2023年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题及答案解析【完整版】一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 1．曲线的渐近线方程为（　　）。 A．y＝x＋e B．y＝x＋1/e C．y＝x D．y＝x－1/e 【答案】B 【解析】所以斜渐近线方程为y＝x＋1/e． 2．函数的原函数为（　　）。 A．B．C．D．【答案】D 【解析】当x≤0时，当x＞0时，原函数在（－∞，＋∞）内连续，则在x＝0处，所以C＝1＋C，令C＝C，则C＝1＋C，故，综合选项，令C＝0，则f（x）的一个原函数为. 3．设数列{x}，{y}满足x＝y＝1/2，x＝sinx，y＝y，当n→∞时（　　）。 A．x是y的高阶无穷小 B．y是x的高阶无穷小 C．x是y的等价无穷小 D．x是y的同阶但非等价无穷小【答案】B 【解析】在（0，π/2）中，2x/π＜sinx 故x＝sinx＞2x/π . 故y是x的高阶无穷小. 4．已知微分方程式y′′＋ay′＋by＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则a，b的取值范围为（　　）。 A．a＜0，b＞0 B．a＞0，b＞0 C．a＝0，b＞0 D．a＝0，b＜0 【答案】C 【解析】微分方程y′′＋ay′＋by＝0的特征方程为λ＋aλ＋b＝0，当Δ＝a－4b＞0时，特征方程有两个不同的实根λ，λ，则λ，λ至少有一个不等于零，若C，C都不为零，则微分方程的解在（－∞，＋∞）无界；当Δ＝a－4b＝0时，特征方程有两个相同的实根λ＝－a/2，若C≠0，则微分方程的解在（－∞，＋∞）无界；当Δ＝a－4b＜0时，特征方程的根为，则通解为，此时，要使微分方程的解在（－∞，＋∞）有界，则a＝0，再由Δ＝a－4b＜0，知b＞0. 5．设函数y＝f（x）由确定，则（　　）。 A．f（x）连续，f′（0）不存在 B．f′（0）存在，f′（x）在x＝0处不连续 C．f′（x）连续，f′′（0）不存在 D．f′′（0）存在，f′′（x）在x＝0处不连续【答案】C 【解析】（1）当t＞0时，，；当t＜0时，，；当t＝0时，因为；，所以f′（0）＝0. （2）；所以，即f′（x）在x＝0连续. （3）当t＝0时，因为；所以f′′（0）不存在. 6．若函数在α＝α处取得最小值，则α＝（　　）。 A．B．－ln（ln2） C．D．ln2 【答案】A 【解析】当α＞0时所以，即. 7．设函数f（x）＝（x＋a）e，若f（x）没有极值点，但曲线y＝f（x）有拐点，则a的取值范围是（　　）。 A．[0，1） B．[1，＋∞） C．[1，2） D．[2，＋∞）【答案】C 【解析】f（x）＝（x＋a）e，f′（x）＝（x＋a＋2x）e，f′（x）＝（x＋4x＋a＋2）e，由于f（x）无极值点，所以4－4a≤0，即a≥1；由于f（x）有拐点，所以16－4（a＋2）＞0，即a＜2；综上所述a∈[1，2）. 8．设A，B为n阶可逆矩阵，E为n阶单位矩阵，M为矩阵M的伴随矩阵，则＝（　　）。 A．B．C．D．【答案】D 【解析】结合伴随矩阵的核心公式，代入（D）计算知故（D）正确. 9．二次型f（x，x，x）＝（x＋x）＋（x＋x）－4（x－x）的规范形为（　　）。 A．y＋y B．y－y C．y＋y－4y D．y＋y－y 【答案】B 【解析】由已知f（x，x，x）＝2x－3x－3x＋2xx＋2xx＋8xx，则其对应的矩阵由，得A的特征值为3，－7，0 故选（B）. 10．已知向量，若γ既可由α，α线性表示，也可由与β，β线性表示，则γ＝（　　）。 A．B．C．D．【答案】D 【解析】设r＝xα＋xα＝yβ＋yβ则xα＋xα－yβ－yβ＝0 又故（x，x，y，y）＝c（－3，1，－1，1），c∈R 所以r＝－cβ＋cβ＝c（－1，－5，－8）＝－c（1，5，8）＝k（1，5，8），k∈R 二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分。请将答案写在答题纸指定位置上。 11．当x→0时，函数f（x）＝ax＋bx＋ln（1＋x）与是等价无穷小，则ab＝ . 【答案】－2 【解析】，可得a＋1＝0，b－1/2＝3/2，即a＝－1，b＝2，故ab＝－2. 12．曲线的弧长为 . 【答案】【解析】，由弧长公式可得 13．设函数z＝z（x，y）由e＋xz＝2x－y确定，则＝ . 【答案】－3/2 【解析】两边同时对x求导得：① 两边再同时对x求导得：② 将x＝1，y＝1代入原方程得e＋z＝1⇒z＝0 代入①式得代入②式得. 14．曲线3x＝y＋2y在x＝1对应点处的法线斜率为 . 【答案】－11/9 【解析】两边对x求导：9x＝5y·y′＋6y·y′① 当x＝1时，代入原方程得3＝y＋2y⇒y＝1 将x＝1，y＝1代入①式得9＝5y′＋6y′⇒y′|＝9/11，所以曲线在x＝1处的法线斜率为－11/9. 15．设连续函数f（x）满足f（x＋2）－f（x）＝x，，则＝ . 【答案】1/2 【解析】 16．已知线性方程组有解，其中a，b为常数，若则＝ . 【答案】8 【解析】由已知r（A）＝r（A，b）≤3＜4，故|A，b|＝0 即故. 三、解答题：17～22小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题满分10分）设曲线L：y＝y（x）（x＞e）经过点（e，0），L上任一点P（x，y）到y轴的距离等于该点处的切线在y轴上的截距. （1）求y（x）；（2）在L上求一点，使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，并求此最小面积. 【解析】（1）曲线L在点P（x，y）处的切线方程为Y－y＝y′（X－x），令X＝0，则切线在y轴上的截距为y－y′x，则x＝y－y′x，即y′－y/x＝－1，解得y（x）＝x（C－lnx），其中C为任意常数.又y（e）＝0，则C＝2，故y（x）＝x（2－lnx）. （2）设曲线L在点（x，x（2－lnx））处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，此时切线方程为 Y－x（2－lnx）＝（1－lnx）（X－x）. 令Y＝0，则；令X＝0，则Y＝x. 故切线与两坐标轴所围三角形面积为，则.令S′（x）＝0，得驻点x＝e. 当e＜x＜e时，S′（x）＜0；当x＞e时，S′（x）＞0，故S（x）在x＝e处取得极小值，同时也取最小值，且最小值为S（e）＝e. 18．（本题满分12分）求函数f（x，y）＝xe＋x/2的极值.

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2023年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题及答案解析【完整版】

一、选择题：110小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。1．曲线的渐近线方程为 yx1/e【答案】B【解析】所以斜渐近线方程为yx1/e．函数的原函数为答案】D【解析】当x0时，当x0时，原函数在内连续，则在x0处，所以C1C，令CC，则C1C，故，综合选项，令C0，则f（x）的一个原函数为.3．设数列{x}，{y}满足xy1/2，xsinx，yy，当n x是y的高阶无穷小B．y是x的高阶无穷小C．x是y的等价无穷小D．x是y的同阶但非等价无穷小【答案】B【解析】在（0，π/2）中，2x/πsinx故xsinx2x/π.故y是x的高阶无穷小.4．已知微分方程式yayby0的解在上有界，则a，b的取值范围为 a0，b0B．a0，b0C．a0，b0D．a0，b0【答案】C【解析】微分方程yayby0的特征方程为λaλb0，当Δa4b0时，特征方程有两个不同的实根λ，λ，则λ，λ至少有一个不等于零，若C，C都不为零，则微分方程的解在无界；当Δa4b0时，特征方程有两个相同的实根λa/2，若C0，则微分方程的

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