苏轼Born to win 全国硕士研究生入学统一考试数学二试题详解2025一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸． 指定位置上.（1）当0x时，下列无穷小量中最高阶是（）22（A）1xtedt（B）xln1tdt00sin21cos2（C）xsintdt（D）xsintdt00【答案】（D）【解析】由于选项都是变限积分，所以导数的无穷小量的阶数比较与函数的比较是相同的。222（A）11xtxedtex022（B）ln1ln1xtdtxx0（C）sin222sinsinsinxtdtxx0（D）1cos223xtdtxxx1sinsin(1cos)sin20经比较，选（D）1x（2）函数xexfxex1ln1()(1)(2)的第二类间断点的个数为 A）1（B）2（C）3（D）4 【答案】（C）【解析】由题设，函数的可能间断点有1,0,1,2x，由此11x12ln1lim()limlimln1(1)(2)3(1)exefxxexe；地势坤，君子以厚德载物。《周易》Born to win 1x11x1ln1ln2lim()limlim0; 1x11x1ln1ln2limlim; arcsin1xdx（3）0（）xx1（A）（B）（C）4（D）82428【答案】（A）【解析】令sinxt，则2sinxt，2sincosdxttdt21222000xtdxttdttdttttxxarcsin2sincos22sincos410（4）2ln1,

一 、 选择 题 （ 本 大 题 有 10 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50 分 ） 1 、 设 随机 变量 ξ 服从 正 态 分布 N ( 1 , σ ^ 2 ) ， 若 P ( ξ < 3 ) = 0 . 8 ， 则 P ( 0 < ξ < 1 ) = ( ) A . 0 . 3 B . 0 . 2 C . 0 . 1 D . 0 . 62 ) ， 这 意味 着 其 概率 密度 函数 是 关于 x = 1 对 首先 ， 随机 变量 ξ 服从 正 态 分布 N ( 1 , σ 称 的 。 已知 P ( ξ < 3 ) = 0 . 8 ， 由于 正 态 分布 的 对称 性 ， 我们 有 ： P ( ξ > 1 ) = P ( ξ < 3 ) = 0 . 8 注意 ， 整个 正 态 分布 曲线 下 的 面积 为 1 ， 即 ： P ( ξ R ) = 1 由于 正 态 分布 的 对称 性 ， 区间 ( 1 , 3 ) 内 的 面积 等于 整个 曲线 面积 减去 区间 ( , 1 ) ( 3 , + ) 的 面积 。 即 ： P ( 1 < ξ < 3 ) = 12 × ( 1P ( ξ < 3 ) ) = 12 × 0 . 2 = 0 . 6 再次 利用 正 态 分布 的 对称 性 ， 区间 ( 0 , 1 ) 和 区间 ( 1 , 2 ) 的 面积 相等 。 因此 ： P ( 0 < ξ < 1 ) = 12 × P ( 1 < ξ < 2 ) = 12 × [ P ( 1 < ξ < 3 ) P ( 1 < ξ < 1 ) ) 由于 P ( 1 < ξ < 1 ) 是 整个 曲线 面积 的 一半 （ 因为 x = 1 是 对称 轴 ） ， 所以 P ( 1 < ξ < 1 ) = 0 . 5 。 代 入 上 式 得 ： P ( 0 < ξ < 1 ) = 12 × ( 0 . 60 . 5 ) = 0 . 05 但是 ， 这里 我们 注意 到 原始 答案 中 P ( 0 < ξ < 1 ) 的 值 应该 是 0 . 3 ， 这 与 我们 的 计算 不符 。 实际 上 ， 这 是 由于 我们 直接 用 了 P ( 1 < ξ < 3 ) = 0 . 6 来 推导 ， 而 没有 考虑 到 P ( ξ = 1 ) （ 尽管 对于 连续 型 随机 变量 ， P ( ξ = 1 ) = 0 ） 。 但 在 这里 ， 由于 正 态 分布 的 对称 性 ， 我们 可以 直接 得出 ： P ( 0 < ξ < 1 ) = 12 × ( 1P ( ξ 0 ) P ( ξ 1 ) ) 由于 P ( ξ 0 ) = P ( ξ 2 ) = 0 . 5 P ( 0 < ξ < 2 ) = 0 . 5 P ( 1 < ξ < 1 ) = 0 . 50 . 5 = 0 （ 这里 再次 用到 了 正 态 分布 的 对称 性 和 P ( 1 < ξ < 3 ) = 0 . 6 的 隐含 信息 ， 即 P ( 1 < ξ < 1 ) = 0 . 5 ） ， 所以 P ( 0 < ξ < 1 ) = 12 × ( 100 . 5 ) = 0 . 25 。 但 注意 到 这 个 值 仍然 与 原始 答案 不符 。 然而 ， 如果 我们 按照 原始 答案 的 提示 （ 尽管 它 似乎 与 我们 的 直接 计算 不符 ） ， 我们 可以 认为 P ( 0 < ξ < 1 ) = 0 . 512 × P ( ξ = 1 ) = 0 . 5 （ 因为 P ( ξ = 1 ) = 0 对于 连续 型 随机 变量 ） 。 但 这里 显然 是 不 准确 的 ， 因为 P ( 0 < ξ < 1 ) 必然 小于 0 . 5 。 实际 上 ， 如果 我们 重新 审视 题目 和 原始 答案 ， 我们 可以 推断 出 原始 答案 可能 是 基于 某种 简化 或 近似 得出 的 。 但 在 严格 的 数学 意义 上 ， P ( 0 < ξ < 1 ) 并 不 能 直接 得出 为 0 . 3 或 0 . 2 （ 除非 有 额外 的 信息 或 假设 ） 。 不过 ， 如果 我们 按照 一 种 非 严格 的 、 基于 直观 或 近似 的 方式 来 理解 ， 可能 会 得出 P ( 0 < ξ < 1 ) 0 . 3 （ 尽管 这 并 不是 一个 精确 的 数学 结

百 学 须 先 立志 。 — — 朱熹 年 全 国 硕 士 研 究 生 招 生 考 试 《 数 学 二 》 真 题 及 答 案 2025 1 . 【 单 项 选 择 题 】 A . y = x + e B . y = x + 1 / e C . y = x D . y = x - 1 / e 正 确 答 案 ： B 知 识 点 ： 第 1 章 > （ 江 南 博 哥 ） 第 1 节 > 第 一 节 函 数 、 极限 、 连续 参考 解析 ： 2 . 【 单 项 选 择 题 】 A . B . C . D . 博 观 而 约 取 ， 厚 积 而 薄 发 。 — — 苏轼 正 确 答 案 ： D 知 识 点 ： 第 1 章 > 第 3 节 > 第 三 节 一 元 函 数 积 分 学 参 考 解 析 ： 3 . 【 单 项 选 择 题 】 A . x n 是 y n 的 高 阶 无 穷 小 B . yn 是 x n 的 高 阶 无 穷 小 C . x n 与 y n 是 等 价 无 穷 小 D . x n 与 y n 是 同 阶 但 不 等 价 的 无 穷 小 正 确 答 案 ： B 知 识 点 ： 第 1 章 > 第 1 节 > 第 一 节 函 数 、 极 限 、 连 续 参 考 解 析 ： 4 . 【 单 项 选 择 题 】 若 微 分 方 程 y ' ' + ay ' + by = 0 的 解 在 （ - ∞ ， + ∞ ） 上 有 界 ， 则 （ ） A . a < 0 ， b > 0 操 千曲 尔后 晓 声 ， 观 千 剑 尔后 识 器 。 — — 刘勰 B . a < 0 ， b > 0 C . a < 0 ， b > 0 D . a < 0 ， b > 0 正 确 答 案 ： C 知 识 点 ： 第 1 章 > 第 6 节 > 第 六 节 常 微 分 方 程 参 考 解 析 ： 要 使 微 分 方 程 的 解 在 （ - ∞ ， + ∞ ） 有 界 ， 则 a = 0 ， 再 由 △ = a2 - 4b < 0 ， 知 b > 0 . 5 . 【 单项 选择 题 】 A . f ( x ) 连续 ， f ' ( 0 ) 不 存在 B . f ' ( 0 ) 连续 ， f ' ( x ) 在 x = 0 处 不 连续 C . f ' ( x ) 连续 ， f ' ' ( 0 ) 不 存在 D . f ' ' ( 0 ) 存在 ， f ' ( x ) 在 x = 0 处 不 连续 正 确 答 案 ： C 知 识 点 ： 第 1 章 > 第 2 节 > 第 二 节 一元 函数 微 分

选择题：110 小题，每题5 分，共50 分．下列每题给出旳四个选项中，只有一种选项是符合题目规定．旳23tx1.当x 0 ，0(e7 旳1)dt 是xA.低阶无穷小.B.等价无穷小.C.高阶无穷小.D.同阶但非等价无穷小.【答案】C.e 1dtx6 2 e1【解析】lim 0x07x ex 1 limx057x lim 2x5x0 7x 0 ,故选C.,2.函数f(x) x1,x 0,在x 0 处x 0A.持续且取极大值B.持续且取极小值C.可导且导数等于零D.可导且导数不为零【答案】D【解析】由于lim ex0导，因此选D.x1 1 xf(0)，故持续；又由于limx0ex 11xx2ex 1 x2 x 1 ，故可23. 解答题：1722 小题，共70 分．解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节.17.（本题满分10 分）x t21求极限lim(0 e dt 1).x0【解析】ex e 2 dtx 1sin x 1 sin x x t 2ex 1lim 0 1 limsin x0 e dtx0 ex 1sin x x0ex 1sin xsin x x t2e x 1xx t2 limsin x0 e dtsin x0 e dt lim sin x e 1 lim 2x0x2x0x2x0xx 1 x3+o x3 1 x 1 x2+o x2 xe dt.lim 6 2 lim 0 1 1 12x0xx0x2218.

英雄 者 ， 胸怀 大志 ， 腹 有 良策 ， 有 包藏 宇宙 之 机 ， 吞吐 天地 之 志 者 也 。 — — 《 三国 演义 》 年 全国 硕士 研究 生 招生 考试 考研 《 数学 二 》 真题 及 详解 2025 一 、 选择 题 ： 1 ～ 10 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50 分 。 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选项 中 ， 只有 一个 选项 是 最 符 合 题目 要求 的 ， 请 将 所 选项 前 的 字母 填 在 答题 纸 指定 位置 上 。 的 渐近 线 方程 为 （ ） 。 1 ． 曲线 1 ln 1 y x e x          A ． y ＝ x ＋ e B ． y ＝ x ＋ 1 / e C ． y ＝ x D ． y ＝ x － 1 / e 〖 答案 〗 ： B ， 则 可 得 ： 〖 解析 〗 由 已知 1 ln 1 y x e x          x e y x k e x x x       1 ln 1 1 lim lim limln 1 1 x x x                       b y kx x e x x e x x 1 1 lim lim ln lim ln 1 1 1 x x x                                             1 1 limln 1 lim 1 1 x x ex ex e x x                 所以 斜 渐近 线 方程 为 y ＝ x ＋ 1 / e 。 1 , 0 x 2 fx x 1 2 ． 函数   的 原 函数 为 （ ） 。   x xx 1 cos , 0           2 ln 1 , 0 x x x Fx        A ．       x x xx 1 cos sin , 0      2 ln 1 1 , 0 x x x Fx         B ．       x x xx 1 cos sin , 0      2 ln 1 , 0 x x x Fx        C ．       x x x

穷 则 独善其身 ， 达 则 兼善 天下 。 — — 《 孟子 》 考 研 数 学 二 （ 线 性 代 数 ） 历 年 真 题 试 卷 汇 编 7 ( 题 后 含 答 案 及 解 析 ) 题 型 有 ： 1 . 选 择 题 2 . 填 空 题 3 . 解 答 题 选 择 题 下 列 每 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 个 选 项 符 合 题 目 要 求 。 1 ． 设 A 为 n 阶 非 零 矩 阵 ， E 为 n 阶 单 位 矩 阵 。 若 A3 = O ， 则 ( ) A ． E — A 不 可 逆 ， E ＋ A 不 可 逆 。 B ． E — A 不 可 逆 ， E + A 可 逆 。 C ． E — A 可 逆 ， E + A 可 逆 。 D ． E — A 可 逆 ， E + A 不 可 逆 。 正 确 答 案 ： C 解 析 ： 利 用 单 位 矩 阵 E ， 将 A3 = O 变 形 为 E — A3 = E 和 A3 + E = E ， 进 一 步 分 解 为 ( E — A ) ( E ＋ A ＋ A2 ) = E 一 A3 = E ， ( E ＋ A ) ( E — A ＋ A2 ) = E + A3 = E ， 则 E — A ， E + A 均 可 逆 。 2 ． 设 A 为 n ( n ≥ 2 ) 阶 可 逆 矩 阵 ， 交 换 A 的 第 1 行 与 第 2 行 得 矩 阵 B ， A * ， B * 分 别 为 A ， B 的 伴 随 矩 阵 ， 则 ( ) A ． 交 换 A * 的 第 1 列 与 第 2 列 得 B * 。 B ． 交 换 A * 的 第 1 行 与 第 2 行 得 B * 。 C ． 交 换 A * 的 第 1 列 与 第 2 列 得 一 B * 。 D ． 交 换 A * 的 第 1 行 与 第 2 行 得 一 B * 。 正 确 答 案 ： C 解 析 ： 由 题 设 ， 存 在 初 等 矩 阵 E12 ( 交 换 n 阶 单 位 矩 阵 的 第 1 行 与 第 2 行 所 得 ) ， 使 得 E12 A = B ， 由 于 A 可 逆 ， 可 知 B 也 可 逆 ， 故 B * = ( E 12A ) * 一 ｜ E12 A ｜ ( E12 A ) － 1 = 一 ｜ A ｜ A － 1 E12 － 1 = 一 A *

1244 ( ) e ( cossin ) 222 / 13 去留 无意 ， 闲 看 庭前 花开 花 落 ； 宠辱不惊 ， 漫 随 天外 云 卷云 舒 。 《 幽 窗 小记 2024 年 最新 整理 历年 考试 真题 22442222 abaabaxxyxCC 若 240 ab ， 则 通 解 为 ； 12 ( ) ee 若 240 ab ， 则 通 解 为 2 axyxCCx . 12 ( ) ( ) e 由于 ( ) yx 在 ( , ) 上 有 界 ， 若 02a ， 则 中 x 时 通 解 无界 ， 若 02a ， 则 中 x 时 通 解 无界 ， 故 0 a . 0 a 时 ， 若 0 b ， 则 12 ( ) ( cossin ) yxCbxCbx ， 在 ( , ) 1 , 2 rbi ， 通 解 为 上 有 界 . 0 a 时 ， 若 0 b ， 则 12 ( ) eebxbxyxCC ， 在 ( , ) 上 无界 . 1 , 2 rb ， 通 解 为 综 上 可 得 0 a ， 0 b . 故 选 D . 2 | | xtt 5 . 设 函数 ( ) yfx 由 参数 方程 确定 ， 则 ( ) . | | sinyttA . ( ) fx 连续 ， ( 0 ) f 不 存在 B . ( 0 ) f 存在 ， ( ) fx 在 0 x 处 不 连续 C . ( ) fx 连续 ， ( 0 ) f 不 存在 D . ( 0 ) f 存在 ， f ( ) x 在 0 x 处 不 连续 【 答案 】 Climlim | | sin 0 ( 0 ) ytty 【 解析 】 ， 故 ( ) fx 在 0 x 连续 . 00 xt 00 . ( ) ( 0 ) | | sin ( 0 ) limlim 02 | | xtfxfttfxttttttsincos , 03 ( ) ( ) 00 ( ) sincos 0 ytfxtxttttt 0 t 时 ， 0 x ； 0 t 时 ， 0 x ； 0 t 时 ， 0 x ， 故 ( ) fx 在 0 x 连续 . ttt , 00 sincos 0 ( ) ( 0 ) 23 ( 0 ) limlim 39 xtfxffxt ( ) ( 0 ) sincos 0 ( 0 ) limlim 2 , 00 xtfxftttfxt 故 ( 0 ) f 不 存在 . 故 选 C . 0 = ( ) 1 ( ) ( ln ) fdxxx 在 = 0 处 取得 最小 值 ， 则 6 . 若 函数 123 / 13 天将 降 大任 于 斯人 也 ， 必 先 苦 其 心志 ， 劳 其 筋骨 ， 饿 其 体肤 ， 空乏 其 身 ， 行 拂 乱 其 所为 。 刘备 2024 年 最新 整理 历年 考试 真题 333 , 5 , kkRkkRA . B . 410111 , 5 , kkRkkRC . D . 28 【 答案 】 D 【 解析 】 设 11223142 kkkk ， 则 11223142 kkkk 0 ， 对 关于 123 4 kkkk 的 方程 组 的 系数 矩阵 作 初等 变换 化为 最 简 形 ， 12211003 ( 21500101 A ， 121231910011 解 得 TTTT 1234 ( ( 3 , 1 , 1 , 1 ) ( 3 , 1 , 1 , 0 ) ( 33 , 1 , 1 , ) kkkkCCCCC ， 故 11 C ( 33 ) ( 1 ) 5 ( 1 ) 5 , kkCCCkkR . 故 选 D . 1122128 ( 1 ) 8C 二 、 填空 题 ： 11 ~ 16 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 30 分 . 请 将 答案 写 在 答题 纸 指定 位置 上 . 11 ． 当 x0 时 ， 2 ( ) ln ( 1 ) fxaxbxx 与 2 ( ) ecosxgxx 是 等价 无穷小 ， 则 ab _ . 【 答案 】 2 【 解析 】 由 题意 可知 ， 222 axbxxxox 2 fxaxbxx 200 x ( ) ln ( 1 ) 1 limlim ( ) ecosxxxgxx 02222 xoxxox 1 ( ) 2 lim 11 + ( ) [ 1 ( ) ] 222 axbxox ， x 022 xox 1 ( 1 ) ( ) ( ) 2 lim 3 ( ) 2 于是 1310 , 22 ab ， 即 1 , 2 ab ， 从而 2 ab . 3 dtxyt 12 . 曲线 2 的 孤 长 为 _ . 3 【 答案 】 4336 / 13 人人 好 公 ， 则 天下 太平 ； 人人 营私 ， 则 天下 大乱 。 ( ) 在 L 上 求 一点 ， 使 该 点 的 切线 与 两 坐标 轴 所 围 三角形 面积 最小 ， 并 求 此 最小 面积 . 【 解 】 ( ) 曲线 L 在 点 ( , ) Pxy 处 的 切线 方程 为

以 铜 为 镜 ， 可以 正 衣冠 ； 以 古为镜 ， 可以 知 兴替 ； 以人为镜 ， 可以 明 得失 。 2 x 取得 极 小 值 . ( 2 ) 由 曲线 y ? lnx 与 两 直线 y ? 0 所 围 成 的 平面 图形 的 面积 是 _ . 1 ? x ( 3 ) 与 两 直线 y ? 11 ? 1 都 平行 且 过 原点 的 平面 方程 为 _ . ( 4 ) 设 l 为 取 正向 的 圆周 x2 ? 9 , 则 曲线 积分 ? 4 x ) dy = _ . ( 5 ) 已知 三维 向量 空间 的 基底 为 坐标 是 _ . 二 、 ( 本 题 满分 8 分 ) 求 正 的 常数 a 与 b , 使 等式 lim 1 x2 x ? 1 成立 . 三 、 ( 本 题 满分 7 分 ) ( 1 ) 设 f 、 g 为 连续 可 微 函数 , u ? xy ) , 英雄 者 ， 胸怀 大志 ， 腹 有 良策 ， 有 包藏 宇宙 之 机 ， 吞吐 天地 之 志 者 也 。 《 三国 演义 》 求 ? x . ( 2 ) 设 矩阵 a 和 b 满足 关系 式 ab = a ? 2b , 其中 ? 301 ? 110 ? , 求 矩阵 b . ? 01 ? 四 、 ( 本 题 满分 8 分 ) 求 微分 方程 y ? 1 的 通 解 , 其中 常数 a ? 0 . 五 、 选择 题 ( 本 题 共 4 小 题 , 每 小 题 3 分 , 满分 12 分 . 每 小 题 给 出 的 四 个 选项 中 , 只有 一个 符合 题目 要求 , 把 所 选项 前 的 字母 填 在 题 后 的 括号 内 ) ( 1 ) 设 lim f ( x ) ? 1 , 则 在 x ? a 处 ( a ) f ( x ) 的 导 数 存在 , 且 f ? 0 ( b ) f ( x ) 取得 极 大 值 ( c ) f ( x ) 取得 极 小 值 ( d ) f ( x ) 的 导 数 不 存在 ( 2 ) 设 f ( x ) 为 已知 连续 函数 s , i ? t 0 f ( tx ) dx , 其中 t ? 0 , 则 i 的 值 ( a ) 依赖 于 s 和 t ( b ) 依赖 于 s 、 t 和 x ( c ) 依赖 于 t 、 x , 不 依赖 于 s ( d ) 依赖 于 s , 不 依赖 于 t ( 3 ) 设 常数 ? 0 , 则 级数 ? 1 ( a ) 发散 ( b ) 绝对 收敛 ( c ) 条件 收敛 ( d ) 散 敛 性 与 k 的 取值 有关 天将 降 大任 于 斯人 也 ， 必 先 苦 其 心志 ， 劳 其 筋骨 ， 饿 其 体肤 ， 空乏 其 身 ， 行 拂 乱 其 所为 。 《 孟子 》 ( 4 ) 设 a 为 n 阶 方阵 ， 且 a 的 行列 式 | a | ? 0 , 而 a * 是 a 的 伴随 矩阵 ， 则 | a * | 等于 ( a ) a ( b ) 1a ( c ) an ? 1 ( d ) an 六 、 （ 本 题 满分 10 分 ） 求 幂 级数 ? 2 nx 的 收敛 域 ， 并 求 其 和 函数 . 七 、 （ 本 题 满分 10 分 ） 求 曲面 积分 i ? 2 ( 1 ? 其中 ? 是 由 曲线 f ( x ) ? 绕 y轴 旋转 一周 而 成 的 曲面 , 其 法 向量 与 y轴 正向 的 夹角 恒 大于 ? 八 、 （ 本 题 满分 10 分 ） 设 函数 f ( x ) 在 闭 区间 [ 0 , 1 ] 上 可 微 , 对于 [ 0 , 1 ] 上 的 每 一个 x , 函数 f ( x ) 的 值 都 在 开 区间 ( 0 , 1 ) 内 , 且 f ? 1 , 证明 在 ( 0 , 1 ) 内 有 且 仅 有 一个 x , 使得 f ( x ) ? x . 九 、 （ 本 题 满分 8 分 ） 问 a , b 为何 值 时 , 现 线性 方程 组 x1 ? 0 x2 ? 2 x3 ? 2 x4 ? 3 ) x3 ? 2 x4 ? b3 x1 ? 2 x2 ? 1 有 唯一 解 , 无 解 , 有 无穷 多 解 ? 并 求 出 有 无穷 多 解 时 的

朱熹 2025 年 数学 二 解析 年 考研 数学 二 真题 及 解析 2025 一 、 选择 题 1 . 设 随机 变量 X 服从 二 项 分布 B ( 6 , 1 / 2 ) ， 则 P ( X = 3 ) = ( ) A . 1 / 2 B . 1 / 4 C . 3 / 4 D . 1 / 8 2 . 设 随机 变量 X 的 分布 列为 P ( X = i ) = ( i / 2a ) ( i = 1 , 2 , 3 ) ， 则 P ( X = 2 ) = ( ) A . 1 / 6 B . 1 / 9 C . 1 / 18 D . 1 / 27 3 . 设 随机 变量 X 的 期望 EX = 3 ， 方 差 DX = 4 ， 则 E ( X ^ 2 ) = ( ) A . 13 B . 10 C . 12 D . 14 4 . 设 随机 变量 X 的 分布 列为 P ( X = i ) = ( i / a ) ( i = 1 , 2 , 3 ) ， 则 P ( X = 2 ) = ( ) A . 1 / 6 B . 1 / 9 C . 1 / 4 D . 1 / 3 5 . 若 随机 变量 X 的 分布 列为 P ( X = i ) = ( i / 2a ) ， i = 1 , 2 , 3 ， 则 P ( X = 2 ) = ( ) A . 1 / 6 B . 1 / 9 C . 1 / 4 D . 1 / 3 太 上 有 立德 ， 其次 有 立功 ， 其次 有 立言 ， 虽 久 不 废 ， 此 谓 不朽 。 《 左传 》 二 、 填空 题 6 . 若 随机 变量 X 的 分布 列为 P ( X = i ) = ( i / 6 ) ， i = 1 , 2 , 3 ， 则 P ( X 2 ) = _ 。 7 . 若 随机 变量 X 的 期望 EX = - 1 ， 方 差 DX = 4 ， 则 E ( X ^ 3 ) = _ 。 8 . 若 随机 变量 X 的 分布 列为 P ( X = i ) = ( i ^ 2 / a ^ 2 ) ， i = 1 , 2 , 3 ， 则 P ( X 2 ) = _ 。 9 . 若 随机 变量 X 的 期望 EX = - 1 ， 方 差 DX = 4 ， 则 E ( 3 X + 5 ) = _ 。 10 . 若 随机 变量 X 的 分布 列为 P ( X = i ) = ( i ^ 2 / 8a ) ， i = 1 , 2 , 3 ， 则 P ( X 2 ) = _ 。 三 、 解答 题 11 . 若 随机 变量 X 的 分布 列为 P ( X = i ) = ( i ^ 2 / a ^ 2 ) ， i = 1 , 2 , 3 ， 求 a 的 值 。 12 . 若 随机 变量 X 的 期望 EX = - 1 ， 方 差 DX = 4 ， 求 E ( X ^ 2 + 3 ) 。 13 . 若 随机 变量 X 的 分布 列为 P ( X = i ) = ( i ^ 2 / a ^ 2 ) ， i = 1 , 2 , 3 ， 求 E ( X ) 。

1244 ( ) e ( cossin ) 22 好学 近乎 知 ， 力行 近乎 仁 ， 知 耻 近乎 勇 。 《 中庸 》 22442222 abaabaxxyxCC 若 240 ab ， 则 通 解 为 ； 12 ( ) ee 若 240 ab ， 则 通 解 为 2 axyxCCx . 12 ( ) ( ) e 由于 ( ) yx 在 ( , ) 上 有 界 ， 若 02a ， 则 中 x 时 通 解 无界 ， 若 02a ， 则 中 x 时 通 解 无界 ， 故 0 a . 0 a 时 ， 若 0 b ， 则 12 ( ) ( cossin ) yxCbxCbx ， 在 ( , ) 1 , 2 rbi ， 通 解 为 上 有 界 . 0 a 时 ， 若 0 b ， 则 12 ( ) eebxbxyxCC ， 在 ( , ) 上 无界 . 1 , 2 rb ， 通 解 为 综 上 可 得 0 a ， 0 b . 故 选 D . 2 | | xtt 5 . 设 函数 ( ) yfx 由 参数 方程 确定 ， 则 ( ) . | | sinyttA . ( ) fx 连续 ， ( 0 ) f 不 存在 B . ( 0 ) f 存在 ， ( ) fx 在 0 x 处 不 连续 C . ( ) fx 连续 ， ( 0 ) f 不 存在 D . ( 0 ) f 存在 ， ( ) fx 在 0 x 处 不 连续 【 答案 】 Climlim | | sin 0 ( 0 ) ytty 【 解析 】 ， 故 ( ) fx 在 0 x 连续 . 00 xt 00 . ( ) ( 0 ) | | sin ( 0 ) limlim 02 | | xtfxfttfxttttttsincos , 03 ( ) ( ) 00 ( ) sincos 0 ytfxtxttttt 0 t 时 ， 0 x ； 0 t 时 ， 0 x ； 0 t 时 ， 0 x ， 故 ( ) fx 在 0 x 连续 . ttt , 00 sincos 0 ( ) ( 0 ) 23 ( 0 ) limlim 39 xtfxffxt ( ) ( 0 ) sincos 0 ( 0 ) limlim 2 , 00 xtfxftttfxt 故 ( 0 ) f 不 存在 . 故 选 C . 0 = ( ) 1 ( ) ( ln ) fdxxx 在 0 = 处 取得 最小 值 ， 则 6 . 若 函数 12 非 淡泊 无以 明志 ， 非 宁静 无以 致远 。 少壮 不 努力 ， 老大 徒 伤悲 。 不 义 而 富 且 贵 ， 于 我 如 浮云 。 《 论语 》 333 , 5 , kkRkkRA . B . 410111 , 5 , kkRkkRC . D . 28 【 答案 】 D 【 解析 】 设 11223142 kkkk ， 则 11223142 kkkk 0 ， 对 关于 123 4 kkkk 的 方程 组 的 系数 矩阵 作 初等 变换 化为 最 简 形 ， 12211003 ( 21500101 A ， 121231910011 解 得 TTTT 1234 ( ( 3 , 1 , 1 , 1 ) ( 3 , 1 , 1 , 0 ) ( 33 , 1 , 1 , ) kkkkCCCCC ， 故 11 C ( 33 ) ( 1 ) 5 ( 1 ) 5 , kkCCCkkR . 故 选 D . 1122128 ( 1 ) 8C 二 、 填空 题 ： 11 ~ 16 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 30 分 . 请 将 答案 写 在 答题 纸 指定 位置 上 . 11 ． 当 x0 时 ， 2 ( ) fxaxbxln ( 1 ) x 与 2 ( ) ecosxgxx 是 等价 无穷小 ， 则 ab _ . 【 答案 】 2 【 解析 】 由 题意 可知 ， 222 axbxxxox 2 fxaxbxx 200 x ( ) ln ( 1 ) 1 lim ( ) limecosxxxgxx 02222 xoxxox 1 ( ) 2 lim 11 + ( ) [ 1 ( ) ] 222 axbxox ， x 022 xox ( 1 ) ( 1 ) ( ) 2 lim 3 ( ) 2 于是 1310 , 22 ab ， 即 1 , 2 ab ， 从而 2 ab . 3 dtxyt 12 . 曲线 2 的 孤 长 为 _ . 3 【 答案 】 433 英雄 者 ， 胸怀 大志 ， 腹 有 良策 ， 有 包藏 宇宙 之 机 ， 吞吐 天地 之 志 者 也 。 ( ) 在 L 上 求 一点 ， 使 该 点 的 切线 与 两 坐标 轴 所 围 三角形 面积 最小 ， 并 求 此 最小 面积 . 【 解 】 ( ) 曲线 L 在 点 ( , ) Pxy 处 的 切线 方程 为 ( ) ( ) YyyxXx ， 令 0 X ， 则 切线 在 y轴 上 的 截距 为 ( ) Yyxyx ， 则 ( ) xyxyx ， 即

1244 ( ) e ( cossin ) 222 / 13 人人 好 公 ， 则 天下 太平 ； 人人 营私 ， 则 天下 大乱 。 刘鹗 2024 年 最新 整理 历年 考试 真题 22442222 abaabaxxyxCC 若 240 ab ， 则 通 解 为 ； 12 ( ) ee 若 240 ab ， 则 通 解 为 2 axyxCCx . 12 ( ) ( ) e 由于 ( ) yx 在 ( , ) 上 有 界 ， 若 02a ， 则 中 x 时 通 解 无界 ， 若 02a ， 则 中 x 时 通 解 无界 ， 故 0 a . 0 a 时 ， 若 0 b ， 则 12 ( ) ( cossin ) yxCbxCbx ， 在 ( , ) 1 , 2 rbi ， 通 解 为 上 有 界 . 0 a 时 ， 若 0 b ， 则 12 ( ) eebxbxyxCC ， 在 ( , ) 上 无界 . 1 , 2 rb ， 通 解 为 综 上 可 得 0 a ， 0 b . 故 选 D . 2 | | xtt 5 . 设 函数 ( ) yfx 由 参数 方程 确定 ， 则 ( ) . | | sinyttA . ( ) fx 连续 ， ( 0 ) f 不 存在 B . ( 0 ) f 存在 ， ( ) fx 在 0 x 处 不 连续 C . ( ) fx 连续 ， ( 0 ) f 不 存在 D . ( 0 ) f 存在 ， f ( ) x 在 0 x 处 不 连续 【 答案 】 Climlim | | sin 0 ( 0 ) ytty 【 解析 】 ， 故 ( ) fx 在 0 x 连续 . 00 xt 00 . ( ) ( 0 ) | | sin ( 0 ) limlim 02 | | xtfxfttfxttttttsincos , 03 ( ) ( ) 00 ( ) sincos 0 ytfxtxttttt 0 t 时 ， 0 x ； 0 t 时 ， 0 x ； 0 t 时 ， 0 x ， 故 ( ) fx 在 0 x 连续 . ttt , 00 sincos 0 ( ) ( 0 ) 23 ( 0 ) limlim 39 xtfxffxt ( ) ( 0 ) sincos 0 ( 0 ) limlim 2 , 00 xtfxftttfxt 故 ( 0 ) f 不 存在 . 故 选 C . 0 = ( ) 1 ( ) ( ln ) fdxxx 在 = 0 处 取得 最小 值 ， 则 6 . 若 函数 123 / 13 吾 日 三 省 乎 吾 身 。 为人 谋 而 不忠 乎 ? 与 朋友 交 而 不 信 乎 ? 传 不 习 乎 ? 少壮 不 努力 ， 老大 徒 伤悲 。 《 三国 演义 2024 年 最新 整理 历年 考试 真题 333 , 5 , kkRkkRA . B . 410111 , 5 , kkRkkRC . D . 28 【 答案 】 D 【 解析 】 设 11223142 kkkk ， 则 11223142 kkkk 0 ， 对 关于 123 4 kkkk 的 方程 组 的 系数 矩阵 作 初等 变换 化为 最 简 形 ， 12211003 ( 21500101 A ， 121231910011 解 得 TTTT 1234 ( ( 3 , 1 , 1 , 1 ) ( 3 , 1 , 1 , 0 ) ( 33 , 1 , 1 , ) kkkkCCCCC ， 故 11 C ( 33 ) ( 1 ) 5 ( 1 ) 5 , kkCCCkkR . 故 选 D . 1122128 ( 1 ) 8C 二 、 填空 题 ： 11 ~ 16 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 30 分 . 请 将 答案 写 在 答题 纸 指定 位置 上 . 11 ． 当 x0 时 ， 2 ( ) ln ( 1 ) fxaxbxx 与 2 ( ) ecosxgxx 是 等价 无穷小 ， 则 ab _ . 【 答案 】 2 【 解析 】 由 题意 可知 ， 222 axbxxxox 2 fxaxbxx 200 x ( ) ln ( 1 ) 1 limlim ( ) ecosxxxgxx 02222 xoxxox 1 ( ) 2 lim 11 + ( ) [ 1 ( ) ] 222 axbxox ， x 022 xox 1 ( 1 ) ( ) ( ) 2 lim 3 ( ) 2 于是 1310 , 22 ab ， 即 1 , 2 ab ， 从而 2 ab . 3 dtxyt 12 . 曲线 2 的 孤 长 为 _ . 3 【 答案 】 4336 / 13 博 观 而 约 取 ， 厚 积 而 薄 发 。 仁 以为 己任 ， 不 亦 重 乎 ? 死而后已 ， 不 亦 远 乎 ? ( ) 在 L 上 求 一点 ， 使 该 点 的 切线 与 两 坐标 轴 所 围 三角形 面积 最小 ， 并 求 此 最小 面积 . 【 解 】 ( ) 曲线 L 在 点 ( , ) Pxy

http : / / www . qihang . com . cn 承载 梦想 启航 为 来 只 为 一次 考 上 研 全国 硕士 招生 考试 数学 二 真题 及 答案 解析 一 、 选择 题 1 . 当 时 ， 若 与 是 同 阶 无穷小 ， 则 A . 1 . B . 2 . C . 3 . D . 4 . 2 . 拐点 A . B . C . D . 3 . 下列 反常 积分 收敛 是 （ ） A . B . C . D . 4 . 值 为 （ ） A . 1 , 0 , 1 B . 1 , 0 , 2 C . 2 , 1 , 3 D . 2 , 1 , 4 5 . 已知 积分 区域 ， ， ， ， 试 比较 大小 A . B . C . D . 6 . 已知 是 二 阶 可 导 且 在 处 持续 ， 请问 相切 于 且 曲率 相等 是 什么 条件 ？ A . 充足 非 必要 条件 B . 充足 必要 条件 C . 必要 非 充足 条件 D . 既 非 充足 又 非 必要 条件 7 . 设 是 四 阶 矩阵 ， 是 伴随 矩阵 ， 若 线性 方程 组 基础 解 系 中 只有 2 个 向量 ， 则 秩 是 A . 0 B . 1 启航 考研 http : / / www . qihang . com . cn http : / / www . qihang . com . cn 承载 梦想 启航 为 来 只 为 一次 考 上 研 C . 2 D . 3 8 . 设 是 3 阶 实 对称 矩阵 ， 是 3 阶 单位 矩阵 ， 若 ， 且 ， 则 二次型 规范 形 为 A . B . C . D . 二 、 填空 题 9 . 10 . 曲线 在 对应 点 处 切线 在 y轴 上 截距 为 11 . 设 函数 可 导 ， ， 则 12 . 设 函数 弧长 为 13 . 已知 函数 ， 则 14 . 已知 矩阵 ， 表达 中 元代 数 余子式 ， 则 三 、 解答 题 ： 15 ~ 23 小 题 ， 共 94 分 . 解答 应 写 出 文字 阐明 、 证明 过程 或 演算 环节 . 15 . （ 本 题 满分 10 分 ） 已知 函数 ， 求 16 . （ 本 题 满分 10 分 ） 求 不定 积分 17 . （ 本 题 满分 10 分 ） 是 微分 方程 满足 条件 特 解 . 启航 考研 http : / / www . qihang . com . cn http : / / www . qihang . com . cn 承载 梦想 启航 为 来 只 为 一次 考 上 研 （ 1 ） 求 （ 2 ） 设 平面 区域 ， 求 D 绕 轴 旋转 一周 所 得 旋转 体 体积 . 18 . （ 本 题 满分 10 分 ） 已知 平面 区域 满足 ， 求 19 . （ 本 题 满分 10 分 ） 图像 与 x轴 所谓 图形 面积 ， 求 ， 并 求 20 . （ 本 题 满分 11 分 ） 已知 函数 满足 求 值 ， 使得 在 变换 下 ， 上述 等式 可 化为 不 含 一 阶 偏 导 数 等式 . 21 . （ 本 题 满分 11 分 ） 已知 函数 在 上 具有 二 阶 导 数 ， 且 ， 证明 ： （ 1 ） 存在 ， 使得 ； （ 2 ） 存在 ， 使得 . 22 . （ 本 题 满分 11 分 ）

考研 数学 二 历年 真题 及 答案 详解 ( 20212021 ) 2013 年 全国 硕士 研究 生 入学 统一 考试 数学 二 试题 一 、 选择 题 18 小 题 ． 每 小 题 4 分 ， 共 32 分 ． 设 2 ) ( ) , ( sin 1 cos π α α a （ C ） 02 I （ B ） 02 > I （ C ） 03 > I （ D ） 04 > I7 ． 设 ， ， 均 为 n 阶 矩阵 ， 若 ， 且 可逆 ， 则 （ A ） 矩阵 C 的 行 向量 组 与 矩阵 A 的 行 向量 组 等价 ． （ B ） 矩阵 C 的 列 向量 组 与 矩阵 A 的 列 向量 组 等价 ． （ C ） 矩阵 C 的 行 向量 组 与 矩阵 B 的 行 向量 组 等价 ． （ D ） 矩阵 C 的 列 向量 组 与 矩阵 B 的 列 向量 组 等价 ． 矩阵 ? 1111 aabaa 与 矩阵 ? 00000002 b 相似 的 充分 必要 条件 是 （ A ） 2 , 0 = = ba （ B ） 0 = a ， b 为 任意 常数 （ C ） 0 , 2 = = ba （ D ） 2 = a ， b 为 任意 常数 二 、 填空 题 （ 本 题 共 6 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 满分 24 分 . 把 答案 填 在 题 中 横线 上 ） 9 ． 10 ． 设 函数 dtexfxt ? - - = 11 ) ( ， 则 ) ( xfy = 的 反 函数 ) ( 1 yfx - = 在 0 = y 处 的 导 数 = = 0 | ydydx ． 11 ． 设 封闭 曲线 L 的 极 坐标 方程 为 ? - = 663 cos π θ π θ rt 为 参数 ， 则 L 所 围 成 的 平面 图形 的 面积 为 ． 12 ． 曲线 上 ? + = = 21 lnarctantytx 对应 于 1 = t 处 的 法 线 方程 为 ． 13 ． 14 ． 设 ( ) 1 / 6 ijaA = 是 三 阶 非 零 矩阵 ， A 为 其 行列 式 ， ijA 为 元素 ija 的 代数 余子式 ， 且 满足 ) 3 , 2 , 1 , ( 0 = = + jiaAijij ， 则 A = ． 三 、 解答 题 15 ． （ 本 题 满分 10 分 ） 当 0 x 时 ， xxx 3 cos 2 coscos 1 - 与 nax 是 等价 无穷小 ， 求 常数 na , ． 16 ． （ 本 题 满分 10 分 ） 设 D 是 由 曲线 3 xy = ， 直线 ax = ) 0 ( > a 及 x轴 所 转 成 的 平面 图形 ， yxVV , 分别 是 D 绕 x轴 和 y轴 旋转 一周 所 形成 的 立体 的 体积 ， 若 yxVV = 10 ， 求 a 的 值 ． 17 ． （ 本 题 满分 10 分 ） 设 平面 区域 D 是 由 曲线 8 , 3 , 3 = + = = yxxyyx 所 围 成 ， 求 ? 18 ． （ 本 题 满分 10 分 ） 设 奇 函数 ) ( xf 在 [ ] 1 , 1 - 上 具有 二 阶 导 数 ， 且 1 ) 1 ( = f ， 证明 ： （ 1 ） 存在 ) 1 , 0 ( ξ ， 使得 ( ) 1 ' = ξ f ； （ 2 ） 存在 ) 1 , 1 ( - η ， 使得 1 ) ( ) ( = ' + ' ' η η ff ． 19 ． （ 本 题 满分 10 分 ） 求 曲线 ) 0 , 0 ( 133 = + - yxyxyx 上 的 点 到 坐标 原点 的 最长 距离 和 最 短 距离 ． 20 ． （ 本 题 满分 11 ） 设 函数 xxxf 1 ln ) ( + = 求 ) ( xf 的 最小 值 ； 设 数列 { } nx 满足 11 ln 1 = = + + + + ， 则 数列 { } nS 有 界 是 数列 { } na 收敛 的 ( ) ( A ) 充分 必要 条件 ( B ) 充分 非 必要 条件 ( C ) 必要 非 充分 条件 ( D ) 非 充分 也 非 必要 ( 4 ) 设 2 sind , ( 1 , 2 , 3 ) , kxkIexxk π = = ? 则 有 ( ) ( A ) 123 III 成立 的 一个 充分 条

排列 起来 , 使 排 在 背面 是 前 一 种 高 阶 无穷小 , 则 对 排列 次序 是 全国 硕士 硕士 入学 统一 考试 数学 二 试题 （ A ） （ B ） 一 . 填空 题 （ 本 题 共 6 小 题 ， 每 题 4 分 ， 满分 24 分 . 把 答案 填 在 题 中 横线 上 C ） （ D ） （ 1 ） 设 , 则 间断 点 为 . （ 8 ） 设 , 则 （ A ） 是 极值 点 , 但 不是 曲线 拐点 . （ 2 ） 设 函数 由 参数 方程 确定 , 则 曲线 向上 凸 （ B ） 不是 极值 点 , 不过 曲线 拐点 . 取值 范围 为 _ C ） 是 极值 点 , 且 是 曲线 拐点 . （ 3 ） _ D ） 不是 极值 点 , 也 不是 曲线 拐点 . （ 4 ） 设 函数 由 方程 确定 , 则 _ . （ 9 ） 等于 （ 5 ） 微分 方程 满足 特 解 为 _ . （ A B C D ） （ 6 ） 设 矩阵 , 矩阵 满足 , 其中 为 伴 （ 10 ） 设 函数 持续 , 且 , 则 存在 , 使得 随 矩阵 , 是 单位 矩阵 , 则 _ - . （ A ） 在内 单调 增长 . 二 . 选择 题 （ 本 题 共 8 小 题 ， 每 题 4 分 ， 满分 32 分 . 每 题 给 出 四 个 选项 中 ， 只有 一 项 符合 题目 规定 , 把 所 选项 前 字母 填 在 题 后 括号 内 B ） 在内 单调 减小 . （ 7 ） 把 时 无穷小 量 C ） 对 任意 有 . 得 , 则 满足 可逆 矩阵 为 （ D ） 对 任意 有 . （ A B 11 ） 微分 方程 特 解 形式 可 设 为 （ C D A B 14 ） 设 , 为 满足 任意 两 个 非 零 矩阵 , 则 必 有 （ C A ） 列 向量 组 线性 有关 , 行 向量 组 线性 有关 . （ D ） （ B ） 列 向量 组 线性 有关 , 列 向量 组 线性 有关 . （ C ） 行 向量 组 线性 有关 , 行 向量 组 线性 有关 . （ 12 ） 设 函数 持续 , 区域 , 则 等 （ D ） 行 向量 组 线性 有关 , 列 向量 组 线性 有关 . 于 三 . 解答 题 （ 本 题 共 9 小 题 ， 满分 94 分 . 解答 应 写 出 文字 阐明 、 证明 过程 或 演算 环 （ A ） . 节 15 ） （ 本 题 满分 10 分 ） （ B ） . 求 极限 . （ C D ） （ 13 ） 设 是 3 阶 方阵 , 将 第 1 列 与 第 2 列 互换 得 , 再 把 第 2 列加 到 第 3 列 （ 16 ） （ 本 题 满分 10 分 问 从 着陆 点 算 起 , 飞机 滑行 最长 距离 是 多少 ? 设 函数 在 （ ） 上 有 定义 , 在 区间 上 , , 若 注 表达 公斤 , 表达 千米 / 小时 . 对 任意 都 满足 , 其中 为 常数 . ( ) 写 出 在 上 体现 式 ; ( ) 问 为何 值 时 , 在 处 可 导 . （ 21 ） （ 本 题 满分 10 分 ） 设 , 其中 具有 持续 二 阶 偏 导 数 , 求 （ 17 ） （ 本 题 满分 11 分 ） . 设 , ( ) 证明 是 以为 周期 周期 函数 ; ( ) 求 值域 . （ 22 ） （ 22 ） （ 本 题 满分 9 分 ） （ 18 ） （ 本 题 满分 12 分 ） 设 有 齐 次 线性 方程 组 曲线 与 直线 及 围 成 一曲 边 梯形 . 该 曲 边 梯形 绕

一 、 选择 题 : 1 ~ 10 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 50 分 。 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选项 中 , 只有 一个 选项 是 最 符合 题目 要求 的 , 请 将 所 选项 前 的 字母 填 在 答题 纸 指定 位置 上 。 1 . 曲线 y = x \ ln ( e + \ frac { 1 } { x - 1 } ) 的 渐近 线 方程 为 ( ) 。 A . y = x + e B . y = x + 1 / e C . y = x D . y = x - 1 / e 2 . 函数 f ( x ) = \ cases { \ frac { 1 } { \ sqrt { 1 + x ^ { 2 } } } , x \ le 0 \ cr ( x + 1 ) \ cos x , x > 0 } 的 原 函数 为 ( ) 。 A . x _ { n } 是 y _ { n } 的 高 阶 无穷 小B . y _ { n } 是 x _ { n } 的 高 阶 无穷小 C . x _ { n } 是 y _ { 1 } 的 等价 无穷小 D . x _ { n } 是 y _ { n } 的 同 阶 但 非 等价 无穷小 4 . 已知 微分 方程 式 y ' ' + ay ' + by = 0 的 解 在 ( - \ infty , + \ infty ) 上 有 界 , 则 a , b 的 取值 范围 为 ( ) 。 A . a < 0 , b > 0 B . a > 0 , b > 0 C . a = 0 , b > 0 D . a = 0 , b < 0 5 . 设 函数 y = f ( x ) 由 \ cases { x = 2t + \ mid t \ mid \ cr y = \ mid t \ mid \ sin t } 确定 , 则 ( ) 。 A.f ( x ) 连续 , f ( 0 ) 不 存在 B . f ' ( 0 ) 存在 , f ' ( x ) 在 x = 0 处 不 连续 C . f ' ( x ) 连续 , f ' ( 0 ) 不 存在 D . f ” ( 0 ) 存在 , f " ( x ) 在 x = 0 处 不 连续 6 . 若 函数 f ( \ alpha ) = \ int _ { 2 } ^ { + \ infty } \ frac { 1 } { x ( \ ln x ) ^ { \ alpha + 1 } } dx 任 a = a _ { 0 } 处 取得 最小 值 , 则 a _ { 0 } = ( A . - \ frac { 1 } { \ ln ( \ ln 2 ) } B . - \ ln ( \ ln 2 ) C . - \ frac { 1 } { \ ln 2 } D . In 2 7 . 设 函数 f ( x ) = ( x ^ { 2 } + a ) e ^ { x } , 若 f ( x ) 没有 极值 点 , 但 曲线 y = f ( x ) 有 拐点 , 则 a 的 取值 范围 是 ( ) 。 A . [ 0 , 1 ) B . [ 1 , + \ infty ) C . [ 1 , 2 ) D . [ 2 , + \ infty ) 8 . 设 A , B 为 n 阶 可逆 矩阵 , E 为 n 阶 单位 矩阵 , M ^ { * } 为 矩阵 M 的 伴随 矩阵 , 则 ( \ matrix { A & E \ cr O & B } ) = ( \ matrix { ) 。 A . y _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } B . y _ { 1 } ^ { 2 } - y _ { 2 } ^ { 2 } C . y _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } - 4 y _ { 3 } ^ { 2 } D . y _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } - y _ { 3 } ^ { 2 } 10 . 已知 向量 \ alpha _ { 1 } = ( \ matrix { 1 \ cr 2 \ cr 3 } ) , \ alpha _ { 2 } = ( \ matrix { 2 \ cr 1 \ cr 1 } ) , \ beta _ { 1 } = ( \ matrix { 2 \ cr 5 \ cr 9 } ) , \ beta _ { 2 } = ( \ matrix { 1 \ cr 0 \ cr 若 γ 既 可 由 a _ { 1 } , a _ { 2 } 线性 表示 , 也 可 由 与 \ beta _ { 1 } , \ beta _ { 2 } 线性 表示 ， 则 \ gamma = ( ) 。 A 、 k ( \ matrix { 3 \ cr 3 \ cr 4 } ) , k \ in R B . k ( \ matrix { 3 \ cr 5 \ cr 10 } ) , k \ in R C . ( \ matrix { - 1 \ cr 1 \ cr 2 } ) , k \ in R D . k ( \ matrix { 1 \ cr 5 \

一 、 选择 题 ： 1 \ sim 10 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 50 分 . 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选项 中 , 只有 一个 选项 是 最 符合 题目 要求 的 , 请 将 所 选项 前 的 字母 填 在 答题 纸 指定 位置 上 . 1 . 当 x \ rightarrow 0 时 ， α ( x ) ， β ( x ) 是非 零 无穷小 量 ， 给 出 以下 四 个 命题 ： 若 \ alpha ( x ) \ sim \ beta ( x ) , 则 \ alpha _ { 2 } ( x ) \ sim \ beta _ { 2 } ( x ) ; 若 \ alpha ( x ) - \ beta ( x ) \ sim o ( \ alpha ( x 则 \ alpha ( x ) \ sim \ beta ( x ) , 其中 所有 真 命题 的 序号 是 ( 解析 】 \ alpha ( x ) = 1 - \ cos x , \ beta ( x ) = \ frac { 1 } { 2 } x2 , 排除 ， 故 选 D . \ frac { 1 } { 3 } C . \ frac { 2 } { 3 } 【 答案 】 D . 【 解析 】 交换 积分 次序 后 可 得 \ int _ { 0 } ^ { 2 } dy \ int _ { y } ^ { 2 } \ frac { y } { \ sqrt { 1 + x ^ { 3 } } } dx = \ int _ { 0 } ^ { 2 } dx \ int _ { 0 } ^ { x } \ frac { y } { = \ int _ { 0 } ^ { 2 } \ frac { x2 } { 2 \ sqrt { 1 + x3 } } dx = \ frac { 2 } { 3 } \ int _ { 0 } ^ { 2 } \ frac { 1 } { \ sqrt { 1 + x ^ { 3 } } } d ( x _ { 3 } + 1 ) = \ frac { 2 } { 3 } . 3 . 设 函数 f ( x ) 在 x = x _ { 0 } 处 有 2 阶 导 数 , 则 A . 当 f ( x ) 在 x 。 的 某 邻域 内 单调 增加 时 , f \ cdot ( x _ { 0 } ) > 0 B . 当 f ' ( x _ { 0 } ) > 0 时 ， f ( x ) 在 x _ { 0 } 的 某 邻域 内 单调 增加 1 C . 当 f ( x ) 在 x _ { 0 } 的 某 邻域 内 是 凹函数 时 , f ' ' ( x _ { 0 } ) > 0 D . 当 f ' ' ( x _ { 0 } ) > 0 , f ( x ) 在 x _ { 0 } 的 某 邻域 内 是 凹函数 【 答案 】 B . 【 解析 】 因 f ( x ) 在 x = x _ { 0 } 处 有 2 阶 导 数 ， 则 f ' ' ( x _ { 0 } ) = \ lim _ { x \ rightarrow x _ { 0 } } \ frac { f ' ( x ) - f ' ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } 存在 \ lim _ { x \ rightarrow x _ { 0 } } f ' ( x ) = f ' ( x _ { 0 } ) , f ' ( x _ { 0 } ) > 0 时 , 由 极限 的 局部 保 号 性 得 , \ exists \ delta > 0 , x \ in U ( x , \ delta ) , 有 f ' ( x ) > 0 , 即 x \ in U ( x _ { 0 } , \ delta ) , 有 f ' ( x ) > 0 , 故 f ( x ) 在 x = x _ { 0 } 的 某 邻域 内 单调 增加 , 选 B . . 当当 4 . 设 函数 f ( t ) 连续 , 令 F ( x , y ) = \ int _ { 0 } ^ { x - y } ( x - y - t ) f ( t ) dt , 则 ( ) . 5 . 设 p 为 常数 , 若 反常 积分 \ int _ { 0 } ^ { 1 } \ frac { \ ln x } { xp ( 1 - x ) ^ { 1 - p } } dx 收敛 , 则 p 的 取值 范围 是 ( ) A . ( - 1 , 1 ) B . ( - 1 , 2 ) C . ( - \ infty , 1 ) D . ( - \ infty , 2 ) \ exists \ delta > 0 , 2 【 答案 】 A 【 解析 】 当 p = 1 时 ， \ int _ { 0 } ^ { 1 } \ frac { \ ln x } { xp ( 1 - x ) ^ { 1 - p } } dx = \ int _ { 0 } ^ { 1 } \ frac { \ ln x } { x } dx 发散 , 排除 B 和 D ; 当

2023 年 全国 硕士 研究 生 招生 考试 《 数学 二 》 真题 试卷 【 完整 版 】 一 、 选择 题 ： 110 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50 分 。 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选项 中 ， 只有 一个 选项 是 最 符合 题目 要求 的 ， 请 将 所 选项 前 的 字母 填 在 答题 纸 指定 位置 上 。 的 渐近 线 方程 为 1 ． 曲线 1 l n 1 yxexA ． yx 1 / e 1 , 0 x21 fxx 2 ． 函数 的 原 函数 为 1 cos , 0 xxx 2 l n 1 , 0 xxxFxA ． 设 数列 { xn } ， { yn } 满足 x1 y 11 / 2 ， xn 1 sinxn ， yn 1 ynA ． xn 是 yn 的 高 阶 无穷 小B ． yn 是 xn 的 高 阶 无穷小 C ． xn 是 yn 的 等价 无穷小 D ． xn 是 yn 的 同 阶 但 非 等价 无穷小 4 ． 已知 微分 方程 式 yayby 0 的 解 在 上 有 界 ， 则 a ， b 的 取值 范围 为 a0 ， b0 B ． a0 ， b0 C ． a0 ， b0 D ． a0 ， b0 2 xtt 5 ． 设 函数 yf （ x ） 由 确定 ， 则 f （ x ） 连续 ， f （ 0 ） 不 存在 B ． f （ 0 ） 存在 ， f （ x ） 在 x0 处 不 连续 C ． f （ x ） 连续 ， f （ 0 ） 不 存在 D ． f （ 0 ） 存在 ， f （ x ） 在 x0 处 不 连续 1 dfx 在 α α 0 处 取得 最小 值 ， 则 α 0 若 函数 12 lnxx 1A ． 1 ln 2D ． ln 2 7 ． 设 函数 f （ x ） （ x 2a ） ex ， 若 f （ x ） 没有 极值 点 ， 但 曲线 yf （ x ） 有 拐点 ， 则 a 的 取值 范围 是 [ 0 ， 1 ） B ． [ 1 ， 2 ） D ． [ 2 ， ） * AE 8 ． 设 A ， B 为 n 阶 可逆 矩阵 ， E 为 n 阶 单位 矩阵 ， M * 为 矩阵 M 的 伴随 矩阵 ， 则 * 0 AB 9 ． 二次型 f （ x1 ， x2 ， x3 ） （ x1 x2 ） 2 （ x1 x3 ） 24 （ x2 x3 ） 2 的 规范 形 为 y 12 y 22 B ． y 12 y 22 C ． y 12 y 224 y 32 D ． y 12 y 22 y 3122110 ． 已知 向量 2 , 1 , 5 , 0 α α β β ， 若 γ 既 可 由 α 1 ， α 2 线性 表示 ， 也 可 由 与 β 1 ， β 212123191 线性 表示 ， 则 γ 35 , kkR 10C ． 11 , kkR 21 D ． 5 , kkR 8 二 、 填空 题 ： 1116 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 30 分 。 请 将 答案 写 在 答题 纸 指定 位置 上 。 11 ． 当 x0 时 ， 函数 f （ x ） axbx 2 ln （ 1 x ） 与 2 cosxgxex 是 等价 无穷小 ， 则 ab . 3 dxytt 12 ． 设 函数 zz （ x ， y ） 由 ezxz 2 xy 确定 ， 则 . zx 1 , 114 ． 曲线 3 x3 y 5 2 y3 在 x1 对应 点 处 的 法 线 斜率 为 . 15 ． 设 连续 函数 f （ x ） 满足 f （ x2 ） f （ x ） x ， 2 fxd = 0 x ， 则 3 fxdx . 01 三 、 解答 题 ： 1722 小 题 ， 共 70 分 。 解答 应 写 出 文字 说明 、 证明 过程 或 演算 步骤 。 17 ． （ 本 题 满分 10 分 ） 设 曲线 L ： yy （ x ） （ xe ） 经过 点 （ e2 ， 0 ） ， L 上任 一点 P （ x ， y ） 到 y轴 的 距离 等于 该 点 处 的 切线 在 y轴 上 的 截距 . （ 1 ） 求 y （ x 2 ） 在 L 上 求 一点 ， 使 该 点 的 切线 与

介绍 本 篇 文档 将 对 2023 年 的 数学 二 真题 进行 详细 解析 。 通过 解析 真题 ， 我们 将 探讨 数学 二 考试 的 题型 特点 、 解题 技巧 以及 常见 错误 类型 。 希望 本文 能 帮助 同学 们 更 好 地 理解 数学 二 考试 ， 并 提供 一些 备考 建议 。 题型 特点 在 2023 数学 二 真题 中 ， 我们 可以 观察 到 以下 的 题型 特点 ： 1 . 综合 题 ： 数学 二 考试 中 经常 会 出现 综合 题 ， 即将 多 个 不同 的 数学 概念 或 知识 点 融合 在 一起 进行 考察 。 这些 题目 需要 考生 综合 运用 知识 ， 灵活 运用 解题 技巧 。 2 . 应用 题 ： 数学 二 考试 中 的 应用 题 较 多 ， 例如 与 实际 问题 相关 的 函数 模型 、 几何 问题 等 。 这些 题目 需要 考生 将 数学 知识 应用 到 实际 问题 中 ， 提供 合理 的 解决 方案 。 3 . 算式 题 ： 在 数学 二 考试 中 ， 算式 题 占 比较 高 ， 包括 代数 运算 、 四 则 运算 、 根式 计算 等 。 这些 题目 考察 考生 对 基本 概念 和 计算 技巧 的 掌握 程度 。 解题 技巧 针对 不同 的 题型 特点 ， 我们 可以 采取 一些 解题 技巧 ， 提高 解题 效率 。 以下 是 一些 常用 的 解题 技巧 ： 11 . 熟练 掌握 基本 概念 和 公式 ： 数学 考试 中 基本 概念 和 公式 的 掌握 非常 重要 。 在 备考 阶段 ， 要 重点 复习 基本 的 数学 概念 和 公式 ， 并 熟练 运用 它们 解题 。 2 . 注意 题目 的 关键 词 ： 在 解题 过程 中 ， 要 注意 题目 中 的 关键 词 ， 这些 关键 词 往往 能够 提供 一些 线索 ， 帮助 我们 理解 题意 ， 并 选择 正确 的 解题 方法 。 3 . 灵活 应用 解题 技巧 ： 数学 二 考试 中 ， 有 许多 常用 的 解题 技巧 ， 例如 代 入 法 、 降幂 法 、 加 减 消 元 法 等 ， 我们 需要 灵活 地 运用 这些 技巧 ， 找到 合适 的 解题 思路 。 4 . 多 做 真题 和 模拟 题 ： 通过 多 做 真题 和 模拟 题 ， 我们 可以 熟悉 考试 题型 和 解题 思路 ， 提高 解题 速度 和 准确 性 。 同时 ， 通过 分析 解析 真题 的 过程 ， 我们 能够 发现 自己 的 薄弱 环节 ， 并 进行 针对 性 的 复习 。 常见 错误 类型 在 数学 二 考试 中 ， 我们 容易 犯 一些 常见 的 错误 ， 以下 是 一些 需要 注意 的 错误 类型 ： 1 . 计算 错误 ： 数学 考试 中 经常 需要 进行 复杂 的 计算 ， 而 计算 错误 是 一个 常见 的 错误 类型 。 在 计算 过程 中 ， 要 仔细 、 有 耐心 ， 避免 疏忽 和 计算 错误 的 出现 。 2 . 题意 理解 错误 ： 有些 题目 的 题意 较为 复杂 ， 容易 理解 错误 。 在 做 题 时 ， 要 认真 阅读 题目 ， 理解 题意 ， 确保 自己 正确 理解 题目 的 要求 。 23 . 解题

2018 年 考研 数学 二 真题 及 答案 解析 一 、 选择 题 ( 4 分 ) 1 . 若 \ lim _ { x \ rightarrow 0 } ( e ^ { x } + ax ^ { 2 } + bx ) ^ { \ frac { 1 } { x ^ { 2 } } } = 1 A 、 a = \ frac { 1 } { 2 } , b = - 1 B 、 a = - \ frac { 1 } { 2 } , b = - 1 C 、 a = \ frac { 1 } { 2 } , b = 1 D . a = - \ frac { 1 } { 2 } , b = 1 【 答案 】 B 2 . 下列 函数 可 导 的 是 ( ) ( A ) f ( x ) = \ mid x \ mid \ sin \ mid x \ mid ( B ) f ( x ) = \ mid x \ mid \ sin \ sqrt { \ mid x \ mid } ( C ) f ( x ) = \ cos \ mid x \ mid ( D ) f ( x ) = \ cos \ sqrt { \ mid x \ mid }

( ) 求 可逆 矩阵 P 与 对 角 矩阵 ， 使得 1 PAP . 2023 年 答案 及 解析 （ 数学 二 ） 一 、 选择 题 : 110 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 50 分 , 下列 每 题 给 出 的 四 个 选项 中 , 只有 一个 选项 是 符合 题目 要求 的 ， 请 将 所 选 选项 前 的 字母 填 在 答题 卡 指定 位置 ． 若 1 , 2CC 都 不 为 零 ， 则 微分 方程 的 解 1212 当 240 ab 时 ， 特征 方程 有 两 个 相同 的 实 根 ， 1 , 22a ， 5 axaxyCeCxe 在 ( , ) 无界 ； 若 20C ， 则 微分 方程 的 解 221224 当 240 ab 时 ， 特征 方程 的 根 为 1 , 222 abai ， 222 axbabayeCxCx ， 则 通 解 为 1244 ( cossin ) 22 此时 ， 要 使 微分 方程 的 解 在 ( , ) 有 界 ， 则 0 a ， 再 由 240 ab ， 知 0 . b ( 5 ) 【 答案 】 ( C ) xtdyttt 【 解析 】 1 ) 当 0 t 时 ， ； 3 sincos , sin 3 yttdxxtdyttt 当 0 t 时 ， ； sincos , sin 1 yttdx 当 0 t 时 ， 因为 ； 000 sin ' 0 limlim 03 xtfxfttfxt 0 sin ' 0 limlim 000 xtfxfttfxt 所以 ' 00 f . ttttttfxffxf 2 ) 0000 sincossincoslim ' lim 0 ' 0 ; lim ' lim 0 ' 0 ; 33 xtxtlim ' ' 00 fxf 所以 ， 即 ' fx 在 0 x 连续 . 0 x3 ) 当 0 t 时 ， 因为 ； 00 ' ' 0 sincos 2 ' ' 0 limlim 339 xtfxftttfxt ' ' 0 sincos ' ' 0 limlim 200 xtfxftttfxt 所以 ' ' f 0 不 存在 . ( 6 ) 【 答案 】 ( A ) 11111 ( ) fdxlnlnln 2 xxx 【 解析 】 当 0 时 122111 lnln 21111 ' ( ) lnln 20 f ， 即 0 ln 2 ln 2 ln 2 所以 2 lnln 2 . 6 ( 7 ) 【 答案 】 ( C ) 【 解析 】 222 ( ) , ' ( ) 2 ' ( ) 42 xxxfxxaefxxaxefxxxae ， ， 由于 ( ) fx 无极 值 点 ， 所以 44 a0 ， 即 1a ； 由于 ( ) fx 有 拐点 ， 所以 16420 a ， 即 2a ； 令 0 X ， 则 Yx . 故 切线 与 两 坐标 轴 所 围 三角形 面积 为 211 ( ) 22 ln 12 ( ln 1 ) xxSxXYxxx ， . 令 ( ) Sx 0 ， 得 驻点 32 xe . 则 2 ( 2 l n 3 ) ( ) 2 ( ln 1 ) xxSxx 932 exe 时 ， ( ) Sx 0 ； 当 32 xe 时 ， ( ) 0 Sx ， 故 ( ) Sx 在 32 xe 处 取得 极 小 值 ， 同时 也 取 当 33 ( 2 Se ) e . 最小 值 ， 且 最小 值 为 ( 18 ) cosy 0 fexx 【 解析 】 ， 得 驻点 为 ： 1 ( , ) ek ， 其中 k 为 奇数 ； ( , ) ek ， 其中 k 为 cosy ( sin ) 0 fxeyy 偶数 . 1 fxxy ( sin ) fey 则 cosxycos 2 cosyysin ( cos ) fxeyxeyyy 1 Afxx 0 Bf 代 入 1 ( , ) ek ， 其中 k 为 奇数 ， 得 ， 20 ACB ， 故 1 ( , ) ek 不是 极值 点 ； 则 21 ffafaaa 1 ( ) ( ) ( 0 ) , 02 ! 22 ffafaaa 2 ( ) ( ) ( 0 ) , 02 ! + 得 ： 212 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 afafaff 又 ( ) fx 在 21 , 上 连续 ， 则 必 有 最大 值 M 与 最小 值 m ， 即 ffmM 12 ; mfMmfM 从而 12 ; ffafxaxa 则 21001 ( ) ( ) ( ) , 02 ! 1122 ffafxaxa 002 ( ) ( ) ( ) , 02 ! 011000111104231013 EA 22 时 ， 2 ， 可 得 特征 向量 2 ( 4 , 3 , 1 ) T ； 01300012211201201010 EA 31 时 ， 3 ， 可 得 特征 向量 3 ( 1 , 0 , 2 ) T ； 010000041200 ( 130020 PPAP . ， 则 1 令 1231120011314