2023年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题及答案解析【完整版】一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 11．yx lne曲线的渐近线方程为（）。 x1 A．y＝x＋e B．y＝x＋1/e C．y＝x D．y＝x－1/e 【答案】B 1x lne yx11【解析】klimlimlim lne1, xx x x xx1 11blimyk xlimx lnexlim xlne1xxx1xx1 1x 1lim ln 1 xlim xe x1xe x1e 所以斜渐近线方程为y＝x＋1/e． 1 , x0 2．函数f x的原函数为（）。  x1 cos ,x x0  lnx , x0 A．F x x1 cosxsin , x x0  lnx1, x0 B．F x x1 cosxsin , x x0  lnx , x0 C．F x x1 sinxcos , x x0  lnx1, x0 D．F x x1 sinxcos , x x0 【答案】D 【解析】当x≤0时， f xd x d xlnxC 1 当x＞0时， f xd xx1 cos dx x x1 dsinxx1 sinxsin d x x x1 sinxcos xC 2 原函数在（－∞，＋∞）内连续，则在x＝0处 lim lnxCC，lim x1 sinxcos xC1 C x01 1 x02 2 所以C1＝＋，令＝则C21＝，故  lnx1 C x ,0 f xd x， x1 sinxcos xC x ,0  lnx1, x0 综合选项，令C＝0，则f（x）的一个原函数为F x . x1 sinxcos , x x0 3．设数列{xn}，{yn}满足x1＝y1＝1/2，xn＋1＝sinxn，yn＋1＝yn 2，当n→∞时（）。 A．xn是yn的高阶无穷小 B．yn是xn的高阶无穷小 C．xn是yn的等价无穷小 D．xn是yn的同阶但非等价无穷小【答案】B 【解析】在（0，中，π/2）2x/π＜sinx 故＋sinxn＞ 1＝ n1 2 n x 2 x 4 x4x4nx n1 n n 1 n  故yn是xn的高阶无穷小. 4．已知微分方程式y′′＋ay′＋by＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则a，b的取值范围为（）。 A．a＜0，b＞0 B．a＞0，b0 C．a＝0，b＞0 D．0，b＜0 【答案】C 【解析】微分方程y′′＋ay by＝0的特征方程为λ＋＝， 2 当Δ＝a －4b＞0时，特征方程有两个不同的实根1，则λ2至少有一个不等于零，若C1，C2都不为零，则微分方程的解yC e 1 1 xC e 2 2 x 在（－∞，＋∞）无界；当Δ＝a2－4b0时，特征方程有两个相同的实根λ1，a/2， 2＝－ a a x x若C2≠0，则微分方程的解yC e 1 2C e 2 2在（－∞，＋∞）无界；当Δ＝a2－4b＜0时，程的根为aa i， 1,2 2 2 ax 则通解为ye 2C cos xC sin x， 1 2 2 2 此时，要使微分方程的解在（－∞，＋∞）有界，则a＝0，再由Δ＝a2－4b＜0，知b＞0. x 2 tt 5．设函数y＝f（x）由确定，则（）。 yt sin t A．f（x）连续，′0）不存在 B．f′（，f′（x）在x＝0处不连续 C．f′（x）连续，′′0）不存在 D．f′′（，f′′（x）在x＝0处不连续【答案】C x t d y sin tt cos t【解析】（1）当t＞0时，3，； yt sin t d x 3 x t d ysin tt cos t ，；当t＜0时，sinyt t d x 1 f xf0t sin t当t＝0时，因为f0limlim0； x0x t03 t f xf0t sin t f0limlim0， x0x t0t 所以f′（0）＝0. sin tt cos tsin tt cos t（2）lim fxlim0; lim fxlim0f0； x0t03 x0t03所以lim fxf00，x）在x＝0连续. x0 fxf0sin tt cos t 2（3）当t＝0时，因为f0limlim； x0x t033t 9 fxf0sin tt cos t f0limlim  2x0x t0t 所以f′′（存在.  1 6．若函数f 2 xln x1 d x在αα处取得最小值，则α（。 0＝） B．－ln（ln2 ） ln 2 D．ln 2 【答案】A   1 1 1 1【解析】当α＞0时fd x 2 xln x1ln xln 22 1 1 ln ln 2 1 1 111所以f ln 2 2 ln 2   ln 2 ln ln 2 0，即0 ln ln 2. 7．设函数f（x）＝（x2＋a）ex，若f（x）没有极值点，但曲线y＝f（x）有拐点，则a的取值范围是（）。 A．[0，1） B．[1＋∞）， C．[12）， D．[2＋∞），【答案】C 【解析】f（x）＝（x2＋a）ex，f′（x）＝（x2＋a＋2x）ex，f′（x）＝（x2＋4x＋a＋2）ex，由于f（x）无极值点，所以4－4a≤0，即a≥1；由于f（x）有拐点，所以16－4（a＋2）＞0，即a＜2；综上所述a∈[1，2）. *A E8．设A，B为n 阶可逆矩阵，E为n 阶单位矩阵，M*为矩阵M的伴随矩阵，则＝（）。 O B 0 A B * * A B *A B * * B A *B A * * B A *A B * * 【答案】D 【解析】结合伴随矩阵的核心公式，代入（计算知 D） A EB A *A B * *B AA *AA B * *A B *B A EA B *A B * B A E O O A B EA B E 故（D）正确. 9．二次型f（x1，x2，x3）＝（x1＋x2）2＋（x1＋x3）2－4（x2－x3）2的规范形为（）。 A．y12 2＋2 B．y12 2－2 2＋2－2 C．124y3 D．y12y3 2＋2－2 【答案】B 2－2－2＋【解析】由已知f（）＝3x 2x 2x1x3＋8x， 2 1 1 则其对应的矩阵A13 4  1 43 211 由EA134730，得A的特征值为－7，0 143 故选（B）. 1221    10．向量α 12, α 21, β 15, β 20，若γ既可由α1，线性表示，也可由与2β1， 3191 线性表示，则γ＝（）。 3 A．k3, kR  4 3 B．k5,kR  10 1 C．k1, kR  2

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2023年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题及答案解析【完整版】一、选择题：110小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。曲线的渐近线方程为 1．1ln1yxexA． yx1/e 【答案】B 【解析】xeyxkexxx1ln11limlimlimln1,1xxx11limlimlnlimln111bykxxexxex11limln1lim11xxexexexx所以斜渐近线方程为yx1/e．1,0x21fxx2．函数的原函数为 1cos,0xxx2ln1,0xxxFxA．设数列{xn}，{yn}满足x1y11/2，xn1sinxn，yn1ynA．xn是yn的高阶无穷小B．yn是xn的高阶无穷小C．xn是yn的等价无穷小D．已知微分方程式yayby0的解在上有界，则a，b的取值范围为 a0，b0 B．a0，b0 C．a0，b0 D．a0，b0 【答案】C 【解析】微分方程yayby0的特征方程为λ2aλb0，当Δa24b0时，特征方程有两个不同的实根λ1，λ2，则λ1，λ2至少有一个不等于零，xxyCeCe在无界；若C1，C2都不为零，则微分方程的解1212当Δa24b0时，特征方程有两个相同的实根λ1，2a/2，aaxxyCeCe在无界；若C20，则微分方程的解221224当Δa24b0时，特

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