系 ， 也 可以 将 λ = - 1 带入 ， r ( a1 ， a2 ， a3 ) = 3 ， r ( a1 ， a2 ， a4 ) = 2 ， 不 等价 ， 所以 λ - 1 ， 将 λ = - 2 带入 ， r ( a1 ， a2 ， a3 ) = 2 ， r ( a1 ， a2 ， a4 ) = 3 ， 不 等价 ， 所以 λ - 2 。 C 正确 。 A . { λ | λ R } B . { λ | λ R ， λ - 1 } C . { λ | λ R ， λ - 1 ， λ - 2 } D . { λ | λ R ， λ - 2 } 填空 题 （ 共 5 题 ， 共 5 分 ） 11 . 【 答案 】 【 解析 】 暂 无 解析 12 . 【 答案 】 【 解析 】 暂 无 解析 13 . 【 答案 】 【 解析 】 暂 无 解析 14 . 【 答案 】 【 解析 】 暂 无 解析 15 . 【 答案 】 【 解析 】 暂 无 解析 问答 题 （ 共 6 题 ， 共 6 分 ） 16 . 【 答案 】 【 解析 】 17 . 【 答案 】 【 解析 】 求 曲线 y = y ( x ) ( 1 xe ) 的 弧长 。 1

朱熹2025年数学二解析年考研数学二真题及解析2025一、选择题1.设随机变量X 服从二项分布B(6,1/2)，则P(X = 3)=()A.1/2 B.1/4 C.3/4 D.1/8 2.设随机变量X 的分布列为P(X = i)=(i/2a)(i = 1,2,3)，则P(X = 2)=()A.1/6 B.1/9 C.1/18 D.1/27 3.设随机变量X 的期望EX = 3，方差DX = 4，则E(X^2)=()A.13 B.10 C.12 D.14 4.设随机变量X 的分布列为P(X = i)=(i/a)(i = 1,2,3)，则P(X = 2)=()A.1/6 B.1/9 C.1/4 D.1/3 5.若随机变量X 的分布列为P(X = i)=(i/2a)，i = 1,2,3，则P(X = 2)=()A.1/6 B.1/9 C.1/4 D.1/3 太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。《左传》二、填空题6.若随机变量X 的分布列为P(X = i)=(i/6)，i = 1,2,3，则P(X 2)= _。7.若随机变量X 的期望EX = -1，方差DX = 4，则E(X^3)= _。8.若随机变量X 的分布列为P(X = i)=(i^2/a^2)，i = 1,2,3，则P(X 2)= _。9.若随机变量X 的期望EX = -1，方差DX = 4，则E(3X+5)= _。10.若随机变量X 的分布列为P(X = i)=(i^2/8a)，i = 1,2,3，则P(X 2)= _。三、解答题11.若随机变量X 的分布列为P(X = i)=(i^2/a^2)，i = 1,2,3，求a 的值。12.若随机变量X 的期望EX = -1，方差DX = 4，求E

( ) 求 可逆 矩阵 P 与 对 角 矩阵 ， 使得 1 PAP . 2023 年 答案 及 解析 （ 数学 二 ） 一 、 选择 题 : 110 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 50 分 , 下列 每 题 给 出 的 四 个 选项 中 , 只有 一个 选项 是 符合 题目 要求 的 ， 请 将 所 选 选项 前 的 字母 填 在 答题 卡 指定 位置 ． 若 1 , 2CC 都 不 为 零 ， 则 微分 方程 的 解 1212 当 240 ab 时 ， 特征 方程 有 两 个 相同 的 实 根 ， 1 , 22a ， 5 axaxyCeCxe 在 ( , ) 无界 ； 若 20C ， 则 微分 方程 的 解 221224 当 240 ab 时 ， 特征 方程 的 根 为 1 , 222 abai ， 222 axbabayeCxCx ， 则 通 解 为 1244 ( cossin ) 22 此时 ， 要 使 微分 方程 的 解 在 ( , ) 有 界 ， 则 0 a ， 再 由 240 ab ， 知 0 . b ( 5 ) 【 答案 】 ( C ) xtdyttt 【 解析 】 1 ) 当 0 t 时 ， ； 3 sincos , sin 3 yttdxxtdyttt 当 0 t 时 ， ； sincos , sin 1 yttdx 当 0 t 时 ， 因为 ； 000 sin ' 0 limlim 03 xtfxfttfxt 0 sin ' 0 limlim 000 xtfxfttfxt 所以 ' 00 f . ttttttfxffxf 2 ) 0000 sincossincoslim ' lim 0 ' 0 ; lim ' lim 0 ' 0 ; 33 xtxtlim ' ' 00 fxf 所以 ， 即 ' fx 在 0 x 连续 . 0 x3 ) 当 0 t 时 ， 因为 ； 00 ' ' 0 sincos 2 ' ' 0 limlim 339 xtfxftttfxt ' ' 0 sincos ' ' 0 limlim 200 xtfxftttfxt 所以 ' ' f 0 不 存在 . ( 6 ) 【 答案 】 ( A ) 11111 ( ) fdxlnlnln 2 xxx 【 解析 】 当 0 时 122111 lnln 21111 ' ( ) lnln 20 f ， 即 0 ln 2 ln 2 ln 2 所以 2 lnln 2 . 6 ( 7 ) 【 答案 】 ( C ) 【 解析 】 222 ( ) , ' ( ) 2 ' ( ) 42 xxxfxxaefxxaxefxxxae ， ， 由于 ( ) fx 无极 值 点 ， 所以 44 a0 ， 即 1a ； 由于 ( ) fx 有 拐点 ， 所以 16420 a ， 即 2a ； 令 0 X ， 则 Yx . 故 切线 与 两 坐标 轴 所 围 三角形 面积 为 211 ( ) 22 ln 12 ( ln 1 ) xxSxXYxxx ， . 令 ( ) Sx 0 ， 得 驻点 32 xe . 则 2 ( 2 l n 3 ) ( ) 2 ( ln 1 ) xxSxx 932 exe 时 ， ( ) Sx 0 ； 当 32 xe 时 ， ( ) 0 Sx ， 故 ( ) Sx 在 32 xe 处 取得 极 小 值 ， 同时 也 取 当 33 ( 2 Se ) e . 最小 值 ， 且 最小 值 为 ( 18 ) cosy 0 fexx 【 解析 】 ， 得 驻点 为 ： 1 ( , ) ek ， 其中 k 为 奇数 ； ( , ) ek ， 其中 k 为 cosy ( sin ) 0 fxeyy 偶数 . 1 fxxy ( sin ) fey 则 cosxycos 2 cosyysin ( cos ) fxeyxeyyy 1 Afxx 0 Bf 代 入 1 ( , ) ek ， 其中 k 为 奇数 ， 得 ， 20 ACB ， 故 1 ( , ) ek 不是 极值 点 ； 则 21 ffafaaa 1 ( ) ( ) ( 0 ) , 02 ! 22 ffafaaa 2 ( ) ( ) ( 0 ) , 02 ! + 得 ： 212 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 afafaff 又 ( ) fx 在 21 , 上 连续 ， 则 必 有 最大 值 M 与 最小 值 m ， 即 ffmM 12 ; mfMmfM 从而 12 ; ffafxaxa 则 21001 ( ) ( ) ( ) , 02 ! 1122 ffafxaxa 002 ( ) ( ) ( ) , 02 ! 011000111104231013 EA 22 时 ， 2 ， 可 得 特征 向量 2 ( 4 , 3 , 1 ) T ； 01300012211201201010 EA 31 时 ， 3 ， 可 得 特征 向量 3 ( 1 , 0 , 2 ) T ； 010000041200 ( 130020 PPAP . ， 则 1 令 1231120011314

一 、 选择 题 ： 110 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50 分 。 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选项 中 ， 只有 一个 选项 是 最 符合 题目 要求 的 ， 请 将 所 选项 前 的 字母 填 在 答题 纸 指定 位置 上 。 曲线 的 渐近 线 方程 为 1 ． 1 l n 1 yxexA ． yx 1 / e 答案 B 解析 xeyxkexxx 1 l n 11 limlimlimln 1 , 1 xxx 11 limlimlnlimln 111 bykxxexxex 11 limln 1 lim 1 1 xxexexexx 所以 斜 渐近 线 方程 为 yx 1 / e ． 1 , 0 x21 fxx 2 ． 函数 的 原 函数 为 1 cos , 0 xxx 2 l n 1 , 0 xxxFxA ． 设 数列 { xn } ， { yn } 满足 x1 y 11 / 2 ， xn 1 sinxn ， yn 1 yn 2 ， 当 n 时 xn 是 yn 的 高 阶 无穷 小B ． yn 是 xn 的 高 阶 无穷小 C ． xn 是 yn 的 等价 无穷小 D ． 已知 微分 方程 式 yayby 0 的 解 在 上 有 界 ， 则 a ， b 的 取值 范围 为 a0 ， b0 B ． a0 ， b0 C ． a0 ， b0 D ． a0 ， b0 答案 C 解析 微分 方程 yayby 0 的 特征 方程 为 λ 2a λ b0 ， 当 Δ a24 b0 时 ， 特征 方程 有 两 个 不同 的 实 根 λ 1 ， λ 2 ， 则 λ 1 ， λ 2 至少 有 一个 不 等于 零 ， xxyCeCe 在 无界 ； 若 C1 ， C2 都 不 为 零 ， 则 微分 方程 的 解 1212 当 Δ a24 b0 时 ， 特征 方程 有 两 个 相同 的 实 根 λ 1 ， 2a / 2 ， aaxxyCeCe 在 无界 ； 若 C20 ， 则 微分 方程 的 解 221224 当 Δ a24 b0 时 ， 特征 方程 的 根 为 abai ， 1 , 222222 则 通 解 为 ， 1244 cossin 22 axbabayeCxCx 此时 ， 要 使 微分 方程 的 解 在 有 界 ， 则 a0 ， 再 由 Δ a24 b0 ， 知 b 0 . 2 xtt 确定 ， 则 设 函数 yf （ x ） 由 sinyttA ． f （ x ） 连续 ， f （ 0 ） 不 存在 B ． f （ 0 ） 存在 ， f （ x ） 在 x0 处 不 连续 C ． f （ x ） 连续 ， f （ 0 ） 不 存在 D ． f （ 0 ） 存在 ， f （ x ） 在 x0 处 不 连续 答案 C xtyttt ， dsincos 解析 （ 1 ） 当 t 0 时 ， 3 ； d1 当 t 0 时 ， sinxytt 当 t 0 时 ， 因为 ； 00 fxfttfxt 0 sin 0 limlim 03 xt 0 sin 0 limlim 0 ， 00 fxfttfxtxt 所以 f （ 0 ） 0 . （ 2 ） ； ttttttfxfxf 0000 sincossincoslimlim 0 ; limlim 0033 xtxtlim 00 所以 ， 即 f （ x ） 在 x0 连续 . fxf 0 x ； （ 3 ） 当 t 0 时 ， 因为 00 fxftttfxt 0 sincos 20 limlim 339 xt 0 sincos 0 limlim 2 00 fxftttfxtxt 所以 f （ 0 ） 不 存在 . 1 dfx 在 α α 0 处 取得 最小 值 ， 则 α 0 若 函数 12 xx 1 lnln 2A ． 1 ln 2D ． ln 2 答案 A 11111 dfxlnlnln 2 解析 当 α 0 时 12 xxx 2111 lnln 21111 lnln 20 flnln 2 . ， 即 0 ln 2 ln 2 ln 2 所以 27 ． 设 函数 f （ x ） （ x 2a ） ex ， 若 f （ x ） 没有 极值 点 ， 但 曲线 yf （ x ） 有 拐点 ， 则 a 的 取值 范围 是 [ 0 ， 1 ） B ． [ 1 ， 2 ） D ． [ 2 ， ） 答案 C 解析 f （ x ） （ x 2a ） ex ， f （ x ） （ x2 a2 x ） ex ， f （ x ） （ x 24 xa 2 ） ex ， 由于 f （ x ） 无极

一 、 选择 题 : 1 ~ 10 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 50 分 。 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选项 中 , 只有 一个 选项 是 最 符合 题目 要求 的 , 请 将 所 选项 前 的 字母 填 在 答题 纸 指定 位置 上 。 1 . 曲线 y = x \ ln ( e + \ frac { 1 } { x - 1 } ) 的 渐近 线 方程 为 ( ) 。 A . y = x + e B . y = x + 1 / e C . y = x D . y = x - 1 / e 2 . 函数 f ( x ) = \ cases { \ frac { 1 } { \ sqrt { 1 + x ^ { 2 } } } , x \ le 0 \ cr ( x + 1 ) \ cos x , x > 0 } 的 原 函数 为 ( ) 。 A . x _ { n } 是 y _ { n } 的 高 阶 无穷 小B . y _ { n } 是 x _ { n } 的 高 阶 无穷小 C . x _ { n } 是 y _ { 1 } 的 等价 无穷小 D . x _ { n } 是 y _ { n } 的 同 阶 但 非 等价 无穷小 4 . 已知 微分 方程 式 y ' ' + ay ' + by = 0 的 解 在 ( - \ infty , + \ infty ) 上 有 界 , 则 a , b 的 取值 范围 为 ( ) 。 A . a < 0 , b > 0 B . a > 0 , b > 0 C . a = 0 , b > 0 D . a = 0 , b < 0 5 . 设 函数 y = f ( x ) 由 \ cases { x = 2t + \ mid t \ mid \ cr y = \ mid t \ mid \ sin t } 确定 , 则 ( ) 。 A.f ( x ) 连续 , f ( 0 ) 不 存在 B . f ' ( 0 ) 存在 , f ' ( x ) 在 x = 0 处 不 连续 C . f ' ( x ) 连续 , f ' ( 0 ) 不 存在 D . f ” ( 0 ) 存在 , f " ( x ) 在 x = 0 处 不 连续 6 . 若 函数 f ( \ alpha ) = \ int _ { 2 } ^ { + \ infty } \ frac { 1 } { x ( \ ln x ) ^ { \ alpha + 1 } } dx 任 a = a _ { 0 } 处 取得 最小 值 , 则 a _ { 0 } = ( A . - \ frac { 1 } { \ ln ( \ ln 2 ) } B . - \ ln ( \ ln 2 ) C . - \ frac { 1 } { \ ln 2 } D . In 2 7 . 设 函数 f ( x ) = ( x ^ { 2 } + a ) e ^ { x } , 若 f ( x ) 没有 极值 点 , 但 曲线 y = f ( x ) 有 拐点 , 则 a 的 取值 范围 是 ( ) 。 A . [ 0 , 1 ) B . [ 1 , + \ infty ) C . [ 1 , 2 ) D . [ 2 , + \ infty ) 8 . 设 A , B 为 n 阶 可逆 矩阵 , E 为 n 阶 单位 矩阵 , M ^ { * } 为 矩阵 M 的 伴随 矩阵 , 则 ( \ matrix { A & E \ cr O & B } ) = ( \ matrix { ) 。 A . y _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } B . y _ { 1 } ^ { 2 } - y _ { 2 } ^ { 2 } C . y _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } - 4 y _ { 3 } ^ { 2 } D . y _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } - y _ { 3 } ^ { 2 } 10 . 已知 向量 \ alpha _ { 1 } = ( \ matrix { 1 \ cr 2 \ cr 3 } ) , \ alpha _ { 2 } = ( \ matrix { 2 \ cr 1 \ cr 1 } ) , \ beta _ { 1 } = ( \ matrix { 2 \ cr 5 \ cr 9 } ) , \ beta _ { 2 } = ( \ matrix { 1 \ cr 0 \ cr 若 γ 既 可 由 a _ { 1 } , a _ { 2 } 线性 表示 , 也 可 由 与 \ beta _ { 1 } , \ beta _ { 2 } 线性 表示 ， 则 \ gamma = ( ) 。 A 、 k ( \ matrix { 3 \ cr 3 \ cr 4 } ) , k \ in R B . k ( \ matrix { 3 \ cr 5 \ cr 10 } ) , k \ in R C . ( \ matrix { - 1 \ cr 1 \ cr 2 } ) , k \ in R D . k ( \ matrix { 1 \ cr 5 \

\alpha(x)- \beta(x)\sim o(\alpha(x 则\alpha(x)\sim \beta(x),其中所有真命题的序号是().A.B.C.D.【答案】D.【解析】取\alpha(x)=1- \cos x, \beta(x)= \frac {1}{2}x2,排除，故选D.2.\int _{0}^{2}dy \int _{y}^{2} \frac {y}{ \sqrt {1+x^{3}}}dx=()A.\frac { \sqrt {2}}{6}B.\frac {1}{3}C.\frac { \sqrt {2}}{3}D.\frac {2}{3}【答案】D.【解析】交换积分次序后可得\int _{0}^{2}dy \int _{y}^{2} \frac {y}{ \sqrt {1+x^{3}}}dx= \int _{0}^{2}dx \int _{0}^{x} \frac {y}{= \int _{0}^{2} \frac {x^{2}}{2 \sqrt {1+x^{3}}}dx= \frac {2}{3} \int _{0}^{2} \frac {1}{ \sqrt {1+x^{3}}}d(x3+1)= \frac {2}{3}.3.设函数f(x)在x=x_{0}处有2阶导数，则A.当f(x)在x_{0}的某邻域内单调增加时,f'(x_{0})>0B.当f'(x_{0})>0时,f(x)在x_{0}的某邻域内单调增加1C.当f(x)在x_{0}的某邻域内是凹函数时,f''(x_{0})>0D.当f''(x_{0})>0,f(x)在x_{0}的某邻域内是凹函数【答案】B.【解析】因f(x)在x=x_{0}处有2阶导数，则f''(x_{0})= \lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac {f'(x)-f'(x_{0})}{x-x_{0}}存在\lim _{x \rightarrow x_{0}}f'(x)=f'(x_{0}),当f'(x_{0})>0时，由极限的局部保号性得，\exists \delta >0,当x \in U(x, \delta),有f'(x)>0,即\exists

在 上 求 一点 ， 使 该 点 处 的 切线 与 两 坐标 轴 所 围 三角形 的 面积 最小 ， L ( 2 ) 并 求 此 最小 面积 . 2 yxfxyx = + 18 . 求 函数 的 极值 cos ( , ) e . 219 . 已知 平面 区域 = Dxyyx 1 { ( , ) | 0 , 1 } . 2 + xx 1 ( 1 ) 求 D 的 面积 ； ( 2 ) 求 D 绕 x轴 旋转 所 成 旋转 体 的 体积 . 222220 . 分设 平面 有 界 区域 位于 第 一 象 限 ， 由 曲线 与 直线 + = + = Dxyxyxyxy ( 12 ) 1 , 21 围 成 ， 计算 22 = = + yxyxyxy 3 , 0 dd . 3D 21 . （ 12 分 ） 设 函数 ( ) fx 在 [ , ] aa 上 具有 2 阶 连续 导 数 ， 证明 ： （ 1 ） 若 ( 0 ) 0 f = ， 则 存在 ( aa 使得 21 ( ) [ ( ) ( ) ] ; （ 2 ） 求 可逆 矩阵 P 与 对称 矩阵 ， 使得 1 = PAP Λ .

2022全国硕士研究生入学统一考试(数学二)试题解析一、选择题：1~10小题，每小题5分，共50分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)当x \rightarrow 0时,α(x),β(x)是非零无穷小,给出以下四个命题,其中所有正确的是()若α(x):β(x),则\alpha _{2}(x):\beta _{2}(x)若\alpha _{2}(x):\beta _{2}(x),则\alpha(x):\beta(x)若α(x)：β(x)，则\alpha(x)- \beta(x)=o(\alpha(x))若\alpha(x)- \beta(x)=o(\alpha(x 则α(x):β(x)(A)(B)(C)(D)【答案】C【解析】当x \rightarrow 0时，\alpha(x):\beta(x),则\lim _{x \rightarrow 0} \frac { \alpha(x)}{ \beta(x)}=1, \lim _{x \rightarrow 0} \frac { \alpha ^{2}(x)}{ \beta _{2}(x)}= \lim _{x \rightarrow 0}[ \frac { \alpha(\lim _{x \rightarrow 0} \frac { \alpha(x)- \beta(x)}{ \alpha(x)}=0,所以\alpha(x)- \beta(x)=o(\alpha(x 故正确；当x \rightarrow0时，\alpha _{2}(x):\beta _{2}(x),则\lim _{x \rightarrow 0} \frac { \alpha _{2}(x)}{ \beta _{2}(x)}=1,则\lim _{x \rightarrow 0} \frac { \alpha(x)}{ \beta(x)}= \pm 1,当\lim _{x \rightarrow 0} \frac { \alpha(x)}{ \beta(x)}=-1时,α(x)与β(x)不是等价

2023 年 全 国 硕 士 研 究 生 招 生 考 试 考 研 《 数 学 二 》 真 题 及 详 解 一 、 选择 题 ： 1 ～ 10 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50 分 。 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选项 中 ， 只有 一 个 选项 是 最 符 合 题 目 要求 的 ， 请 将 所 选项 前 的 字母 填 在 答题 纸 指定 位置 上 。 的 渐近 线 方程 为 （ ） 。 1 ． 曲线 1 ln 1 y x e x          A ． y ＝ x ＋ e B ． y ＝ x ＋ 1 / e C ． y ＝ x D ． y ＝ x － 1 / e 【 正确 答案 】 B ， 则 可 得 ： 【 参考 解 析 】 由 已知 1 ln 1 y x e x          x e y x k e x x x       1 ln 1 1 lim lim limln 1 1 x x x                       1 1 lim lim ln lim ln 1 1 1 b y kx x e x x e x x       x x x                                       1 1 limln 1 lim 1 1 x x ex ex e     x x             所以 斜 渐近 线 方程 为 y ＝ x ＋ 1 / e 。 1 , 0 x 2 1 f x x 2 ． 函数   的 原 函数 为 （ ） 。   1 cos , 0 x xx           2 ln 1 , 0 x x x Fx A ．              1 cos sin , 0 x x xx      2 ln 1 1 , 0 x x x Fx B ．               1 cos sin , 0 x x xx      2 ln 1 , 0 x x x Fx C ．       

一、选择题：1 \sim 10 小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是最符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.当x \rightarrow 0 时，α(x)，β(x)是非零无穷小量，给出以下四个命题：若\alpha(x)\sim \beta(x), 则\alpha _{2}(x)\sim \beta _{2}(x);若\alpha(x)- \beta(x)\sim o(\alpha(x 则\alpha(x)\sim \beta(x), 其中所有真命题的序号是( 解析】\alpha(x)=1- \cos x, \beta(x)= \frac {1}{2}x2, 排除，故选D. \frac {1}{3} C.\frac {2}{3} 【答案】D.【解析】交换积分次序后可得\int _{0}^{2}dy \int _{y}^{2} \frac {y}{ \sqrt {1+x^{3}}}dx= \int _{0}^{2}dx \int _{0}^{x} \frac {y}{ = \int _{0}^{2} \frac {x2}{2 \sqrt {1+x3}}dx = \frac {2}{3} \int _{0}^{2} \frac {1}{ \sqrt {1+x^{3}}}d(x_{3}+1)= \frac {2}{3}.3.设函数f(x)在x=x_{0} 处有2阶导数,则A.当f(x)在x。的某邻域内单调增加时, f \cdot(x_{0})>0 B.当f'(x_{0})>0 时，f(x)在x_{0} 的某邻域内单调增加1 C.当f(x)在x_{0} 的某邻域内是凹函数时, f''(x_{0})>0 D.当f''(x_{0})>0,f(x)在x_{0} 的某邻域内是凹函数【答案】B.【解析】因f(x)在x=x_{0} 处有2阶导数，则f

2023年全国硕士硕士入学统一考试数学二试题解析一、选择题:1~8小题,每题4分,共32分,下列每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)曲线y= \frac {x^{2}+x}{x^{2}-1}新近线的条数为()(A)0(B)1(C)2(D)3(2)设函数f(x)=(e^{x}-1)(e^{2x}-2)(e^{nx}-n),其中n为正整数,则f'(0)=(A)(-1)^{n-1}(n-1)!(B)(-1)^{n}(n-1)!(C)(-1)^{n-1}n! (3)设a_{n}>0(n=1,2, \cdots),S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots a_{n},则数列(sn)有界是数列(a_{n})收敛的(A)充分必要条件.(B)充分非必要条件.(C)必要非充分条件.(D)即非充分地非必要条件.(4)设I_{k}= \int _{e}^{k}e^{x^{2}} \sin xdx(k=1,2,3),则有D(A)I_{1}<I_{2}<I_{3}.(B)I_{2}<I_{2}<I_{3}.(C)I_{1}<I_{3}<I_{1},(D)I_{1}<I_{2}<I_{3}.(5)设函数f(x,y)可微,且对任意x,y都\frac { \partial f(x,y)}{ \partial x}>0, \frac { \partial f(x,y)}{ \partial y}<0,f(x_{1},y_{1})<f(x2，y2)成立的一种充分条件是(A)x_{1}>x_{2},y_{1}<y_{2}.(B)x_{1}>x_{2},y_{1}>y_{1}.(C)x_{1}<x_{2},y_{1}<y_{2}.(D)x_{1}<x_{2},y_{1}>y_{2}.(6)设区域D由曲线y= \sin x,x= \pm \frac { \pi }{2},y=1,围成，则\int \int(x^{5}y-1)dxdy=()(A)\pi(B)2(C)-2(D)

A . x _ { n } 是 y _ { n } 的 高 阶 无穷 小B . y _ { n } 是 x _ { n } 的 高 阶 无穷小 C . x _ { n } 是 y _ { n } 的 等价 无穷小 D . x _ { n } 是 y _ { n } 的 同 阶 但 非 等价 无穷小 4 . 已知 微分 方程 式 y ' ' + ay ' + by = 0 的 解 在 ( - \ infty , + \ infty ) 上 有 界 , 则 a , b 的 取值 范围 为 ( ) 。 A . a < 0 , b > 0 B . a > 0 , b > 0 C . a = 0 , b > 0 D . a = 0 , b < 05 . 设 函数 y = f ( x ) 由 \ cases { x = 2t + \ mid t \ mid \ cr y = \ mid t \ mid \ sin t } 确定 , 则 ( ) 。 A.f ( x ) 连续 , f ( 0 ) 不 存在 B . f ' ( 0 ) 存在 , f ( x ) 在 x = 0 处 不 连续 C . f ' ( x ) 连续 , f ' ( 0 ) 不 存在 D . f ” ( 0 ) 存在 , f ” ( x ) 在 x = 0 处 不 连续 6 . 若 函数 f ( \ alpha ) = \ int _ { 2 } ^ { + \ infty } \ frac { 1 } { x ( \ ln x ) ^ { \ alpha + 1 } } dx 生 a = a _ { 0 } 处 取得 最小 值 , 则 a _ { 0 } = ( ) 。 A . - \ frac { 1 } { \ ln ( \ ln 2 ) } B . - \ ln ( \ ln 2 ) C . - \ frac { 1 } { \ ln 2 } D . ln 27 . 设 函数 f ( x ) = ( x ^ { 2 } + a ) e ^ { x } , 若 f ( x ) 没有 极值 点 , 但 曲线 y = f ( x ) 有 拐点 , 则 a 的 取值 范围 是 ( ) 。 A . [ 0 , 1 ) B . [ 1 , + \ infty ) C . [ 1 , 2 ) D . [ 2 , + \ infty ) 8 . 设 A , B 为 n 阶 可逆 矩阵 , E 为 n 阶 单位 矩阵 , M ^ { * } 为 矩阵 M 的 伴随 矩阵 , 则 ( \ matrix { A & E \ cr O & B } ) ^ { * } = ( \ matrix { - 1 \ cr O & B } ) 。 A . y _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } B . y _ { 1 } ^ { 2 } - y _ { 2 } ^ { 2 } C . y _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } - 4 y _ { 3 } ^ { 2 } D . y _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } - y _ { 3 } ^ { 2 } 10 . 已知 向量 \ alpha _ { 1 } = ( \ matrix { 1 \ cr 2 \ cr 3 } ) , \ alpha _ { 2 } = ( \ matrix { 2 \ cr 1 \ cr 1 } ) , \ beta _ { 1 } = ( \ matrix { 2 \ cr 5 \ cr 9 } ) , \ beta _ { 2 } = ( \ matrix { 1 \ cr 0 \ cr 若 γ 既 可 由 a _ { 1 } , a _ { 2 } 线性 表示 , 也 可 由 与 \ beta _ { 1 } , \ beta _ { 2 } 线性 表示 , 则 \ gamma = ( ) 。 A 、 k ( \ matrix { 3 \ cr 3 \ cr 4 } ) , k \ in RB . k ( \ matrix { 3 \ cr 5 \ cr 10 } ) , k \ in RC . ( \ matrix { - 1 \ cr 1 \ cr 2 } ) , k \ in RD . k ( \ matrix { 1 \ cr 5 \ cr 8 } ) , k \ in R 二 、 填空 题 ： 11 ~ 16 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 30 分 。 请 将 答案 写 在 答题 纸 指定 位置 上 。 11 . 当 x \ rightarrow 0 时 ， 函数 f ( x ) = ax + bx ^ { 2 } + \ ln ( 1 + x ) g ( x ) = e ^ { x ^ { 2 } } - ax 是 等价 无穷小 , 则 ab = \ _ . 12 . 曲线 y = \ int _ { - \ sqrt { 3 } } ^ { x } \ sqrt { 3 - t ^ { 2 } } dt 的 弧长 为 _ . 【 答案 】 \ sqrt { 3 } + \ frac { 4 } { 3 } \ pi 【 解析 】 y ' = \ sqrt { 3 - x ^ { 2 } } , 由 弧长 公式 可 得 l = \ int _ { - \ sqrt { 3 } } ^ {

2023 年 全国 硕士 研究 生 招生 考试 《 数学 二 》 真题 及 答案 解析 【 完整 版 】 一 、 选择 题 ： 110 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50 分 。 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选项 中 ， 只有 一个 选项 是 最 符合 题目 要求 的 ， 请 将 所 选项 前 的 字母 填 在 答题 纸 指定 位置 上 。 曲线 的 渐近 线 方程 为 1 ． 1 l n 1 yxexA ． yx 1 / e 【 答案 】 B 【 解析 】 xeyxkexxx 1 l n 11 limlimlimln 1 , 1 xxx 11 limlimlnlimln 111 bykxxexxex 11 limln 1 lim 1 1 xxexexexx 所以 斜 渐近 线 方程 为 yx 1 / e ． 1 , 0 x21 fxx 2 ． 函数 的 原 函数 为 1 cos , 0 xxx 2 l n 1 , 0 xxxFxA ． 设 数列 { xn } ， { yn } 满足 x1 y 11 / 2 ， xn 1 sinxn ， yn 1 ynA ． xn 是 yn 的 高 阶 无穷 小B ． yn 是 xn 的 高 阶 无穷小 C ． xn 是 yn 的 等价 无穷小 D ． 已知 微分 方程 式 yayby 0 的 解 在 上 有 界 ， 则 a ， b 的 取值 范围 为 a0 ， b0 B ． a0 ， b0 C ． a0 ， b0 D ． a0 ， b0 【 答案 】 C 【 解析 】 微分 方程 yayby 0 的 特征 方程 为 λ 2a λ b0 ， 当 Δ a24 b0 时 ， 特征 方程 有 两 个 不同 的 实 根 λ 1 ， λ 2 ， 则 λ 1 ， λ 2 至少 有 一个 不 等于 零 ， xxyCeCe 在 无界 ； 若 C1 ， C2 都 不 为 零 ， 则 微分 方程 的 解 1212 当 Δ a24 b0 时 ， 特征 方程 有 两 个 相同 的 实 根 λ 1 ， 2a / 2 ， aaxxyCeCe 在 无界 ； 若 C20 ， 则 微分 方程 的 解 221224 当 Δ a24 b0 时 ， 特征 方程 的 根 为 abai ， 1 , 22222 则 通 解 为 2 ， 1244 cossin 22 axbabayeCxCx 此时 ， 要 使 微分 方程 的 解 在 有 界 ， 则 a0 ， 再 由 Δ a24 b0 ， 知 b 0 . 2 xtt 5 ． 设 函数 yf （ x ） 由 确定 ， 则 f （ x ） 连续 ， f （ 0 ） 不 存在 B ． f （ 0 ） 存在 ， f （ x ） 在 x0 处 不 连续 C ． f （ x ） 连续 ， f （ 0 ） 不 存在 D ． f （ 0 ） 存在 ， f （ x ） 在 x0 处 不 连续 【 答案 】 C xtyttt ， dsincos 【 解析 】 （ 1 ） 当 t 0 时 ， 3 ； 当 t 0 时 ， sinyttd 1 x 当 t 0 时 ， 因为 ； 00 fxfttfxt 0 sin 0 limlim 03 xt 0 sin 0 limlim 0 ， 00 fxfttfxtxt 所以 f （ 0 ） 0 . （ 2 ） ； ttttttfxfxf 0000 sincossincoslimlim 0 ; limlim 0033 xtxt 所以 lim 00 ， 即 f （ x ） 在 x0 连续 . fxf 0 x （ 3 ） 当 t 0 时 ， 因为 ； 00 fxftttfxt 0 sincos 20 limlim 339 xt 0 sincos 0 limlim 2 00 fxftttfxtxt 所以 f （ 0 ） 不 存在 . 1 dfx 在 α α 0 处 取得 最小 值 ， 则 α 0 若 函数 12 lnxx 1A ． 1 ln 2D ． ln 2 【 答案 】 A 11111 dfx 【 解析 】 当 α 0 时 12 lnlnln 2 xxx 2111 lnln 21111 lnln 20 f ， 即 0 lnln 2 . 所以 2 ln 2 ln 2 ln 27 ． 设 函数 f （ x ） （ x 2a ） ex ， 若 f （ x ） 没有 极值 点 ， 但 曲线 yf （ x ） 有 拐点 ， 则 a 的 取值 范围 是 [ 0 ， 1 ） B ． [ 1 ， 2 ） D ． [ 2

2023 年 全国 硕士 研究 生 招生 考试 《 数学 二 》 真题 试卷 【 完整 版 】 一 、 选择 题 ： 1 ~ 10 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50 分 。 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选项 中 ， 只有 一个 选项 是 最 符合 题目 要求 的 , 请 将 所 选项 前 的 字母 填 在 答题 纸 指定 位置 上 。 1 . 曲线 y = x \ ln ( e + \ frac { 1 } { x - 1 } ) 的 渐近 线 方程 为 ( ) 。 A . y = x + e B . y = x + 1 / e C . y = x D . y = x - 1 / e 2 . 函数 f ( x ) = \ cases { \ frac { 1 } { \ sqrt { 1 + x ^ { 2 } } } , x \ le 0 \ cr ( x + 1 ) \ cos x , x > 0 } 的 原 函数 为 ( ) 。 A . x _ { n } 是 y _ { n } 的 高 阶 无穷 小B . y _ { n } 是 x _ { n } 的 高 阶 无穷小 C . x _ { n } 是 y _ { n } 的 等价 无穷小 D . x _ { n } 是 y _ { n } 的 同 阶 但 非 等价 无穷小 4 . 已知 微分 方程 式 y ' ' + ay ' + by = 0 的 解 在 ( - \ infty , + \ infty ) 上 有 界 , 则 a , b 的 取值 范围 为 ( ) 。 A . a < 0 , b > 0 B . a > 0 , b > 0 C . a = 0 , b > 0 D . a = 0 , b < 0 5 . 设 函数 y = f ( x ) 由 \ cases { x = 2t + \ mid t \ mid \ cr y = \ mid t \ mid \ sin t } 确定 , 则 ( ) 。 A.f ( x ) 连续 , f ( 0 ) 不 存在 B . f ' ( 0 ) 存在 , f ( x ) 在 x = 0 处 不 连续 C . f ' ( x ) 连续 , f ' ( 0 ) 不 存在 D . f ” ( 0 ) 存在 , f ” ( x ) 在 x = 0 处 不 连续 6 . 若 函数 f ( \ alpha ) = \ int _ { 2 } ^ { + \ infty } \ frac { 1 } { x ( \ ln x ) ^ { \ alpha + 1 } } dx 生 a = a _ { 0 } 处 取得 最小 值 , 则 a _ { 0 } = ( ) 。 A . - \ frac { 1 } { \ ln ( \ ln 2 ) } B . - \ ln ( \ ln 2 ) C . - \ frac { 1 } { \ ln 2 } D . ln 2 7 . 设 函数 f ( x ) = ( x ^ { 2 } + a ) e ^ { x } , 若 f ( x ) 没有 极值 点 , 但 曲线 y = f ( x ) 有 拐点 , 则 a 的 取值 范围 是 ( ) 。 A . [ 0 , 1 ) B . [ 1 , + \ infty ) C . [ 1 , 2 ) D . [ 2 , + \ infty ) 8 . 设 A , B 为 n 阶 可逆 矩阵 , E 为 n 阶 单位 矩阵 , M ^ { * } 为 矩阵 M 的 伴随 矩阵 , 则 ( \ matrix { A & E \ cr O & B } ) ^ { * } = ( \ matrix { - 1 \ cr O & B } ) 。 A . y _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } B . y _ { 1 } ^ { 2 } - y _ { 2 } ^ { 2 } C . y _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } - 4 y _ { 3 } ^ { 2 } D . y _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } - y _ { 3 } ^ { 2 } 10 . 已知 向量 \ alpha _ { 1 } = ( \ matrix { 1 \ cr 2 \ cr 3 } ) , \ alpha _ { 2 } = ( \ matrix { 2 \ cr 1 \ cr 1 } ) , \ beta _ { 1 } = ( \ matrix { 2 \ cr 5 \ cr 9 } ) , \ beta _ { 2 } = ( \ matrix { 1 \ cr 0 \ cr 若 γ 既 可 由 a _ { 1 } , a _ { 2 } 线性 表示 , 也 可 由 与 \ beta _ { 1 } , \ beta _ { 2 } 线性 表示 , 则 \ gamma = ( ) 。 A 、 k ( \ matrix { 3 \ cr 3 \ cr 4 } ) , k \ in R B . k ( \ matrix { 3 \ cr