一 、 选择 题 （ 共 8 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 40 分 ） 1 . 设 函数 $ f ( x ) $ 在 闭 区间 $ [ a , b ] $ 上 可 导 ， 且 $ f ^ \ prime ( a ) = f ^ \ prime ( b ) = 0 $ ， 则 在 开 区间 $ ( a , b ) $ 内 至少 存在 一点 $ c $ ， 使得 （ ） 2 . 设 函数 $ f ( x ) $ 在 闭 区间 $ [ 0 , 1 ] $ 上 可 微 ， 且 $ f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0 $ ， $ f ^ \ prime ( 1 ) = 1 $ ， 则 （ ） A . $ _ 0 ^ 1 f ( x ) dx < 0 $ B . $ _ 0 ^ 1 f ( x ) dx > 0 $ C . $ _ 0 ^ 1 f ( x ) dx = 0 $ D . 以上 结论 都 不 正确 3 . 设 函数 $ f ( x ) $ 在 闭 区间 $ [ a , b ] $ 上 连续 ， 在 开 区间 $ ( a , b ) $ 内 可 导 ， 且 $ f ^ \ prime ( x ) > 0 $ ， 则 （ ） 4 . 设 函数 $ f ( x ) $ 在 闭 区间 $ [ 0 , 1 ] $ 上 连续 ， 在 开 区间 $ ( 0 , 1 ) $ 内 可 导 ， 且 $ _ 0 ^ 1 f ( x ) dx = 0 $ ， 则 （ ） A . 存在 $ c \ in ( 0 , 1 ) $ ， 使得 $ f ( c ) = 1 $ B . 对 任意 $ c \ in ( 0 , 1 ) $ ， 都 有 $ f ( c ) < 1 $ C . 存在 $ c \ in ( 0 , 1 ) $ ， 使得 $ f ( c ) - f ( c ^ 2 ) = c $ D . 对 任意 $ c \ in ( 0 , 1 ) $ ， 都 有 $ f ( c ) - f ( c ^ 2 ) > c $ 5 . 设 函数 $ f ( x ) $ 在 闭 区间 $ [ 0 , 1 ] $ 上 具有 二 阶 导 数 ， 且 $ f ^ \ prime ( 0 ) = f ^ \ prime ( 1 ) = 0 $ ， $ f ( 1 ) = 1 $ ， 则 （ ） A . 存在 $ c \ in ( 0 , 1 ) $ ， 使得 $ f ( c ) = c $ B . 对 任意 $ c \ in ( 0 , 1 ) $ ， 都 有 $ f ( c ) < c $ C . 存在 $ c \ in ( 0 , 1 ) $ ， 使得 $ f ( c ) > c $ D . 对 任意 $ c \ in ( 0 , 1 ) $ ， 都 有 $ f ( c ) \ leqslant c $ 6 . 设 函数 $ f ( x ) $ 在 闭 区间 $ [ 0 , 1 ] $ 上 可 微 ， 且 $ f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0 $ ， $ f ^ \ prime ( 1 ) = 1 $ ， 则 （ ） A . $ _ 0 ^ 1 xf ( x ) dx = \ frac { 1 } { 2 } $ B . $ _ 0 ^ 1 xf ( x ) dx = - \ frac { 1 } { 2 } $ C . $ _ 0 ^ 1 ( x ^ 2 - f ( x ) ) dx = \ frac { 1 } { 2 } $ D . $ _ 0 ^ 1 ( x ^ 2 - f ( x ) ) dx = - \ frac { 1 } { 2 } $ 7 . 设 函数 $ f ( x ) $ 在 闭 区间 $ [ 0 , 1 ] $ 上 可 微 ， 且 $ f ^ \ prime ( x ) \ geqslant 0 $ ， 则 （ ） A . $ f ( 0 ) < 0 $ B . $ f ( 1 ) > 0 $ C . $ f ( 1 ) - f ( 0 ) > f ^ \ prime ( 1 ) ( 1 - 0 ) $ D . $ f ( 1 ) - f ( 0 ) < f ^ \ prime ( 1 ) ( 1 - 0 ) $ 8 . 设 函数 $ f ( x ) $ 在 闭 区间 $ [ 0 , 1 ] $ 上 具有 二 阶 导 数 ， 且 $ f ^ \ prime ( 0 ) = f ^ \ prime ( 1 ) = 0 $ ， $ f ( 1 ) = 1 $ ， 则 （ ） A . 存在 $ c \ in ( 0 , 1 ) $ ， 使得 $ f ( c ) = c $ B . 对 任意 $ c \ in ( 0 , 1 ) $ ， 都 有 $ f ( c ) < c $ C . 存在 $ c \ in ( 0 , 1 ) $ ， 使得 $ f ( c ) > c $ D . 对 任意 $ c \ in ( 0 , 1 ) $ ， 都 有 $ f ( c ) \ leqslant c $ 二 、 填空 题 （ 共 6 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 30 分 ） 1 . 设 函数 $ f ( x ) $ 在 闭 区间 $ [ 0 , 1 ] $ 上 可 微 ， 且 $ f ( 0 ) = f ( 1

考研 数学 题型 分值 1 、 试卷 结构 选择 题 ： 8 题 ( 每 题 4 分 ) ; 填空 题 ： 6 题 ( 每 题 4 分 ) ; 解答 题 ： 9 题 ( 每 题 10 分 左右 ) ; 满分 150 分 ， 考试 时间 3 小时 。 2 、 考试 科目 及 分值 高等 数学 ： 84 分 ， 占 56 % ( 4 道 选择 题 ， 4 道 填空 题 ， 5 道 大 题 ) ; 线性 代数 ： 33 分 ， 占 22 % ( 2 道 选择 题 ， 1 道 填空 题 ， 2 道 大 题 ) ; 概率 论 与 数理 统计 ： 33 分 ， 占 22 % ( 2 道 选择 题 ， 1 道 填空 题 ， 2 道 大 题 ) 。 注意 ： 数学 二 不 考 概率 论 与 数理 统计 ， 这 一 科 的 分值 和 试题 全 加 到 高等 数学 中 。 3 、 考试 特点 总分 150 分 ， 在 公共 课 中 所 占 分值 大 ， 全国 平均 分 在 70 左右 ， 分数 之间 差距 较 大 ; 注重 基础 ， 遵循 考试 大纲 出题 ， 考查 公式 定理 ， 知识 点 固定 ; 注重 高 质量 的 考点 训练 与 题型 总结 。 考研 数学 答题 方式 答题 的 时间 分配 一般 可以 按照 如下 方式 ： 选择 题 和 填空 题 约 1 小时 ， 解答 题 约 1 小时 40 分钟 ， 预留 20 分钟 检查 和 补 做 前面 未 做 的 题 ， 以及 作为 机动 和 回旋 余地 。 选择 题 和 填空 题 每 题 一般 花 4 ~ 5 分钟 ， 如果 一道 题 3 分钟 仍 无 思路 则 应 跳 过 。 解答 题 每 题 一般 花 11 分钟 左右 ， 一道 题 如果 4 ~ 5 分钟 仍 一筹莫展 ， 则 应 跳 过 ， 暂时 放弃 。 2024 考研 备考 需要 多久 国内 考研 战线 长 、 竞争 大 、 难度 高 ， 因此 大 部分 学生 会 从 大三 就 开始 准备 考研 科目 的 复习 ， 考研 的 时间 安排 一般 也 要 预留 半年 到 一 年 ， 具体 规划 包括 3 月 - 6 月 ： 确定 考研 目标 院校 和 专业 ， 准备 好 考研 资料 ， 可以 开始 进入 英语 、 数学 复习 ; 7 月 - 8 月 ： 暑假 期间 主要 针对 基础 复习 或 强化 复习 ， 开始 进入 专业 课程 复习 ; 9 月 - 10 月 ： 结合 新 出 的 考研 大纲 查 漏 补缺 ， 开始 进入 政治 课程 复习 ; 11 月 ： 政治 、 英语 、 数学 、 专业 课 进入 冲刺 复习 ， 关注 考试 题型 的 预测 信息 ; 12 月 ： 模拟 实 训 ， 查 漏 补缺 ， 做好 考前 准备 。

2024 数 二 真题 无 答案 版

2024 年 数学 二 试卷 及 答案

2024 年 新 课标 II 卷 普通 高等 学校 招生 全国 统一 考试 数学 本 试卷 共 10 页 ， 19 小 题 ， 满分 150 分 . 注意 事项 ： 1 . 答题 前 ， 先 将 自己 的 姓名 、 准 考 证 号 、 考场 号 、 座位 号 填写 在 试卷 和 答题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条形 码 粘贴 在 答题 卡 上 的 指定 位置 . 2 . 选择 题 的 作答 ： 每 小 题 选出 答案 后 ， 用 2B 铅笔 把 答题 卡 上 对应 题目 的 答案 标号 涂 黑 . 写 在 试卷 、 草稿 纸 和 答题 卡 上 的 非 答题 区域 均 无效 . 3 . 填空 题 和解 答题 的 作答 ： 用 黑色 签字 笔 直接 答 在 答题 卡 上 对应 的 答题 区域 内 . 写 在 试卷 、 草稿 纸 和 答题 卡 上 的 非 答题 区域 均 无效 . 4 . 考试 结束 后 ， 请 将 本 试卷 和 答题 卡 一并 上交 . 一 、 单项 选择 题 ： 本 大 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 40 分 . 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选项 中 ， 只有 一个 选项 是 正确 的 ． 请 把 正确 的 选项 填涂 在 答题 卡 相应 的 位置 上 . 1 . 已知 ， 则 （ ） A . 0 B . 1 C . D . 22 . 已知 命题 p 命题 q 则 （ ） A . p 和 q 都 是 真 命题 B . 和 q 都 是 真 命题 C . p 和 都 是 真 命题 D . 和 都 是 真 命题 3 . 已知 向量 满足 ， 且 ， 则 （ ） A . B . C . D . 14 . 某 农业 研究 部门 在 面积 相等 的 100 块 稻田 上 种植 一 种 新型 水稻 ， 得到 各 块 稻田 的 亩 产量 （ 单位 ： kg ） 并 部分 整理 下 表 亩产 [ 900 ， 950 [ 950 ， 1000 [ 1000 ， 1050 [ 1100 ， 1150 [ 1150 ， 1200 量 频数 612182410 据 表 中 数据 ， 结论 中 正确 的 是 （ ） 1A . 100 块 稻田 亩 产量 的 中 位 数 小于 1050 kgB . 100 块 稻田 中 亩 产量 低于 1100 kg 的 稻田 所 占 比例 超过 80 % C . 100 块 稻田 亩 产量 的 极 差 介于 200 kg 至 300 kg 之间 D . 100 块 稻田 亩 产量 的 平均 值 介于 900 kg 至 1000 kg 之间 5 . 已知 曲线 C 从 C 上 任意 一点 P 向 x轴 作 垂 线段 ， 为 垂足 ， 则 线段 的 中点 M 的 轨迹 方程 为 （ ） A B C D 6 . 设 函数 ， ， 当时 ， 曲线 与 恰 有 一个 交点 ， 则 （ ） A . B . C . 1D . 27 . 已知 正 三 棱台 的 体积 为 则 与 平面 ABC 所 成 角 的 正 切 值 为 （ ） A . B . 1 C . 2D . 38 . 设 函数 ， 若 ， 则 的 最小 值 为 （ ） A . B . C . D . 1 二 、 多 项 选择 题 ： 本 大 题 共 3 小 题 ， 每 小 题 6 分 ， 共 18 分 . 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选项 中 ， 有 多 项 符合 题目 要求 . 全部 选 对 得 6 分 ， 选 对 但 不 全 的 得 部分 分 ， 有 选 错 的 得 0 分 . 9 . 对于 函数 和 ， 下列 正确 的 有 （ ） A . 与 有 相同 零点 B . 与 有 相同 最大 值 C . 与 有 相同 的 最小 正 周期 D . 与 的 图像

（ 1 ） 函数 f ( x ) = x ( 1 - x ) x - 2 ) 的 第 一 类 间断 点 的 个数 A ） 3 （ B ） 2 （ C ） 1 （ D ） 0 【 答案 】 C3 x = + 确定 ， 则 （ 2 ） 函数 y = f ( x ) 由 参数 方程 xxf 2 + - f ( 2 ) = ety 42e （ A ） 2 e （ B ） e （ C ） e （ D ） 333 【 答案 】 Bs （ 3 ） 设 函数 f ( x ) = inxsint 3 dt ， g ( x ) = f ( t ) dt ， 则 0 （ A ） f ( x ) 为 奇 函数 ， g ( x ) 为 奇 函数 （ B ） f ( x ) 为 奇 函数 ， g ( x ) 为 偶 函数 （ C ） f ( x ) 为 偶 函数 ， g ( x ) 为 偶 函数 （ D ） f ( x ) 为 偶 函数 ， g ( x ) 为 奇 函数 【 答案 】 D （ 4 ） 已知 数列 { an } ( an 产 0 ) ， 若 { an } 发散 ， 则 （ A ） { an + } 发散 （ B ） { an - } 发散 （ C ） { ean + } 发散 （ D ） { ean - } 发散 【 答案 】 D1 | ( ( x2 + y2 ) sin , xy 产 0 , 则 函数 f ( x , y ) 在 ( 0 , 0 ) 处 （ 5 ） 设 已知 函数 f ( x , y ) = xy = 0 . | l 0 , （ A ） 连续 ， f ( x , y ) 可 微 . （ B ） 连续 ， f ( x , y ) 不 可 微 . （ C ） 不 连续 ， f ( x , y ) 可 微 . （ D ） 不 连续 ， f ( x , y ) 不 可 微 . 【 答案 】 C π 1 π dx （ 6 ） 设 f ( x , y ) 是 连续 函数 ， 则 2 inxf ( x , y ) dy = 611 a 1 dy （ A ） 1 dy π rcsinyf ( x , y ) dx （ B ） sinyf ( x , y ) dx 262 a （ C ） y π rcsinyf ( x , y ) dx （ D ） yf ( x , y ) dxsiny 6 【 答案 】 A （ 7 ） 设 非 负 函数 f ( x ) 在 [ 0 ， + 如 ) 连续 ， 给 出 以下 三 个 命题 ： 1 . 若 如 f2 ( x ) dx 收敛 ， 则 如 f ( x ) dx 收敛 如 f ( x ) dx 收敛 2 . 若 存在 p > 1 ， 使得 xxpf ( x ) 存在 ， 则 3 . 若 如 f ( x ) dx 收敛 ， 则 存在 p > 1 ， 使得 x 其中 真 命题 的 个数 为 A ） 0 （ B ） 1 （ C ） 2 （ D ） 3 【 答案 】 B 00 c ) 1 a 2 c 0 b100 ) | | 0 | ， 则 A = 8 ） 设 A 为 三 阶 矩阵 ， P = ( | | ， 若 PTAP 2 = ( | | （ | 101 ) | （ | 2c 0 c ) | 20000 c 0 ab 0 c 0 ) | | （ A ） ( | | 0 ) | | （ B ） ( | | （ | 00 b ) | （ | 00 a ) | ( a 00 ) ( c 00 ) （ C ） | 0 b0 | （ D ） | 0 b0 | （ | 00 c ) | （ | 00 a ) | 【 答案 】 C （ 9 ） A 为 4 阶 矩阵 , 若 A ( A - A * ) = 0 , 且 A 子 A * ， 则 r ( A ) 可能 为 （ A ） 0 或 1 （ B ） 1 或 3 （ C ） 2 或 3 （ D ） 1 或 2 【 答案 】 D （ 10 ） 设 A 、 B 为 2 阶 矩阵 ， 且 AB = BA ， 则 “ A 有 两 个 不 相等 的 特征 值 ” 是 “ B 可 对 角 化 ” 的 A ） 充分 必要 条件 （ B ） 充分 不 必要 条件 （ C ） 必要 不 充分 条件 （ D ） 既 不 充分 也 不 必要 条件 【 答案 】 B （ 11 ） 曲线 y2 = x 在 点 ( 0 , 0 ) 处 的 曲率 圆 方程 为 【 答案 】 ( x - ) 2 + y2 = （ 12 ） 设 f ( x , y ) = 2 x3 - 9 x2 - 6 y 4 + 12 x + 24 y 的 极值 点 是 【 答案 】 ( 1 , 1 13 ） 已知 微分 方程 y ' = ， 满足 y ( 1 ) = 0 的 解 为 3 【 答案 】 y + = arctan (

2024 年 研究 生 考试 考研 数学 （ 二 ） 试卷 与 参考 答案 一 、 选择 题 （ 本 大 题 有 10 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50 分 ） 1 、 设 函数 f ( x ) = | 2 x - 1 | + | 2 x + 3 | ， 则 不等式 f ( x ) 6 的 解 集 为 _ ． 首先 ， 考虑 函数 f ( x ) = | 2 x1 ) + | 2 x + 3 ) 。 由于 绝对 值 函数 的 性质 ， 我们 可以 将 x 的 取值 范围 分为 三 个 区间 进行 讨论 ： 当 x 32 时 ： f ( x ) = ( 2 x1 ) ( 2 x + 3 ) = 4 x2 将 f ( x ) 代 入 不等式 f ( x ) 6 ， 得到 ： 4 x26 解 得 ： x2 结合 此 区间 的 定义 ， 得到 解 集 ： 2 x 32 当 32 < x < 12 时 ： f ( x ) = ( 2 x1 ) + ( 2 x + 3 ) = 4 由于 在 这 个 区间 内 ， f ( x ) 恒 等于 4 ， 显然 满足 f ( x ) 6 。 因此 ， 此 区间 的 所有 x 都 是 解 ， 即 ： 32 < x < 12 当 x 12 时 ： f ( x ) = ( 2 x1 ) + ( 2 x + 3 ) = 4 x + 2 将 f ( x ) 代 入 不等式 f ( x ) 6 ， 得到 ： 4 x + 26 解 得 ： x1 结合 此 区间 的 定义 ， 得到 解 集 ： 12 x1 综合 以上 三 个 区间 的 解 集 ， 得到 不等式 f ( x ) 6 的 解 集 为 ： [ 2 , 1 ] 故 答案 为 ： [ 2 , 1 ] 。 2 、 设 随机 变量 ξ 服从 正 态 分布 N ( 2 , σ ^ 2 ) ， 若 P ( ξ > 4 ) = 0 . 028 ， 则 P ( 0 < ξ 2 ) ， 其 均值 μ = 2 ， 即 正 态 曲线 的 对称 轴 < 2 ) = _ ． 答案 ： 0 . 472 解析 ： 首先 ， 由于 随机 变量 ξ 服从 正 态 分布 N ( 2 , σ 为 x = 2 。 根据 正 态 分布 的 对称 性 ， 我们 有 ： P ( 0 < ξ < 2 ) = P ( 2 < ξ < 4 ) 接 下来 ， 由于 整个 正 态 分布 曲线 下 的 面积 为 1 ， 且 P ( ξ > 4 ) = 0 . 028 ， 则 P ( ξ 4 ) = 1P ( ξ > 4 ) = 10 . 028 = 0 . 972 。 又 因为 P ( ξ 2 ) = 0 . 5 （ 正 态 分布 的 均值 处 对应 的 概率 为 0 . 5 ） ， 所以 ： P ( 2 < ξ 4 ) = P ( ξ 4 ) P ( ξ 2 ) = 0 . 9720 . 5 = 0 . 472 由 前面 的 对称 性 ， 我们 得到 ： P ( 0 < ξ < 2 ) = P ( 2 < ξ < 4 ) = 0 . 472 故 答案 为 ： 0 . 472 。 3 、 已知 函数 f ( x ) = ( x - a ) / ( e ^ x ) ( a ) ． ( 1 ) 求 函数 f ( x ) 的 单调 区间 ； ( 2 ) 当 a = 2 时 ， 求 函数 f ( x ) 在 区间 [ 0 , 3 ] 上 的 最大 值 和 最小 值 ； ( 3 ) 若 不等式 f ( x ) > 0 在 区间 ( 0 , + ) 上 恒 成立 ， 求实 数 a 的 取值 范围 ． 【 分析 】 ( 1 ) 先 求 出 函数 的 导 数 ， 通过 解 不等式 即可 求 出 函数 的 单调 区间 ； ( 2 ) 当 a = 2 时 ， 将 a 的 值 代 入 函数 的 表达 式 ， 求 出 函数 的 导 数 ， 令 导 数 大于 0 ， 小于 0 ， 求 出 对应 的 x 的 范围 ， 即可 求 出 函数 的 单调 区间 ， 从而 求 出 函数 的 最大 值 和 最小 值 ； ( 3 ) 若 不等式 f ( x ) > 0 在 区间 ( 0 , + ) 上 恒 成立 ， 即 xa > 0 在 区间 ( 0 , + ) 上 恒 成立 ， 分离 出 参数 a ， 求 出 函数

绝密 ★ 启用 前 2024 年 普通 高等 学校 招生 全国 统一 考试 （ 新 课标 II 卷 ） 数学 本 试卷 共 10 页 ， 19 小 题 ， 满分 150 分 . 注意 事项 ： 1 . 答题 前 ， 先 将 自己 的 姓名 、 准 考 证 号 、 考场 号 、 座位 号 填写 在 试卷 和 答题 卡 上 ， 并 将 准 考证 号 条形 码 粘贴 在 答题 卡 上 的 指定 位置 。 2 . 选择 题 的 作答 ： 每 小 题 选出 答案 后 ， 用 2B 铅笔 把 答题 卡 上 对应 题目 的 答案 标号 涂 黑 。 写 在 试卷 、 草稿 纸 和 答题 卡 上 的 非 答题 区域 均 无效 。 3 . 填空 题 和解 答题 的 作答 ： 用 黑色 签字 笔 直接 答 在 答题 卡 上 对应 的 答题 区域 内 。 写 在 试卷 、 草稿 纸 和 答题 卡 上 的 非 答题 区域 均 无效 。 4 . 考试 结束 后 ， 请 将 本 试卷 和 答题 卡 一并 上交 。 一 、 单项 选择 题 ： 本 大 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 40 分 . 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选项 中 ， 只有 一 个 选项 是 正确 的 ． 请 把 正确 的 选项 填涂 在 答题 卡 相应 的 位置 上 . 1 ． 已知 ， 则 A ． 0 B ． 1 C ． D ． 2 2 ． 已知 命题 p ： ， ； 命题 q ： ， ， 则 A ． p 和 q 都 是 真 命题 B ． 和 q 都 是 真 命题 C ． p 和 都 是 真 命题 D ． 和 都 是 真 命题 3 ． 已知 向量 ， 满足 ， ， 且 ， 则 A ． B ． C ． D ． 1 4 ． 某 农业 研究 部门 在 面积 相等 的 100 块 稻田 上 种植 一 种 新型 水稻 ， 得到 各 块 稻田 的 亩 产量 （ 单位 ： kg ） 并 整理 下 表 ： [ 1000 ， 1050 [ 1100 ， 1150 [ 1150 ， 1200 亩 产量 [ 900 ， 950 ） [ 950 ， 1000 ） ） ） ） 频数 6 12 18 24 10 据 表 中 数据 ， 结论 中 正确 的 是 A ． 100 块 稻田 亩 产量 的 中 位 数 小于 1050 kg B ． 100 块 稻田 中 亩 产量 低于 1100 kg 的 稻田 所 占 比例 超过 20 % C ． 100 块 稻田 亩 产量 的 极 差 介于 200 kg 至 300 kg 之间 D ． 100 块 稻田 亩 产量 的 平均 值 介于 900 kg 至 1000 kg 之间 学科 网 （ 北京 ） 股份 有限 公司 5 ． 已知 曲线 C ： （ ） ， 从 C 上 任意 一点 P 向 x轴 作 垂 线段 PP ′ ， P ′ 为 垂足 ， 则 线段 PP ′ 的 中点 M 的 轨迹 方程 为 A ． （ ） B ． （ ） C ． （ ） D ． （ ） 6 ． 设 函数 ， ， 当 时 ， 曲线 与 恰 有 一 个 交点 ， 则 A ． － 1 B ． C ． 1 D ． 2 7 ． 已知 正 三 棱台 的 体积 为 ， ， ， 则 与

（ 1 ） 函数 2 ) ) ( 1 ( 1 ( ) xxxfx 的 第 一 类 间断 点 的 个数 是 （ ） ( A ) 3 ( B ) 2 ( C ) 1 ( D ) 0 【 答案 】 ( C ) 【 解析 】 无 定义 的 点 为 1 , 2 ， 0111 x ， 所以 第 一 类 间断 点 的 个数 是 1 个 ， 2 ) ) ( 1 ( 2 ) ) ( 1 ( 2 ) ) ( 1 ( exxxlimxxlimxxlim ， x ， 1 x20 xx 故 选 C . 31 tx ( 2 ) ] 2 ) lim [ ( 2f （ 2 ） 设 函数 yf ( x ) 由 参数 方程 确定 ， 则 （ ） 2 xfxxtey 4e 2 ee ( A ) e2 ( B ) 3 ( C ) 3 ( D ) 3 【 答案 】 （ B ） 22 ttte 2 ) ( 22 ) ( xftef 【 解析 】 容易 看出 函数 f ( x ) 可 导 ， 且 t12 ， 23332 t ， 当 12 , xt 时 ， etdtdxdtdy ( 2 ) 22 fxf 2 lim ( 2 ) 22 lim 所以 ef ， fxfxxx 34 ( 2 ) 22x 故 选 B3 sinxxftdttdtgxxf ( ) , ( ) sin ( ) ， 则 3 ） 设 函数 00 ( A ) f ( x ) 是 奇 函数 ， g ( x ) 是 奇 函数 ( B ) f ( x ) 是 奇 函数 ， g ( x ) 是 偶 函数 ( C ) f ( x ) 是 偶 函数 ， g ( x ) 是 偶 函数 ( D ) f ( x ) 是 偶 函数 ， g ( x ) 是 奇 函数 【 答案 】 （ D ） xtdtxhsin 3 ( ) ， 此时 h ( x ) 是 一个 偶 函数 ， 所以 ， ( sin ) ( ) xhfx 为 偶 函数 ， 从而 ( x ) g 【 解析 】 令 0 为 奇 函数 ， 故 选 D . （ 4 ） 已知 数列 0 ) ( anan ， 若 an 发散 ， 则 （ ） aann （ A ） 发散 （ B ） 发散 （ C ） 发散 （ D ） 发散 aaee 1 e e 1 naa 1 naa 1 nnnn - 1 - 2024 年 考研 数学 二 真题 及 答案 解析 参考 - - 第 1 页 2024 年 考研 数学 二 真题 及 答案 解析 参考 - - 第 1 页 2024 年 考研 数学 二 真题 及 答案 解析 参考 - - 第 2 页 2024 年 考研 数学 二 真题 及 答案 解析 参考 - - 第 2 页 【 答案 】 （ D ） 收敛 ； 【 解析 】 对于 A 选项 ， 令 251 , 22 , 2 , 1 nnnaaua ， 所以 naa 1 nn 对于 B 选项 ， 令 11n 收敛 ； an 此时 01 nnaau ， 所以 naa 1 nnn 对于 C 选项 ， 令 11 eeeeuannaan 收敛 ， 故 选 D 。 n220 ) sin 1 , ( xyxyyx , ) ( fxy ， 则 在 点 ） （ 00 , 处 5 ） 已知 函数 0 , 0 xyxyfxyf , ) ( , ) ( 连续 ， ( , ) fxy 不 可 微 （ A ） x 连续 ， ( , ) fxy 可 微 （ B ） xxyfxyf , ) ( , ) ( 不 连续 ， ( , ) fxy 不 可 微 （ C ） x 不 连续 ， ( , ) fxy 可 微 （ D ） x 【 答案 】 （ C ） 0 lim 000 , ) ( lim ( 0 , ) 00 , ) ( ffxf 【 解析 00 , 点 处 ， 000 xxx ， 同理 xxyx 000 ( 0 , ) lim ( 00 , ) ( cos 12 sin 1 , ) ( fyff 22 ； 因 x2 xyxyxxyf 0 yy 时 ， xyyx 22 ) sin 1 ( yfxffxyfxyyxyxlim 00 , ) ( 00 , ) ( 00 , ) ( ( , ) lim 220 ) ( 0 , ( , ) 220 ) ( 0 ( yxyxyxxy 0 sin 1 lim 220 ) ( 0 ( yxxyyx 故 ( , ) fxy 在 ） （ 00 , 点 处 可 微 ， 排除 B 和 C ； 当 00 , ) ( xy 时 ， ( , ) xyfx 极限 不 存在 ， 故 ( , ) xyfx 在 ） （ 00 , 点 处 不 连续 ， 故 选 C . 1 , ) ( fxydydx （ ） ( 6 ) 设 ( , ) fxy 是 连续 函数 ， 则 2 sinx 6 arcsin , ) ( ( , ) yfxydxdyfxydxdy （ A ） 1 （ B ） 12 arcsiny 21621 arcsin , ) ( fxydxdy

2024 年 普通 高等 学校 招生 全国 统一 考试 （ 新 课标 II 卷 ） 数学 本 试卷 共 10 页 ， 19 小 题 ， 满分 150 分 . 注意 事项 ： 1 . 答题 前 ， 先 将 自己 的 姓名 、 准 考 证 号 、 考场 号 、 座位 号 填写 在 试卷 和 答题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条形 码 粘贴 在 答题 卡 上 的 指定 位置 . 2 . 选择 题 的 作答 ： 每 小 题 选出 答案 后 ， 用 2B 铅笔 把 答题 卡 上 对应 题目 的 答案 标号 涂 黑 . 写 在 试卷 、 草稿 纸 和 答题 卡 上 的 非 答题 区域 均 无效 . 3 . 填空 题 和解 答题 的 作答 ： 用 黑色 签字 笔 直接 答 在 答题 卡 上 对应 的 答题 区域 内 . 写 在 试卷 、 草稿 纸 和 答题 卡 上 的 非 答题 区域 均 无效 . 4 . 考试 结束 后 ， 请 将 本 试卷 和 答题 卡 一并 上交 . 一 、 单项 选择 题 ： 本 大 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 40 分 . 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选项 中 ， 只有 一个 选项 是 正确 的 ． 请 把 正确 的 选项 填涂 在 答题 卡 相应 的 位置 上 . 1 . 已知 ， 则 （ ） A . 0 B . 1 C . D . 22 . 已知 命题 p 命题 q 则 （ ） A . p 和 q 都 是 真 命题 B . 和 q 都 是 真 命题 C . p 和 都 是 真 命题 D . 和 都 是 真 命题 3 . 已知 向量 满足 ， 且 ， 则 （ ） A . B . C . D . 14 . 某 农业 研究 部门 在 面积 相等 的 100 块 稻田 上 种植 一 种 新型 水稻 ， 得到 各 块 稻田 的 亩 产量 （ 单位 ： kg ） 并 部分 整理 下 表 亩产 [ 900 ， 950 [ 950 ， 1000 [ 1000 ， 1050 [ 1100 ， 1150 [ 1150 ， 1200 量 频数 612182410 据 表 中 数据 ， 结论 中 正确 的 是 （ ） 第 1 页 / 共 8 页 学科 网 （ 北京 ） 股份 有限 公司 A . 100 块 稻田 亩 产量 的 中 位 数 小于 1050 kgB . 100 块 稻田 中 亩 产量 低于 1100 kg 的 稻田 所 占 比例 超过 80 % C . 100 块 稻田 亩 产量 的 极 差 介于 200 kg 至 300 kg 之间 D . 100 块 稻田 亩 产量 的 平均 值 介于 900 kg 至 1000 kg 之间 5 . 已知 曲线 C 从 C 上 任意 一点 P 向 x轴 作 垂 线段 ， 为 垂足 ， 则 线段 的 中点 M 的 轨迹 方程 为 （ ） A B C D 6 . 设 函数 ， ， 当时 ， 曲线 与 恰 有 一个 交点 ， 则 （ ） A . B . C . 1D . 27 . 已知 正 三 棱台 的 体积 为 则 与 平面 ABC 所 成 角 的 正 切 值 为 （ ） A . B . 1 C . 2D . 38 . 设 函数 ， 若 ， 则 的 最小 值 为 （ ） A . B . C . D . 1 二 、 多 项 选择 题 ： 本 大 题 共 3 小 题 ， 每 小 题 6 分 ， 共 18 分 . 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选项 中 ， 有 多 项 符合 题目 要求 . 全部 选 对 得 6 分 ， 选 对 但 不 全 的 得 部分 分 ， 有 选 错 的 得 0 分 . 9 . 对于 函数 和 ， 下列 正确 的 有 （ ） A . 与 有 相同 零点 B . 与 有 相

2024 年 研究 生 考试 考研 数学 ( 二 302 ) 自 测试 卷 及 解答 参考 一 、 选择 题 （ 本 大 题 有 10 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50 分 ） xx 2 ) ， 则 ( f ( x ) ) 在 ( x = 0 ) 处 的 导 数 ( f ( 0 ) ) 为 ： 1 、 设 函数 ( f ( x ) = e ( exx 2 ) = eA . 1 B . 2C . 3D . ( e ) 答案 ： A 解析 ： 求 ( f ( x ) ) 在 ( x = 0 ) 处 的 导 数 ， 即 计算 ( f ( x ) ) 并 代 入 ( x = 0 ) 。 ( f ( x ) = dx2 x ) dx 代 入 ( x = 0 ) 得 ： ( f ( 0 ) = e020 = 1 ) 所以 正确 答案 是 A . 1 。 2 、 已知 函数 ( f ( x ) = 1 x2 + 1 ) ， 则 ( f ( x ) ) 的 以下 性质 正确 的 是 ： A . 在 定义 域 内 单调 递增 B . 在 定义 域 内 单调 递减 C . 在 定义 域 内 先 增 后 减 D . 在 定义 域 内 先 减 后 增 答案 ： B 解析 ： 首先 ， 对于 函数 ( f ( x ) = 1 x2 + 1 ) ， 其 定义 域 为 ( ( , + 为了 确定 函数 的 单调 性 ， 可以 计算 其 一 阶 导 数 ： 1 d x ( x2 + 1 ) = 2 x2 ) [ f ( x ) = d ( x2 + 1 ) 由于 ( ( x2 + 1 ) 2 > 0 ) 对 所有 ( x ) 都 成立 ， 因此 ( f ( x ) ) 的 符号 完全 由 ( 2 x ) 决定 。 当 ( x > 0 ) 时 ， ( f ( x ) < 0 ) ， 函数 在 ( ( 0 , + ) ) 上 单调 递减 ； 当 ( x < 0 ) 时 ， ( f ( x ) > 0 ) ， 函数 在 ( ( , 0 ) ) 上 单调 递增 。 因此 ， ( f ( x ) ) 在 整个 定义 域 内 都 是 单调 递减 的 ， 选项 B 正确 。 3 、 设 函数 ( f ( x ) = { x2 + 1 , x < 0 sin ( x ) , x0 则 下列 哪 项 正确 ？ A . ( f ( x ) ) 在 ( x = 0 ) 处 连续 但 不 可 导 B . ( f ( x ) ) 在 ( x = 0 ) 处 既 不 连续 也 不 可 导 C . ( f ( x ) ) 在 ( x = 0 ) 处 连续 且 可 导 D . ( f ( x ) ) 在 ( x = 0 ) 处 不 可 连续 但 可 导 答案 ： A 解析 ： 为了 确定 ( f ( x ) ) 在 ( x = 0 ) 处 的 行为 ， 我们 需要 检查 函数 在 这 一点 的 连续 性 和 可 导 性 。 2 + 1 ) 趋向 于 ( 1 ) 。 首先 考虑 连续 性 。 对于 ( f ( x ) ) 来 说 ， 在 ( x = 0 ) 的 左右 极限 分别 为 ： 当 ( x ) 从 左侧 趋向 于 0 时 ， ( f ( x ) = x 当 ( x ) 从 右侧 趋向 于 0 时 ， ( f ( x ) = sin ( x ) ) 趋向 于 ( 0 ) 。 因为 ( f ( 0 ) = sin ( 0 ) = 0 ) ， 所以 左右 极限 相等 且 等于 该 点 的 函数 值 ， 这 表明 ( f ( x ) ) 在 ( x = 0 ) 处 是 连续 的 。 接 下来 考虑 可 导 性 。 要 检查 ( f ( x ) ) 在 ( x = 0 ) 处 是否 可 导 ， 我们 需要 看 ( f ( x ) ) 在 ( x = 0 ) 左右 两侧 的 极限 是否 存在 并且 相等 。 对于 ( x < 0 ) ， ( f ( x ) = 2 x ) ， 当 ( x ) 从 左侧 接近 0 时 ， ( f ( x ) ) 趋向 于 ( 0 ) 。 对于 ( x > 0 ) ， ( f ( x ) = cos ( x 当 ( x ) 从 右侧 接近 0 时 ， ( f ( x ) ) 趋向 于 ( 1 ) 。 由于 从 左边 和 右边 趋近 于 ( 0 ) 时 导 数 的 极限 不同 ， 即 ( f ( x ) ) 在 ( x = 0 ) 左侧 的 极限 为 ( 0 ) 而 右侧 的 极限 为 ( 1 ) ， 说明 ( f ( x ) ) 在 ( x

2024 年 普通 高等 学校 招生 考试 新 课标 II 卷 数 学 注意 事项 ： 1 . 答卷 前 ， 考生 务必 将 自己 的 姓名 、 准 考 证 号 填写 在 答题 卡 上 。 2 . 回答 选择 题 时 ， 选出 每 小 题 答案 后 ， 用 铅笔 把 答题 卡 上 对应 题目 的 答案 标号 涂 黑 。 如 需 改动 ， 用 橡皮 擦 干净 后 ， 再 选 涂 其他 答案 标号 。 回答 非 选择 题 时 ， 将 答案 写 在 答题 卡 上 ， 写 在 本 试卷 上 无效 。 3 . 考试 结束 后 ， 将 本 试卷 和 答题 卡 一并 交 回 。 一 、 选择 题 ： 本 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 满分 40 分 。 每 小 题 给 出 的 备选 答案 中 ， 只有 一个 是 符合 题意 的 。 1 . 已知 ， 则 A . 0 B . 1 C . D . 2 2 . 已知 命题 ； 命题 ， 则 A . 和 都 是 真 命题 B . 和 都 是 真 命题 C . 和 都 是 真 命题 D . 和 都 是 真 命题 3 . 已知 向量 、 满足 ： ， ， 且 ， 则 A . B . C . D . 1 4 . 某 农业 研究 部门 在 面积 相等 的 100 块 稻田 上 种植 新型 水稻 ， 得到 各 块 稻田 的 亩 产量 （ 单位 ： kg ） 并 部分 整理 如下 表 所 示 。 亩产 [ 900 , 950 ) [ 950 , 1000 ) [ 1000 , 1050 ) [ 1050 , 1150 ) [ 1150 , 1200 ) 频数 6 12 18 24 10 根据 表 中 数据 ， 下列 结论 正确 的 是 A . 100 块 稻田 亩 产量 的 中 位 数 小于 1050 kg B . 100 块 稻田 中 亩 产量 低于 1100 kg 的 稻田 所 占 比例 超过 40 % C . 100 块 稻田 亩 产量 的 极 差 介于 200 kg 到 300 kg 之间 D . 100 块 稻田 亩 产量 的 平均 值 介于 900 kg 到 1000 kg 之间 5 . 已知 曲线 ， 从 上 任意 一点 向 轴 作 垂 线段 ， 为 垂足 ， 则 线段 的 中点 的 轨迹 方程 为 A . B . C . D . 6 . 设 函数 ， （ 为 常数 ） ， 当 时 ， 曲线 和 恰 有 一个 交点 ， 则 A . B . C . D . 2 7 . 已知 正 三 棱台 的 体积 为 ， ， ， 则 与 平 面 所 成 角 的 正 切 值 为 A . B . 1 C . 2 D . 3 8 . 设 函数 ， 若 ， 则 的 最小 值 为 A . B . C . D . 1 二 、 选择 题 ： 本 题 共 3 小 题 ， 每 小 题 6 分 ， 满分 18 分 。 每 小 题 给 出 的 备选 答案 中 ， 有 多 个 选项 是 符合 题意 的 。 全部 选 对 得 6 分 ， 部分 选 对 得 3 分 ， 选 错 或 不 选 得 0 分 。 9 . 对于 函数 和 ， 下列 正确 的 有 A . 与 有 相同 零点 B .

一 、 问答 题 （ 注释 ） 直接 写 出 得 数 ． 40 × 30 = 60 × 80 = 90 × 70 = 43 × 20 = 11 × 25 = 23 × 13 = 32 × 12 = 41 × 14 = 【 答案 】 40 × 30 = 1200 60 × 80 = 4800 90 × 70 = 6300 43 × 20 = 86011 × 25 = 275 23 × 13 = 299 32 × 12 = 384 41 × 14 = 574 【 解析 】 略 2 、 有 篮球 9 个 ， 足球 的 个数 是 篮球 的 8 倍 ， 足球 有 多少 个 ？ 【 答案 】 9 × 8 = 72 （ 个 ） ． 答 ： 足球 有 72 个 ． 【 解析 】 略 3 . 列 式 计算 ： （ 1 ） 840 里面 有 几 个 70 ？ （ 2 ） 51 的 28 倍 大约 是 多少 ？ 【 答案 】 （ 1 ） 840 ÷ 70 = 12 2 ） 51 × 28 = 1428 ． 【 解析 】 略 4 . 计算 （ 前 两 题 验算 ） ： 309 × 28 = _ ； 567 ÷ 28 = _ ； 7200 ÷ 40 = _ ； 578 ÷ 28 = _ ； 600 × 35 = _ ； 6432 ÷ 14 = _ ． 【 答案 】 （ 1 ） 309 × 28 = 8652 ； 验算 ： 28 × 309578 ÷ 56 = 18 （ 5 ） 600 × 35 = 21000 ； 【 解析 】 略 用 竖 式 计算 下面 各 题 ， 带 “ “ 的 要 验算 ． 164 × 4 = 702 × 6 = l 920 ÷ 6 = 615 ÷ 3 = 790 × 4 = 405 ÷ 7 = 【 答案 】 （ 1 ） 164 × 4 = 656 ； 【 解析 】 略 6 、 同学 们 去 秋游 ， 每 套 车票 和 门票 89 元 ， 一共 需要 102 套 ． 【 答案 】 89 × 102 = 9078 （ 元 ） 9078 元 9000 元 ． 答 ： 9000 元 不够 用 ． 【 解析 】 略 7 、 直接 写 出 得 数 ． 细心 一些 ， 相信 你 一定 行 ！ 518 + 176 = 36 . 4 + 23 . 6 = 18 × 101 = 35 . 12 + 15 . 7 = 36 ÷ 0 . 4 = 14 × 23 = 5 - 25 = 14 + 16 = 116 ÷ 34 = 89 × 0 ÷ 89 = 【 答案 】 518 + 176 = 694 ， 36 . 4 + 23 . 6 = 60 ， 18 × 101 = 1818 ， 35 . 12 + 15 . 7 = 50 . 82 ， 36 ÷ 0 . 4 = 90 ， 14 × 23 = 16 ， 5 - 25 = 4 . 6 ， 14 + 16 = 512 ， 116 ÷ 34 = 112 ， 89 × 0 ÷ 89 = 0 ． 【 解析 】 略 450 - 140 = 25 ÷ 7 = 900 + 238 = 600 - 9 × 8 = 90 - 7 × 5 = 26 + 30 - 28 = 48 ÷ （ 2 + 4 ） = 780 - 772 = 26 + 24 = 80 - 30 = 78 - 26 = 56 - 12 = ( 12 + 13 + 14 ) × 24 = 0 . 25 × 2 . 69 × 4 = 10 - 2 . 87 - 7 . 13 = 127 ÷ 24 = 3 ÷ 45 = 0 . 87 - 0 . 494 . 9 × 0 . 7 = 45 ÷ 710 = 85 ÷ 58 = 718 ÷ 59 = 12 × 15 = 2 + 49 = （ 25 + 4 ） × 4 = 【 答案 】 450 - 140 = 310 ； 25 ÷ 7 = 347 ； 900 + 238 = 1138 ； 600 - 9 × 8 = 528 ； 90 - 7 × 5 = 55 ； 26 + 30 - 28 = 28 ； 48 ÷ （ 2 + 4 ） = 8 ； 780 - 772 = 8 ； 26 + 24 = 50 ； 80 - 30 = 30 ； 78 - 26 = 52 ； 56 - 12 = 13 ； ( 12 + 13 + 14 ) × 24 = 26 ； 0 . 25 × 2 . 69 × 4 = 2 . 69 ； 10 - 2 . 87 - 7 . 13 = 0 ； 127 ÷ 24 = 114 ； 3 ÷ 45 = 334 ； 0 . 87 - 0 . 49 = 0 . 38 ； 4 . 9 × 0 . 7 = 3 . 43 ； 45 ÷ 710 = 117 ； 85 ÷ 58 = 2 【 解析 】 略 9 、 两 个 不同 自然数 的 和 ， 总 比 这 两 个数 积 小 ． 【 答案 】 如果 有 一个 自然数 是 0 ， 那么 两 个 不同 自然数 的 和 ， 就 比 这 两 个数 积 大 ． 故 答案 为 ： 错误 ． 【 解析 】 略 10 、 三 个 自然数 的 和

2024 数学 二 是 指 2024 年 高考 数学 科目 中 的 第 二 部分 ， 主要 考察 学生 的 数学 知识 和 解题 能力 。 一 、 内容 概述 2024 数学 二 的 内容 包括 以下 几 个 方面 ： 1 . 函数 与 方程 包括 函数 的 基本 概念 、 函数 的 性质 与 运算 、 函数 的 图像 与 性质 、 函数 的 极限 与 连续 、 函数 的 导 数 与 微分 、 函数 的 极值 与 最 值 、 函数 的 不定 积分 与 定 积分 等 ； 2 . 几何 与 三角 平面 几何 、 立体 几何 、 解析 几何 、 三角 函数 等 ； 3 . 概率 与 统计 包括 概率 的 基本 概念 、 条件 概率 、 独立 性 、 随机 变量 及其 分布 、 数字 特征 、 统计 量 等 ； 4 . 数列 与 数学 归纳 法 包括 数列 的 基本 概念 、 等 差 数列 、 等比 数列 、 递推 数列 、 数学 归纳 法 等 ； 5 . 排列 组合 与 二 项 式 定理 包括 排列 组合 的 基本 概念 、 排列 组合 公式 、 二 项 式 定理 等 ； 6 . 初等 数学 方法 包括 代数 法 、 几何 法 、 三角 法 等 。 二 、 考试 要求 2024 数学 二 的 考试 要求 主要 包括 以下 几 个 方面 ： 1 . 知识 掌握 ： 考生 需要 熟练 掌握 各个 知识 点 的 概念 、 性质 和 运算 方法 ， 能够 灵活 运用 相关 知识 解决 问题 ； 2 . 解题 能力 ： 考生 需要 具备 较 强 的 解题 能力 ， 能够 独立 分析 和 解决 各种 数学 问题 ， 包括 计算 题 和 应用 题 ； 3 . 推理 能力 ： 考生 需要 具备 较 强 的 推理 能力 ， 能够 通过 逻辑 推理 和 数学 证明 解决 问题 ； 4 . 分析 能力 ： 考生 需要 具备 较 强 的 分析 能力 ， 能够 对 复杂 的 数学 问题 进行 分析 和 归纳 ， 找 出 问题 的 关键 点 ； 5 . 综合 应用 能力 ： 考生 需要 具备 较 强 的 综合 应用 能力 ， 能够 将 不同 知识 点 进行 综合 运用 ， 解决 实际 问题 。 三 、 备考 建议 为了 顺利 应对 2024 数学 二 的 考试 ， 考生 可以 采取 以下 几 个 备考 策略 ： 1 . 系统 学习 ： 考生 需要 系统 地 学习 各个 知识 点 ， 理解 其 概念 和 性质 ， 掌握 其 运算 方法 ， 并 进行 大量 的 练习 ； 2 . 多 做 题 ： 考生 需要 进行 大量 的 题目 练习 ， 包括 基础 题 、 提高 题 和 模拟 题 ， 以 提高 解题 能力 和 应试 能力 ； 3 . 总结 归纳 ： 考生 需要 对 各个 知识 点 进行 总结 归纳 ， 整理 出 重点 和 难点 ， 形成 自己 的 复习 笔记 ； 4 . 查 漏 补缺 ： 考生 需要 及时 查 漏 补缺 ， 对 自己 的 薄弱 环节 进行 有 针对 性 的 复习 和 强化 训练 ； 5 . 考前 冲刺 ： 考生 需要 在 考前 进行 冲刺 复习 ， 回顾 重点 知识 ， 做 模拟 试题 ， 熟悉 考试 形式 和 节奏 。 2024 数学 二 是 一个 综合 性 较 强 的 数

一、填空题(1)曲线y= \frac {x+4 \sin x}{5x-2 \cos x} 水平渐近线方程为_.(2)设函数f(x)= \cases { \frac {1}{x^{3}} \int _{0}^{x} \sin tzdt,x \neq 0, \cr a,x=0} 在x=0 处持续，则a= \ _.(3)广义积分\int _{0}^{+\infty } \frac {xdx}{(1+x^{2})^{2}}=(4)微分方程y'= \frac {y(1-x)}{x} 通解是_.(5)设函数y=y(x)由方程y=1-xey 拟定，则\frac {dy}{dx} \mid _{A=0}=-.(6)设矩阵A=(\matrix {2&1 \cr -1&2}), E为2阶单位矩阵,矩阵B满足BA=B+2E, 则\mid B \mid = _ 二、选取题(7)设函数y=f(x)具有二阶导数，且f'(x)>0,f''(x)>0, Ax为自变量x在x_{0} 处增量, Ay和dy 分别为f(x)在点x处相应增量和微分，若\triangle x>0, 则(A)0<dy< \triangle y (8)设f(x)是奇函数,除x=0 外到处持续，x=0 是其第一类间断点，则\int _{0}^{x}f(t)dt 是(A)持续奇函数.(B)持续偶函数(C)在x=0 间断奇函数(D)在x=0 间断偶函数 (9)设函数g(x)可微，h(x)=e^{1+g(x)},h'(1)=1,g'(1)=2, 则g(1)等于(A)\ln 3-1.(B)- \ln 3-1.(C)- \ln 2-1.(D)\ln 2-1 (10)函数y=Cex+C_{2}e-2x+xex 满足一种微分方程是(A)y''-y'-2y=3xex.(B)y''-y'-2y=3ex.(C)y''+y'-2y=3xex.(D)y''+y'-2y=3ex.(11)设f(x,y)为持续函数,则\int _{0}^{ \pi }d \theta \int

每 小 题 给 出 的 四 个 选项 中 ， 只有 一个 是 符合 题意 的 . 1 . 已知 z = - 1 - i ， 则 z = A . 0 B . 1 C . 2D . 22 . 已知 命题 p : xR ， x + 1 > 1 ； 命题 q : x > 0 ， x3 = x ， 则 A . p 和 q 都 是 真 命题 B . ¬ p 和 q 都 是 真 命题 C . p 和 ¬ q 都 是 真 命题 D . ¬ p 和 ¬ q 都 是 真 命题 b ， 则 b = 3 . 已知 向量 a ， b 满足 : a = 1 ， a + 2b = 2 ， 且 b - 2aA . 12B . 22 C . 32 D . 14 . 某 农业 研究 部门 在 面积 相等 的 100 块 稻田 上 种植 新型 水稻 ， 得到 各 块 稻田 的 亩 产量 ( 单位 : kg ) 并 部分 整理 如下 表 所 示 . 亩产 [ 900 ， 950 ) [ 950 ， 1000 ) [ 1000 ， 1050 ) [ 1050 ， 1150 ) [ 1150 ， 1200 ) 频数 612182410 根据 表 中 数据 ， 下列 结论 正确 的 是 A . 100 块 稻田 亩 产量 的 中 位 数 小于 1050 kgB . 100 块 稻田 中 亩 产量 低于 1100 kg 的 稻田 所 占 比例 超过 40 % C . 100 块 稻田 亩 产量 的 极 差 介于 200 kg 到 300 kg 之间 D . 100 块 稻田 亩 产量 的 平均 值 介于 900 kg 到 1000 kg 之间 ， 从 C 上 任意 一点 P 向 x轴 作 垂 线段 PP ， P 为 垂足 ， 则 线段 PP 的 中 5 . 已知 曲线 C ： x2 + y2 = 16y > 0 点 M 的 轨迹 方程 为 B . x2 A . x 216 + y 216 + y 24 = 1 y > 08 = 1 y > 0 C . y 2 D . y 24 = 1 y > 08 = 1 y > 016 + x 216 + x26 . 设 函数 fx = ax + 12 - 1 ， gx 时 ， 曲线 y = fx 和 y = gx = cosx + 2 ax ( a 为 常数 ) ， 当 x - 1 ， 1 恰 有 一个 交点 ， 则 a = A . - 1 B . 12C . 1D . 27 . 已知 正 三 棱台 ABC - ABC 的 体积 为 523 ， AB = 6 ， A1 B1 = 2 ， 则 AA 与 平面 ABC 所 成 角 的 正 切 值 为 A . 12B . 1 C . 2D . 30 ， 则 a2 + b2 的 最小 值 为 8 . 设 函数 fx = x + alnx + b ， 若 fxA . 18 B . 14 C . 12 D . 11 二 、 选择 题 : 本 题 共 3 小 题 ， 每 小 题 6 分 ， 满分 18 分 ． 每 小 题 给 出 的 备选 答案 中 ， 有 多 个 选项 是 符合 题意 的 ． 全部 选 对 得 6 分 ， 部分 选 对 得 3 分 ， 选 错 或 不 选 得 0 分 . 9 . 对于 函数 fx = sin 2 x 和 gx = sin ( 2 x - π 4 ) ， 下列 正确 的 有有 相同 最大 值 A . fx 与 gx 有 相同 零点 B . fx 与 gx 的 图象 有 相同 对称 轴 C . fx 与 gx 有 相同 的 最小 正 周期 D . fx 与 gx 2 = 1 的 一 条 切线 ， Q 为 切点 ． 过 10 . 抛物 线 C ： y2 = 4 x 的 准 线 为 l ， P 为 C 上 动 点 ， 过 P 作 A : x2 + y - 4 P 作 C 的 垂线 ， 垂足 为 B ， 则 A . l 与 A 相切 B . 当 P 、 A 、 B 三 点 共 线 时 ， PQ = 15C . 当 PB = 2 时 ， PAABD . 满足 PA = PB 的 点 A 有 且 仅 有 2 个 = 2 x3 - 3 a x 2 + 1 ， 则 11 . 设 函数 fx 的 三 个 零点 A . 当 a > 1 时 ， fx 的 极 大 值 点 B . 当 a < 0 时 ， x = 0 是 fx 的 对称 轴 C . 存在 a , b ， 使得 x = b 为 曲线 fx 的 对称 中心 D . 存在 a ， 使得 点 1 ， f1 为 曲线 y = fx 三 、 填空

A . x = 1 为 无穷 间断 点 Bx = 1 , x = 2 都 是 无穷 间断 点 C . x = 2 是 可 去 间断 点 D . x = 1 为 可 去 间断 点 x = 2 为 无穷 间断 点 6 . 设 \ lim _ { x \ rightarrow \ infty } ( 1 - \ frac { a } { x } ) ^ { x } = e ^ { 3 } , 则 a = ( ) A . 3 B . - 3C . \ frac { 1 } { 3 } D . - \ frac { 1 } { 3 } 7 . 下列 方程 在 [ 0 , 1 ] 有 实 根 的 有 ( ) A . \ sin x + x - \ frac { 1 } { 2 } = 0 B . x ^ { 2 } + 3 x + 1 = 0 C . \ arcsin x + 3 = 0 D . x - \ sin x + \ frac { 1 } { 2 } = 08 . 设 f ( x ) 是 可 导 函数 , 且 \ lim _ { h \ rightarrow 0 } \ frac { f ( x _ { 0 } + 2h ) - f ( x _ { 0 } ) } { h } = 1 , 则 f ' ( x _ { 0 } ) = ( ) A . 1 B . 0 C . 2D . \ frac { 1 } { 2 } 9 . 曲线 x ^ { 2 } y + \ ln y = 1 在 点 ( 1 , 1 ) 处 的 切线 斜率 是 ( ) A . - 2B . - 1 C . - \ frac { 1 } { 2 } D . 010 . 下列 函数 在 x = 0 处 可 导 的 是 ( ) A . y = \ mid 3 \ sin x \ midB . y = 3 \ ln xC . y = \ mid 5 x \ midD . y = \ mid 6 \ cos x \ mid 11 . 函数 y = y ( x ) 由 参数 方程 \ cases { x = 2 te ^ { t } + 1 , \ cr y = t ^ { 3 } - 3t . } 确定 ， \ frac { d ^ { 2 } y } { dx ^ { 2 } } \ mid _ { x = 1 } = ( ) A . \ frac { 3 } { 4 } B . \ frac { 3 } { 2 } C . \ frac { 3 } { 8 } e ^ { 2 } D . \ frac { 3 } { 8 } e12 . f ( x ) 在 点 x0 可 导 是 f ( x ) 在 点 x0 可 微 的 ( ) 条件 . A . 充分 B . 必要 C . 充分 必要 D . 以上 都 不对 13 . 已知 y = \ cos x , 则 y ^ { ( 8 ) } = ( ) 高等 数学 模拟 题 （ 一 ） 说明 : 考试 时间 120 分钟 , 试卷 共 150 分 。 题号 二 三 四 五 总分 分数 一 、 单项 选择 题 ( 每 小 题 2 分 ， 共 60 分 。 在 每 个 小 题 的 备选 答案 中 选出 一个 正确 答案 ， 并 将 其 代码 写 在 题 干 后 的 括号 内 。 ) 1 . 函数 f ( x ) = \ arctan \ frac { x - 3 } { 2 } - \ ln ( 4 - x ) 定义 域 为 ( ) A . [ 1 , 4 ) B . [ 1 , 5 ] C . [ - 2 , 2 ] D . [ 0 , 4 ] 2 . 下列 函数 中为 奇 函数 的 是 ( ) A.f ( x ) = \ frac { e ^ { x } + e ^ { - x } } { 2 } \ sin ^ { 2 } xB . f ( x ) = x \ tan x - \ cos xC . f ( x ) = \ ln ( x + \ sqrt { x ^ { 2 } + 1 } ) D . f ( x ) = \ frac { x } { 1 - x } 3 . 已知 f ( e ^ { - x } - 1 ) = \ frac { e ^ { x } } { 1 - e ^ { x } } , 则 f ( x ) = ( ) A . - \ frac { 1 } { x } B . - xC . x - 1D . \ frac { 1 } { x } 4 . 当 x \ rightarrow 0 时 , 下列 是 无穷小 量 的 是 ( ) A . \ sin \ frac { 1 } { x } B . \ frac { \ sin x } { x } C . x ^ { x } D . ( 3 x ^ { 3 } - 3 x ) \ sin \ frac { 2 } { x } 》 . 设 f ( x ) = \ frac { \ sin ( x - 1 ) } { x ^ { 2 } - 3 x + 2 } , 则 下列 说法 正确 的 是 ( ) 中央 财经 3 . _ 时期 制造 A 郊区 数 螺 凶 卡 m \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ 丰 高等 数学 模拟 试卷 第 1 页 共 38 页 A . sin

2024 年 研究 生 考试 考研 数学 ( 二 302 ) 复习 试题 ( 答案 在 后面 ) 一 、 选择 题 （ 本 大 题 有 10 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50 分 ） 1 、 设 函数 y = x + 2 当 x [ 1 , 1 ) 时 ， y 的 取值 范围 是 ( A ) [ 0 , 3 ) ( B ) [ 0 , 3 ) ( C ) [ 0 , 3 ) ( D ) [ 0 , 3 ) 2 、 下列 关于 多元 函数 极值 问题 中 拉格朗日 乘数 法 的 描述 ， 正确 的 是 （ ） A 、 在 多元 函数 极值 问题 中 ， 拉格朗日 乘数 法 是 用来 解决 带 有 约束 条件 的 函数 极值 问题 的 B 、 对于 每 个 约束 条件 ， 拉格朗日 乘数 法 都 需要 一个 对应 的 拉格朗日 乘数 C 、 在 解 拉格朗日 乘数 法 中 相应 的 方程 组 时 ， 需要 保证 拉格朗日 乘数 本身 是 一个 变量 D 、 如果 约束 条件 是 区域 的 外 边界 ， 那么 相应 的 拉格朗日 乘数 可能 不 为 零 3 、 设 随机 变量 X 服从 正 态 分布 N ( 2 , 1 ) ， 则 P ( X < 1 ) 为 ： A . 0 . 0668 B . 0 . 1587 C . 0 . 3085 D . 0 . 84134 、 若 向量 a = ( 3 , 4 , 5 ) T 和 b = ( 5 , 12 , 13 ) T 代表 空间 中 的 两 个 向量 ， 则 这 两 个 向量 之间 的 夹角 为 ： A . 60 ° B . 90 ° C . 120 ° D . 150 ° 5 、 （ 选择 题 ） 设 函数 ( f ( x ) ) 在 区间 ( [ 0 , 1 ) ) 上 连续 ， 且 在 ( ( 0 , 1 ) ) 上 可 导 。 如果 ( f ( 0 ) = 0 ) ， ( f ( 1 ) = 2 ) ， 则 一定 成立 的 有 A 、 存在 ( ξ ( 0 , 1 使得 ( f ( ξ ) = 2 ) B 、 存在 ( η ( 0 , 1 使得 ( f ( η ) = 2 ) C 、 存在 ( ζ ( 0 , 1 使得 ( f ( ζ ) = 1 ) D 、 不 存在 ( γ ( 0 , 1 使得 ( f ( γ ) = 12 ) 6 、 某 银行 按 年 复利 计算 的 年 利率 为 3 % ， 有 一 人 存入 100 元 ， 则 4 年 后 本 利 共有 A ） 115 . 3100 （ B ） 115 . 342 （ C ） 115 . 3400 （ D ） 115 . 3337 . 设 f ( x ) = sin ( 2 x ) ， 则 f ( x + 2 π ) = A . sin ( 2 x ) B . - sin ( 2 x ) C . sin ( 2 x + 2 π ) D . cos ( 2 x ) 8 、 设 向量 空间 V 的 子 空间 W 由 向量 组 { ( 1 , 2 , 2 ) , ( 2 , 3 , 1 ) , ( 3 , 1 , 2 ) } 生成 ， 如果 让 向量 ( 1 , 0 , - 1 ) 不 在 W 中 ， 则 向量 组 { ( 1 , 2 , 2 ) , ( 2 , 3 , 1 ) , ( 3 , 1 , 2 } 可以 生成 V 。 A 、 ( 0 , 1 , 1 ) B 、 ( 1 , - 1 , 3 ) C 、 ( 2 , - 2 , 4 ) D 、 ( 3 , - 3 , 5 ) 9 、 设 f ( x ) = x 24 x + 3 ， 则 f ( f ( x ) ) 为 ： A . x48 x3 + 22x 224 x + 9 B . x48 x3 + 18 x 224 x + 9C . x 44 x3 + 8 x 28 x + 9D . x 46 x3 + 11 x26 x + 910 、 选择 正确 的 答案 。 问题 ： 若 函数 f ( x ) 在 区间 ( a , b ) 上 连续 ， 在 点 x = a 和 x = b 上 可 导 ， 以下 哪个 条件 可以 确保 LHpitals Rule ô 适用 于 f ( x ) 在 该 区间 上 的 极限 分析 ？ A ) lim ( xa + ) ( f ( x ) = + ) 和 lim ( xb - ) ( f ( x ) = 0 ) B ) lim ( xa + ) ( f ( x ) = 0 ) 和 lim ( xb - ) ( f ( x ) = + ) C ) lim (

一 、 单项 选择 题 1 . C 2 . B 3 . C 4 . B 5 . A 6 . B 7 . D 8 . D 9 . B 10 . D 11 . D 12 . A 13 . A 14 . C 15 . A16 . C 17 . C 18 . B 19 . C 20 . C21 . B22 . C23 . D 24 . D25 . A26 . B27 . B28 . C29 . D30 . A 二 、 填空 题 21 . 22 . 1023 . 1624 . 25 . 26 . 1327 . 三 、 解答 题 28 . （ 1 ） 9 ； （ 2 ） 29 . （ 1 ） 4 ； （ 2 ） 30 . （ 1 2 31 . （ 1 2 ） 32 . （ 1 3 ） 233 . （ 1 3 ） 16 个 月 后 总 收益 最大 ， 最大 收益 为 1000 万 元 。 34 . （ 1 2 ） 35 . （ 1