2023年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题试卷【完整版】一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 11．曲线yx lne的渐近线方程为（。） x1 A．x＋e B．x＋1/e C．y＝x D．x－1/e 1 , x0 2．函数f x的原函数为（）。  x1 cos ,x x0  lnx , x0 A．F x x1 cosxsin , x x0  lnx1, x0 B．F x x1 cosxsin , x x0  lnx , x0 C．F x x1 sinxcos , x x0  lnx1, x0 D．F x x1 sinxcos , x x0 2，3．设数列{x }{y 满足＝1/2＋sinxn，当n→∞时（）。 1＝1＝ A．xn是y的高阶无穷小 B．yn是x的高阶无穷小 C．xn是y的等价无穷小 D．xn是y的同阶但非等价无穷小 4．已知微分方程式y′′＋ayby＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则，取值范围为（）。 A．a＜0，b＞0 B．a＞0，b＞0 C．0，b＞0 D．0，b＜0 x 2 tt 5．设函数y＝f（x）由确定，则（。） yt sin t A．x）连续，f′（0不存在 B．f0）存在，′（f′（x在x＝处不连续 C．f x 连续，f′′（0）不存在 D．f0）存在，′′（f′′（x在x＝处不连续  1 6．若函数f 2 xln x1 d x在αα0处取得最小值，则（。 α0＝） B．－ln（ln2 ） ln 2 D．ln2 7．设函数f（x）＝（x2＋a）ex，若f（x）没有极值点，但曲线y＝f（x）有拐点，则a的取值范围是（）。 A．[01）， B．[1＋，∞） C．[12）， D．[2＋∞）， *A E8．设A，B为n阶可逆矩阵，E为n阶单位矩阵，M*为矩阵M的伴随矩阵，则＝（）。 O B 0 A B * * A B *A B * * B A *B A * * B A *A B * * 2＋2－ 2的9．二次型f（，1＝（＋（x3）4x2－规范形为（）。 A．y12 2＋2 B．y12 2－2 2＋2－2 C．124y3 D．y1 2＋－ y2 y3 1221    10．已知向量α 12, α 21, β 15, β 20，若γ既可由α1，α2线性表示，也可由与β1，β2 3191 线性表示，则（γ＝）。 3 A．k 3, kR 4 3 B．k 5 , kR  10 1 C．k 1 , kR  2 1 D．k 5, kR 8 二、填空题：11～16小题，每小题，共。请将答案写在答题纸指定位置上。 530分 11．当x→0时，函数f（x）＝ax＋bx2＋ln（1＋x）与g xe x 2cos x是等价无穷小，则ab＝ . x 12．曲线yd t的弧长为 ________ . 3 【解析】y，由弧长公式可得  13．设函数z＝z（x，y）由ez＋xz＝2x－y确定，则＝ . 1,1 14．曲线3x3＝y5＋2y3在x＝1对应点处的法线斜率为 . 2 3 15．设连续函数f（x）满足f（x＋2）－f（x）＝x，f x dx =0，则f x d x＝ . 0 1 三、解答题：17～22小题，共。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 70分 17．（本题满分10）分设曲线L：y＝y（x）（x＞e）经过点（e2，0），L上任一点P（x，y）到y轴的距离等于该点处的切线在y轴上的截距. （1求；）y（x （2）在L上求一点，使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，并求此最小面积. 18．（本题满分） 12分求函数f（x，y）＝xecosy＋x2/2的极值. 19．（本题满分） 12分 1 已知平面区域Dx y ,|0y, x1，  （1）求D的面积. （2）求D绕x轴旋转所成旋转体的体积. 20．（本题满分）12分设平面有界区域于第一象限，由曲线D位x2＋y－xy＝1，＋＝2与直线3 yx，y＝0 1围成，计算 d d x y . 3 x 2y 2 D 21．（本题满分） 12分设函数f（x）在[－，具有连续倒数，证明： a]上2阶 1 （1）若f（x）＝0，则存在ξ∈（－a，a）使得f a 2f afa； 1 22．（本题满分） 12分 xxxx1 1 2 3设矩阵A满足对任意x1，x2，x3均有A x22 x 1x 2x 3. x 3x 2x 3 （1求）A。（2）求可逆转矩阵P与对角矩阵Λ使得P－1AP＝Λ。答案及解析一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 1．【答案】B 1x lne yx11【解析】klimlimlim lne1, xx x x xx1 11blimyk xlimx lnexlim xlne1xxx1xx1 1x 1lim ln 1 xlim xe x1xe x1e 所以斜渐近线方程为y＝x＋1/e ． 2．【答案】D 【解析】当x≤0时， f xd xd xlnxC 1 当x＞0时， f xd xx1 cos dx x x1 dsinxx1 sinxsin d x x x1 sinxcos xC 2 原函数在（－＋∞，∞）内连续，则在x＝0处 lim lnxCC，lim x1 sinxcos xC1 C x01 1 x02 2 所以C1＝1＋C2，令C2＝C，则C1＝1＋C，故  lnx1 C x ,0 f xd x， x1 sinxcos xC x ,0  lnx1, x0 综合选项，令C＝0，则f（x）的一个原函数为F x . x1 sinxcos , x x0 3．【答案】B 【解析】在（0，π/2）中，2x/π＜sinx 故xn＋1＝sinxn＞2xn/π

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选择题：110小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。的渐近线方程为 1．曲线1ln1yxexA． yx1/e 1,0x21fxx2．函数的原函数为 1cos,0xxx2ln1,0xxxFxA．设数列{xn}，{yn}满足x1y11/2，xn1sinxn，yn1ynA．xn是yn的高阶无穷小B．yn是xn的高阶无穷小C．xn是yn的等价无穷小D．xn是yn的同阶但非等价无穷小4．已知微分方程式yayby0的解在上有界，则a，b的取值范围为 a0，b0 B．a0，b0 C．a0，b0 D．a0，b0 2xt 选择题：110小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。1．【答案】B 【解析】xeyxkexxx1ln11limlimlimln1,1xxx11limlimlnlimln111bykxxexxex11limln1lim11xxexexexx所以斜渐近线方程为yx1/e．【答案】C 【解析】微分方程yayby0的特征方程为λ2aλb0，当Δa24b0时，特征方程有两个不同的实根λ1，λ2，则λ1，λ2至少有一个不等于零，xxyCeCe在无界；若C1，C2都不为零，则微分方程的解1212当Δa24b0时填空题：1116小题，每小题5分，共30分。请将答案写在答题纸指定位置上。11．【答案】11/9 【解析】两边对x求导：9x25y4·y6y2·y当x1时，代入原方程得3y52y3y1 将x1，y1代入式得95y6yy|（1，1）9/11，所以曲线在x1处的法线斜率为11/9.15．【答案】8 【解析】由已知r（A）r（A，b）34，故|A，b|0 即14440111101110,1112211112001202aaaaAbaaaabaab11a12240,a0ab11a故128a.0ab 解答题：1722小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题满分10分）设曲线L：yy（x）（xe）经过点（e2，0），L上任一点P（x，y）到y轴的距离等于该点处的切线在y轴上的截距.（1）求y（x 2）在L上求一点，使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，并求此最小面积.【解析】（1）曲线L在点P（x，y）处的切线方程为Yyy（Xx），令X0，则切线在y轴上的截距为yyx，则xyyx，即yy/x1，解得y（x）x（Clnx），其中C为任意常数.又y（e2）0，则C2，故y（x）x（2lnx 2）设曲线L在点（x，x（2lnx））处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，此时切线方程为Yx（2lnx）（1lnx）（Xx）.