2024年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题解析一、选择题:1~10小题，每小题5分,共50分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 【答案】(C) 【解析】无定义的点为1,2，0 故选C. x1t 3 2) （2）设函数y f(x)由参数方程确定，则lim[(2 x ff (2)]（） yte 2 xx 4e 2e e (A)e 2 (B)3 (C)3 (D)3 【答案】（B） dy dt e t 2 2 t e 2 t 2 【解析】容易看出函数f(x)可导，且f( x )，当xt2, 1时，f( 2)e，dx 3 t 2 t1 3dt 2f2f (2) 所以 x lim  x f  2 2 x   f (2)2 lim  x x 2 2 f__ (2) 4 3 e， x 故选B （3）设函数f () xsin x sin t dt g x 3 ,()x f t dt ()，则（） 0 0 (A) f(x)是奇函数，g(x)是奇函数 (B) f(x)是奇函数，g(x)是偶函数 (C) f(x)是偶函数，g(x)是偶函数 (D) f(x)是偶函数，g(x)是奇函数【答案】（D） x【解析】令h () xsin3 t dt，此时h(x)是一个偶函数，所以，f x ()h (sin ) x为偶函数，从而g (x) 0 为奇函数，故选D. （4）已知数列(0)，若发散，则（）an an an （ A）    a n a 1 n    发散（ B）    a n a 1 n    发散（ C）   e a ne 1 a n    发散（ D）   e a ne 1 a n    发散【答案】（D） 1 51 【解析】对于A选项，令a n2,1 22, ,ua n n____ a __ 2，所以a n a收敛； nn  11 对于B选项，令an（1）n 1，此时u na na0，所以a n a收敛； nn  对于C选项，令a（1），n ue a nea ne e1收敛，故选D。n n  ( x 2y 2 )sin1,0 （5）已知函数f x y ( ,)xy xy，则在点（00,）处（）0 , xy0 f ( x y ,)f ( x y ,) （ A）连续，f x y (,)可微（ B）连续，f x y (,)不可微 xx f ( x y ,)f ( x y ,) （ C）不连续，f x y (,)可微（ D）不连续，f x y (,)不可微 xx 【答案】（C） f xf ( 00,) 0 【解析】（00,）点处，f( 00,)lim (0,)lim0 0，同理x x0 x x0 x f 0,) yf ( 00,), x 22 y f( 00,)lim ( x0时，f( x y ,)2 sin1 xcos 1；因y y0 y x xy x 2 y xy ( x 2y 2 )sin1 f (,)f ( 00,)f ( 00,) xf ( 00,) y xy lim x ylim ( x y ,)(0, 0) (,) x y (0, 0) limsin10 ( x ,) y (0, 0) xy 故f x y (,)在（00,）点处可微，排除B和C；当（ x y ( 00,)时，f x y极限不存在，故f x y在x x（00,）点处不连续，故选C. sin x 6 1 arcsin y 1 （ A）1 dyf x y dx （B 1 dy arcsin 2 y f x y dx ( ,) 2 6 2 1 arcsin y 1 （ C）2 dy f x y dx （D 2 dy 2 f x y dx ( ,) 6 【答案】（A）  【解析】积分区域为D：x sin xy 1，故交换积分次序得6 2, 1 1 arcsin y2 dx sin x f x y dy ( ,)1 dyf x y dx (,)，故选A. 6 2 6 （7）设非负函数f(x)在0，上连续，给出以下三个命题： ①若f x2 ()收敛，则f(x)收敛. 0 0 ②若存在p 1，使得lim xp f x ()存在，则f x ( )收敛. x0 ③若f x ( )收敛,则存在p 1，使得lim xp f x ()存在. 0 x 其中真命题个数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】（B）【解析】若f () x 1 ,f 2 () x dx 1 2 dx收敛，但1 dxln( 1x )0 ，故①错误. x1 0 01x0 1x 1 当p1时，__收敛，由于lim xp f x ()存在，故根据比较判别法，可知f x dx ( )收敛，故0 xpdx x 0 ②正确. ( x1)ln( 2 x1) x 1 0 0a 2 c 0 c(8)设A为3阶矩阵，P0 1 0，若PT AP 20 b 0，则A=（） 1 0 12 c 0 c c 0 0b 0 0a 0 0c 0 0（A）0 a 0（B）0 c 0（C）0 b 0（D）0 b 0 0 0 b0 0 a0 0 c0 0 a【答案】（C） a 2 c 0 ca 2 c 0 c【解析】由PT AP 2  0 b 0 ，则AP T1 0 b 0 P 21 2 c 0 c2 c 0 c1 01a 2 c 0 c1 0 02a 0 0 =0 1 00 b 00 1 00 b 0，故选（C）.0 0 12 c 0 c1 0 10 0 c （9）设A为4阶矩阵，A 为A 的伴随矩阵，若A A (A ) 0，且A A,则r A取值为（）（A）0或1 （B）1或3（C）2或3 （D）1或2 【答案】（D）（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件【答案】（B）【解析】设A,同左乘B 得BAB，即ABB，①若B0 ,则B为A 对应于的特征向量，则Bk(k 0)，则为B 对应于k的特征向量。②若B0 ,则若B0,则为B 对应于0的特征向量，综上：必为B 的特征向量，即A的特征向量都是B 的特征向量，同理B 的特征向量都是A 的特征向量。所以“A 有两个不相等的特征值”，故A 有两个线性无关特征向量，所以B 有两个线性无关特征向量，故“B 可对角化”，反之不对，例如11A，BAB BA , ,“B 可对角化”，但是A的特征值是重根.故选（B）12 二、填空题：11~16小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上。（11）曲线y 2 x在（00,）处的曲率方程为________ 【答案】x 1 2 y 2 1 或x 2x y 20 24 xy 2 x(t yt xtyt()() 【解析】曲线的参数方程为，由曲率公式K得：在00,处的曲率 yyx2 ( t )y 2 () t3 2 10, 1K 2 ,则处的曲率半径0, 0 R ,又曲线在0 0,处的切线为y轴，则曲率中心为，故曲率圆的22 方程为x 1 2 y 2 1 ，即x 2x y 20。 24 （12）函数f x y (,)2 x 39 x 26 y 412 x24 y的极值点是________【答案】（1,1） f x( x y ,)6 x 218 x120 【解析】由得驻点11,和2 1, f y( x y ,)24 y 3240 f(xy,)12 x18，f(xy,)722 y，f(xy,)0 xx yy xy 对于驻点11,：A6, B0, C72 ,由AC B20且A 0可知，驻点11,是f x y (,)的极小值点；

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2024年考研数学二真题及答案解析参考

（1）函数2))(1(1()xxxfx的第一类间断点的个数是（）(A)3(B)2(C)1(D)0【答案】(C)【解析】无定义的点为1,2，0111x，所以第一类间断点的个数是1个，2))(1(2))(1(2))(1(exxxlimxxlimxxlim，x，1x20xx故选C.31tx(2)]2)lim[(2f（2）设函数yf(x)由参数方程确定，则（）2xfxxtey4e2ee(A)e2(B)3(C)3(D)3【答案】（B）22ttte2)(22)(xftef【解析】容易看出函数f(x)可导，且t12，23332t，当12,xt时，etdtdxdtdy(2)22fxf2lim(2)22lim所以ef，fxfxxx34(2)22x故选B3sinxxftdttdtgxxf(),()sin()，则 3）设函数00(A)f(x)是奇函数，g(x)是奇函数(B)f(x)是奇函数，g(x)是偶函数(C)f(x)是偶函数，g(x)是偶函数(D)f(x)是偶函数，g(x)是奇函数【答案】（D）xtdtxhsin3()，此时h(x)是一个偶函数，所以，(sin)()xhfx为偶函数，从而(x)g【解析】令0为奇函数，故选D.（4）已知数列0)(anan，若an发散，则（）aann（A）发散（B）发散（C）发散（D）发散aaee1ee1naa1naa1nnnn-1-【答案】（D）收敛；【解析】对于A选项，令251,22,2,1nnnaaua，所以naa1nn对于B选项，令11n收敛；an 此时01nnaau，所以naa1nnn对于C选项，令11eeeeuannaan 收敛，故选D。

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