2024年高考数学试题（新课标II卷）一、选择题:本题共8小题，每小题5分，满分40分．每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的. 1.已知z=-1-i ，则z= A.0 B.1 C. 2 D.2 2.已知命题p:∀x∈R，x+1>1；命题q:∃x>0，x3=x，则 A.p和q都是真命题 B.¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题 D.¬p和¬q都是真命题 3.已知向量a，b满足:a=1，a+2b=2，且b-2a⊥b，则b= A. 1 B. 2 C. 3 D.1 2 2 2 4.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位:kg )并部分整理如下表所示. 亩产[900，950) [950，1000) [1000，1050) [1050，1150) [1150，1200) 频数 6 12 18 24 10 根据表中数据，下列结论正确的是 A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过40% C.100块稻田亩产量的极差介于200kg到300kg之间 D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg到1000kg之间 5.已知曲线C：x2+y2=16y>0，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP，P为垂足，则线段PP的中点M的轨迹方程为 A. x2B. x216+y2 4=1y>0 16+y2 8=1y>0 C. y2D. y216+x2 4=1y>0 16+x2 8=1y>0 6.设函数f x=a x+12-1，g x=cosx+2ax(a为常数)，当x∈-1，1时，曲线y=f x和y=g x恰有一个交点，则a= A.-1 B. 1 C.1 D.2 2 7.已知正三棱台ABC-ABC的体积为52 3，AB=6，A1B1=2，则AA与平面ABC所成角的正切值为 A. 1 2 B.1 C.2 D.3 8.设函数f x=x+aln x+b，若f x≥0，则a2+b2的最小值为 A. 1 8 B. 1 4 C. 1 2 D.1 1 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，满分18分．每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的．全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选得0分. 9.对于函数f x=sin2x和g x=sin(2x-π 4)，下列正确的有 A. f x与g x有相同零点 B. f x与g x有相同最大值 C. f x与g x有相同的最小正周期 D. f x与g x的图象有相同对称轴 10.抛物线C：y2=4x的准线为l，P为C上动点，过P作⊙A:x2+y-42=1的一条切线，Q为切点．过P作C的垂线，垂足为B，则 A.l与⊙A相切 B.当P、A、B三点共线时，PQ= 15 C.当PB=2时，PA⊥AB D.满足PA=PB的点A有且仅有2个 11.设函数f x =2x3-3ax2+1，则 A.当a>1时，f x的三个零点 B.当a<0时，x=0是f x的极大值点 C.存在a,b，使得x=b为曲线f x的对称轴 D.存在a，使得点1，f 1为曲线y=f x的对称中心三、填空题:本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12.记Sn为等差数列an的前n项和，若a3+a4=7，3a2+a5=5，则S10=________ . 13.已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ= 2+1，则sin α+β=________ . 14.在下图的4*4方格表中有4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法；在符合上述要求的选法中，选中方格中的四个数之和的最大值是________ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 四、解答题:本题共5小题，满分87分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sinA+ 3cosA=2. （1）求A；（2）若a=2，2bsinC=csin2B ，求△ABC的周长. 2 16.(本题满分15分)已知函数f x=ex-ax-a3. （1）当a=1时，求曲线y=f x在点1，f 1处的切线方程；（2）若f x有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围. 17.(本题满分15分)如图，平面四边形ABCD中，AB=8，CD=3，AD=53，∠ADC=90°，∠BAD=30°，点E,F满足AE =7 5AD，AF =1 2AB，将△AEF沿EF对折至△PEF，使得PC=43. （1）证明:EF⊥PD；（2）求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值. P A D E F C B 3 18.(本题满分17分)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中1次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立. （1）若p=0.4，q=0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率；（2）假设0<p<q. (i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛? (ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛? 19.(本题满分17分)已知双曲线C：x2-y2=m m>0，点P15,4在C上，k为常数，0<k<1，按照如下公式依次构造点Pn n=2，3，⋯:过点Pn-1作斜率为k的直线与C的左支点交于点Qn-1，令Pn 为Qn-1关于y轴的对称点，记Pn的坐标为xn，yn. （1）若k=1 2，求x2,y2；（3）设Sn为△PnPn+1Pn+2的面积，证明:对于任意正整数n，Sn=Sn+1. 4

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2024年高考数学试题（新课标II卷）含解析

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112.解析：(1)在四列中分别取一格，分别取第一、二、三、四行中的某一格，即相当于把取出的格子排序.故A_{4}^{4}=24种选法.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)记\triangle ABC的内角A，B，C的对边分别为a，已知\sin A+\sqrt {3} \cos A=2.(1)求A.(2)若a=2, \sqrt {2}b \sin C=c \sin 2B,求\triangle ABC的周长.解：.\cdot \sin A+\sqrt {3} \cos A=2, \therefore 2 \sin(A+\frac { \pi }{3})=2, \sin(A+\frac { \pi }{3})=1.又A \in(0, \pi), \therefore A+\frac { \pi }{3}= \frac { \pi }{2},A= \frac { \pi }{6}.综上，角A为\frac { \pi }{6}.(2)\because \sqrt {2}b \sin c=c \sin 2B, \therefore \sqrt {2}b \sin C=2c \sin B \cos B, \therefore \sqrt {2}bc=2bc \cos B, \cos B= \frac { \sqrt {2}}{2}.XB \in(0, \pi), \therefore B= \frac { \pi }{4},C= \pi -A-B= \frac {7}{12} \pi.在\triangle ABC中，由正弦定理得\frac {a}{ \sin A}= \frac {b}{ \sin B}= \frac {c}{ \sin C}= \frac {2}{ \frac {1}{2}}=4,:b=4 \sin B=2 \sqrt {2},c=4 \sin C=4 \sin \frac {7 \pi }{12}=4 \sin(\frac { \pi }{4}+\frac { \pi }{3})= \sqrt {6}+\sqrt {2}.\therefore a+综上，\triangle ABC的周长为2+3 \sq

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